Phương Pháp Giải Toán 9 Hệ Hai Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn – Toán 9

ÔN TẬP CHƯƠNG III

HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

a) ĐS: .

b) ĐS: .

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:

a) ; ĐS: .

b) . ĐS: .

Bài 3. Cho hệ phương trình

a) Tìm để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất, tìm nghiệm duy nhất đó. ĐS: .

b) Tìm để hệ phương trình vô nghiệm. ĐS: .

c) Tìm để hệ phương trình vô số nghiệm. ĐS: không tồn tại.

Bài 4. Cho hệ phương trình

a) Giải hệ phương trình với . ĐS: .

b) Tìm để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất, tìm nghiệm duy nhất đó. ĐS: .

c) Tìm để hệ phương trình vô nghiệm. ĐS: .

Bài 5. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi m. Nếu tăng chiều dài thêm m, chiều rộng thêm m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm m . Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh đất.

ĐS: m và m.

Bài 6. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng m. Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là m. Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu.

ĐS: m .

Bài 7. Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng dụng cụ. Thực tế, xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm được dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch.

ĐS: xí nghiệp I: ; xí nghiệp II: .

Bài 8. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

ĐS: , .

Bài 9. Để hoàn thành một công việc hai tổ phải làm chung trong giờ. Sau giờ làm chung thì tổ hai bị điều chuyển đi làm việc khác, tổ một hoàn thành nốt công việc còn lại trong giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc? ĐS: giờ và giờ.

Bài 10. Hai người thợ cùng làm một công việc trong giờ phút thì xong công việc. Nếu người thứ nhất làm trong giờ, người thứ hai làm trong giờ thì cả hai người làm được công việc. Hỏi mỗi người làm một mình công việc đó thì mấy giờ xong? ĐS: giờ, giờ.

Bài 11. Quãng đường từ đến dài km. Một người đi xe máy từ đến . Khi đến , người đó nghỉ phút rồi quay trở về với vận tốc lớn hơn lúc đi là km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ đến lúc trở về đến là giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ đến .

ĐS: km/h và km/h.

Bài 12. Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ để đi đến dài km với vận tốc mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường. Do vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là km/h nên ô tô đến sớm hơn xe máy phút. Tính vận tốc mỗi xe. ĐS: km/h và km/h.

Bài 13. Một ca nô chạy trên sông trong giờ, xuôi dòng km và ngược dòng km. Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó ca nô chạy trong giờ, xuôi dòng km và ngược dòng km. Tính vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng của ca nô, biết rằng vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô là không đổi. ĐS: km/h và km/h.

Bài 14. Một ca nô đi xuôi dòng km rồi đi ngược dòng km. Biết rằng thời gian đi xuôi dòng lớn hơn thời gian đi ngược dòng là giờ và vận tốc đi xuôi lớn hơn vận tốc đi ngược là km/h. Tính vận tốc ca nô lúc đi ngược dòng. ĐS: km/h hoặc km/h.

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 15. Giải các hệ phương trình sau:

a) ; ĐS: .

b) ĐS: .

Bài 16. Cho hệ phương trình .

a) Giải hệ phương trình với . ĐS: .

b) Tìm để hệ có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó.

ĐS: ; .

c) Tìm để hệ phương trình vô nghiệm. ĐS: .

Bài 17. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó lên cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ tăng thêm cm . Nếu giảm chiều dài đi cm, chiều rộng đi cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm cm . Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho.

ĐS: cm và cm.

Bài 18. Trong tuần đầu hai tổ sản xuất được bộ quần áo. Sang tuần thứ hai tổ một sản xuất vượt mức %, tổ hai giảm mức 8% nên trong tuần này cả hai tổ sản xuất được bộ quần áo. Hỏi tuần đầu, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu bộ? ĐS: và .

Bài 19. Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau giờ phút đầy bể. Nếu vòi một chảy trong giờ, vòi hai chảy trong giờ thì cả hai vòi chảy được bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy đầy bể.

ĐS: giờ và giờ.

Bài 20. Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ để đi đến . Biết vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc xe khách là km/h. Do đó xe du lịch đến trước xe khách phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết quãng đường dài km. ĐS: km/h và km/h.

Bài 21. Một tàu tuần tra chạy ngược dòng km, sau đó chạy xuôi dòng km trên cùng một dòng sông có vận tốc dòng nước là km/h. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn ngược dòng giờ. ĐS: km/h.

HƯỚNG DẪN GIẢI

1. Giải các hệ phương trình sau:

a) ; b)

Lời giải

a) Sử dụng phương pháp cộng đại số, ta có

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .

b) Điều kiện: .

Đặt ; . Khi đó hệ đã cho trở thành

Suy ra (thoản mãn điều kiện)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất .

2. Giải các hệ phương trình sau:

a) ; b) .

Lời giải

a) Sử dụng phương pháp cộng đại số, ta có

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .

b) Điều kiện: , .

Đặt ; . Khi đó hệ đã cho trở thành

.

Suy ra (thoả mãn điều kiện)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất .

3. Cho hệ phương trình

a) Tìm để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất, tìm nghiệm duy nhất đó.

b) Tìm để hệ phương trình vô nghiệm.

c) Tìm để hệ phương trình vô số nghiệm.

Lời giải

Ta có

Số nghiệm của hệ phương trình đã cho phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình và .

a) Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi . Khi đó, nghiệm của hệ phương trình là

b) Hệ phương trình vô nghiệm .

c) Hệ phương trình vô số nghiệm , điều này không xảy ra.

Vậy không có giá trị nào của để hệ phương trình vô số nghiệm.

4. Cho hệ phương trình

a) Giải hệ phương trình với .

b) Tìm để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất, tìm nghiệm duy nhất đó.

c) Tìm để hệ phương trình vô nghiệm.

Lời giải

_a) Khi thì hệ phương trình đã cho trở thành

Vậy hệ có nghiệm duy nhất .

b) Ta có

Số nghiệm của hệ phương trình đã cho phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình và .

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

Khi đó, nghiệm duy nhất của hệ là .

c) Hệ phương trình vô nghiệm .

5. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi m. Nếu tăng chiều dài thêm m, chiều rộng thêm m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm m . Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh đất.

Lời giải

Gọi chiều dài, chiều rộng mảnh đất lần lượt là , (m)

Điều kiện: .

Chu vi và diện tích của mảnh đất ban đầu là và .

Khi tăng chiều dài lên m, chiều rộng lên m thì diện tích mảnh đất là .

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

(thỏa mãn).

Vậy chiều dài, chiều rộng mảnh đất đã cho lần lượt là m và m.

6. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng m. Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là m. Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu.

Lời giải

Gọi chiều dài, chiều rộng mảnh đất lần lượt là , (m)

Điều kiện: .

Chu vi của mảnh vườn ban đầu là .

Khi tăng chiều dài lên ba lần, chiều rộng lên bốn lần thì chu vi khu vườn là .

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

(thỏa mãn).

Vậy chiều dài, chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là m và m.

Do đó diện tích khu vườn là m .

7. Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng dụng cụ. Thực tế, xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm được dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch.

Lời giải

Gọi số dụng cụ mà xí nghiệp I và xí nghiệp II phải làm theo kế hoạch lần lượt là , (dụng cụ)

Điều kiện: .

Theo bài ra ta có phương trình: .

Do xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15% nên số dụng cụ thực tế hai xí nghiệp làm được lần lượt là và . Theo bài ra ta có phương trình: .

Từ và ta có hệ phương trình:

(thỏa mãn).

Vậy số dụng cụ mà xí nghiệp I và xí nghiệp II phải làm theo kế hoạch lần lượt là và dụng cụ.

8. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

Lời giải

Gọi số sản phẩm tổ I và tổ II sản xuất theo kế hoạch là và .

Điều kiện: .

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

(thỏa mãn).

Số sản phẩm mà tổ I và tổ II được giao theo kế hoạch lần lượt là và sản phẩm.

9. Để hoàn thành một công việc hai tổ phải làm chung trong giờ. Sau giờ làm chung thì tổ hai bị điều chuyển đi làm việc khác, tổ một hoàn thành nốt công việc còn lại trong giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc?

Lời giải

Gọi thời gian cần thiết để tổ và tổ hoàn thành công việc một mình là , (giờ)

Điều kiện: .

Mỗi giờ tổ một và tổ hai làm được lần lượt và ; cả hai tổ làm được công việc nên ta có phương trình .

Sau giờ thì cả hai tổ làm được công việc, tổ một hoàn thành trong giờ được công việc nên ta có phương trình .

Từ và , ta có hệ phương trình:

(thỏa mãn).

Vậy thời gian tổ và tổ hoàn thành công việc một mình lần lượt là giờ và giờ.

10. Hai người thợ cùng làm một công việc trong giờ phút thì xong công việc. Nếu người thứ nhất làm trong giờ, người thứ hai làm trong giờ thì cả hai người làm được công việc. Hỏi mỗi người làm một mình công việc đó thì mấy giờ xong?

Lời giải

Đổi đơn vị : giờ phút giờ.

Gọi thời gian để người thứ nhất và thứ hai làm một mình xong công việc là giờ và giờ ( )

Mỗi giờ người thứ nhất và người thứ hai làm được lần lượt và công việc, cả hai người làm được công việc nên ta có phương trình: .

Người thứ nhất làm trong giờ được công việc, người thứ hai làm trong giờ được công việc. Theo bài ra ta có phương trình: .

Từ và ta có hệ phương trình:

Vậy để làm một mình xong công việc thì người thứ nhất phải làm trong giờ, người thứ hai làm trong giờ.

11. Quãng đường từ đến dài km. Một người đi xe máy từ đến . Khi đến , người đó nghỉ phút rồi quay trở về với vận tốc lớn hơn lúc đi là km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ đến lúc trở về đến là giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ đến .

Lời giải

Gọi vận tốc lúc đi và về của xe máy lần lượt là (km/h)

Điều kiện: ; .

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

(thỏa mãn).

Vậy vận tốc xuôi dòng và ngược dòng của ca nô lần lượt là km/h và km/h.

12. Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ để đi đến dài km với vận tốc mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường. Do vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là km/h nên ô tô đến sớm hơn xe máy phút. Tính vận tốc mỗi xe.

Lời giải

Gọi vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là và km/h.

Điều kiện: ; .

Theo bài ra ta có phương trình .

Thời gian ô tô và xe máy chạy trên cùng quãng đường đó lần lượt là và . Theo bài ra ta có phương trình .

Từ và ta có hệ phương trình

(thỏa mãn).

Vậy vận tốc của ô tô là km/h, của xe máy là km/h.

13. Một ca nô chạy trên sông trong giờ, xuôi dòng km và ngược dòng km. Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó ca nô chạy trong giờ, xuôi dòng km và ngược dòng km. Tính vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng của ca nô, biết rằng vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô là không đổi.

Lời giải.

Gọi vận tốc xuôi dòng và ngược dòng của ca nô lần lượt là (km/h), .

Theo bài ra ta có hệ phương trình

(thỏa mãn).

ậy vận tốc xuôi dòng và ngược dòng của ca nô lần lượt là km/h và km/h.

14. Một ca nô đi xuôi dòng km rồi đi ngược dòng km. Biết rằng thời gian đi xuôi dòng lớn hơn thời gian đi ngược dòng là giờ và vận tốc đi xuôi lớn hơn vận tốc đi ngược là km/h. Tính vận tốc ca nô lúc đi ngược dòng.

Lời giải.

Gọi vận tốc xuôi dòng và ngược dòng của ca nô lần lượt là (km/h), , . Theo bài ra ta có hệ phương trình

.

Vậy vận tốc ngược dòng của ca nô là km/h (hoặc km/h)

15. Giải các hệ phương trình sau:

a) ; b)

Lời giải

a) .

b) Điều kiện: , .

Đặt , . Hệ phương trình đã cho trở thành

(thỏa mãn).

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

16. Cho hệ phương trình .

a) Giải hệ phương trình với .

b) Tìm để hệ có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó.

c) Tìm để hệ phương trình vô nghiệm.

Lời giải

a) Khi thì hệ phương trình đã cho trở thành

Vậy hệ có nghiệm duy nhất .

b) Ta có

Số nghiệm của hệ phương trình đã cho phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình và .

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

Khi đó, nghiệm duy nhất của hệ là .

c) Hệ phương trình vô nghiệm .

17. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó lên cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ tăng thêm cm . Nếu giảm chiều dài đi cm, chiều rộng đi cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm cm . Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho.

Lời giải

Gọi chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật là , (cm)

Điều kiện: , , .

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

(thỏa mãn).

Vậy chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là cm và cm.

18. Trong tuần đầu hai tổ sản xuất được bộ quần áo. Sang tuần thứ hai tổ một sản xuất vượt mức %, tổ hai giảm mức 8% nên trong tuần này cả hai tổ sản xuất được bộ quần áo. Hỏi tuần đầu, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu bộ?

Lời giải

Gọi số bộ quần áo tổ một và tổ hai sản xuất được trong tuần đầu lần lượt là , (bộ)

Điều kiện:

Theo bài ra ta có hệ phương trình

(thỏa mãn).

Vậy tuần đầu tổ một sản xuất được bộ và tổ hai sản xuất được bộ.

19. Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau giờ phút đầy bể. Nếu vòi một chảy trong giờ, vòi hai chảy trong giờ thì cả hai vòi chảy được bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy đầy bể.

Lời giải

Đổi đơn vị : giờ phút giờ.

Gọi thời gian để vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy đầy bể lần lượt là giờ và giờ ( )

Mỗi giờ vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy được lần lượt là và bể, cả hai vòi chảy được bể, do đó ta có phương trình .

Vòi thứ nhất chảy trong giờ được bể, vời thứ hai chảy trong giờ được bể nên ta có phương trình .

Từ đó ta có hệ phương trình .

Vậy vòi thứ nhất chảy đầy bể trong giờ, vòi thứ hai chảy đầy bể trong giờ.

20. Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ để đi đến . Biết vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc xe khách là km/h. Do đó xe du lịch đến trước xe khách phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết quãng đường dài km.

Lời giải.

Gọi vận tốc của xe du lịch và xe khách lần lượt là và km/h.

Điều kiện: ; .

Theo bài ra ta có .

Thời gian xe du lịch và xe khách chạy trên cùng quãng đường đó lần lượt là và . Theo bài ra ta có hệ phương trình:

(thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe du lịch là km/h, của xe khách là km/h.

21. Một tàu tuần tra chạy ngược dòng km, sau đó chạy xuôi dòng km trên cùng một dòng sông có vận tốc dòng nước là km/h. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn ngược dòng giờ.

Lời giải.

Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là (km/h) ( )

Vận tốc của tàu khi đi xuôi dòng là km/h.

Vận tốc của tàu khi đi ngược dòng là km/h.

Thời gian đi xuôi dòng km là giờ.

Thời gian đi ngược dòng km là giờ.

Vì thời gian đi xuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược dòng giờ nên ta có phương trình:

.

Vận tốc của tàu khi nước yên lặng là km/h.

--- HẾT ---