Docly

Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán 9 Cả Năm Kèm Giải

>>> Mọi người cũng quan tâm:

Đề Thi Sinh 9 HK1 Tỉnh Quảng Nam 2020 – 2021 Có Đáp Án
Bộ Đề Thi Sinh 9 Giữa Kì 1 Năm 2022-2023 Có Đáp Án
Đề Thi HSG Sinh 9 Tỉnh Quảng Nam Có Đáp Án – Đề 1
Đề Thi HSG Sinh 9 Tỉnh Quảng Nam Có Đáp Án – Đề 2
Đề Thi Học Sinh Giỏi Môn Sinh 9 Tỉnh Quảng Nam 2019-2020 Có Đáp Án

Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán 9 Cả Năm Kèm Giải – Toán 9 là tài liệu học tập được Trang Tài Liệu biên soạn và sưu tầm từ những nguồn dữ liệu mới nhất hiện nay. Tài liệu này sẽ giúp các em luyện tập, củng cố kiến thức từ đó nâng cao điểm số cho môn học. Ngoài ra, cũng giúp các thầy cô giáo có nguồn tài nguyên phong phú để giảng dạy.

Dưới đây là bản đọc trực tuyến giúp thầy cô và các em học sinh có thể nghiên cứu Online hoặc bạn có thể tải miễn phí với phiên bản word để dễ dàng in ấn cũng như học tập Offline.



TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI



MÔN TOÁN 9























DẠNG I: RÚT GỌN BIỂU THỨC

Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức:

P =

a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn P.

b. Tìm giá trị của x khi P = 1.

Câu 2: (4,0 điểm). Cho biểu thức:

a) Rút gọn A;

b) Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên;

c) Tính giá trị của A với .

Bài 3: (4,0 điểm)

Cho biểu thức:

  1. Rút gọn P.

  2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

  3. Xét biểu thức: chứng tỏ 0 < Q < 2.

Bài 4: (4,0 điểm) Cho

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của x để A = .

Câu 5: (4,0 điểm). Cho biểu thức:

a) Rút gọn A;

b) Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên;

c) Tính giá trị của A với .

Bài 6: (4,0 điểm).

Cho biểu thức .

a) Tìm các giá trị của x để .

b) Chứng minh rằng với mọi x thoả mãn .

Bài 7: (4,0 điểm).Cho biểu thức :

a) Tìm x để P có nghĩa và chứng minh rằng P .

b) Tìm x thoả mãn :

Bài 8: (4,0 điểm).Cho biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.

Bài 9: (4,0 điểm).

Cho biểu thức:

  1. Rút gọn biểu thức .

  2. Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên.

Bài 10: (4,0 điểm).

Cho biểu thức: A =

a.Rút gọn biểu thức A.

b.Tính giá trị biểu thức A khi .

Bài 11: (4 điểm) Cho biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức .

b) Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên.

Bài 12: (4 điểm)Cho biểu thức:

A =

a. Rút gọn biểu thức.

b. Cho Tìm Max A.

Bài 13. Cho biểu thức :

a.Rút gọn A.

b.Tính A biết

c.Tìm x để A > 1.

Bài 14. Cho biểu thức :

a.Rút gọn P.

b.Tìm m để

c.Tìm m N để P N.

Bài15. Cho biểu thức : P =

a.Rút gọn P

b.Chứng minh 0 P 1.

Bài 16. Cho biểu thức: M =

a.Tìm điều kiện của x để M có nghĩa.

b.Rút gọn M.

c.Chứng minh M

Bài 17. Cho biểu thức : D = :

a) Rút gọn biểu thức D.

b) Tính giá trị của D khi = 2.

Bài 18. Cho biểu thức : A =

a.Rút gọn A.

b.Tính A với : a =

Bài 19. Cho : A =

a.Rút gọn A.

b.Tìm a để A < 1.

b.Tìm a để A Z.

Bài 20. Cho : A =

a.Rút gọn A.

b.So sánh : A với .

Bài 21. Cho : A =

Tính A biết : 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0

Bài 22. Cho : A = .

a.Rút gọn A.

b.Cho xy = 16. Tìm minA.

23: Cho biểu thức : N =

a, Rút gọn biểu thức N.

b, Tính N khi a = , b =

c, CMR nếu Thì N có giá trị không đổi.


24: Cho biểu thức : M =

a, Rút gọn biểu thức M.

b, Tính M khi a = và b =

c, Tìm a, b trong trường hợp thì M = 1.

25: Cho biểu thức : H =

a, Rút gọn biểu thức H.

b, Tính H khi x = .

c, Tìm x khi H = 16.






















HƯỚNG DẪN












1






a





Điều kiện để P xác định và rút gọn

x > 1

P =

=

=


0,5




0.5


0.5


0.5

b

Với x > 1, P = 1 = 1

( x - 1 ) - 2 = 0

Đặt = t ( t 0 ), ta có : t2 - 2t = 0 t( t - 2 ) = 0,

tính được t1 = 0 , t2 = 2.

* Với t = = 0 x = 1 (bị loại vì x > 1)

* Với t = = 2 x - 1 = 4 x = 5.

0.5



0.5



0.5



0.5


Câu 2


4,0 đ

a.

(2,0đ)

ĐK: x

A = 1 -

A = 1 -

A = 1 -

0,5 đ



0,5 đ



0,5 đ



0,5 đ


b.

(1,0đ)

Do nên là số hữu tỉ.

Suy ra x là số chính phương, do đó Z => Ư(2)

Do Ư(2) => x = 0

Vậy x = 0 thì A có giá trị nguyên.


0,25 đ


0,25 đ


0,5 đ


c.

(1,0đ)

Với x =

x = - 7

. Vậy A



0,5 đ


0,5 đ




3

a.(2,0đ) Đk :

Vậy , với

0,25


0,5


0,5


0,5

0,25

b. (1,0đ)

dấu bằng xảy ra ( thỏa mãn)

Vậy GTNN của P là khi .

0,5


0,25


0,25


  1. (1,0đ).Với thì Q = > 0. (1)

Xét

Dấu bằng không xảy ra vì điều kiện .

Nên Q < 2.(2)

Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2.


0,25


0,25


0,25

0,25

0,25

4

a(2,0đ)

Vậy với .




0,5


0,5


0,5



0,5

b(2,0đ) Với Ta có:

Vậy A = x = .



0,5


1,0


0,5


Câu 5


4,0 đ

a.

(2,0đ)

ĐK: x

A = 1 -

A = 1 -

A = 1 -

0,5 đ



0,5 đ



0,5 đ



0,5 đ


b.

(1,0đ)

Do nên là số hữu tỉ.

Suy ra x là số chính phương, do đó Z => Ư(2)

Do Ư(2) => x = 0

Vậy x = 0 thì A có giá trị nguyên.


0,25 đ


0,25 đ




0,5 đ


c.

(1,0đ)

Với x =

x = - 7

. Vậy A



0,5 đ


0,5 đ



Câu 6.a)

Ta có . Từ đó giải được

b)Ta có:

Do nên . Vậy

Câu 7. a) Điều kiện x>0 Ta có :

P= P-1= Vậy

b) 4 3x + 6 -1 = 0

(thỏa nmãnmãn)


(loại)


(thoã mãn điều kiện x>0) .

Câu 8.a) Điều kiện để P có nghĩa: . Ta có:

b).Theo câu a ta có: . Do đó để P Z thì ta cần Z

x = 1.Vậy với x = 1 thì P có giá trị nguyên.

Bài 9: . a)Ta có: , nên điều kiện để A có nghĩa là

.

. ( )

b).Với là số nguyên không âm, để A là số nguyên thì (vì ). Khi đó:

Bài 10: 1. Điều kiện: . A =

Bài11.a) Ta có: , nên điều kiện để A có nghĩa là

.

( )

b)

Với , để A là số nguyên thì (vì và ).Khi đó:

Bài 12: . a) Đk : x 0; y 0; x.y 1.

Quy đồng rút gọn ta được: A =

b) Max A = 9

Hướng dẫn

*****@*****

Bài 13.a. - Cần chỉ rõ ĐKXĐ của A là :

- Rút gọn A từng phần ta được kết quả :

b.Biến đổi :

- Thay vào và rút gọn A ta có :

c.Xét hiệu :

Để A > 1 tức : A - 1 > 0 mà : buộc :

Bài 14.a. ĐK :

- Biến đổi rút gọn :

b. Ta có :

c. Viết P dưới dạng :

Suy ra : là ước của 2. Từ đó tìm ra m = 4 hoặc 9.

Bài 15. Điều kiện x 0.

Rút gọn P =

b.Chứng tỏ : P 0 và 1-P 0

Bài 16.

a.Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi:

x 0 và x 1

b.Rút gọn : M =

c.Ta có : M = =

Bài 17.

a.Học sinh có thể rút gọn từng phần hoặc cả bài cùng lúc.

- Điều kiện :

- Rút gọn biểu thức bị chia ta có :

=

Vậy :

D =

b) = 2 .

  • Với x = 7 tính được D = 49.

  • Với x = 3 thì D không xác định.

Bài 18.

a.Rút gọn ta dược kết quả : A = 4a.

b.Biến đổi a như sau :

Vậy : A = 8.

Bài 19. a.Rút gọn : A =

b.Xét hiệu : A - 1 =

Để A < 1 buộc A - 1 < 0

c.Ta có : A = 1 + là ước của 4.

Các ước của 4 là :

Xét các trường hợp ta có các giá trị sau của a thoã mãn :

16 ; 4 ; 25 ; 1 ; 49.

Bài 20. a.Rút gọn A ta có : A = .

b.Xét hiệu :

Bài 21. - Trước tiên cần rút gọn A trước.

-Ta có : 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = (x - y)2 + (x - 2)2 = 0

Bài 22. a.Rút gọn A =

b.

Đặt : = t 0 ta có : A = (1)

Phương trình (1) phải có nghiệm

Khi đó t = 2 tức là x = 4 ; y = 4.

Bài 23. a, Rút gọn biểu thức N. N = =

= =

= =

= =

b, Tính N : Ta có a = = , b = =

N = =

c, áp dụng dãy tỷ số bằng nhau ta có: = Thay vào N = ta được N = = .Vậy N không đổi là N = khi

Bài 24. a, Rút gọn biểu thức M. Điều kiện: a

M = =

= =

b, Tính M khi a = và b =

M = =

c, Tìm a, b trong trường hợp thì M = 1.

(2)

(1)

Ta giải hệ phương trình sau:

Từ phương trình (1) rút ra b = 2a thay vào phương trình (2) của hệ ta được: =1

(TMĐK)và a= 0 (Loại)

a=3 b = 6 . Vậy a=3 , b=6 thì M = 1

Bài 25. a, Rút gọn biểu thức H. Điều kiện: x >1

H =

=

b, Tính H; ta có: x = =

H = x - 2 = 9+2

c, Tìm x khi H = 16.

H = 16 x - 2 = 16 x - 2 - 16 = 0 (x - 1) - 2 - 15 = 0

Đặt: = a ; a 0

a2 -2a - 15 = 0

= 1+15=16 = 42

a1/2 = 1 4 a1 = 5 và a2= -3 ( loại)

a1 = 5 = 5 x-1 = 25 x = 26










DẠNG II : ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Đề bài 1: Cho hàm số bậc nhất : y = ( 2m – 5 )x + 3 với m có đồ thị là đường thẳng d .Tìm giá trị của m để

  1. Góc tạo bởi (d) và và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến, nghịch biến)

  2. (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1)

  3. (d) song song với đường thẳng y = 3x – 4

  4. (d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1

  5. (d) luôn cắt đường thẳng 2x – 4y – 3 = 0

  6. (d) cắt đường thẳng 2x + y = -3 tại điểm có hoành độ là -2

  7. (d) cắt trục hoành tại điểm ở bên trái trục tung ( có hoành độ âm)

  8. (d) cắt đường thẳng y = 3x + 1 tại điểm có hoành độ âm (hoặc ở bên trái trục tung)

  9. (d) cắt đường thẳng y = 5x – 3 tại điểm có tung độ dương ( hoặc ở trên trục hoành)

  10. Chứng tỏ (d ) luôn đi qua một điểm cố định trên trục tung

Giải :Hàm số có a = 2m – 5 ; b = 3

  1. Góc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là góc nhọn, góc tù

Góc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là góc nhọn khi đường thẳng d có hệ số a > 0

2m – 5 >0 m > ( thỏa mãn)

Góc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là góc tù khi đường thẳng d có hệ số a < 0

2m – 5 <0 m < ( thỏa mãn )

Vậy góc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là góc nhọn khi m >

góc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là góc tù khi m <

  1. (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1)

Thay x = 2 ; y = -1 vào phương trình đường thẳng d ta có

-1 = 2. ( 2m - 5) + 3 4m – 10 + 3 = -1 m = ( thỏa mãn)

Vậy với m = thì (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1)

Chú ý : Phải viết là Thay x = 2 ; y = -1 vào phương trình đường thẳng d ”, không được viết là Thay x = 2 ; y = -1 vào đường thẳng d

  1. (d) song song với đường thẳng y = 3x - 4

(d) song song với đường thẳng y = 3x - 4 ( thỏa mãn)

Vậy m = 4 là giá trị cần tìm

  1. (d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1

Ta có 3x + 2y = 1

(d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1 (d) song song với đường thẳng

( thỏa mãn) . Vậy là giá trị cần tìm

  1. (d) luôn cắt đường thẳng 2x - 4y - 3 = 0

Ta có 2x - 4y - 3 = 0

(d) luôn cắt đường thẳng 2x - 4y - 3 = 0 (d) luôn cắt đường thẳng

. Kết hợp với điều kiên ta có m là giá trị cần tìm.

  1. (d) cắt đường thẳng 2x + y = -3 tại điểm có hoành độ là -2

Thay x = -2 vào phương trình đường thẳng 2x + y = -3 ta được 2. (-2) + y = -3 y = 1

  • (d) cắt đường thẳng 2x + y = -3 tại điểm (-2 ; 1 ). Thay x = -2 ; y = 1 vào phương trình đường thẳng d ta có 1 = ( 2m – 5 ). (-2) + 3 -4m + 10 +3 = 1 m = 3 ( thỏa mãn).

Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.

  1. (d) cắt trục hoành tại điểm ở bên trái trục tung ( có hoành độ âm)

Thay y = 0 vào phương trình đường thẳng d ta có 0 = (2m - 5)x + 3 x =

(d) cắt trục hoành tại điểm ở bên trái trục tung ( thỏa mãn).

Vậy là giá trị cần tìm.

  1. (d) cắt đường thẳng y = 3x + 1 tại điểm có hoành độ âm (hoặc ở bên trái trục tung)

(d) cắt đường thẳng y = 3x + 1 2m – 5 3 m 4

Hoành độ giao điểm của (d) và đường thẳng y = 3x + 1 là nghiệm của phương trình ẩn x sau :

( 2m – 5 )x + 3 = 3x + 1 ( 2m - 8)x = -2 ( vì m 4 )

(d) cắt đường thẳng y = 3x + 1 tại điểm có hoành độ âm

( thỏa mãn các điều kiện m và m 4 )

Vậy m > 4 là giá trị cần tìm.

  1. (d) cắt đường thẳng y = 5x - 3 tại điểm có tung độ dương ( hoặc ở trên trục hoành)

* (d) cắt đường thẳng y = 5x - 3 2m – 5 5 m 5

* Hoành độ giao điểm của (d) và đường thẳng y = 5x - 3 là nghiệm của phương trình ẩn x sau :

( 2m – 5 )x + 3 = 5x - 3 ( 2m - 10)x = -6 ( vì m 5 )

Thay vào phương trình đường thẳng y = 5x - 3 ta có y =

(d) cắt đường thẳng y = 5x - 3 tại điểm có tung độ dương

Kết hợp với các điều kiện ta có 0 < m < 5 và m là giá trị cần tìm

  1. Chứng tỏ (d ) luôn đi qua một điểm cố định trên trục tung

Giả sử (d) luôn đi qua điểm cố định có tọa độ ( x0 ; y0). Khi đó :

y0 = ( 2m – 5 )x0 + 3 với mọi m 2x0m – 5x0 – y0 + 3 = 0 với mọi m

Vậy (d ) luôn đi qua một điểm cố định trên trục tung có tọa độ là ( 0 ; 3 )

Chú ý đề bài 1:

* Ta luôn so sánh m tìm được với điều kiện của đề bài là m ( điều này rất rất hay quên)

* Nếu đề bài chỉ Cho phương trình bậc nhất mà không cho điều kiện ta vẫn phải đặt điều kiện để phương trình là phương trình bậc nhất ( tức là phải có a 0 và lấy điều kiện đó để so sánh trước khi kết luận)

Đề bài 2:

Cho đường thẳng d có phương trình y = ( m + 1)x – 3n + 6 . Tìm m và n để :

  1. (d) song song với đường thẳng y = -2x + 5 và đi qua điểm ( 2 ; -1)

b, (d) song song với đường thẳng y = 3x + 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là -1

c, (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1

d, (d) song song với đường thẳng y = 2x + 3 và cắt đường thẳng y= 3x + 2 tại điểm có hoành độ là 1

e, (d) đi qua diểm ( -3 ; -3 ) và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3

f, (d) đi qua ( 2 ; -5 ) và có tung độ gốc là -3

g, (d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) và ( -3 ; 1 )

Giải :

  1. (d) song song với đường thẳng y = -2x + 5 và đi qua điểm ( 2 ; -1)

  • (d) song song với đường thẳng y = -2x + 5

  • (d) đi qua điểm ( 2 ; -1) -1 = ( m + 1).2 – 3n +6 2m - 3n = -9

Thay m = -3 vào ta có 2. (-3) – 3n = -9 n = 1 ( thỏa mãn )

Vậy m = -3 , n = 1

  1. (d) song song với đường thẳng y = 3x + 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là -1

  • (d) song song với đường thẳng y = 3x + 1

  • (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là -1 0 = ( m + 1 ). (-1) – 3n + 6 m + 3n = 5

Thay m = 2 vào ta được 2 + 3n = 5 n = 1 ( thỏa mãn ) .Vậy m = 2 , n = 1

  1. (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1

* (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 0 = ( m + 1 ). – 3n + 6 m - 2n = -5

  • (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1 1 = -3n + 6 n = .

Thay vào phương trình m - 2n = -5 ta có m - 2. = -5 m = - .Vậy n = , m = -

  1. (d) song song với đường thẳng y = 2x + 3 và cắt đường thẳng y= 3x + 2 tại điểm có hoành độ là 1

  • (d) song song với đường thẳng y = 2x + 3

  • (d) cắt đường thẳng y= 3x + 2 tại điểm có hoành độ là 1

.

Thay m = 1 vào ta có 1 – 3n = - 2 n = 1( không thỏa mãn )

Vậy không có giá trị nào của m và n thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chú ý : Ta thường quên so sánh với điều kiện nên dẫn đến kết luận sai


  1. (d) đi qua diểm ( -3 ; -3 ) và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3

  • (d) đi qua diểm ( -3 ; -3 )

  • (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3

Thay vào phương trình m + n = 2 ta được m + 1 = 2 m = 1

Vậy m = 1 , n = 1


  1. (d) đi qua ( 2 ; -5 ) và có tung độ gốc là -3

  • (d) đi qua diểm ( 2 ; -5 )

  • (d) có tung độ gốc là -3

Thay vào phương trình 2m - 3n = -13 ta được 2m – 3.3 = -13 m = -2

Vậy m = -2 , n = 3


  1. (d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) và ( -3 ; 1 )

(d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) và ( -3 ; 1 )

Vậy m = 0 , m =

Đề bài 3:

Cho hai hàm số bậc nhất y = ( m + 3 )x + 2m + 1 và y = 2mx - 3m - 4 có đồ thị tương ứng là (d1) và (d2). Tìm m để :

a. (d1) và (d2) song song với nhau , cắt nhau , trùng nhau

b. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung

c. (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục hoành

d. (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bên phải trục tung

e. (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bên dưới trục hoành

f. (d1) cắt (d2) tại điểm ( 1 ; -2 )

g. Chứng tỏ khi m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn đi qua một điểm cố định , đường thẳng (d2) luôn đi qua một điểm cố định.

Giải :Để các hàm số đã cho là các hàm số bậc nhất ta phải có :

Chú ý : Điều kiện trên luôn được dùng so sánh trước khi đưa ra một kết luận về m

a. (d1) và (d2) song song với nhau , cắt nhau , trùng nhau

(d1) và (d2) song song với nhau

(d1) và (d2) cắt nhau

(d1) và (d2) trùng nhau ( vô nghiệm )

Kết hợp với các điều kiện ta có:

Với m = 3 thì (d1) và (d2) song song với nhau

, , thì (d1) và (d2) cắt nhau

Không có giá trị nào của m để (d1) và (d2) trùng nhau

b. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung

  • (d1) và (d2) cắt nhau

  • (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung khi

Kết hợp với các điều kiện ta có với m = -1 thì (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung.

Chú ý : Giao điểm của ( d1) và ( d2) với trục tung lần lượt là ( 0 ; 2m + 1) và ( 0 ; -3m -4 ) nên chúng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung khi hai điểm đó trùng nhau, tức là 2m+1 = -3m 4. Do đó lời giải trên nhanh mà không phải làm tắt.

c. (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục hoành

  • (d1) và (d2) cắt nhau

  • Thay y = 0 vào phương trình đường thẳng (d1) và (d2) ta có

( Vì , )

Giao điểm của (d1) và (d2) với trục hoành lần lượt là

  • (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục hoành khi

Phương trình trên là phương trình bậc hai có a - b + c = 0 nên có hai nghiệm m1 = -1 ; m2 = 12

Kết hợp với các điều kiện ta có m = -1 hoặc m = 12 thì d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục hoành

Chú ý : Phải kết hợp với cả ba điều kiện là , , rồi mới kết luận.

d. (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bên phải trục tung

  • (d1) và (d2) cắt nhau

  • Hoành độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của phương trình ẩn x sau :

( vì m 3 )

  • (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bên phải trục tung khi hoành độ giao điểm dương

Kết hợp với các điều kiện ta có

e. (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bên dưới trục hoành

  • (d1) và (d2) cắt nhau

  • Hoành độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của phương trình ẩn x sau :

( vì m 3 )

Thay vào phương trình đường thẳng ( d1) ta có

* (d1) cắt (d2) tại điểm nằm bên dưới trục hoành khi tung độ giao điểm âm

Nên (*) tương đương với m-3<0

Kết hợp với các điều kiện ta có : là giá trị cần tìm

f. (d1) cắt (d2) tại điểm ( 1 ; -2 )

  • (d1) và (d2) cắt nhau

  • (d1) cắt (d2) tại điểm ( 1 ; -2 )

Kết hợp với các điều kiện ta có m = -2 là giá trị cần tìm.

g. Chứng tỏ khi m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn đi qua một điểm cố định , đường thẳng (d2) luôn đi qua một điểm cố định.

Giả sử khi m thay đổi các đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm ( x0 ; y0 ) , tức là :

Vậy khi ma thay đổi thì các đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm ( -2 ; -5 ) cố định

Chú ý : Với đường thẳng ( d2 ) ta làm tương tự , điểm cố định là

Đề bài Cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình y = -2x + 4 và y = 2x - 2

  1. Tìm tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng trên.

  2. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đường thẳng d1 và d2

  3. Gọi B và C lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với trục hoành; D và E lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với trục tung.Tính diện tích các tam giác ABC , ADE , ABE.

  4. Tính các góc tạo bởi đường thẳng d1 và d2 với trục hoành.

Giải :a, Tìm tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng trên.

Giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình sau :

Vậy giao điểm A của hai đường thẳng là A

b, Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đường thẳng d1 và d2

  • Xét đường thẳng (d1) : y = -2x + 4

Với x = 0 y = 4 ; y = 0 x = 2. Đường thẳng (d1) đi qua hai điểm ( 0 ; 4 ) và ( 2 ; 0 )

  • Xét đường thẳng (d2) : y = 2x - 2

Với x = 0 y = -2 ; y = 0 x = 1. Đường thẳng (d1) đi qua hai điểm ( 0 ; -2 ) và ( 1 ; 0 )




















  1. Gọi B và C lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với trục hoành; D và E lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với trục tung.Tính diện tích các tam giác ABC , ADE , ABE.

Ta có : A , B( 2 ; 0 ) , C ( 1 ; 0 ) , D( 0 ; 4 ) và E( 0 ; -2 )

Do đó : BC = | 2 1| = 1 , DE = | 4 - (-2)| = 6 , BO = | 2 0 | = 2

Gọi AH là đường cao của ABC , AK là đường cao của ADE AH = 1 , AK =

Gọi , , , lần lượt là diện tích của các tam giác ABC , ADE , BDE , ABE.

Ta có :

( đơn vị diện tích )

( đơn vị diện tích )

( đơn vị diện tích )

( đơn vị diện tích )

  1. Tính các góc tạo bởi đường thẳng d1 và d2 với trục hoành.

Góc tạo bởi đường thẳng d1 và d2 với trục hoành lần lượt là

Tam giác OBD vuông tại O có :


Tam giác OCE vuông tại O có :

Vậy góc tạo bởi đường thẳng d1 và d2 với trục hoành cùng là 63,40.


II. CHÚ Ý : Khi đề bài không cho điều kiện của tham số m mà nói là cho hàm số bậc nhất thì khi làm bài ta vẫn phải tìm điều kiện để có phương trình bậc nhất và dùng điều kiện này để so sánh trước khi kết luận

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: (3,0 điểm).

Cho đường thng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d).

a) Chng minh rng đường thng (d) luôn đi qua mt đim c định vi mi giá trị của m.

b) Tính giá tr ca m để khong cách t gc to độ O đến đường thng (d) là ln nht.

Bài 2 (1,5 điểm)

Tìm hai số thực dương a , b sao điểm M có toạ độ (a ;b2 +3) và điểm N

Có toạ độ ( ; 2 ) cùng thuộc đồ thị của hàm số : y = x2 .

Bài 3 (2,5 điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho parabol (P): y = x2 và điểm D(0;1).

  1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm D(0;1) v à có hệ số góc k.

  2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phận biệt G và H với mọi k.

  3. Gọi hoành độ của hai điểm G và H lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng: x1.x2 = -1, từ đó suy ra tam giác GOH là tam giác vuông.

Câu 4 (1 điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y = (m2 – 3m)x +m và đường thẳng (d): y = 4x + 4. Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d).

Bài 5 (2.0 điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và các điểm C, D thuộc parabol (P) với xc = -1, xD = 2

1.Tìm toà độ các điểm C, D và viết phương trình đường thẳng CD.

2.Tìm p để đường thẳng (d): y = (2p2-p)x+p+1(với p là tham số) song song với đường thẳng CD.

Câu 6: Cho hàm số : y = ax + b (1)

  1. Xác định giá trị của a và b để đồ thị của hàm số (1)đi qua điểm A(1;5) và B(-2:-1)

  2. Chứng tỏ rằng các đường thẳng AB và các đường thẳng y = x + 5 ,

y = 3x + 1 đồng quy.

Câu 7: Cho Parabol (P) : y = 1/4 x2 và đường thẳng (d) : y = 1/2 x + 2.

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.

b) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d). Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất.

c) Tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA + NB ngắn nhất.

Câu 8: (2 điểm)

1.Cho hàm số: ; với tham số.

a) Tính theo tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy. H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của để

b) Tìm quỹ tích (tập hợp) trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Câu 9: (2điểm)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng(d): y = mx +1 và parabol(P): y = 2x2.

  1. Tìm m để (d) đi qua A(1;3)

  2. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2). Hãy tính giá trị của T = x1x2 + y1y2

Câu 10 (2 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = x + n – 1 và parabol (P) : y = x2

  1. Tìm n để (d) đi qua điểm B(0;2)

  2. Tìm n để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: 4


HƯỚNG DẪN

Câu 1


3,0 đ

a.

(1,5đ)

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d) đi qua điểm cố định N(xo,yo) là:

(m – 2)xo + (m – 1)yo = 1, với mọi m

mxo – 2xo + myo – yo – 1 = 0, với mọi m

(xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = 0 với mọi m

Vậy các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định N (-1; 1).



0,5 đ



0,5 đ




0,5 đ

b.

(1,5đ)

+ Với m = 2, ta có đường thẳng y = 1

do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1)

+ Với m = 1, ta có đường thẳng x = -1

do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2)

+ Với m ≠ 1 và m ≠ 2

Gọi A là giao điểm của đường thẳng (d) với trục tung.

Ta có: x = 0 y = , do đó OA = .

Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) với trục hoành.

Ta có: y = 0 x = , do đó OB =

Gọi h là khoảng cách Từ O đến đường thẳng (d). Ta có:

.

Suy ra h2 2, max h = khi và chỉ khi m = . (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra Max h = khi và chỉ khi m = .



0,5 đ





0,5 đ





0,5 đ


8

1.a

Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A

Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B

Ta có: AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên: Hay


0,25






0,5

2,0

1.b

Hoành độ trung điểm I của AB:

Tung độ trung điểm I của AB:

Ta có: Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là đường thẳng


0,25



0,25

2

Hệ luôn có nghiệm duy nhất

Vì từ (2)

Thay vào (1) ta được:

(m+1)x + m(- m2 +mx + 2) = 2m -1

(m2 + m + 1)x = m3 - 1

Mà m2 + m + 1 =

Hệ có nghiệm duy nhất là:

Ta có P = xy = (m -1)(2- m) = - m2 + 2m + m - 2

=

=

Dấu “=” xảy ra

Vậy giá trị lớn nhất của P là MaxP =








0,25


0,25









0,25

Câu 9

    1. Thay x =1; y = 3 vào (d) ta được: m.1 +1 = 3 suy ra m = 2

    2. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2x2 = mx + 1 2x2 – mx - 1 = 0

Ta có a = 2, b = -m, c = -1 phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m nên (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phâ

biệt A(x1;y1) và B(x2;y2) với mọi m. Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Ta có T = x1.x2+ y1y2 Mà y1= 2x12 và y2 = 2x22 nên T = x1x2 + 2x2.2x22 =

Câu 10

  1. Thay x = 0; y = 2 vào phương trình đường thẳng (d) ta được: n = 3

  2. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2 – x – (n - 1) = 0 (*)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt x1; x2

.

Khi đó theo định lý Vi ét ta có:

Theo đề bài: 4

Vậy n = 2 là giá trị cần tìm.



DNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÍ VIÉT


I. VÍ DỤ

Đề bài 1: Cho phương trình x2 – (2m-1)x + m – 1 = 0

  1. Giải phương trình với

  2. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

  3. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

  4. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

  5. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

  6. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

  7. Tìm m để phương trình có nghiệm dương

  8. Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau

  9. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 5x2 = -1

  10. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

  11. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình

  12. Tìm GTNN của

  13. Tìm GTLN của

  14. Khi phương trình có hai nghiệm x1 và x2 , chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào m

Giải :

a. Giải phương trình với

Với ta có phương trình :

phương trình có hai nghiệm phân biệt :

Vậy với phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

  1. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m


  1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi

Vậy với m<1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.


  1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi

Vậy với m > 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.


  1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Phương trình có hai nghiệm cùng dương khi

Vậy với m > 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương.


f. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Phương trình có hai nghiệm cùng âm khi

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng âm.

  1. Tìm m để phương trình có nghiệm dương

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Để phương trình có nghiệm dương ta có các trường hợp sau :

  • Phương trình có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0

Thay x = 0 vào phương trình ta có m - 1 = 0 hay m = 1. Thay m = 1 vào phương trình ta được

x2 - x = 0 ( thỏa mãn )

  • Phương trình có hai nghiệm cùng dương, điều kiện là :

  • Phương trình có hai nghiệm trái dấu, điều kiện là :

Kết hợp cả ba trường hợp ta có với mọi m thì phương trình đã cho có nghiệm dương

  1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2­ với mọi m

Theo định lí Viet ta có x1.x2 =

Phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau khi x1.x2 = 1

Vậy với m = 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau.

  1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 5x2 = -1

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2­ với mọi m

Theo định lí Viet và đề bài ta có :

Nhân hai vế của (1) với 5 sau đó trừ các vế tương ứng cho (3) ta được :

5x1 + 5x2 – 2 x­1 – 5x2 = 10m – 5 + 1 (4)

Thay (4) vào (1) ta có : (5)

Thay (4) và (5) vào (2) ta được phương trình :

Vậy với thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài.

  1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2­ với mọi m

Theo định lí Viet ta có :

Theo đề bài :

Thay (1) và (2) vào (3) ta có (2m – 1)2 – 2(m – 1) = 1

Phương trình có dạng a + b + c = 0 nên có hai nghiệm là m1 = 1 ; m2 =

Vậy với thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài.

  1. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2­ với mọi m. Theo định lí Viet ta có :

Vậy hệ thức cần tìm là

  1. Tìm GTNN của

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2­ với mọi m

Theo định lí Viet ta có :

Đặt A =

Thay (1) và (2) vào ta có

với mọi m (3)

Dấu bằng xảy ra khi (2m - 2)2 = 0

Vậy GTNN của là 1 xảy ra khi m = 1

  1. Tìm GTLN của

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2­ với mọi m

Theo định lí Viet ta có :

Ta có (3)

Thay (1) và (2) vào (3) ta được :

Dấu bằng xảy ra khi (m – 2)2 = 0 hay m = 2

Vậy GTLN của là 2 khi m = 2

  1. Khi phương trình có hai nghiệm x1 và x2 ,

chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào m :

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2­ với mọi m. Theo định lí Viet ta có :

Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của m.



Đề bài 2. Cho phương trình (m+1)x2 - 2(m+2)x + m + 5 = 0

  1. Giải phương trình với m = -5

  2. Tìm m để phương trình có nghiệm

  3. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

  4. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

  5. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

  6. *Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

  7. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + 3x2 = 4

  8. Tìm m để phương trình có hai nghiệm mà tích của chúng bằng -1

  9. Khi phương trình có hai nghiệm x1 , x2 .Tính theo m giá trị của

  10. Tìm m để A = 6

  11. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 trong đó có một nghiệm là . Khi đó hãy lập phương trình có hai nghiệm là

Giải :

  1. Giải phương trình với m = -5

Thay m = -5 vào phương trình ta có : -4x2 + 6x = 0

Vậy với m = -5 , phương trình có hai nghiệm là 0 và

  1. Tìm m để phương trình có nghiệm

  • Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 . Phương trình có một nghiệm x = 2

  • Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có nghiệm khi

Tóm lại phương trình có nghiệm khi

  1. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

  • Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2

  • Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có nghiệm duy nhất khi ( thỏa mãn )

Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất khi

Chú ý : Trường hợp phương trình bậc hai có cũng được coi là có nghiệm duy nhất


  1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

  • Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2

  • Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

Tóm lại phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

  1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

  • Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2

  • Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0

Vậy với -5 < m < -1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Chú ý :

Giải BPT ( m + 1 )( m + 5 ) < 0 (1) có cách nhanh hơn như sau :

Để (1) xảy ra thì m + 1 và m + 5 là hai số trái dấu. Ta luôn có m + 1 < m + 5 nên (1) xảy ra khi

Trường hợp chỉ cần biết kết quả của các BPT dạng như (1), hãy học thuộc từ ngoài cùng trong khác và dịch như sau : ngoài khoảng hai nghiệm thì vế trái cùng dấu với hệ số a, trong khoảng hai nghiệm thì vế trái khác dấu với hệ số a ( hệ số a là hệ số lũy thừa bậc hai của vế trái khi khai triển, nghiệm ở đây là nghiệm của đa thức vế trái )

Ví dụ với BPT (1) thì vế trái có hai nghiệm là -1 và -5 , dạng khai triển là m2 + 6m + 5 nên hệ số a là 1 >0. BPT cần vế trái < 0 tức là khác dấu với hệ số a nên m phải trong khoảng hai nghiệm, tức là -5 < m < -1. Còn BPT ( m + 1 )( m + 5 ) > 0 (2) sẽ cần m ngoài khoảng hai nghiệm (cùng dấu với hệ số a), tức là m < -5 hoặc m > -1

Một số ví dụ minh họa :


  1. *Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

  • Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2

  • Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có hai nghiệm cùng dương khi

Chú ý :

Để tìm nghiệm của hệ bất phương trình (I) ta lấy nháp vẽ một trục số, điền các số mốc lên đó và lấy các vùng nghiệm. Sau đó quan sát để tìm ra vùng nghiệm chung và kết luận. Việc làm đó diễn tả như sau :









ở hình trên các đường (1) ; (2) ; (3) lần lượt là các đường lấy nghiệm của các bất phương trình (1) ; (2) ; (3) trên trục số. Qua đó ta thấy m<-5 hoặc -1 < m < là các giá trị chung thỏa mãn cả ba bất phương trình (1) ; (2) ; (3) nên đó là tập nghiệm của hệ bất phương trình (I)


  1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + 3x2 = 4

  • Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2

  • Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó là phương trình bậc hai có

Tức là

Khi đó theo đề bài và định lí Viet ta có

Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình

Thay vào (2) ta có phương trình :

Vậy là giá trị cần tìm.

  1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm mà tích của chúng bằng -1

  • Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2

  • Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó là phương trình bậc hai có

Tức là

Khi đó theo định lí Viet ta có x1.x2 =

Vậy để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn tích hai nghiệm bằng -1 thì m phải thỏa mãn điều kiện (1) và

Vậy m = -3 là giá trị cần tìm.

  1. Khi phương trình có hai nghiệm x1 , x2 .Tính theo m giá trị của

  • Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2

  • Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó là phương trình bậc hai có

Tức là Khi đó theo định lí Viet :

  1. Tìm m để A = 6

Kết hợp với điều kiện ta có m = -2 là giá trị cần tìm.

  1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 trong đó có một nghiệm là . Khi đó hãy lập phương trình có hai nghiệm là

  • Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2

  • Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó là phương trình bậc hai có

Tức là

Thay x = vào phương trình đã cho ta có

(m+1).( )2 - 2(m+2). + m + 5 = 0 m+1 - 4m - 8 + 4m + 20 = 0 m = -13 ( thỏa mãn (1))

Vậy với m = -13 thì phương trình có hai nghiệm x1 , x2 trong đó có một nghiệm là .

Thay m = -13 phương trình trở thành -12x2 + 22x - 8 = 0 6x2 - 11x + 4 = 0

Theo định lí Viet : . Khi đó :

Do đó phương trình cần tìm có dạng y2 - 7y + 6 = 0 (2)

Chú ý :

Phương trình (2) không nên lấy ẩn là x vì dễ gây nhầm lẫn với phương trình của đề bài

II. CHÚ Ý :

Khi gặp phương trình có tham số ( thường là m) ở hệ số a (hệ số của lũy thừa bậc hai)ta cần xét riêng trường hợp hệ số a = 0 để kết luận trường hợp này có thỏa mãn yêu cầu của đề bài hay không. Sau đó xét trường hợp a khác 0, khẳng định đó là phương trình bậc hai rồi mới được tính .

II : BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 :(3.0 điểm) Gi¶i ph­¬ng tr×nh

Bµi 2:

Cho ph­¬ng tr×nh x2 + (2m - 1)x - m = 0 cã 2 nghiÖm x1, x2.

T×m m ®Ó x12 + x22 - 6 x1 x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

Bài 3: (5,0 điểm).Giải các phương trình.

a) +

b)

Bài 4: (5,0 điểm).

Cho phương trình : .

a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa .

b) Giải phương trình .

Câu 5: (6,0 điểm).

1) Cho phương trình : ( a là tham số)

a) Giải phương trình trên.

b ) Tìm các giá trị nguyên dương của a để phương trình có nghiệm x là số nguyên tố.

Câu 6 🙁5,0 điểm).

1.Cho phương trình . Tìm để phương trình

có hai nghiệm thực phân biệt , thỏa mãn .

Cõu 7 🙁Cho phương trình: x2 - 2(m - 1) x -3 - m = 0

a, Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b, Tìm m sao cho nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện: x12 + x22 10 .

Cõu 8 :Cho phương trình: x2 - 2m x +2m -1 = 0

a, Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm x1 ; x2 với mọi m.

b, Đặt A = 2 (x12 + x22 ) - 5x1 x2

- Chứng minh : A = 8m2 - 18m + 9

- Tìm m sao cho A = 27

c, Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia .

Cõu 9 :. Cho phương trình: (m-1)x2 - 2(m-1) x -m = 0

a, Xác định m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.

b, Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.

Cõu 10 :. Cho phương trình: x2 - (2m - 3) x + m2 +3m = 0

a, Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.

b, Tìm m sao cho nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện: 1<x1 < x2 <6 .


Cõu 11 :. Cho phương trình: (m+2)x2 - (2m - 1) x - 3+ m = 0

a, Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.

b, Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 và khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia.

Cõu 12 :. . Cho phương trình: x2 - 4 x +m +1 = 0

a, Xác định m để phương trình luôn có nghiệm.

b, Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm thoả mãn x12 + x22 = 10

Câu 13 :. Cho phương trình : có 2 nghiệm . Lập hệ thức liên hệ giữa sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Câu 14 :. : Gọi là nghiệm của phương trình : . Chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc giá trị của m.

Câu 15: (2.0 điểm)

Cho phương trình ẩn x : (1)

1) Giải phương trình (1) khi m = 2.

2) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt thoả mãn .

Câu 16: (2.0 điểm)

1) Giải phương trình :

2) Cho là hai nghiệm của phương trình .

Đặt . Tìm số dư khi chia cho 5.

Bài 17:Cho phương trình : x2 -(2m+1)x + m2+m -1= 0

1.Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

2.Chứng minh có một hệ thức giữa hai nghiệm số không phụ thuộc vào m.







HƯỚNG DẪN

Bài 3

(3.0 đ)


Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

(1)

Đặt (đk t >1), phương trình (1) trở thành:

(4x-1)t=2t2+2x-1 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 (2)

Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn t, khi đó phương trình (2) có:

Phương trình (2) ẩn t có các nghiệm là:

t1=2x-1 và t2= (loại)

Với t1=2x-1, ta có:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:



0,5đ





0,5đ





1,0đ





0,75đ




0,25đ

Bài 3

(3.0 đ)


Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi ph­¬ng tr×nh:

(1)

§Æt (®k t >1), ph­¬ng tr×nh (1) trë thµnh:

(4x-1)t=2t2+2x-1 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 (2)

Coi (2) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn t, khi ®ã ph­¬ng tr×nh (2) cã:

Ph­¬ng tr×nh (2) Èn t cã c¸c nghiÖm lµ:

t1=2x-1 vµ t2= (lo¹i)

Víi t1=2x-1, ta cã:

VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ:



0,5đ





0,5đ





1,0đ





0,75đ




0,25đ

Bài 2:

2,5 điểm





Ta có x12 + x22 - 6 x1 x2 = ( x1 + x2)2 - 8 x1x2

= (1 - 2m)2 + 8m

= 4m2 + 4m + 1

= (2m + 1)2 0

khi đó x12 + x22 - 6 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi m=-1/2

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ






Câu 3:. a) x2 + 4x + 3 = ( x + 1)( x+ 3)

x2 + 8x + 15 = ( x +3)(x+5)

x2 + 12x + 35 = ( x +5)( x + 7)

x2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9)

ĐKXĐ : x -1; x -3; x -5; x -7; x -9

pt

5( x + 9 - x -1) = 2( x+1)( x+9) 2x2 + 20x + 18 - 40 = 0 x2 + 10x - 11 = 0

Phương trình có dạng a + b + c = 0 x1 = 1; x2 = -11 x1; x2 thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =

b) ĐKXĐ: x -2. ( 0,5 điểm)

Pt <=>| + | -3| = 1

  • | + | 3 - | = 1

áp dụng BĐT |A|+ |B| | A + B| ta có : | + | 3 - | 1

Dấu "=" xảy ra khi : ( )( 3 - ) 0 2 3 2 x 7

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =

Câu 4:. a) điều kiện :

Đặt = a ; = b ( a ; b 0) .

Vì ab + 4 > 0 nên :

Câu 5


4,0 đ

a.

(2,0đ)

Để x = là nghiệm của phương trình (1) thì :

a (2) và - a (3)

Giải(2) ta được a 1, a 0

Giải (3) ta có: a 0 , a -3

Vậy : a = 0 phương trình có vô số nghiệm x 0

a = - 3 ; a= 1 phương trình vô nghiệm.

a 1; a -3 và a 0 phương trình có nghiệm duy nhất

x =

0,5 đ




0,5 đ




0,5 đ




0,5 đ

b.

(2,0đ)

Theo câu a:

Với a = 0 thì phương trình có vô số nghiệm x 0 (loại do a >0)

Với a 1; a -3 và a 0 phương trình có nghiệm duy nhất

x =

Vì a là số nguyên dương và a 1nên:

Nếu a = 2 thì x = 3 , là số nguyên tố (thỏa mãn)

Nếu a > 2 thì a = 2k hoặc a = 2k + 1 với k N, k > 1

Xét a = 2k thì x = k(2k + 1) là tích của hai số tự nhiên lớn hơn 1 nên x là hợp số. (loại)

Xét a = 2k +1 thì x = (2k +1)(k+1) là tích của hai số tự nhiên lớn hơn 1 nên x là hợp số. ( loại)

Vậy a =2 thì nghiệm của phương trình x = 3 là số nguyên tố.



0,5 đ


0,5 đ


0,5 đ



0,5 đ


6

(5,0đ)

1

(2,5đ)

PT đã cho có hai nghiệm phân biệt có điều kiện:

(*)

0,50



Với theo Vi-et ta có: .

0,25



Ta có (1)

0,50



0,50



. Đặt do

0,50


Cõu 7:Giải:

a, Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Ta có: x2 - 2(m - 1) x - (3 + m) = 0

Có biệt số : = (m - 1)2 + ( m + 3) = +

> 0 với mọi giá trị m P. trình luôn có hai nghiệm với mọi m.

b, Tìm m sao cho nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện: x12 + x22 10 .

Ta có: x12 + x22 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 10

4 (m - 1)2 + 2(m + 3) 10 4m2 -6m 0

m2 - m +

Cõu 8:Giải:

a, Ta có: = m2 - (2m - 1) = (m - 1)2 0 với mọi m Phương trình luôn có nghiệm x1 ; x2 với mọi m.

b, Đặt A = 2 (x12 + x22 ) - 5x1 x2

áp dụng định lý Vi ét: x1 +x2 = 2m ; x1x2 = 2m-1

- Chứng minh : A = 8m2 - 18m + 9

A = 2 (x12 + x22 ) - 5x1 x2 = 2(x1 + x2)2 - 4x1x2- 5x1 x2 = 2(x1 + x2)2 - 9x1 x2

= 2 (2m)2 - 9 (2m - 1) = 8m2 -18m +9

- Tìm m sao cho A = 27

A= 27 8m2 -18m +9 = 27 8m2 -18m -18 = 0 4m2 -9m - 9 = 0

= 99 +4.4.9 = 225 = 152

m1/2 =

c, Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia .

Giả sử: x1 = 2x2 3x2 =2m (1)

2x22 = 2m - 1 (2)

Lấy (2) Trừ đi (1) ta có 2x22 -3x2 + 1 = 0

Với x2 = 1 x1 = 2 m =

Với x2 = x1 = 1 m =

Cõu 9:Giải:

a, Xác định m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.

P.trình có nghiệm kép nếu: m =

Vậy: m = thì phương trình có nghiệm kép:

x1 = x2 = (- ) = -

b, Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm thì.

Vậy: 0 < m < 1

Cõu 10:Giải:

a, Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.

Xét: = (2m +3)2 - 4 (m2 - 3m) = 9 >0

Phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt.

x1/2 = x1 = m - 3 và x2 = m

b, Tìm m sao cho nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện: 1<x1 < x2 <6 .

Với mọi m ta đều có: m - 3 < m ta chỉ cần xác định m để :

1< m - 3 < m < 6 4 < m < 6

Vậy với 4 < m < 6 thì phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện:

1<x1 < x2 <6 .

Cõu 11 :. Giải:

a, Xét 2 trường hợp.

*Trương hợp 1: m+2=0 m = -2 Phương trình trở thành 5x = 5 x = 1 là nghiệm

*Trương hợp 1: m+2 0 m -2 Ta có phương trình bậc hai:

= (2m - 1)2 -4(m+2)(m-3) = 1= 25 = 52 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b, Khi m -2 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1= . Cần tìm m để cho x1=2x2 hoặc x2 = 2x1.

*x1=2x2

x2 = 2x1

Cõu 12 :. Giải:

a, Xét

Phương trình có nghiệm 3 -m

b, Ta có khi m 3 thì phương trình có 2 nghiệm thoả mãn x1 + x2 = 4 và x1.x2 = m+1

Ta cần xác định m để:

Câu 13 :. Để phương trình trên có 2 nghiệm x1x2 th ì :

Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :

Rút m từ (1) ta có :

(3)

Rút m từ (2) ta có :

(4)

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:

Câu 14 :. Để phương trình trên có 2 nghiệm x1x2 th ì :

Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :

thay vào A ta có:

Vậy A = 0 với mọi . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m

câu 15

2 điểm

1)

1,0điểm

Với m = 2 phương trình (1) có dạng: (2)

Đặt y = x2 thì pt (2) có dạng (3)

0.25


Giải pt (3) ta được (thoả mãn)

0.25


0.25


Phương trình đã cho có bốn nghiệm

0.25


2)

1,0điểm

Đặt thì pt (1) trở thành

(4) có

0.25


Để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt thì pt (4) phải có hai nghiệm dương phân biệt

(*)

0.25


Giả sử

Do đó :

0.25


kết hợp với ĐK (*) ta được m =

0.25


câu 16

2 điểm

1)

1,0điểm

ĐK : . Đặt ta có phương trình:

+) Với a = b ta có (thoả mãn ĐK)

+) Với b = 10a ta có

Giải phương trình ta được : (Đều thoả mãn ĐK)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm

1.0

2)

1,0điểm

Ta tính được

Chứng minh tương tự ta có . Do đó :

cùng số dư khi chia cho 5 cùng số dư khi chia cho 5 mà cùng số dư khi chia cho 5 mà vì vậy khi chia cho 5 có số dư là 1

1.0

Bài 17:Giải:

1. Ta có : = (2m +1)2 - 4.(m2 + m - 1) = 5 > 0

suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi m

2.Theo vi-et ta có:

Từ (1) suy ra: thay vào (2) ta có:

.

Ta có đpcm.













DẠNG IV: HỆ PHƯƠNG TRÌNH


§Ò bµi 1: Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau :

a) b) c)

d) ( §Æt Èn phô ) e) ( ®èi xøng lo¹i 1 )

f) ( ®èi xøng lo¹i 2 ) g) ( ®¼ng cÊp bËc hai )


Gi¶i :

a)

VËy hÖ cã mét nghiÖm lµ : ( x ; y ) = ( -1 ; 2 )


Ph­¬ng tr×nh (2) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai cã a + b + c = 0 nªn cã hai nghiÖm lµ

Víi y = y1 = 1 thay vµo (1) ta cã x = 5 – 2.1 = 3

Víi y = y2 = 2 thay vµo (1) ta cã x = 5 – 2.2 = 1

VËy hÖ ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ( x ; y ) lµ ( 3 ; 1 ) vµ ( 1 ; 2 )


Tõ (1) => x - y = 0 hoÆc x2 + xy + y2 + 7 = 0

  • NÕu x – y = 0 x = y thay vµo (2) ta cã :

. Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt :

  • HÖ cã nghiÖm

  • NÕu x2 + xy + y2 + 7 = 0 kÕt hîp víi (2 ta cã hÖ :

§Æt x+y = S , xy = P ta cã hÖ

Ph­¬ng tr×nh (*) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai cã nªn (*) v« nghiÖm. HÖ v« nghiÖm

VËy hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lµ

d) . §iÒu kiÖn

§Æt ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh :

Do ®ã ( tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn )

VËy hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ

e)

§Æt x+y = S , xy = P ta cã hÖ

Ph­¬ng tr×nh S2 – S – 2 = 0 cã d¹ng a - b + c = 0 nªn cã hai nghiÖm lµ S1 = -1 , S2 = 2

  • Víi S = S1 = -1 ta cã P = -7 + 1 = -6 .

x vµ y lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai sau : A2 + A - 6 = 0

. Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm :

=> HÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm ( 2 ; -3 ) vµ ( -3 ; 2 )

  • Víi S = S2= 2 ta cã P = -7 - 2 = -9 . => Tù lµm tiÕp.

KÕt luËn : HÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm lµ :

( 2 ; -3 ) , ( -3 ; 2 ) ,


f)

Trõ tõng vÕ hai ph­¬ng tr×nh cña hÖ ta cã :

  • NÕu x - y = 0 x = y thay vµo (1) ta cã 2x2 + x = 3x2 - 2 x2 - x - 2 = 0

Ph­¬ng tr×nh cã d¹ng a – b + c = 0 nªn cã hai nghiÖm lµ x1 = -1 , x2 = 2

  • HÖ ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = y = -1 vµ x = y = 2

  • NÕu 5x + 5y – 1 = 0 thay vµo (1) ta cã :

Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm

Víi x = x1 = ta cã y = (1 – 5. ) : 5 =

Víi x = x2 = ta cã y = (1 – 5. ) : 5 =

KÕt luËn : HÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm ( x ; y ) lµ :

Chó ý : NÕu hÖ ®èi xøng bËc 3 th× c¸ch lµm vÉn thÕ nh­ng lêi gi¶i dµi vµ khã h¬n rÊt nhiÒu cÇn quan s¸t kÜ xem ë b­íc thø hai cã c¸ch nµo ®¬n gi¶n kh«ng

Víi y = 0 thay vµo hÖ ph­¬ng tr×nh ta cã : ( hÖ v« nghiÖm)

Víi y 0 chia hai vÕ cña (*) cho y2 ta ®­îc ph­¬ng tr×nh :

§Æt t = ta cã ph­¬ng tr×nh : 32t2 + 14t – 15 = 0

Ph­¬ng tr×nh trªn cã

Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm :

  • Víi t = t1 = . Thay vµo ph­¬ng tr×nh (2) ta cã :

Víi

Víi

  • Víi t = t2 = . Thay vµo ph­¬ng tr×nh (2) ta cã :

Víi y = 2

Víi y = -2

Tãm lai hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm ( x ; y ) lµ :


Chó ý : NÕu trong hÖ cã c¸c biÓu thøc cÇn ®iÒu kiÖn th× tr­íc khi gi¶i ta ph¶i t×m ®iÒu kiÖn cña biÕn tr­íc, sau ®ã dïng ®iÒu kiÖn nµy ®Ó so s¸nh tr­íc khi kÕt luËn vÒ nghiÖm cña hÖ



§Ò bµi 2: Cho hÖ ph­¬ng tr×nh:

      1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh víi m = 2

      2. Gi¶i vµ biÖn lu©n hÖ ph­¬ng tr×nh.

      3. T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt ( x ; y ) sao cho x < y.

      4. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ©m.

      5. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x + y > 1

      6. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tháa m·n x + y = -1.

      7. T×m m nguyªn ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt lµ nghiÖm nguyªn

      8. Víi ( x ; y ) lµ nghiÖm duy nhÊt cña hÖ .T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m.

Gi¶i :

  1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh víi m = 2 ( tù lµm )

  2. Gi¶i vµ biÖn lu©n hÖ ph­¬ng tr×nh.

Trõ tõng vÕ cña hai ph­¬ng tr×nh trªn ta cã :

    • NÕu m = 7 thay vµo hÖ ph­¬ng tr×nh ban ®Çu ta cã :

HÖ v« sè nghiÖm d¹ng ( 4 – 2t ; t ) víi t R

    • NÕu m = -5 thay vµo hÖ ph­¬ng tr×nh ban ®Çu ta cã :

HÖ v« nghiÖm

    • NÕu tõ (3) ta cã :

Thay vµo (2) ta cã:

Tãm l¹i :

  • NÕu m = -5 hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm

  • NÕu m = -7 hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã v« sè nghiÖm x = 4 – 2t , y = t víi t R

  • NÕu hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt:

Chó ý : Khi t×m ®­îc ta kh«ng nªn thay vµo (1) ®Ó t×m y v× khi ®ã hÖ sè cña y vÉn cßn m vµ ta l¹i ph¶i xÐt c¸c tr­êng hîp hÖ sã ®ã b»ng vµ kh¸c 0 ®Ó t×m y


  1. T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt ( x ; y ) sao cho x < y.

    • Theo c©u trªn, ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt khi .

    • Khi ®ã nghiÖm cña hÖ lµ :

Víi ta cã (x + 5)2 >0 . Nh©n hai vÕ cña (1) víi (x + 5)2 >0 ta ®­îc bÊt ph­¬ng tr×nh

KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã m < -5 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m

Chó ý :

  • Khi nh©n c¶ hai vÕ cña mét bÊt ph­¬ng tr×nh víi cïng mét biÓu thøc ta ph¶i chó ý xem biÓu thøc ®ã d­¬ng hay ©m ®Ó ®æi chiÒu hay kh«ng ®æi chiÒu bÊt ®¼ng thøc

  • NÕu ®Ò bµi cho lµm c©u c ( hoÆc d, e, f, g ) mµ kh«ng cho c©u b th× khi lµm, b­íc 1 ta ph¶i t×m ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt, khi ®ã ta tr×nh bµy nh­ c©u b tíi (3) vµ lËp luËn hÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi (3) cã nghiÖm duy nhÊt


  1. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ©m.

    • Theo c©u trªn, ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt khi .

    • Khi ®ã nghiÖm cña hÖ lµ :

HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt ©m khi

KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã m < -5 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m

Chó ý : NghiÖm ( x ; y ) cña hÖ ®­îc gäi lµ ©m nÕu x < 0 vµ y < 0. NghiÖm d­¬ng, kh«ng ©m, kh«ng d­¬ng cña hÖ còng t­¬ng tù.

  1. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x + y > 1

    • Theo c©u trªn, ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt khi .

    • Khi ®ã nghiÖm cña hÖ lµ :

HÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x + y > 1

KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã lµ gi¸ trÞ cÇn t×m

  1. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tháa m·n x + y = -1.

    • Theo c©u trªn, ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt khi .

    • Khi ®ã nghiÖm cña hÖ lµ :

HÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x + y = -1

KÕt hîp c¸c ®iÒu kiÖn ta cã m = - 23 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m

  1. T×m m nguyªn ®Ó hÖ cã nghiªm duy nhÊt lµ nghiÖm nguyªn

    • Theo c©u trªn, ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt khi .

    • Khi ®ã nghiÖm cña hÖ lµ :

HÖ cã nghiªm duy nhÊt lµ nghiÖm nguyªn khi lµ c¸c sè nguyªn

V× m nguyªn nªn m + 5 lµ ­íc cña 24 vµ 12

KÕt hîp ®iÒu kiÖn ta cã lµ c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m

  1. Víi ( x ; y ) lµ nghiÖm duy nhÊt cña hÖ. T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m.

Ta cã

Thay y = 0 vµo hÖ ta cã :

Thay m = 7 vµo hÖ ta ®­îc ( hÖ v« sè nghiÖm )

Do ®ã nÕu hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ( x ; y ) th×

VËy biÓu thøc cÇn t×m lµ x2 4x + 4y = 0


Bµi tËp tù lµm


Bµi 1 Giải các hệ phương trình sau :

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

§¸p ¸n

1) (0;2); (2;0) 2) 3)

4) 5) 6)

Bµi 2 Giaûi caùc heä phöông trình sau ( ®¼ng cÊp bËc hai ):

1) 2) 3)

Bµi 3. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh:

a) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh khi thay m = -1.

b) Gäi nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh lµ (x, y). T×m m ®Ó x2 + y2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.


Bµi 4. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh (a lµ tham sè).

a) Gi¶i hÖ khi a = 1.

b) Chøng minh r»ng víi mäi a hÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y 2.


Bµi 5 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m vµ n ®Ó c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh

a) cã nghiÖm (x ; y) = (1 ; 2)

b) cã nghiÖm (x ; y) = ( )


Bµi 6 Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau :


a) b) c) d)

e) f) g) h)

C©u 7: (2.0 ®iÓm)

Cho hÖ ph­¬ng tr×nh :

( víi m lµ tham sè )

1) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh khi .

2) T×m m ®Ó hÖ trªn cã nghiÖm duy nhÊt.

câu III

2 điểm

1)

1,0điểm

Thay m = 2 ta được hệ pt :

Điều kiện : . Giả sử hệ pt có nghiệm (x; y)

Từ hệ pt trên (3)

0.25

Giả sử ta có suy ra

mâu thuẫn với (3)

Tương tự x < y cũng suy ra mâu thuẫn . Vậy x = y

0.25

Thay x = y vào pt (1) ta có :

bình phương hai vế ta được

0.25

. Do đó x = y = 4.

Hệ phương trình có một nghiệm : (x; y) = (4; 4)

0.25

2)

1,0điểm

Theo cách chứng minh tương tự như trên ta chứng minh được : nếu hệ có nghiệm (x; y) thì x = y.

Khi đó hệ phương trình đã cho

0.25

Giả sử x0 là nghiệm duy nhất của phương trình (4) cũng là nghiệm của pt (4) do tính duy nhất

0.25

Khi thay vào hệ (II) ta có

0.25

Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm duy nhất (x; y) = (4; 4).

Vậy với thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

0.25

III. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. Giải và biện luận hệ phương trình

Phương pháp giải:

Cách 1: Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x

  • Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)

  • Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ

i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b

- Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm

- Nếu b 0 thì hệ vô nghiệm

ii) Nếu a 0 thì (1) x = , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Cách 2: Dùng định thức để giải và biện luận hpt

Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình:

Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:

4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)

Nếu m2 – 4 0 hay m 2 thì x =

Khi đó y = - . Hệ có nghiệm duy nhất: ( ;- )


ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4

Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R

iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm

Vậy: - Nếu m 2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = ( ;- )

- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R

- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm

Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

1) 2) 3)

2. Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

  • Giải hệ phương trình theo tham số

  • Viết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyên

  • Tìm m nguyên để f(m) là ước của k


Ví dụ 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

HD Giải:

để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m

Vậy với m hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) =

Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5

VD 2: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước

Cho hệ phương trình:

Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:

2x + y + = 3

HD Giải:

- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m 2

- Giải hệ phương trình theo m

- Thay x = ; y = vào hệ thức đã cho ta được:

2. + + = 3

=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12

3m2 – 26m + 23 = 0

m1 = 1 ; m2 = (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)

Vậy m = 1 ; m =

IV. BÀI TẬP VỀ NHÀ (Bài tập tổng hợp)

Bài 1:

Cho hệ phương trình (m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m =

b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0

d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương

Bài 2:

Cho hệ phương trình :

  1. Giải và biện luận hệ phương trình theo m

  2. Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy

  3. Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3:

Cho hệ phương trình

  1. Giải hệ phương trình khi m = 5

  2. Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1

  3. Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng

3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy

Bài 4:

Cho hệ phương trình:

  1. Giải hệ phương trình khi m = 1

  2. Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)

  3. Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm

Bài 5:

Cho hệ phương trình:

  1. Giải hệ phương trình khi m = 3

  2. Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)

  3. Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

  4. Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:

x - 3y = - 3

Bài 6:

Cho hệ phương trình:

a) Giải hệ phương trình khi .

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức .

Bài 7:

Cho hệ phương trình

  1. Giải hệ phương trình khi m = 5

  2. Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

  3. Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)

  4. Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy



DẠNG V: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

1. Phương pháp 1: Sử dụng công thức của định nghĩa căn bậc hai số học

Ví dụ 1: Giải phương trình

Giải

Ta có :

Giải x2=3x+4 ta được x=-1 ; x=4. Đối chiếu với điều kiện x thì nghiệm của phương trình là x=4

2. Phương pháp 2: Sử dụng hằng đẳng thức để đưa phương trình vô tỷ về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối .

Ví dụ 2: Giải phương trình : (2)

Giải :

Với điều kiện : x ta có :

(2)

+

+

* Nếu thì ta có : (thoã mãn)

* Nếu thì ta có : . Vậy phương trình có vô số nghiệm x thoã mãn

Chú ý: HS có thể sai lầm khi kết luận nghiệm

3. Phương pháp 3: Bình phương hai vế của phương trình vô tỷ đã cho để có phương trình hữu tỷ .

Ví dụ 3: Giải phương trình : (3)

Giải

Điều kiện:

Ta có (3) <=> (3’)

Hai vế của (3’) không âm, bình phương hai vế của (3’) ta được:

2x+5 =3x-5 +

(3’’)

Với ĐK: . Hai vế của(3’’) không âm nên ta bình phương hai vế của (3’’) ta được: 16( 3x-5) =36+x2 -12x

x2 - 60x+116=0 x=2 ; x=58.

Đối chiếu với các điều kiện thì nghiệm của phương trình là : x=2

Chú ý: ở cách giải này nếu không đặt điều kiện cho hai vế của phương trình đều không âm thì sẽ dễ mắc sai lầm, bởi có sự xuất hiện của nghiệm ngoại lai. Thật vậy ở trong ví dụ này nếu cho điều kiện rồi bình phương hai vế của (3) thì ta sẽ được 2x+5 +3x-5-2 (3’’’)

Bình phương hai vế của phương trình (3’’’) ta được : x2 - 60x+116 =0 <=> x=2 ; x=58.

Đối chiếu với các điều kiện thì phương trình có hai nghiệm x=2 ; x=58.Mà khi thử lại ta thấy x=2 là nghiệm.

Bài toán 7: Giải phương trình: (1)

Điều kiện để phương trình có nghĩa là : . Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:

. Giải phương trình này được . Thử lai chỉ có hai nghiệm x = 0; x = 6 thoả mãn đề cho.


4. Phương pháp 4: Phân tích thành nhân tử để xuất hiện những phương trình vô tỷ đơn giản hơn.

Ví dụ 4: Giải phương trình : (4)

Giải

Ta có (4) + (4’)

Với điều kiện : ta có :

(4’)

(loại)

(vô lý)

vậy phương trình đã cho vô nghiệm


Bài toán 6: Giải phương trình: (1)

Phương trình (1) có nghĩa khi x < 5 nên

> 0 nên . Thử lại đúng nên nghiệm của phương trình là .

Bài toán 17: Giải phương trình .

Điều kiện của phương trình:

Ta có

hoặc hoặc hoặc .

là một nghiệm của phương trình.



5. Phương pháp 5: Đặt ẩn phụ.

a) Đặt ẩn phụ để có phương trình bậc hai

Ví dụ 5 : Giải phương trình : 3x2 +6x+20 = (5)

Giải

Ta có (5) <=> 3( x2 +2x+8)- 4=

Vì x2+2x+8=(x+1)2 +7 => TXĐ : Mọi x

Dặt t= => t . Khi đó ta có : 3t2 - 4= t

t = -1 loại

t= loại


b) Đặt ẩn phụ để có phương trình hữu tỷ bậc cao

Ví dụ 6 : Giải phương trình

Giải


ĐK : x+1>0 <=>

Đặt => x+1 =t2 => x=t2-1 => x2 =t4 -2t2 +1.

Khi đó ta có : t4 -2t2 +1 +t2 -1+ 12t -36=0

vô nghiệm vì

<=> t=2 => x+1=4 => x=3>-1. Vậy nghiệm của phương trình là x=3


c) Đặt ẩn phụ để có hệ phương trình hữu tỷ đơn giản

Ví dụ 7: Giải phương trình

Giải

Điều kiện:

Đặt a= ; b= ( a, b không âm) . Từ đó ta có hệ:

(TMĐK) nên là nghiệm của phương trình

Ví dụ 8: Giải phương trình :

Giải

Đặt a = ; b = . Từ đó ta có hệ:

hoặc

Nếu a=0; b=- => x=1

a= ; b=0 =>x=3

Vậy phương trình có hai nghiệm : x=1 ; x=3

Bài toán 5: Giải phương trình: (1)

Giải:

Điều kiện Do với mọi x nên

Đặt ; với . Nên phương trình (1) trở thành :

Giải phương trình này được hoặc

Với thì phương trình (1) vô nghiệm

Với thì . Phương trình có hai nghiệm thoả điều kiện ; .

Bài toán 8: Giải phương trình: (1)

Đặt ; nên .Do đó phương trình (1) trở thành: (*)

Từ hệ (*) suy ra

khi đó ta cũng có x = -1.

Cách giải khác:

Điều kiện x > -2 và . Nhân hai vế của phương trình (1) với ta được:

Do x > -2 nên x = -4 (loại). Vậy nghiệm của phương trình x = -1.

Bài toán 9: Giải phương trình: (1)

Giải: Điều kiện (*).

Đặt ; . Nên phương trình (1) trở thành

Nếu b = 1 thì so với điều kiên (*) thoả

Nếu a = 4 thì so với điều kiên (*) thoả.

Vậy phương trình có nghiệm là .

Bài toán 10: Giải phương trình: (*)

Lập phương hai vế của phương trình (*) ta được:

hoặc . Thử lại ta thấy phương trinh có đúng ba nghiệm trên.

Bài toán 11: Giải phương trình (1)

Điều kiện: . Đặt ; ; nên phương trình (1) trở thành

Nếu a = 1 thì

Nếu b = 1 thì .

Vậy x = 0 là một nghiệm của phương trình.

Bài toán 12: Giải phương trình (1)

Giải: TXĐ . Đặt ; . Nên phương trình đã cho trở thành:

Nên Do đó

Nếu thì ; thì

Nếu thì ; thì

Nếu thì ; thì

Vậy phương trình có ba nghiệm là

Bài toán 14: Giải phương trình : .

Giải: Đặt :

Suy ra . Do đó phương trình đã cho sẽ là nên Khai triển và thu gọn được: .

  • Nếu

  • Nếu

. Phương trình này có nghiệm

  • Nếu

. Phương trình này vô nghiệm

Vậy phương trình có ba nghiệm .


Bài toán 16: Giải phương trình:

Giải: Đặt

. Do đó phương trình đã cho trở thành hệ phương trình:

(1).Từ hệ phương trình (1) ta suy ra (2)

Từ hệ phương trình (1)

suy ra: .

Nên .Do đó từ (2) suy ra hay x = y. Thay vào hệ (1) ta được hoặc . Nhưng x = 0 không là nghiệm của phương trình nên phương trình có nghiệm là x = 2001.

Bài toán 30: Tìm x, y, z biết .

Điều kiện: . Đặt . Do a.b.c nên ta có

Do đó x = y và z tuỳ ý ; y = z và x tuỳ ý

Hoặc cách giải khác:

Do đó x = y và z tuỳ ý hoặc y = z và x tuỳ ý



6. Phương pháp 6: Nhẩm nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.

Ví dụ 9: Giải phương trình : (9)

Giải


Ta thấy với x=0 thì giá trị vế trái= .

Giá trị vế phải = => x=0 là nghiệm

Giả sử phương trình có nghiệm x>0. Tiến hành chia hai vế của (9) cho ta có

(9’)

(9’) vô nghiệm=> phương trình (9) không có nghiệm x>0

Giả sử phương trình có nghiệm x<0. Tiến hành chia hai vế của (9) cho ta có

(9’’)

=> (9’’) vô nghiệm => phương trình (9) không có nghiệm x<0

Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài toán 13:Giải phương trình (*)

Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là hay

. Thử thấy là một nghiệm của phương trình (*)

Với thì .Suy ra

Với thì .Suy ra

Vậy x = là nghiệm của phương trình.


7. Phương pháp 7:Sử dụng bất đẳng thức.

a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không giao nhau, khi đó phương trình vô nghiệm

Ví dụ 10: Giải phương trình :

Giải

ĐK :

Khi đó ta có : => giá trị của vế trái nhận giá trị âm. Mà => giá trị vế phải lại không âm. Do đó phương trình đã cho vô nghiệm

b) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không giao nhau tại cùng một giá trị. Khi đó phương trình có nghiệm tại chính giá trị đó của ẩn.

Ví dụ 11: Giải phương trình :

Giải

Ta có : . Dấu “=” xảy ra x=-1

. Dấu “=” xảy ra x=-1

=> Giá trị vế trái .Dấu “=” xảy ra x=-1

Mà 2- 2x- x2 =-(x2 +2x+1)+3=- (x+1)2 +3 . Dấu “=” xảy ra x=-1

Vì thế x=-1 là nghiệm của phương trình đã cho

c) Sử dụng dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức:

Ví dụ 12: Giải phương trình :

Giải

ĐK: x>2 . Ta có . áp dụng bất đẳng thức cô-sy cho hai số không âm ta có:

áp dụng a+b . Dấu “=” xảy ra a=b

Ta có =4

=>

(TM). Vậy nghiệm của phương trình là x=6

Bài toán 1: Giải phương trình

Bổ đề : Với

Giải: Điều kiện : , Ta có . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Vậy phương trình có nghiệm x = 6

Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

Bài toán 2: Giải phương trình:

nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si mỗi số hạng của vế trái ta được: (1)

(2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có: nên theo đề ta có : . Đẳng thức xảy ra khi x = 1 . Thử lại ta thấy x = 1 thoả m·n. Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.


Bài toán 3: Giải phương trình: (1)

Điều kiện tồn tại phương trình: (*)

Vế phải của (1): . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 2.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki thoả mãn (*) thì vế trái của phương trình (1):

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của phương trình.

Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có: . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của phương trình.


Bài toán 4: Giải phương trình: . (1)

Giải: Điều kiện (2).

Vế trái của phương trình (1): với mọi x . đẳng thức xảy ra khi x = 1. Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki với mọi x thoả mãn (2) thì vế phải của phương trình (1) thoả:

. đẳng thức xảy ra khi . Để đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) thì cả hai vế của phương trình (1) đều bằng 2. Nên x = 1. Thử lại thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.


Toán BDHSG phương trình và hệ phương trình. (lớp 9)


Bài toán 1: Giải phương trình

Bổ đề : Với

Giải: Điều kiện : , Ta có . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Vậy phương trình có nghiệm x = 6

Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .


Bài toán 2: Giải phương trình:

nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si mỗi số hạng của vế trái ta được: (1)

(2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có: nên theo đề ta có : . Đẳng thức xảy ra khi x = 1 . Thử lại ta thấy x = 1 thoả m·n. Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.


Bài toán 3: Giải phương trình: (1)

Điều kiện tồn tại phương trình: (*)

Vế phải của (1): . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 2.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki thoả mãn (*) thì vế trái của phương trình (1):

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của phương trình.

Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có: . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của phương trình.


Bài toán 4: Giải phương trình: . (1)

Giải: Điều kiện (2).

Vế trái của phương trình (1): với mọi x . đẳng thức xảy ra khi x = 1. Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki với mọi x thoả mãn (2) thì vế phải của phương trình (1) thoả:

. đẳng thức xảy ra khi . Để đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) thì cả hai vế của phương trình (1) đều bằng 2. Nên x = 1. Thử lại thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.

Bài toán 5: Giải phương trình: (1)

Giải:

Điều kiện Do với mọi x nên

Đặt ; với . Nên phương trình (1) trở thành :

Giải phương trình này được hoặc

Với thì phương trình (1) vô nghiệm

Với thì . Phương trình có hai nghiệm thoả điều kiện ; .

Bài toán 6: Giải phương trình: (1)

Phương trình (1) có nghĩa khi x < 5 nên

> 0 nên . Thử lại đúng nên nghiệm của phương trình là .

Bài toán 7: Giải phương trình: (1)

Điều kiện để phương trình có nghĩa là : . Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:

. Giải phương trình này được . Thử lai chỉ có hai nghiệm x = 0; x = 6 thoả mãn đề cho.

Bài toán 8: Giải phương trình: (1)

Điều kiện x > -2 và . Nhân hai vế của phương trình (1) với ta được:

Do x > -2 nên x = -4 (loại). Vậy nghiệm của phương trình x = -1.

Cách giải khác:

Đặt ; nên .Do đó phương trình (1) trở thành: (*)

Từ hệ (*) suy ra

khi đó ta cũng có x = -1.

Bài toán 9: Giải phương trình: (1)

Giải: Điều kiện (*).

Đặt ; . Nên phương trình (1) trở thành

Nếu b = 1 thì so với điều kiên (*) thoả

Nếu a = 4 thì so với điều kiên (*) thoả.

Vậy phương trình có nghiệm là .

Bài toán 10: Giải phương trình: (*)

Lập phương hai vế của phương trình (*) ta được:

hoặc . Thử lại ta thấy phương trinh có đúng ba nghiệm trên.

Bài toán 11: Giải phương trình (1)

Điều kiện: . Đặt ; ; nên phương trình (1) trở thành

Nếu a = 1 thì

Nếu b = 1 thì .

Vậy x = 0 là một nghiệm của phương trình.

Bài toán 12: Giải phương trình (1)

Giải: TXĐ . Đặt ; . Nên phương trình đã cho trở thành:

Nên Do đó

Nếu thì ; thì

Nếu thì ; thì

Nếu thì ; thì

Vậy phương trình có ba nghiệm là

Bài toán 13:Giải phương trình (*)

Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là hay

. Thử thấy là một nghiệm của phương trình (*)

Với thì .Suy ra

Với thì .Suy ra

Vậy x = là nghiệm của phương trình.

Bài toán 14: Giải phương trình : .

Giải: Đặt :

Suy ra . Do đó phương trình đã cho sẽ là nên Khai triển và thu gọn được: .

  • Nếu

  • Nếu

. Phương trình này có nghiệm

  • Nếu

. Phương trình này vô nghiệm

Vậy phương trình có ba nghiệm .


Bài toán 15: Tính giá trị của biểu thức:

trong đó a là nghiệm d­¬ng của phương trình

Giải : Phương trình có ac = - 4 nên có hai nghiệm phân biệt với a là nghiệm dương của phương trình nên ta có: (1) .

Vì a > 0 nên từ (1) có :

.

Gọi S

Bài toán 16: Giải phương trình:

Giải: Đặt

. Do đó phương trình đã cho trở thành hệ phương trình:

(1).Từ hệ phương trình (1) ta suy ra (2)

Từ hệ phương trình (1)

suy ra: .

Nên .Do đó từ (2) suy ra hay x = y. Thay vào hệ (1) ta được hoặc . Nhưng x = 0 không là nghiệm của phương trình nên phương trình có nghiệm là x = 2001.

Bài toán 17: Giải phương trình .

Điều kiện của phương trình:

Ta có

hoặc hoặc hoặc .

là một nghiệm của phương trình.

Bài toán 18: Giải phương trình

Giải :

ĐKXĐ:

Từ phương trình trên ta có . Với nên chia hai vế của phương trình cho ở mẫu ta được : . Đặt . Khi đó ta có . Quy đồng khử mẫu ta được:

Do đó Quy đồng khử mẫu ta được

Giải phương trình ta được nghiệm:

Vậy phương trình có hai nghiệm là

Bài toán 30: Tìm x, y, z biết .

Điều kiện: . Đặt . Do a.b.c nên ta có

Do đó x = y và z tuỳ ý ; y = z và x tuỳ ý

Hoặc cách giải khác:

Do đó x = y và z tuỳ ý hoặc y = z và x tuỳ ý

Bài toán 33: Cho phương trình . Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thoả mãn .

Giải:

Đặt khi đó phương trình (*) trở thành . Phương trình (*) có nghiệm phân biệt nên phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt ngh ĩa l à:

Khi m <-2 thì phương trình (*) có 4 nghiệm ; . Từ giả thiết suy ra


Bài toán 34:

Chứng minh rằng nếu phương trình (*) có hai nghiệm thoả mãn thì .

Giải:

Nếu phương trình (*) có hai nghiệm thì đa thức bậc bốn ở vế trái của phương trình phân tích được :

(vì )

. Đồng nhất thức hai vế của phương trình trên ta được :

Giải hệ phương trình trên ta được .

Cách giải 2: đều là nghiệm của phương trình (*) nên ta có:

.

Có ba trường hợp xảy ra
Trường hợp 1: Nếu . Đa thức vế trái chia hết cho nên đa thức dư đồng nhất phải bằng 0. Bằng phép chia đa thức cho đa thức ta được:

Trường hợp 2: Nếu . Tương tự trường hợp (1) ta cũng có

Trường hợp 3: Nếu thì là nghiệm của phương trình . Chia đa thức (*) cho ta được đa thức dư đồng nhất bằng 0 có .

Cách giải 3: không là nghiệm của phương trình (*) nên chia hai vế cho ta được: . Đặt nên phương trình trở thành . Đặt . Áp dụng định lý Viet cho phương trình (2) . Thay vào (3) và biến đổi ta được .

Phương trình (2) có hai nghiệm . Nếu mới chỉ là một nghiệm của phương trình (2) vậy ta phải xét thêm các trường hợp 1) 2) như cách giải 2:

Bài tập về nhà : Giải các phương trình sau:

a) KQ: x = 1; x = 36

b)

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

DẠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

1. Một số định nghĩa, định lí, tính chất và kiến thức liên quan đến các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

1. Phương trình ax2 + bx + c = 0

Nếu có nghiệm nguyên là x0 thì c x0

Phương trình có nghiệm nguyên khi ( ') là số chính phương, hoặc ( ') không âm.

2. Phương trình được đưa về dạng f(x).g(x) = k với f(x) và g(x) là các đa thức hệ số nguyên. Ta phân tích k ra thừa số nguyên tố rồi giải các hệ phương trình.

với m.n = k.

2. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú. Không có cách giải chung cho mọi phương trình, tuy nhiên để giải các phương trình đó ta thường dựa vào một số phương pháp giải như sau:

Phương pháp I : Phương pháp đưa về dạng tích

Biến đổi phương trình về dạng: Vế trái là tích của của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên.

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

Lời giải:

Ta có:

Do x, y nguyên dương nên mà 19 = 1.19 = 19.1 nên ta có các khả năng sau: ;

Giải các hệ phương trình trên, ta đươc 2 nghiêm nguyên của phương trình là

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + x + 6 = y2

Lời giải:

Ta có: x2 + x + 6 = y2 4x2 + 4x + 24 = 4y2 (2x + 1)2 – 4y2 = -23

( 2x – 2y + 1)(2x + 2y + 1) = - 23

Suy ra: hoặc

hoặc hoặc

Giải các trường hợp trên và kết hợp với điều kiện x, y nguyên ta được các nghiệm nguyên (x, y) là (5; 6); (5; -6) ; (-6;- 6); (- 6; 6)

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2

Lời giải:

Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1 (x+1)4 – y2 = 1

[(x+1)2 –y][(x+1)2+y] =1

y = 0 (x+1)2 = 1 x+1 = 1 x = 0 hoặc x = -2. Thử lai các giá trị tương ứng của x và y ta thấy đều thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là ( x, y ) {( 0, 0 ); ( - 2, 0 )}

Ví dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : y3 - x3 = 91   (1)

Lời giải

Ta có (1) tương đương với (y - x)(x2 + xy + y2) = 91   (*)
Vì x
2 + xy + y2 > 0 với mọi x, y nên từ (*) => y - x > 0.
Mặt khác 91 = 1 . 91 = 7 . 13 và y - x ; x
2 + xy + y2 đều có giá trị nguyên dương nên ta có bốn khả năng sau:

y - x = 91 và x2 + xy + y2 = 1 (I)

y - x = 1 và x2 + xy + y2 = 91 (II)

y - x = 3 và x2 + xy + y2 = 7 (III)

y - x = 7 và x2 + xy + y2 = 13 (IV)
Đến đây, bài toán coi như được giải quyết.

Phương pháp II : Sử dụng tính chất chia hết

- Sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm hoặc tìm

nghiệm của phương trình.

- Hai vế của phương trình nghiệm nguyên khi chia cho cùng một số có số dư khác nhau thì phương trình đó không có nghiệm nguyên.

Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : xy + x - 2y = 3   (3)

Lời giải

Ta có (3) tương đương  y(x - 2) = - x + 3. Vì x = 2 không thỏa mãn phương trình nên (3) tương đương với:

Ta thấy: y là số nguyên nên x - 2 là ước của 1 hay x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 với x = 1 hoặc x = 3. Từ đó ta có nghiệm nguyên (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0).

Chú ý: Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (3) về dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = 1 tương đương (x - 2)(y + 1) = 1.


Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau. (4)

Lời giải

Ta thấy: x = y = 0 là nghiệm của (4).

Nếu là nghiệm của (4). Gọi , suy ra (*)

Ta có: chẵn và (mâu thuẫn với (*) )

Vậy phương trình (4) chỉ có nghiệm nguyên duy nhất là (0; 0).

Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2

Lời giải:

Ta có: 2x2 + 4x + 2 = 21 - 3y2

2(x + 1)2 = 3(7 - y2) (2)

Ta thấy 3(7 - y2) 2 7 - y2 2 y lẻ

Ta lại có 7 - y2 0 nên chỉ có thể y2 = 1

Khi đó (2) có dạng: 2(x + 1)2 = 18

Ta được : x + 1 = 3 do đó x1 = 2, x2 = -4

Các cặp số (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1) thoả mãn nên là các nghiệm nguyên của pt

Phương pháp V: Đưa về dạng tổng

Biến đổi phương trình về dạng : Vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số chính phương.

Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + y2 - x - y = 8   (1)

Lời giải

(1) 4x2 + 4y2 - 4x - 4y = 32

(4x2 - 4x + 1) + (4y2 - 4y + 1) = 34

(2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34

Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất một dạng phân tích thành tổng của hai số chính phương 32 và 52.

Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng :

hoặc

Giải các hệ trên, suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là

(x ; y) {2 ; 3) ; (3 ; 2) ; (-1 ; -2) ; (-2 ; -1)}

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 – 4xy + 5y2 = 169

Lời giải

Ta có: x2 – 4xy + 5y2 = 169 (x – 2y)2 + y2 = 169 Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122

Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong bốn khả năng :

hoặc hoặc

Giải ra ta được các nghiêm nguyên của phương trình là

(x, y) {(29, 12); (19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13. 0); (13, 0)}

Phương pháp VIII: Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2

Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của một ẩn coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá trị của tham số.

Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0

Lời giải

Ta có phương trình: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0

y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + 5 = 0 (*)

Coi x là tham số của phương trình bậc 2 (*) với ẩn y, ta có:

y = -(2x + 1) . Do y nguyên, x nguyên nguyên

= (2x + 1)2 – (3x2 + 4x + 5) = x2 – 4 x2 – 4 = n2 (n )

(x- n) (x+ n) = 4 x = 2 (do x - n và x + n cùng tính chãn lẻ)

Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên là (x; y) {(2; -5); (-2, 3)}

Ví dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0

Lời giải

Ta có: x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2

Theo định lý Viet, ta có :

5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23

(x1 -5) (x2 -5) = 2 mà 2 = 1.2 = (-1)(-2)

x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 y = 8 hoặc y = 2

Thay vào phương trình ta tìm được các cặp số (7; 8); (6; 8); (4; 2); (3; 2) là các nghiệm nguyên của phương trình.

Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x + y + xy = x2 + y2 (1)

Lời giải

Viết (1) thành phương trình bậc 2 đối với x

x2 - (y + 1)x + (y2 - y) = 0 (2)

Điều kiện cần để (2) có nghiệm là 0

= (y + 1)2 - 4(y2 - y) = y2 + 2y + 1 - 4y2 + 4y

= -3y2 + 6y + 1

* 0

Do đó (y - 1)2 1. Suy ra -1 y - 1 1

y - 1

-1

0

1

y

0

1

2

Với y = 0, thay vào (2) ta được x2 - x = 0 Ta có x1 = 0; x2 = 1

Với y = 1, thay vào (2) được x2 - 2x = 0 Ta có x3 = 0; x4 = 2

Với y = 2, thay vào (2) ta được x2 - 3x + 2 = 0 Ta có x5 = 1; x6 = 2

Thử lại, các giá trị trên đều nghiệm đúng phương trình.

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm nguyên là (0;0), (1;0), (0;1), (2;1), (1;2), (2;2)



CHUYÊN ĐỀ VII: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

I. PHƯƠNG PHÁP 1 : DÙNG ĐỊNH NGHĨA

Kiến thức: Để chứng minh A > B. Ta chứng minh A –B > 0

Lưu ý dùng hằng bất đẳng M 0 với M

Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng :

a) x + y + z xy+ yz + zx ; b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz

c) x + y + z +3 2 (x + y + z)

Giải: a) Ta xét hiệu: x + y + z - xy – yz – zx = .2 .( x + y + z - xy – yz – zx)

= đúng với mọi x; y; z

Vậy x + y + z xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z

b)Ta xét hiệu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz

=( x – y + z) đúng với mọi x;y;z

Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z . Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

c) Ta xét hiệu: x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + 1 + y -2y +1 + z -2z +1

= (x-1) + (y-1) +(z-1) 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1

Ví dụ 2: chứng minh rằng :

a) ; b)

Giải:

a) Ta xét hiệu = =

= . Vậy ; Dấu bằng xảy ra khi a=b

b)Ta xét hiệu: =

Vậy ; Dấu bằng xảy ra khi a = b =c

II. PHƯƠNG PHÁP 2 : DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.

Chú ý các hằng đẳng thức sau:

;

Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực chứng minh rằng:

a) b) c)

Giải:a) (BĐT này luôn đúng)

Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)

b)

(BĐTnàyluôn đúng)

Vậy . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

c)

(BĐT này luôn đúng)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2: Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng :

Giải: Dùng phép biến đổi tương đương ;

3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1)

9 4ab + 8 1 4ab (a + b)2 4ab (BĐT này luôn đúng)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3: Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab

Giải : Ta có : a3 + b3 + ab a3 + b3 + ab - 0

(a + b)(a2 - ab + b2) + ab - 0 a2 + b2 - 0 . Vì a + b = 1 2a2 + 2b2 - 1 0 2a2 + 2(1-a)2 - 1 0 ( vì b = a -1 ) 4a2 - 4a + 1 0 ( 2a - 1 )2 0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng .

Vậy a3 + b3 + ab . Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =

III. PHƯ­ƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC QUEN THUỘC

1. Một số bất đẳng thức hay dùng

1) Các bất đẳng thức phụ:

a) b) c)

2) Bất đẳng thức Cô si: Với

3) Bất đẳng thức Bunhiacopski:

2. Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số không âm chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc

Giải: Dùng bất đẳng thức phụ:

Tacó ; ;

(a+b)(b+c)(c+a) 8abc

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Ví dụ 2: Cho x , y là 2 số thực thoả mãn : x2 + y2 =

Chứng minh rằng : 3x + 4y 5

Giải : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có :

(x2 + y2)2 = ( )2 ( ; ) (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) => x2 + y2 1

Ta lại có : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25 => 3x + 4y 5

Đẳng thức xảy ra . Điều kiện :

Ví dụ 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :

a, ; b,

Giải : a, Áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có :

=> => .

Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c =

b, Áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có :

Tương tự : ;

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1

Vậy :

Ví dụ 4 : Cho các số dương a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 . Chứng minh :

Giải : Ta có : , a , b > 0

Ta có : .1 = .(a + b + c)

= = 3 + 2 + 2 + 2 = 9

=> Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c =

Ví dụ 5: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: ac + bd

Ví dụ 6: Chứng minh rằng:

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski. Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có :

3

Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

IV. PH­­ƯƠNG PHÁP 4: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC

Kiến thức: Nếu a; b; c là số đo ba cạnh của tam giác thì: a; b; c> 0; và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c |a-b| < c < b+a

Ví dụ 1: Cho a; b; c là số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:

a, a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) b, abc > (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)

Giải: a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có : a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) (đpcm)

b) Ta có a > b-c > 0

b > a-c > 0

c > a-b

Nhân vế các bất đẳng thức ta được

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của tam giác) . Chứng minh rằng :

Giải: Ta có : p - a = ; Tương tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ;

áp dụng bất đẳng thức ta được ;

Tương tự : ;

=> => điều phải chứng minh .

Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c a = b = c. Khi đó tam giác ABC là đều .

V. PH­­ƯƠNG PHÁP 5: ĐỔI BIẾN SỐ

Ví dụ 1: Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì :

Giải: Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c =

=> a = , b = , c =

Khi đó : VT = =

=

Ví dụ 2: Cho a, b, c > 0 và a + b +c < 1. Cmr (1)

Giải: Đặt x = ; y = ; z = Ta có

(1) Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0

Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 3.

3. . Mà x+y+z < 1. Vậy (đpcm)

VI. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Cho x > y và xy =1. Chứng minh rằng:

Giải:Ta có (vì xy = 1)

Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải cm

Bài 2: Cho xy 1 .Chứng minh rằng:

Giải : Ta có

BĐT cuối này đúng do xy > 1. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 3: Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1. Chứng minh rằng:

Giải : Áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)

Ta có

(vì a+b+c =1 ) (đpcm)

Bài 4: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: (1)

Giải : (1)

Áp dụng BĐT phụ Với x,y > 0

Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng. Vậy (đpcm)

Bài 5: Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chứng minh rằng :

Giải : Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có (1)

(2) (3)

Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :

(đpcm)

Bài 6: Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng:

Giải: Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có a, b, c > 0

Và a < b + c; b < a + c; c < a + b

Từ (1) . Mặt khác

Vậy ta có Tương tự ta có

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:

(đpcm)


CHUYÊN ĐỀ VIII: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Các kiến thức thường dùng

1.1. Luỹ thừa:

a) x2 0 x |R x2k 0 x |R, k z - x2k 0

Tổng quát : f (x)2k 0 x |R, k z - f (x)2k 0

Từ đó suy ra : f (x)2k + m m x |R, k z

M - f (x)2k M

b) 0 x 0 ( )2k 0 x0 ; k z

Tổng quát: ( )2k 0 A 0 (A là 1 biểu thức)

1.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

a) |x| 0 x|R

b) |x + y| |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0

c) |x - y| |x| - |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0 và |x| |y|

1.3. Bất đẳng thức côsi :

ai 0 ; i = : nN, n 2.

dấu "=" xảy ra a1 = a2 = ... = an

1.4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

Với n cặp số bất kỳ a1,a2,...,an ; b1, b2, ...,bn ta có :

(a1b1+ a2b2 +...+anbn)2 (

Dấu "=" xảy ra = Const (i = )

1 .5. Một số Bất đẳng thức đơn giản thường gặp được suy ra từ bất đẳng thức (A+B)2 0.

a2 + b2 2ab; (a + b)2 4ab; 2(a2 + b2 ) (a + b)2

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN

Phương pháp 01: Sử dụng phép biến đổi đồng nhất

Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dương) và những hằng số. Từ đó :

1.Để tìm Max f(x, y,...) trên miền |D ta chỉ ra :

sao cho f(x0, y0,...) = M

2. Để tìm Min f(x, y,...) trên miền |D ta chỉ ra :

sao cho f(x0,y0,...) = m

I. Các ví dụ:

1. Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A4 =

Giải :Ta có: A4 =

= - vì -

A4 Max = 3 x = -2 Vậy : A4 Max = 3 x = -2

2. Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A5 = với x, y>0

Giải :Ta có:A5= =

A5 = = 0 x,y > 0

A5 min = 0 x = y Vậy : A5 min = 0 x = y > 0

3. Ví dụ 3 : Tìm giá trị lớn nhất của A7 = xy + yz + zx - x 2 - y2 - z2

Giải :Ta có : A7 = xy + yz + zx - x2 - y2 - z2 = - (2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2xz)

A7 = - {(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2} 0, x,y,z A7 Max = 0 x=y = z

Vậy : A7 Max = 0 x = y = z

4. Ví dụ 4 : Tìm GTLN của biểu thức: .

Giải: Ta có thể viết:

. Do đó ta có: . Dấu “=” xảy ra .

Vậy: GTLN của tại

II. Nhận xét: Phương pháp giải toán cực trị đại số bằng cách sử dụng các phép biến đổi đồng nhất được áp dụng cho nhiều bài tập, nhiều dạng bài tập khác nhau. Song đôi khi học sinh thường gặp khó khăn trong công việc biến đổi để đạt được mục đích.

III. Bài tập về nhà:

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a. A = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) b. B = (x 1)

c. C = x3 + y3 + xy biết x + y = 1

2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức :

a. A = - x4 + 2x3 - 3x2 + 4x + 2002 b. B =

Phương pháp 02: Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản.

Ta biết rằng: Từ một bất đẳng thức, bằng cách chuyển về bao giờ ta cũng đưa về 1 bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tương đương mà một vế là hằng số. Vì vậy: Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tương đương ta có thể tìm được cực trị của 1 biểu thức nào đó.

I. Các ví dụ:

1. Ví dụ 1: Cho a > b > 0. Tìm GTNN của B1 = a +

Giải: Ta có: B1 = a + = b + (a-b) + 3. (theo Côsi).

B1 3 B1 min = 3 b = a-b = Vậy: B1 min = 3

2. Ví dụ 2 : Cho a,b > 0 và a + b = 1 . Tìm GTNN của B2 = +

Giải: Theo bđt Côsi: (x + y)( ) 2 . 2 = 4 (với x, y > 0) (1)

Ta có : ab ( )2 = 4 (2) do a+b = 1 ; a,b > 0

Áp dụng bất đẳng thức (1) và kết quả (2) ta có :

B2 =

B2 2 + do a + b = 1 B2min = 6 a = b = Vậy: B2min = 6 a = b =

3. Ví dụ 3: Cho xy + xz + yz = 4 . Tìm GTNN của B3 = x4 + y4 + z4

Giải :Do xy + xz + yz = 4 16 = (xy + xz + yz)2 (x2+y2+z2) (x2+y2+z2)

(Theo Bunhiacôpxki) 16 (x2+y2+z2)2 (x4 + y4 + z4) (12+12+12)

B3 = x4 + y4 + z4 B3min = x = y = z =

Vậy : B3min = x = y = z =

4. Ví dụ 4: Cho xyz = 1 và x + y + z = 3. Tìm GTNN của B8 = x16 + y16 + z16

Giải : Cách 1 : Ta có : (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 0 a,b,c

a2 + b2 + c2 ab + ac + bc (1)

Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có :

B8 = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2 x8y8 + y8z8 + z8x8

B8 x8y8 + y8z8 + z8x8

B8 (x4y4)2 + (y4z4)2 + (z4x4)2 x4y4. y4z4+ x4y4. z4x4 + y4z4. z4x4

B8 x4y8z4 + x8y4z4 + x4y4z8

B8 (x2y4z2)2 + (x4y2z2)2 + (x2y2z4)2 x6y6z4 + x6y4z6 + x4y6z6

B8 (x3y3z2)2 + (x2y3z3)2 + (x3y2z3)2 x5y6z5 + x6y5z5 + x5y5z6

B8 (xyz)5.x + (xyz)5.y + (xyz)5.z = x + y + z = 3

(do xyz = 1 và x + y + z = 3) B8min = 3 x = y = z = 1

Cách 2: (Không sử dụng giả thiết xyz = 1)

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki nhiều lần ta có :

3 = x + y + z 9 = (x+ y + z)2 (x2 + y2 + z2).3

3 (x2 + y2 + z2) 9 (x2 + y2 + z2)2 (x4 + y4 + z4).3

3 x4 + y4 + z4 9 (x4 + y4 + z4)2 (x8 + y8 + z8).3

3 x8 + y8 + z8 9 (x8 + y8 + z8)2 (x16 + y16 + z16).3

B8 = x16 + y16 + z16 3 . B8min = 3 x = y = z = 1

Vậy : B8min = 3 x = y = z = 1

5. Ví dụ 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.

Tìm GTLN và GTNN của x + y.

Giải: Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 (x + y)2

2(x2 + y2) (x + y)2

Mà x2 + y2 = 1 (x + y)2 2

- Xét . Dấu “=” xảy ra

- Xét . Dấu “=” xảy ra

Vậy x + y đạt GTNN là .

6. Ví dụ 6: Tìm GTLN của hàm số: .

Giải: Điều kiện:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

Chọn với . Ta có:

Vì y > 0 nên ta có:

Dấu “=” xảy ra (Thỏa mãn (*))

Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3.

7. Ví dụ 7: Tìm GTNN của biểu thức: M =

Giải: M = =

áp dụng bất đẳng thức: ta có:

M = => M

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1994) . (1995 – x) 0

<=> 1994 Vậy GTNN của M = 1 1994

II. Nhận xét:

Rõ ràng khi áp dụng một số bất đẳng thức cơ bản, bài toán được giải quyết nhanh hơn. Song việc vận dụng bất đẳng thức nào thuận lợi còn tuỳ thuộc vào giả thiết bài toán và sự vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức đó. Một vấn đề đặt ra là: Hai phương pháp vừa nêu vẫn chưa đủ để giải quyết được hết các bài toán cực trị đại số THCS. Chính vì lẽ đó nhu cầu phải có những phương pháp khác tối ưu hơn và thực hiện được yêu cầu bài toán.

III. Bài tập về nhà:

1. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN của A = (1+ ) (1+ ) (1+ )

2. Cho a, b, > 0 và a + b = 1. Tìm GTNN của B =

3. Cho a, b, c > 0

a) Tìm GTNN của C =

b) Tìm GTNN của D =

4. Cho x, y, z và x+y+z =1.Tìm GTLN của E=

5. Cho a,b,c 0 và a + b + c = 1.Tìm GTLN của F =

6. Cho 0 x . Tìm GTLN của G = 4x2 - 3x3

7. Cho 0 x 3 ; Cho 0 y 4. Tìm GTLN H = (3 - x)(4 - y)(2x + 3y)

8. Cho x, y, z, t 0 và 2x + xy + z + yzt = 1. Tìm GTLN của I = x2y2z2.t

9. Cho x, y, z, t 0 và xt + xy + z + yzt = 1. Tìm GTLN của K = xyzt

10. Tìm GTNN của M = | x-2 | + | y-3 | + |x+y - 2007 |

Phương pháp 03: Sử dụng phương pháp đặt biến phụ.

Bằng cách đặt biến phụ và sử dụng các phép biến đối tương đương. Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ta có thể chuyển biến thức đã cho về biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị hơn.

I. Các ví dụ:

1. Ví dụ 1: Tìm GTNN của C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12

Giải : C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12

C1 = (x4 + 6x3 + 19x2 + 30x + 25) - 6 (x2 + 3x + 5) + 17

C1 = (x2 + 3x + 5)2 - 6 (x2 + 3x + 5) + 17

Đặt: x2 + 3x + 5 = a

C1 = a2 - 6a + 17 = a2 + 6a + 9 + 8

C1 = (a - 3)2 + 8 8 do (a - 3)2 0 a.

C1min = 8 a - 3 = 0 a = 3 x2 + 3x + 2 = 0

Vậy : C1min = 8

2. Ví dụ 2: Tìm GTNN của C2 = 2. - 5 với x, y > 0

Giải: Đặt: = a 2 = a2 - 2

C2 = 2(a2 - 2) - 5a + 6 = 2a2 - 5a + 2

Ta thấy: a 2 C2 = 2a2 - 5a + 2 0

C2min = 0 a = 2 x = y > 0

Vậy : C2min = 0 x = y > 0

3. Ví dụ 3: Tìm GTNN của C3 = - + 2004 với x, y>0

Giải: Đặt: = a 2 = a2 – 2. Khi đó: C3 = (a2 - 2) - 3a + 2004

C3 = a2 - 3a + 2004 = a2 - 3a + 2 + 2002 = (a-1) (a-2) + 2000

Do ta có : a 2 a - 1> 0 ; a - 20 (a-1) (a-2) 0

C3 = (a-1) (a-2) + 2000 2000 C3 min = 2000 a = 2 x = y ; xy > 0

Vậy C3 min = 2000 x = y và xy > 0

II. Bài tập về nhà:

1. Tìm GTNN của A = x2 + 4 - x +

2. Tìm GTLN của B = với a

3. Cho a - ; b - ; c - và a+ b + c = 1

Tìm GTLN của C =

4. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của D =

Phương pháp 04: Sử dụng biểu thức phụ.

Để tìm cực trị của 1 biểu thức nào đó, đôi khi người ta xét cực trị của 1 biểu thức khác có thể so sánh được với nó, nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn.

Ví dụ: Để tìm cực trị của biểu thức A với A > 0, ta có thể xét cực trị của biểu thức: , -A, kA, k + A, |A| , A2 (k là hằng số).

I. Các vị dụ:

1. Ví dụ 1: Tìm GTLN của A =

Giải: a) Xét x = 0 A = 0 giá trị này không phải là GTLN của A vì với x 0 ta có A > 0.

b) Xét x 0 đặt P = khi đó Amax Pmin

với cách đặt trên ta có : P =

ta có : x2 + (theo côsi) P 2 + 1 = 3 Pmin = 3 x = 1

Do đó : Amax = x = 1

2. Ví dụ 2: Tìm GTNN của B = với x > 0

Giải: Đặt P1 = - B như vậy P1max Mmin

Ta có : P1 = với x > 0 P > 0

Đặt P2 = > 0 với x > 0 khi đó P2 Min P1 Max

P2 =

P2 =

P2 =

(do 0 x > 0)

P2 Min = 8008 x = 2002 P1 Max = x = 2002

BMin = - x = 2002 Vậy BMin = - x = 2002

3. Ví dụ 3: Cho a, b, c dương và a + b + c = 3

Tìm GTLN của C =

Giải: Do a, b, c > 0 C > 0

Đặt: P = C2 khi đó CMax

Ta có: P =

P (12 + 12 + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiacôpxki

P 3.9(a + b + c) = 81 do a + b + c = 3

PMax = 81 a = b = c = 1 = 81 a = b = c = 1

CMax = 9 a = b = c = 1 Vậy CMax = 9 a = b = c = 1

4. Ví dụ 4: Cho x, y, z, t > 0

Tìm GTNN của D =

Giải : Đặt P = 2D ta có :

P =

P=

P=

P 2 + 2 + 2 + .6 (theo côsi)

P 15 PMin = 15 x = y = t > 0 DMin = x = y = t b Vậy DMin = x = y = t

II. Các bài tập :

1. Cho x,y, z > 0 và x2 + y2 + z2 = 1. Tìm GTNN của A

2. Cho x 0. Tìm GTNN của B =

3. Cho x 0. Tìm GTLN của C =

4. Cho a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTLN của D = a + 2b + 3c

5. Cho a,b > 0 và a + b = 2. Tìm GTNN của E =