Bài Tập Về Hệ Thức Viet Liên Quan Đến Phương Trình Bậc Hai Có Lời Giải

DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT

Câu 1: Cho phương trình: x² – 5x + m = 0 (m là tham số).

a) Giải phương trình trên khi m = 6.

b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn: .

Đáp án:

a) Với m = 6, ta có phương trình: x² – 5x + 6 = 0

∆ = 25 – 4.6 = 1 . Suy ra phương trình có hai nghiệm: x₁ = 3; x₂ = 2.

b) Ta có: ∆ = 25 – 4.m

Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆ 0 (*)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có x₁ + x₂ = 5 (1); x₁x₂ = m (2).

Mặt khác theo bài ra thì (3). Từ (1) và (3) suy ra x₁ = 4; x₂ = 1 hoặc x₁ = 1; x₂ = 4 (4)

Từ (2) và (4) suy ra: m = 4. Thử lại thì thoả mãn.

Câu 2: Cho phương trình ẩn x: x² – 2mx + 4 = 0 (1)

a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn: ( x₁ + 1 )² + ( x₂ + 1 )² = 2.

Đáp án:

a) Với m = 3 ta có phương trình: x² – 6x + 4 = 0.

Giải ra ta được hai nghiệm: x₁ = .

b) Ta có: ∆^/ = m² – 4

Phương trình (1) có nghiệm (*).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ = 2m và x₁x₂ = 4.

Suy ra: ( x₁ + 1)² + ( x₂ + 1)² = 2

x₁² + 2x₁ + x₂² + 2x₂ = 0 (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ + 2(x₁ + x₂) = 0 4m² – 8 + 4m = 0

m² + m – 2 = 0 .

Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có nghiệm m₂ = - 2 thỏa mãn. Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm.

Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x² – 2mx - 1 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂.

b) Tìm các giá trị của m để: x₁² + x₂² – x₁x₂ = 7.

Đáp án:

a) Ta có ∆^/ = m² + 1 > 0, m  R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo định lí Vi-ét thì: x₁ + x₂ = 2m và x₁.x₂ = - 1.

Ta có: x₁² + x₂² – x₁x₂ = 7 (x₁ + x₂)² – 3x₁.x₂ = 7

4m² + 3 = 7 m² = 1 m = ± 1.

Câu 4: Cho phương trình ẩn x: x² – x + 1 + m = 0 (1)

a) Giải phương trình đã cho với m = 0.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn: x₁x₂.( x₁x₂ – 2 ) = 3( x₁ + x₂ ).

Đáp án:

a) Với m = 0 ta có phương trình x² – x + 1 = 0

Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.

b) Ta có: ∆ = 1 – 4(1 + m) = -3 – 4m.

Để phương trình có nghiệm thì ∆ 0 - 3 – 4m 0 4m (1).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ = 1 và x₁.x₂ = 1 + m

Thay vào đẳng thức: x₁x₂.( x₁x₂ – 2) = 3( x₁ + x₂), ta được:

(1 + m)(1 + m – 2) = 3 m² = 4 m = ± 2.

Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn.

Câu 5: Cho phương trình x² - 6x + m = 0.

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thoả mãn điều kiện x₁-x₂ = 4

Đáp án:

a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: m < 0

b) Phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ ∆’ = 9 - m ≥ 0 m ≤ 9

Theo hệ thứcViét ta có

Theo yêu cầu của bài ra x₁ - x₂ = 4 (3)

Từ (1) và (3) x₁ = 5, thay vào (1) x₂ = 1

Suy ra m = x₁.x₂ = 5 (thoả mãn)

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.

Câu 6: Cho phương trình: x² + 2 (m + 1)x + m² = 0. (1)

a) Giải phương trình với m = 5

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng - 2.

Đáp án:

a) Với m = 5 ta có phương trình: x² + 12x + 25 =0.

∆’ = 6² -25 = 36 - 25 = 11

x₁ = ; x₂ =

b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:

∆’ > 0 (m + 1)² - m² > 0 2m + 1 > 0 m > (*)

Phương trình có nghiệm x = - 2 4 - 4 (m + 1) + m² = 0

m² - 4m = 0 (thoả mãn điều kiện (*))

Vậy m = 0 hoặc m = 4 là các giá trị cần tìm.

Câu 7: Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x² - 2mx + m + 1 = 0.

a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = 0.

b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích 2 nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng 2 nghiệm của phương trình.

Đáp án:

a) Phương trình có nghiệm x = 0 nên: m + 1 = 0 .

b) Phương trình có 2 nghiệm khi:

∆’ = m² - (m - 1) (m + 1) ≥ 0 m² - m² + 1 ≥ 0, đúng m.

Ta có x₁.x₂ = 5 = 5 m + 1 = 5m - 5 .

Với m = ta có phương trình: x² - 3x + x² - 6x + 5 = 0

Khi đó x₁ + x₂ =

Câu 8: Cho phương trình: x² - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1)

a) Giải phương trình với m = -3

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức = 10.

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.

Đáp án:

a) Với m = - 3 ta có phương trình: x² + 8x = 0 x (x + 8) = 0

b) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi:

∆’ (m - 1)² + (m + 3) ≥ 0 m² - 2m + 1 + m + 3 ≥ 0

m² - m + 4 > 0 đúng

Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt m

Theo hệ thức Vi ét ta có:

Ta có = 10 (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 10

4 (m - 1)² + 2 (m + 3) = 10

4m² - 6m + 10 = 10

c) Từ (2) ta có m = -x₁x₂ - 3 thế vào (1) ta có:

x₁ + x₂ = 2 (- x₁x₂ - 3 - 1) = - 2x₁x₂ - 8

x₁ + x₂ + 2x₁x₂ + 8 = 0

Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.

Câu 9: Cho phương trình x² - 2mx - 1 = 0 (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình trên.

Tìm m để - x₁x₂ = 7

Đáp án:

a) Ta thấy: a = 1; b = - 2m; c = - 1, rõ ràng: a. c = 1 . (-1) = -1 < 0

phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Do đó:

(2m)² - 3 . ( -1) = 7 4m² = 4 m² = 1 m = 1.

Câu 10: Cho phương trình ẩn x: x² - (2m + 1) x + m² + 5m = 0

a) Giải phương trình với m = -2.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6.

Đáp án:

a) m = - 2, phương trình là: x² + 3x - 6 = 0; ∆ = 33> 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x_{1, 2} =

b) Ta có ∆ = 4m² + 4m + 1 - 4m² - 20m

= 1 - 16m.

Phương trình có hai nghiệm ∆ ≥ 0 1 - 16m ≥ 0

Khi đó hệ thức Vi-ét ta có tích các nghiệm là m² + 5m.

Mà tích các nghiệm bằng 6, do đó m² + 5m = 6

m² + 5m - 6 = 0

Ta thấy a + b + c = 1 + 5 + (-6) = 0 nên m₁ = 1; m₂ = - 6.

Đối chiếu với điều kiện m ≤ thì m = - 6 là giá trị cần tìm.

Câu 11: Cho phương trình: x²- 4x + m +1 = 0 (1)

1. Giải phương trình (1) khi m = 2.

2. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn đẳng thức = 5 (x₁ + x₂)

Đáp án:

a) Khi m = 2, PT đã cho trở thành: x²- 4x + 3 = 0

Ta thấy: a +b + c = 1 - 4 +3 = 0

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x₁ = 1; x₂ = 3

b) Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là:

3 - m 0 m 3 (1)

Áp dụng hệ thức Vi ét ta có :

= 5 (x₁+ x₂) (x + x )²- 2x₁x₂ = 5 (x₁ + x₂)

4² - 2 (m +1) = 5.4 2 (m + 1) = - 4 m = - 3

Kết hợp với điều kiện (1) , ta có m = - 3

Câu 12: Cho phương trình x² - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2

c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x₁, x₂ thoả mãn

Đáp án:

x² - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)

a) Khi m = 1, ta có phương trình x² - 6x + 5 = 0

a + b + c = 1 - 6 + 5 = 0 x₁ = 1; x₂ = 5

b) Phương trình (1) có nghiệm x = - 2 khi:

(-2)² - (m + 5) . (-2) - m + 6 = 0 4 + 2m + 10 - m + 6 = 0

m = - 20

c) ∆ = (m + 5)² - 4(- m + 6) = m² + 10m + 25 + 4m - 24

= m² + 14m + 1

Phương trình (1) có nghiệm khi ∆ = m² + 14m + 1 ≥ 0 (*)

Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có:

S = x₁ + x₂ = m + 5; P = x₁. x₂ = - m + 6. Khi đó:

Giá trị m = 3 thoả mãn, m = - 2 không thoả mãn điều kiện. (*)

Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.

Câu 13: Tìm m để phương trình ẩn x sau đây có ba nghiệm phân biệt:

x³ - 2mx² + (m² + 1) x - m = 0 (1).

Đáp án: (1) x³ - 2mx² + m²x + x - m = 0

x (x² - 2mx + m²) + x - m = 0

x (x - m)² + (x - m) = 0

(x - m) (x² - mx + 1) = 0

Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt khác m.

Dễ thấy x = m không là nghiệm của (2). Vậy (2) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

∆ = m² - 4 > 0 .

Vậy các giá trị m cần tìm là:

Câu 14: Cho phương trình với là tham số.

a) Giải phương trình khi .

b) Tìm để phương trình có hai nghiệm thoả mãn

.

Đáp án:

a) Với , ta có phương trình: . Các hệ số của phương trình thoả mãn nên phương trình có các nghiệm: , .

b) Phương trình có biệt thức nên phương trình luôn có hai nghiệm với mọi .

Theo định lý Viet, ta có: .

Điều kiện đề bài . Từ đó ta có: .

Phương trình này có tổng các hệ số nên phương trình này có các nghiệm .

Vậy các giá trị cần tìm của là .

Câu 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x² + px + q = 0

biết p + q = 198.

Đáp án:

Phương trình có nghiệm khi 0 p² + 4q 0; gọi x₁, x₂ là 2 nghiệm.

- Khi đó theo hệ thức Viét có x₁+ x₂ = - p và x₁x₂ = q

mà p + q = 198 => x₁x₂ - (x₁+ x₂) = 198

 (x₁ - 1)(x₂ - 1) = 199 = 1 . 199 = (- 1)(-199) ( Vì x₁, x₂ Z )

Nên ta có :

x1 - 1	1	-1	199	-199
x2 - 1	199	-199	1	-1
x1	2	0	200	-198
x2	200	-198	2	0

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên:

(2; 200); (0; -198); (200; 2); (-198; 0)

Câu 16: Cho phương trình với là tham số.

a) Giải phương trình khi .

b) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện: .

Đáp:

a) Khi phương trình trở thành

; .

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

.

Khi đó theo định lí Vi-et ta có: (1) và (2).

Điều kiện bài toán

(do (1)) (3).

Từ (1) và (3) ta có: . Thay vào (3) ta được: , thoả mãn điều kiện.

Vậy .

Câu 17: Cho phương trình với là tham số.

a) Giải phương trình khi và .

b) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện: .

Đáp án:

1. Khi và ta có phương trình: .

Do a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm .

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt (*)

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có (1).

Bài toán yêu cầu (2).

Từ hệ (2) ta có: , kết hợp với (1) được .

Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*) nên chúng là các giá trị cần tìm.

Câu 18: Cho phương trình ẩn x: x² – x + m = 0 (1)

a) Giải phương trình đã cho với m = 1.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn: (x₁x₂ – 1)² = 9( x₁ + x₂ ).

Đáp án:

a) Với m = 1, ta có phương trình: x² – x + 1 = 0

Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.

2. Ta có: ∆ = 1 – 4m. Để phương trình có nghiệm thì ∆ 0

1 – 4m 0 (1).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ = 1 và x₁.x₂ = m

Thay vào đẳng thức: ( x₁x₂ – 1 )² = 9( x₁ + x₂ ), ta được:

(m – 1)² = 9 m² – 2m – 8 = 0 .

Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn.

Câu 19: Cho phương trình ẩn x: x² – 2mx - 1 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂.

b) Tìm các giá trị của m để: x₁² + x₂² – x₁x₂ = 7.

Đáp án:

a) Ta có = m² + 1 > 0, m  R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo định lí Vi-ét thì: x₁ + x₂ = 2m và x₁.x₂ = - 1. Ta có: x₁² + x₂² – x₁x₂ = 7

(x₁ + x₂)² – 3x₁.x₂ = 7 4m² + 3 = 7 m² = 1 m = .

Câu 20: Cho phương trình (1) với là tham số.

a) Giải phương trình khi .

b) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. Gọi là các nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = .

Đáp án:

a) Với phương trình trở thành .

nên phương trình có hai nghiệm , .

b) Phương trình có biệt thức với mọi .

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm . Khi đó theo định lý Viet thì .

Biểu thức A = = = = = .

Do nên , suy ra A  .

Dấu bằng xảy ra .

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là , đạt được khi .

Câu 21: Cho phương trình x² + (2m + 1) x + m² + 1 = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 1

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm âm.

Đáp án:

a) Khi m = 1 ta có phương trình: x² + 3x + 2 = 0

Vì a = 1; b = 3; c = 2 => a - b + c = 0

Vậy phương trình có x₁ = - 1; x₂ = - 2

b) Phương trình (1) có 2 nghiệm âm khi và chỉ khi: .

Câu 22: Cho phương trình x² + 2 (m - 1) + m + 1 = 0 với m là tham số.

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án: Đặt = t, được t² + 2(m - 1)t + m + 1 = 0 (1)

Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt  (1) có 2 nghiệm khác dấu hoặc (1) có nghiệm kép t > 0.

+) (1) Có 2 nghiệm khác dấu <=> m + 1 < 0 <=> m < -1

+) = 0 <=> m² - 3m = 0 <=>

Thay vào (1) để xét thì m = 0 thỏa mãn, m = 3 bị loại.

Vậy m < - 1 hoặc m = 0.

Câu 23: Cho phương trình: (x² - x - m)(x - 1) = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án:

a) Với m = 2, ta có phương trình

(x² - x - 2)(x - 1) = 0 <=>

Vậy phương trình có 3 nghiệm x 1; x = 2

b) Vì phương trình (1) luôn có nghiệm x₁ = 1 nên phương trình (1) có 2 đúng nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

- Hoặc phương trình f(x) = x² - x - m = 0 có nghiệm kép khác 1

.

- Hoặc phương trình f(x) = x² - x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1.

Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

m = - ; m = 0.

Câu 24: Cho phương trình: x⁴ - 5x² + m = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = 4.

b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án:

a) Với m = 4 ta có x⁴ - 5x² + 4 = 0

Đặt x² = t , với ta có pt t² - 5t + 4 = 0 <=> t₁ = 1; t₂ = 4

Từ đó, ta được: .

Vậy phương trình có 4 nghiệm

b) x⁴ - 5x² + m = 0 (1) có dạng f(y) = y² - 5y + m = 0 (2)

(với y = x² ; y > 0)

Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt phương trình (2):

1) Hoặc có nghiệm kép khác 0 <=> .

2) Hoặc có 2 nghiệm khác dấu .

Vậy m = hoặc m < 0 thì phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt

Câu 25: Cho phương trình: x² - 2x + m = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = - 3.

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂ thoả mãn:

= 1.

Đáp án:

a) Khi m = - 3, ta có phương trình x² - 2x - 3 = 0

Vì a - b + c = 1 - (- 2) + (- 3) = 0 nên x₁ = - 1; x₂ = 3

b) Phương trình có nghiệm > 0 1 - m > 0 m < 1

Khi đó theo hệ thức Viét, ta có: x₁ + x₂ = 2 và x₁x₂ = m (1)

(2)

Từ (1), (2), ta được: 4 - 2m = m² <=> m² + 2m - 4 = 0

= 1 + 4 = 5 => = nên m = -1 + (loại);

m = - 1 - (T/m vì m < 1).

Vậy giá trị m cần tìm là:

Câu 26: Cho phương trình: x² - 2mx - 6m = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia.

Đáp án:

a) Khi m = 2, phương trình (1) trở thành: x² - 4x -12 = 0

= 16, pt đã cho có 2 nghiệm: x = - 2; x = 6.

3. Phương trình (1) có nghiệm m² + 6m

(2)

Khi đó, theo hệ thức Vi ét ta có: (3)

Phương trình có 1nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia khi và chỉ khi:

(4)

Từ (3), (4), ta có: (TMĐK (2))

Vậy các giá trị m cần tìm là .

Câu 27: Cho phương trình: (1)

a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là . Lập một phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là và .

Đáp án :

a) Do nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Vì là 2 nghiệm của phương trình (1) nên theo hệ thức Vi-et, ta có:

, .

Do đó: .

và P = .

Vậy phương trình bậc 2 cần tìm là: .

Câu 28: Cho ph­ương trình: (m+1)x² -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m là tham số)

a) Giải ph­ương trình (1) với m = 3.

b) Tìm các giá trị của m để ph­ương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn

Đáp án:

a) Với m = 3 ta có PT (3+1 )x² - 2(3 - 1)x + 3 - 2 = 0

4x² - 4x + 1 = 0

Suy ra PT có nghiệm kép x = 1/2

b) Để PT có 2 nghiệm phân biệt thì

Mà theo ĐL Vi-ét ta có:

Từ ta có:

thoả mãn (*)

Vậy m phải tìm là -2.

Câu 29:Cho ph­ương trình: mx²- (2m + 3 )x+ m - 4= 0

a) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt?

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.

Đáp án:

a) Ph­ương trình trên có 2 nghiệm phân biệt khi:

 

Vậy với thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt.

b) Khi đó pt có 2 nghiệm thoả mãn: 

 Cộng 2 vế pt trên ta đ­ợc:

4(x₁+x₂) +3 x₁x₂=11. Đây chính là hệ thức cần tìm.