Đề Thi HSG Toán 10 Cấp Trường Sở GD&ĐT Quảng Nam (Đề 1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC QUẢNG NAM NĂM 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi : TOÁN LỚP 10

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 21/03/2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC QUẢNG NAM NĂM 2019

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Môn thi: TOÁN 10

(Đáp án – Thang điểm gồm 06 trang)

Câu

Đáp án

Điểm

Câu 1

(5,0 điểm)

a) Giải bất phương trình

2,0

Điều kiện:

0,5

▪ Với điều kiện thì : bất phương trình (1) vô nghiệm.

0,5

▪ Với điều kiện thì cả hai vế của bất phương trình (1) đều dương

Bất phương trình (1) tương đương

0,25

: thỏa mãn

0,5

▪ Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là

0,25

b) Giải hệ phương trình

3,0

Điều kiện: và

0,25

▪ Pt(1)

(xem đây là phương trình bậc hai đối với )

0,5

▪ Với thay vào phương trình (2) ta được:

(3)

0,25

+ Đặt

phương trình (3) thành

0,25

+ Suy ra

0,25

0,5

+ Khi và khi : thỏa điều kiện

0,25

Trang 1

▪ Với suy ra mà điều kiện nên suy ra

Khi  : Thử lại ta có là nghiệm

0,5

▪ Vậy nghiệm của hệ phương trình là: và .

0,25

Câu 2

(4,0 điểm)

a) Vẽ đồ thị hàm số . Từ đó suy ra tất cả các giá trị của tham số để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

2,0

+

▪ Ta có

0,25

▪ Vẽ đúng phần Parabol ứng với

(phải đi qua các điểm B(-1;0), C(3;0), D(-2;5), E(4;5) hoặc tương tự)

0,25

▪ Vẽ đúng phần Parabol ứng với

(phải đi qua điểm A(1;4))

0,25

▪ Đồ thị cân đối

0,25

▪ Đặt .

Dựa vào đồ thị ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số và đường thẳng cắt nhau tại 4 điểm phân biệt

0,25

▪ luôn đúng với mọi m.

0,25

▪

0,25

▪ Do đó

Vậy các giá trị cần tìm của m là

0,25

Trang 2

b) Cho Parabol (P) có phương trình và đường thẳng (d) có phương trình (m là tham số). Xác định tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng (đvdt), trong đó O là gốc tọa độ.

2,0

▪ Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)

(*)

0,25

▪ Đk : (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

0,5

▪ Khi đó : ; trong đó là hai nghiệm của pt(*)

Ta có :

0,5

0,25

▪ Theo đề :

: thỏa (vì )

Vậy

0,5

Câu 3

(4,0 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

2,0

▪ Hàm số viết lại

0,25

▪ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét ba vecto:

0,5

▪ Khi đó

Và

0,25

▪ Ta có

0,5

▪ Đẳng thức xảy ra khi ba vecto và cùng hướng

0,25

Vậy khi

0,25

Trang 3

b) Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:

2.0

▪ Đặt

Ta có và

Tương tự

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

0,5

▪ Áp dụng bất thức AM – GM, ta có :

0,5

▪ Lại áp dụng bất thức AM – GM, ta có :

0,5

▪ Từ (1) và (2) suy ra

Đẳng thức xảy ra khi .

0,25

▪ Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi .

0,25

Câu 4

(4,0 điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB nằm trên đường thẳng có phương trình và trung điểm của đoạn AD là điểm . Biết rằng BD tạo với AD một góc có và điểm B có tung độ là số nguyên. Tìm tọa độ các điểm A, B, C, D.

2,0

▪ AD vuông góc với AB và đi qua điểm M,

suy ra AD có phương trình là .

Khi đó .

0,25

▪ là trung điểm của đoạn AD nên tìm được .

0,25

▪ Gọi là VTPT của BD, AD có VTPT là .

Khi đó

. Chọn ta được

0,25

Trang 4

▪ TH1: Với .

Khi đó BD có VTPT và đi qua

BD có phương trình .

Suy ra (nhận).

0,5

▪ TH2: Với .

Khi đó BD có VTPT và đi qua

BD có phương trình

Suy ra (nhận).

0,5

▪ Vì ABCD là hình chữ nhật nên .

Với , Với

Vậy , , , hay , , , .

0,25

b) Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3, BC = 5. Gọi D là chân đường phân giác trong của góc và G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADG .

2,0

▪ Từ giả thiết ta có suy ra vuông tại A.

0,25

▪ Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, ta được

0,25

▪ G là trọng tâm của tam giác ABC nên .

0,25

▪ Gọi là chân đường phân giác trong của của

Vì nên .

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ta có

0,5

▪ Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADG.

Khi đó

▪ Giải được .

0,5

▪ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADG là .

0,25

Trang 5

Câu 5

(3,0 điểm)

a) Cho . Gọi là điểm xác định bởi và là trung điểm . Gọi là điểm thỏa mãn với .

i) Biểu diễn và theo các vectơ và

ii) Tìm để thẳng hàng.

1,5

i) Ta có:

0,5

0,25

ii) thẳng hàng

0,5

.

Vậy là giá trị cần tìm thỏa yêu cầu bài toán.

0,25

b) Cho tam giác ABC có , và . Gọi M là trung điểm của cạnh BC và điểm N thỏa mãn . Tính độ dài đoạn MN.

1,5

▪ Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ABC, có

0,5

▪ Ngoài ra :

0,5

▪ Lại áp dụng định lý Cosin trong tam giác BMN, ta được

0,25

▪ Suy ra . Vậy

0,25