Phương Pháp Giải Hình 9 Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn – Toán 9

• ;

• ;

• ;

• .

Cách ghi nhớ

“Tìm sin lấy đối chia huyền,

Cô-sin hai cạnh kề huyền chia nhau,

Còn tang thì phải tính sao?

Đối trên kề dưới chia nhau ra liền,

Cô-tang cũng dễ ăn tiền,

Kề trên đối dưới chia liền bạn ơi!”

2. Một số hệ thức và tính chất cơ bản

• Với hai góc nhọn và thì

.

Với góc nhọn , ta có

• .

• Nếu tăng thì và tăng; còn và giảm.

• ;

• ;

• ;

• .

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh

Bước 1: Tính độ dài cạnh thứ ba theo định lý Py-ta-go (nếu cần). Bước 2: Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn theo yêu cầu đề bài.

Ví dụ 1. Tam giác vuông tại , ; . Tính tỉ số lượng giác của góc rồi suy ra các tỉ số lượng giác của góc .

L ời giải

Ta có .

Do đó

V í dụ 2. Tính tỉ số lượng giác của góc trong hình bên.

Lời giải

Ta có .

Do đó ; ;

; .

Ví dụ 3. vuông tại có . Tính các tỉ số lượng giác của góc .

Lời giải

T a đặt thì , suy ra

.

Ta có

.

Ví dụ 4. Tam giác cân tại , có , đường cao . Tính các tỉ số lượng giác của góc .

Lời giải

T a có ; . Do đó

V í dụ 5. Tính trong hình bên.

Lời giải

Ta có .

Do đó .

V í dụ 6. Tính trong hình bên.

Lời giải

Ta có ;

.

Do đó .

Mặt khác nên .

Dạng 2: Dựng góc nhọn khi biết tỉ số lượng giác của góc nhọn đó bằng .

Dựng một tam giác vuông có cạnh là m và n rồi vận dụng định nghĩa để nhận ra góc .

Ví dụ 7. Dựng góc , biết .

L ời giải

Ta có .

Dựng góc vuông ;

Trên cạnh đặt ;

Dựng đường tròn cắt cạnh tại .

Khi đó .

V í dụ 8. Dựng góc , biết .

Lời giải

Ta có .

Dựng góc vuông ;

Trên cạnh đặt ;

Dựng đường tròn cắt cạnh tại .

Khi đó .

Ví dụ 9. Dựng góc , biết .

Lời giải

T a có .

Dựng góc vuông ;

Trên cạnh đặt ;

Trên cạnh đặt .

Khi đó .

Ví dụ 10. Dựng góc , biết .

L ời giải

Dựng góc vuông ;

Trên cạnh đặt ;

Trên cạnh đặt .

Khi đó .

Dạng 3: Chứng minh hệ thức lượng giác

Sử dụng định nghĩa và một số hệ thức lượng giác cơ bản để chứng minh.

Ví dụ 11. Cho góc nhọn . Chứng minh rằng

a ) ; b) .

Lời giải

a) Xét vuông tại , (hình bên).

Ta có ; .

Vì nên , suy ra .

b) Ta có ; .

Vì nên , suy ra .

Ví dụ 12. Chứng minh các hệ thức

a) ; b) .

Lời giải

a) .

b) .

Ví dụ 13. Chứng minh rằng

a) ; b) .

Lời giải

a) Ta có

.

Đẳng thức cuối cùng đúng nên đẳng thức đã cho là đúng.

b) Xét vế trái ; vế phải .

Rõ ràng .

Ví dụ 14. Chứng minh rằng .

Lời giải

Ta biến đổi vế trái

Ta thấy vế trái bằng vế phải.

Ví dụ 15. Chứng minh rằng .

Lời giải

Xét vế trái

Ta thấy vế trái đúng bằng vế phải.

Dạng 4: Biết một giá trị lượng giác của góc nhọn, tính các tỉ số lượng giác khác của góc đó

Vận dụng các hệ thức cơ bản đã học.

Ví dụ 16. Cho biết ; tính , , .

Lời giải

Ta có

.

Ví dụ 17. Cho biết ; tính , , .

Lời giải

Ta có

.

Ví dụ 18. Cho biết , tính , , .

Lời giải

Ta có ; .

Do đó ; .

Ví dụ 19. Cho biết , tính , , .

Lời giải

Ta có ; .

Do đó ; .

Dạng 5: Tính giá trị lượng giác với các góc đặc biệt (không dùng máy tính hoặc bảng số)

Căn cứ vào bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt . Căn cứ vào tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau. Căn cứ vào các hệ thức lượng giác cơ bản.

Ví dụ 20. Tính giá trị của biểu thức

a) ;

b) .

Lời giải

a) .

b) .

Ví dụ 21. Tính giá trị của biểu thức

a) ;

b) .

Lời giải

a)

b)

Ví dụ 22. Tính giá trị của biểu thức sau với :

.

Lời giải

Ví dụ 23. Rút gọn các biểu thức sau với

a) ;

b) .

Lời giải

a) .

b)

Ví dụ 24. Cho biểu thức .

a) Chứng minh rằng ;

b) Tính giá trị của , biết .

Lời giải

a) .

b) Chia cả tử và mẫu của cho ta được

.

Dạng 6: So sánh các tỉ số lượng giác mà không dùng máy tính hoặc bảng số

Ví dụ 25. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần

a) ; b) .

Lời giải

a) Ta có ; .

Vì nên .

b) Ta có ; .

Vì nên .

Ví dụ 26. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần

a) ; b) .

Lời giải

a) Ta có ; .

Vì nên .

b) Ta có ; .

Vì nên .

Ví dụ 27. Cho , hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần:

.

Lời giải

Vì nên .

Mặt khác góc phụ với góc .

Ta có ,

do đó .

Ví dụ 28. So sánh hai số và , biết ; .

Lời giải

Ta có ; (1)

. (2)

Từ ( ) và ( ) suy ra .

Dạng 7: Tìm góc nhọn thỏa đẳng thức cho trước

Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản để biến đổi về dạng cơ bản Dùng MTBT hoặc bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt để tìm. Cách dùng MTBT tìm khi biết (tương tự đối với và ) Nếu thì bấm các phím sau .

Ví dụ 29. Tìm góc nhọn , biết

a) ; b) .

Lời giải

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Cho hình bên. Tính và .

Lời giải

T a có suy ra .

Tương tự suy ra .

Do đó và .

Bài 2. Chứng minh đẳng thức .

Lời giải

Ta có

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Bài 3. Cho góc nhọn .

a) Biết , hãy tính và .

b) Biết , hãy tính và .

Lời giải

a) Do mà nên

vì là góc nhọn nên do đó .

Mặt khác .

b) Do mà nên suy ra .

Vì là góc nhọn nên do đó .

Bài 4. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy

a) Tính giá trị của biểu thức .

b) Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần ; ; ; ; .

Lời giải

a) Ta có .

Tương tự và .

Do đó

b) Ta có , và .

Mà mà nên

Vậy

Bài 6. Cho tam giác nhọn , độ dài các cạnh , , lần lượt bằng , , .

a) Chứng minh rằng .

b) Chứng minh rằng nếu thì .

Lời giải

a ) Kẻ . Ta có ; .

Do đó và .

Suy ra .

b) Chứng minh tương tự .

Vậy .

Theo chứng minh trên suy ra .

Vì thì .

--- HẾT ---