Phương Pháp Giải Toán 9 Hệ Thức Vi Ét Và Ứng Dụng – Toán 9
>>> Mọi người cũng quan tâm:
Phương Pháp Giải Toán 9 Hệ Thức Vi Ét Và Ứng Dụng – Toán 9 là tài liệu học tập được Trang Tài Liệu biên soạn và sưu tầm từ những nguồn dữ liệu mới nhất hiện nay. Tài liệu này sẽ giúp các em luyện tập, củng cố kiến thức từ đó nâng cao điểm số cho môn học. Ngoài ra, cũng giúp các thầy cô giáo có nguồn tài nguyên phong phú để giảng dạy.
Dưới đây là bản đọc trực tuyến giúp thầy cô và các em học sinh có thể nghiên cứu Online hoặc bạn có thể tải miễn phí với phiên bản word để dễ dàng in ấn cũng như học tập Offline.
Bài 6. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Xét phương trình bậc hai
.
Nếu
,
là nghiệm của phương trình thì
2. Ứng dụng của hệ thức Vi-ét
Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai. Xét phương trình bậc hai
.
Nếu
thì phương trình có một nghiệm là
,
nghiệm kia là
Nếu
thì phương trình có một nghiệm là
,
nghiệm kia là
Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Nếu hai số có tổng bằng
và tích bằng
thì hai số đó là nghiệm của phương trình
.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm |
|
.
Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét
và
.
và
rồi áp dụng bước 1.Ví
dụ 1.
Đối
với mỗi phương trình sau, ký hiệu
,
là hai nghiệm phương trình (nếu có) Không giải phương
trình hãy điền vào chỗ trống
a)
,
,
,
.
b)
,
,
,
.
c)
,
,
,
.
d)
,
,
,
.
Ví
dụ 2.
Đối với mỗi phương trình sau, ký hiệu
,
là hai nghiệm phương trình (nếu có) Không giải phương
trình hãy điền vào chỗ trống
a)
,
,
,
.
b)
,
,
,
.
c)
,
,
,
.
d)
,
,
,
.
Ví dụ 3. Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a)
. ĐS:
.
b)
. ĐS:
.
c)
. ĐS:
.
d)
. ĐS:
.
Ví dụ 4. Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a)
. ĐS:
.
b)
. ĐS:
.
c)
. ĐS:
.
d)
. ĐS:
.
Ví
dụ 5.
Gọi
,
là hai nghiệm của phương trình
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu
thức sau
a)
. ĐS:
.
b)
. ĐS:
.
c)
. ĐS:
.
d)
. ĐS:
.
Ví
dụ 6.
Gọi
,
là hai nghiệm của phương trình
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu
thức sau
a)
. ĐS:
.
b)
. ĐS:
.
c)
. ĐS:
.
d)
. ĐS:
.
Dạng 2: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm |
|
Ví
dụ 7.
Xét tổng
hoặc
rồi tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau
a)
. ĐS:
.
b)
. ĐS:
.
c)
. ĐS:
.
d)
. ĐS:
.
Ví
dụ 8.
Xét tổng
hoặc
rồi tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau
a)
. ĐS:
.
b)
. ĐS:
.
c)
. ĐS:
.
d)
. ĐS:
.
Ví dụ 9. Sử dụng định lý Vi-ét tính nhẩm nghiệm của phương trình
a)
. ĐS:
.
b)
. ĐS:
.
Ví dụ 10. Sử dụng định lý Vi-ét tính nhẩm nghiệm của phương trình
a)
. ĐS:
.
b)
. ĐS:
.
Ví
dụ 11.
Cho phương trình
.
Chứng minh phương trình đã cho luôn một nghiệm không phụ
thuộc vào
.
Tìm nghiệm còn lại. ĐS:
.
Ví
dụ 12.
Cho phương trình
.
Chứng minh phương trình đã cho luôn một nghiệm không phụ
thuộc vào
.
Tìm nghiệm còn lại. ĐS:
.
Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng |
|
khi biết tổng
và tích
,
ta làm như sau
để tìm các nghiệm
.
hoặc
.Ví
dụ 13.
Tìm hai số
và
trong mỗi trường hợp sau
a)
và
. ĐS:
và
.
b)
và
. ĐS:
và
.
Ví
dụ 14.
Tìm hai số
và
trong mỗi trường hợp sau
a)
và
. ĐS:
và
.
b)
và
. ĐS:
.
Ví
dụ 15.
Lập phuơng trình bậc hai có hai nghiệm là
và
. ĐS:
.
Ví
dụ 16.
Lập phuơng trình bậc hai có hai nghiệm là
và
. ĐS:
.
Ví
dụ 17.
Cho phương trình
có hai nghiệm là
và
.
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là
và
. ĐS:
.
Ví
dụ 18.
Cho phương trình
có hai nghiệm là
và
.
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là
và
. ĐS:
.
Dạng 4: Phân tích tam giác bậc hai thành nhân tử |
|
.
Nếu phương trình bậc hai
có hai nghiệm
thì tam thức được phân tích thành
.Ví dụ 19. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a)
. ĐS:
.
b)
. ĐS:
.
c)
. ĐS:
.
d)
. ĐS:
.
Ví dụ 20. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a)
. ĐS:
.
b)
. ĐS:
.
c)
. ĐS:
.
d)
. ĐS:
.
Dạng 5: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai |
Xét
phương trình bậc hai một ẩn
|
.
Khi đó
.
.
.
.Ví
dụ 21.
Cho
phương trình
.
Tìm
để phương trình
a)
Có hai nghiệm trái dấu. ĐS:
.
b)
Có hai nghiệm phân biệt. ĐS:
mọi
.
c)
Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. ĐS:
.
d)
Có hai nghiệm dương phân biệt. ĐS:
.
e)
Có hai nghiệm âm phân biệt. ĐS:
không
tồn tại
.
Ví
dụ 22.
Cho phương trình
.
Tìm
để phương trình
a)
Có hai nghiệm trái dấu. ĐS:
.
b)
Có hai nghiệm phân biệt. ĐS:
mọi
.
c)
Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. ĐS:
.
d) Có hai nghiệm dương phân biệt. ĐS: không tồn tại.
e)
Có hai nghiệm âm phân biệt. ĐS:
.
Dạng 6: Xác định điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn hệ thức cho trước |
|
.Ví
dụ 23.
Cho
phương trình
.
Tìm các giá trị của tham số
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
,
thỏa mãn
. ĐS:
.
Ví
dụ 24.
Cho phương trình
.
Tìm các giá trị của tham số
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
,
thỏa mãn
. ĐS:
.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Không giải các phương trình, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a)
. ĐS:
.
b)
. ĐS:
.
c)
. ĐS:
.
d)
. ĐS:
.
Bài
2.
Gọi
,
là hai nghiệm của phương trình
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu
thức
a)
. ĐS:
.
b)
. ĐS:
.
c)
. ĐS:
.
d)
ĐS:
.
Bài 3. Tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau
a)
. ĐS:
.
b)
. ĐS:
.
c)
. ĐS:
.
d)
. ĐS:
vô
nghiệm.
Bài
4.
Tìm hai số
và
trong mỗi trường hợp sau
a)
và
. ĐS:
và
.
b)
và
. ĐS:
và
.
Bài
5.
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là
và
. ĐS:
.
Bài
6.
Cho phương trình
có hai nghiệm là
và
.
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là
và
. ĐS:
.
Bài 7. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a)
. ĐS:
.
b)
. ĐS:
.
c)
. ĐS:
.
d)
. ĐS:
.
Bài
8.
Cho phương trình
.
Tìm
để phương trình
a)
Có hai nghiệm phân biệt. ĐS:
mọi
.
b)
Có hai nghiệm phân biệt trái dấu. ĐS:
.
c)
Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. ĐS:
.
d)
Có hai nghiệm dương phân biệt. ĐS:
.
e)
Có hai nghiệm âm phân biệt. ĐS:
không
tồn tại
.
Bài
9.
Cho phương trình
Tìm
để phương trình
a)
Có nghiệm. ĐS:
mọi
.
b)
Có một nghiệm bằng
.
Tìm nghiệm còn lại. ĐS:
,
.
c)
Có hai nghiệm phân biệt
,
thỏa mãn
. ĐS:
hoặc
.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đối với mỗi phương trình sau, ký hiệu
,
là hai nghiệm phương trình (nếu có) Không giải phương
trình hãy điền vào chỗ trống
a)
,
,
,
.
b)
,
,
,
.
c)
,
,
,
.
d)
,
,
,
.
Lời giải.
a)
,
,
.
b)
,
,
.
c)
,
,
.
d)
,
,
.
Đối với mỗi phương trình sau, ký hiệu
,
là hai nghiệm phương trình (nếu có) Không giải phương
trình hãy điền vào chỗ trống
a)
,
,
,
.
b)
,
,
,
.
c)
,
,
,
.
d)
,
,
,
.
Lời giải.
a)
,
,
.
b)
,
,
.
c)
,
,
.
d)
,
,
.
Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a)
. b)
.
c)
. d)
.
Lời giải.
Tất
cả các phương trình trình đã cho đều có tích
nên luôn có nghiệm.
a)
.
,
.
b)
.
,
.
c)
.
,
.
d)
.
,
.
Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a)
. b)
.
c)
. d)
.
Gọi
,
là hai nghiệm của phương trình
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu
thức sau
a)
. b)
.
c)
. d)
.
Lời giải.
Phương
trình có tích
nên có nghiệm phân biệt
,
và
,
.Theo
định lý Vi-ét, ta có
và
.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
Gọi
,
là hai nghiệm của phương trình
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu
thức sau
a)
. b)
.
c)
. d)
.
Lời giải.
Phương
trình có tích
nên có nghiệm phân biệt
,
và
,
.Theo
định lý Vi-ét, ta có
và
.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
Xét tổng
hoặc
rồi tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau
a)
. b)
.
c)
. d)
.
Lời giải.
a)
.
nên phương trình có nghiệm
,
.
b)
.
nên phương trình có nghiệm
,
.
c)
.
nên phương trình có nghiệm
,
.
d)
.
nên phương trình có nghiệm
,
.
Xét tổng
hoặc
rồi tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau
a)
. b)
.
c)
. d)
.
Lời giải.
a)
.
nên phương trình có nghiêm
,
.
b)
.
nên phương trình có nghiêm
,
.
c)
.
nên phương trình có nghiêm
,
.
d)
.
nên phương trình có nghiêm
,
.
Sử dụng định lý Vi-ét tính nhẩm nghiệm của phương trình
a)
. b)
.
Lời giải.
a)
.Theo
định lý Vi-ét, ta có
b)
.Theo
định lý Vi-ét, ta có
r
Sử dụng định lý Vi-ét tính nhẩm nghiệm của phương trình2
a)
. b)
.
Lời giải.
a)
.Theo
định lý Vi-ét, ta có
b)
.Theo
định lý Vi-ét, ta có
r
Cho phương trình
.
Chứng minh phương trình đã cho luôn một nghiệm không
phụ thuộc vào
.
Tìm nghiệm còn lại.
Lời giải.
Ta
có
nên phương trình có nghiệm
,
.
Cho phương trình
.
Chứng minh phương trình đã cho luôn một nghiệm không
phụ thuộc vào
.
Tìm nghiệm còn lại.
Lời giải.
Ta
có
nên phương trình có nghiệm
,
.
Tìm hai số
và
trong mỗi trường hợp sau
a)
và
. b)
và
.
Lời giải.
a)
và
.
và
là nghiệm của phương trình
Vậy
hoặc
b)
và
.
và
là nghiệm của phương trình
Vậy
hoặc
r
Tìm hai số
và
trong mỗi trường hợp sau
a)
và
. b)
và
.
Lời giải.
a)
và
.
và
là nghiệm của phương trình
Vậy
hoặc
b)
và
.
và
là nghiệm của phương trình
Vậy
r
Lập phuơng trình bậc hai có hai nghiệm là
và
.
Lời giải.
Ta
có
và
nên hai số đã cho là nghiệm của phương trình
Lập phuơng trình bậc hai có hai nghiệm là
và
.
Lời giải.
Ta
có
và
nên hai số đã cho là nghiệm của phương trình
Cho phương trình
có hai nghiệm là
và
.
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là
và
.
Lời giải.
Theo
định lý Vi-ét, ta có
và
.
.
Vậy
phương trình thỏa đề bài là
Cho phương trình
có hai nghiệm là
và
.
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là
và
.
Lời giải.
Theo
định lý Vi-ét, ta có
và
.
và
Vậy
phương trình thỏa đề bài là
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a)
. b)
.
c)
. d)
.
Lời giải.
a)
.
Vậy
b)
.
Vậy
c)
.
Vậy
.
d)
.
Vậy
r
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a)
. b)
.
c)
. d)
.
Lời giải.
a)
.
Vậy
b)
.
Vậy
c)
.
Vậy
d)
.
Vậy
r
Cho phương trình
.
Tìm
để phương trình
a) Có hai nghiệm trái dấu. b) Có hai nghiệm phân biệt.
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. d) Có hai nghiệm dương phân biệt.
e) Có hai nghiệm âm phân biệt.
Lời giải.
a)
Phương trình có hai nghiệm trái dấu
b)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
,
đúng với mọi
.
c)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
d)
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
e)
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
(Vô lý). Vậy không tồn tại
.
Cho phương trình
.
Tìm
để phương trình
a) Có hai nghiệm trái dấu.
b) Có hai nghiệm phân biệt.
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
d) Có hai nghiệm dương phân biệt.
e) Có hai nghiệm âm phân biệt.
Lời giải.
a)
Phương trình có hai nghiệm trái dấu
.
b)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
,
đúng với mọi
.
c)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
d)
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
(Vô lý). Vậy không tồn tại
.
e)
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
Cho phương trình
.
Tìm các giá trị của tham số
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
,
thỏa mãn
.
Lời giải.
.
Phương
trình có hai nghiệm phân biệt
Theo
định lý Vi-et ta có
và
.
Ta có
.
Vậy
Cho phương trình
.
Tìm các giá trị của tham số
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
,
thỏa mãn
.
Lời giải.
Phương
trình có hai nghiệm phân biệt
Theo
định lý Vi-et ta có
và
Ta
có
(thỏa
mãn).
Vậy
Không giải các phương trình, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a)
. b)
.
c)
. d)
.
Lời giải.
Tất
cả các phương trình đã cho đều có tích
nên luôn có nghiệm.2
a)
.
,
b)
.
,
c)
.
,
.
d)
.
,
r
Gọi
,
là hai nghiệm của phương trình
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu
thức
a)
. b)
.
c)
. d)
Lời giải.
Theo
định lý Vi-ét, ta có
và
.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
Tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau2
a)
. b)
.
c)
. d)
.
Lời giải.
a)
.Ta
có
nên phương trình có nghiệm
,
b)
.Ta
có
nên phương trình có nghiệm
,
c)
.Ta
có
nên phương trình có nghiệm
,
d)
.Ta
có
nên phương trình vô nghiệm.
Tìm hai số
và
trong mỗi trường hợp sau
a)
và
. b)
và
.
Lời giải.
a)
và
.
Hai số
và
là nghiệm của phương trình
Vậy
hoặc
b)
và
.
Hai số
và
là nghiệm của phương trình
Vậy
hoặc
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là
và
.
Lời giải.
Ta
có
và
nên hai số đã cho là nghiệm của phương trình
Cho phương trình
có hai nghiệm là
và
.
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là
và
.
Lời giải.
Phương
trình có tích
nên có nghiệm.
Theo
định lý Vi-et ta có
và
Ta
có
và
nên phương trình cần tìm là
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a)
. b)
.
c)
. d)
.
Lời giải.
a)
Vậy
b)
Vậy
c)
Vậy
d)
Vậy
r
Cho phương trình
.
Tìm
để phương trình
a) Có hai nghiệm phân biệt. b) Có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. d) Có hai nghiệm dương phân biệt.
e) Có hai nghiệm âm phân biệt.
Lời giải.
,
.
a)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
,
đúng với mọi
.
b)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu
c)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
d)
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
e)
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
(Vô lý.)Vậy không tồn tại
.
Cho phương trình
Tìm
để phương trình
a) Có nghiệm.
b)
Có một nghiệm bằng
.
Tìm nghiệm còn lại.
c)
Có hai nghiệm phân biệt
,
thỏa mãn
.
Lời giải.
a)
nên phương trình luôn có nghiệm với mọi
.
b)
Theo định lý Vi-ét, ta có
và
Phương
trình có nghiệm
ta có
Vậy
và nghiệm còn lại là
.
c)
Vậy
hoặc
.
--- HẾT ---
Ngoài Phương Pháp Giải Toán 9 Hệ Thức Vi Ét Và Ứng Dụng – Toán 9 thì các tài liệu học tập trong chương trình 9 sẽ được cập nhật liên tục và nhanh nhất có thể sau khi kỳ thi diễn ra trên Danh mục Tài Liệu Học Tập nhằm giúp các bạn đọc thuận tiện trong việc nghiên cứu tài liệu. Quý thày cô và các bạn đọc có thể chia sẻ thêm những tài liệu học tập hữu ích đến địa chỉ email của chúng tôi, nhằm xây dựng nên kho đề thi phong phú, đa dạng cho các em học sinh tham khảo và rèn luyện.
Bài viết sẽ giới thiệu cách sử dụng hệ thức Vi Ét để biểu diễn các số nguyên dương và cách ứng dụng trong việc giải các bài toán về ước số, bội số, phân tích số học và nhiều chủ đề khác. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách xây dựng hệ thức Vi Ét, cách sử dụng chúng để giải quyết những bài toán thú vị và phức tạp.
Bằng cách áp dụng phương pháp giải toán 9 hệ thức Vi Ét và ứng dụng, bạn sẽ nắm vững khả năng phân tích, tư duy logic và kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến số học. Điều này không chỉ giúp bạn đối mặt với những thách thức toán học một cách tự tin mà còn phát triển khả năng giải quyết vấn đề và tư duy sáng tạo trong cuộc sống hàng ngày.
Hãy cùng bắt đầu hành trình khám phá và rèn luyện khả năng giải toán 9 hệ thức Vi Ét và ứng dụng từ bài viết này. Chúng tôi tin rằng, sau khi hoàn thành bài viết, bạn sẽ trở thành một “thám tử” toán học tài ba, luôn sẵn sàng đối mặt với những bài toán phức tạp và thách thức toán học. Chúc các bạn thành công và vui vẻ trong hành trình học tập và khám phá toán học!
>>> Bài viết có liên quan: