Tuyển Tập Các Bài Hình Thi Vào Chuyên THPT Theo Từng dạng Có Đáp Án

>>> Mọi người cũng quan tâm:

Tuyển Tập Các Bài Hình Thi Vào Chuyên THPT Theo Từng dạng Có Đáp Án – Toán 9 là tài liệu học tập được Trang Tài Liệu biên soạn và sưu tầm từ những nguồn dữ liệu mới nhất hiện nay. Tài liệu này sẽ giúp các em luyện tập, củng cố kiến thức từ đó nâng cao điểm số cho môn học. Ngoài ra, cũng giúp các thầy cô giáo có nguồn tài nguyên phong phú để giảng dạy.

Dưới đây là bản đọc trực tuyến giúp thầy cô và các em học sinh có thể nghiên cứu Online hoặc bạn có thể tải miễn phí với phiên bản word để dễ dàng in ấn cũng như học tập Offline.

BỘ ĐỀ CÂU CUỐI HÌNH HỌC TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

MÔN TOÁN THPT CÁC TỈNH TRÊN CẢ NƯỚC

NĂM HỌC 2020-2021

PHẦN 1: CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG, ĐỒNG QUY

CẦN THƠ

Câu 4. (2,5 điểm) Cho tam giác có ba góc nhọn và Vẽ đường cao đường tròn đường kính cắt tại D và đường tròn đường kính cắt AC tại E

Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp
Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và Chứng minh
Gọi lần lượt là giao điểm của đường thẳng với đường tròn đường kính HB và đường tròn đường kính Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng và nằm trên đường thẳng

ĐÁP ÁN

Câu 4.

Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính

là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính

Xét tứ giác ta có: là tứ giác nội tiếp

Chứng minh:

Ta có: là tứ giác nội tiếp (cmt) (cùng chắn

Hay ,lại có (cùng phụ với

hay

Xét và ta có: chung;

Chứng minh giao điểm hai đường thẳng nằm trên đường thẳng AH

Gọi giao điểm của và CN là K

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BH

Hay , chứng minh tương tự

Vì là tứ giác nội tiếp (cmt) nên (cùng chắn cung hay

Vì là tư giác nội tiếp đường tròn đường kính

(góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Hay mà

hay

Mà

Lại có: , chứng minh tương tự:

là trực tâm

ĐỒNG NAI

Câu 5. (2,75 điểm) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn có hai đường cao cắt nhau tại trực tâm Vẽ đường kính của Gọi là giao điểm của đường thẳng với đường tròn khác Gọi lần lượt là giao điểm của đường thẳng với đường tròn khác Gọi lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng và và

Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn và tâm của đường tròn này thuộc đường thẳng
Gọi là trung điểm của đoạn thẳng Chứng minh
Gọi T là giao điểm của đường tròn với đường tròn ngoại tiếp tam giác khác Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.

ĐÁP ÁN

Câu 5.

Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có: là đường cao của hay

là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Xét tứ giác có: mà hai góc này đối diện nên là tứ giác nội tiếp (đpcm)

Có là góc nội tiếp chắn cung là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác Tâm của đường tròn này là trung điểm của

Gọi là giao điểm của và

Ta có: (cùng phụ với

(hai góc nôi tiếp cùng chắn cung hay

là phân giác của

Ta có: là đường cao của là đường cao

Xét ta có: vừa là đường cao, vừa là đường phân giác từ đỉnh B của tam giác

cân tại B và là đường trung tuyến của là trung điểm của

Gọi là giao điểm của và

Ta có: mà hay

Xét ta có: là trung điểm của là đường trung bình của là trung điểm của hay

Chứng minh

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà hay là hình bình hành

cắt tại trung điểm mỗi đường, lại có là trung điểm của

cũng là trung điểm của Xét ta có:

lần lượt là trung điểm của là đường trung bình

Chứng minh thẳng hàng

Gọi là giao điểm của tia với đường tròn

Xét tứ giác ta có: mà đỉnh là các đỉnh kề nhau

Nên là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét và ta có:

chung;

Ta có tứ giác nội tiếp đường tròn

(góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét và ta có: chung;

Xét và ta có:

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác

thẳng hàng.(đpcm)

HÀ NỘI

Bài IV. (3,0 điểm)

Cho tam giác có ba góc nhọn và đường cao Gọi và lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm đến đường thẳng

Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp
Chứng minh
Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ điểm đến đường thẳng và là trung điểm của đoạn thẳng Chứng minh ba điểm là ba điểm thẳng hàng

ĐÁP ÁN

Bài IV.

Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có :

Tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng

Chứng minh

Theo câu a) tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn cung

Ta có:

vuông tại H)

vuông tại E) nên (cùng phụ với

Mà nên

Xét và có:

chung;
(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Chứng minh thẳng hàng

Gọi là giao điểm của và

Xét tứ giác có : nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau) (cùng chắn

Ta có: (cùng vuông góc với (so le trong) do đó

Theo câu a, tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn

Từ (1) và (2) ta suy ra

có nên là tam giác cân

Lại có: ; vuông tại H)

Nên hay tam giác cân tại

Từ và hay là trung điểm
Do đó nên ba điểm thẳng hàng (đpcm)

CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN (HÀ NỘI)

Câu III. (3 điểm)

Cho tam giác có là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường tròn (O). Điểm thuộc cạnh sao cho là phân giác Lấy các điểm thuộc (O) sao cho đường thẳng cùng song song với đường thẳng

Chứng minh rằng
Gọi giao điểm của đường thẳng với các đường thẳng lần lượt là Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một đường tròn
Gọi theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy.

ĐÁP ÁN

Câu III.

Chứng minh rằng

Ta có: (so le trong do

; (so le trong do

(trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau).

Vậy (trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

Chứng minh rằng 4 điểm cùng thuộc một đường tròn.

Ta có: (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)

(góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn)

Vậy tứ giác là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện bằng nhau) hay cùng thuộc một đường tròn.

Chứng minh các đường thẳng đồng quy

Áp dụng định lý Mê-lê-na-uýt trong tam giác cát tuyến , ta có:

(do là trung điểm của nên

Gọi Ta đi chứng minh

Áp dụng định lý Mê-lê-na-uýt trong tam giác cát tuyến ta có:

(Do là trung điểm của nên

Ta sẽ chứng minh (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Vì nên áp dụng định lý Ta – let ta có:

Lại có : (định lý đường phân giác), do đó:

Xét và có: chung

Từ (1) và (2)

Tiếp tục áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác ta có:

Từ (3) và (4) ta suy ra do đó được chứng minh, tức là

Từ suy ra , do đó

Vậy đồng quy tại K

KHÁNH HÒA

Câu 4. (3,00 điểm) Cho đường tròn và một điểm nằm ngoài đường tròn. Qua kẻ hai tiếp tuyến và với đường tròn Gọi là điểm đối xứng với qua O. Đường thẳng cắt đường tròn tại H

Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
Chứng minh
Kẻ vuông góc với Chứng minh đường thẳng đi qua trung điểm của

ĐÁP ÁN

Câu 4.

Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có: là các tiếp tuyến của tại

Xét tứ giác ta có:

Mà hai góc này là hai góc đối diện nên là tứ giác nội tiếp đường tròn

Chứng minh

Ta có: là điểm đối xứng của qua là trung điểm của và là đường kính của (O)

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)

Áp dụng hệ thức lượng vào vuông tại có đường cao

Ta có:

Mà (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Chứng minh đường thẳng đi qua trung điểm của

Gọi

Ta có: nên tam giác cân tại I (hai góc đáy tam giác cân)

Lại có: (so le trong do cùng vuông góc với

(cùng bằng là phân giác trong

Lại có : là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên do đó nên là phân giác ngoài của

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

Áp dụng định lý Ta let do ta có:

Từ đó suy ra là trung điểm của

Vậy đường thẳng đi qua trung điểm của

THÁI NGUYÊN

Câu 9. Cho tam giác cân tại các đường cao cắt nhau tại Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

Câu 10. Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn các đường cao cắt nhau tại Đường thẳng cắt đường tròn tại khác A

Chứng minh tam giác cân
Gọi lần lượt là điểm đối xứng với qua và Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

ĐÁP ÁN

Câu 9.

Gọi là trung điểm của là tâm của đường tròn đường kính

Ta có: là đường cao của vuông tại

Xét vuông tại có đường trung tuyến (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).

cân tại

Vì cân tại A, có đường cao là trung điểm

Xét vuông tại có đường trung tuyến

(đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Mặt khác (hai góc đối đỉnh)

Từ (1), (2), (3) suy ra

Từ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

Câu 10.

Chứng minh cân

Ta có: là hai đường cao của

Xét tứ giác có : Mà đỉnh là hai đỉnh kề nhau nên là tứ giác nội tiếp (cùng chắn

hay

Xét đường tròn ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn

Xét tứ giác có: là tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn hay

Từ (1), (2), (3) suy ra hay là đường phân giác của

Xét ta có: vừa là đường cao, vừa là đường phân giác

cân tại B

Chứng minh thẳng hàng

Gọi là giao điểm của và là giao điểm của và

Xét tứ giác có: mà hai góc này là hai góc đối diện nên là tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn

Xét tứ giác ta có: mà hai góc này kề nhau nên là tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn

Tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Ta có: vuông tại

vuông tại

Từ là hai góc đối đỉnh nên thẳng hàng.

Ta có: là tam giác cân tại có đường cao BD đồng thời là đường trung tuyến là trung điểm của . Xét có:

lần lượt là trung điểm của là đường trung bình của

Xét ta có: lần lượt là trung điểm của

là đường trung bình

Từ (4) và thẳng hàng.

PHẦN 2: CỰC TRỊ HÌNH HỌC

BẮC GIANG

Câu 4. (2,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính Gọi là hai điểm phân biệt cố định trên đường tròn ( không là đường kính). Trên tia đối của tia lấy một điểm ( khác . Qua kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn đã cho là hai tiếp điểm)

Chứng minh tứ giác nội tiếp trong một đường tròn
Đoạn thẳng cắt đường tròn tại điểm Chứng minh rằng khi thì là trọng tâm của tam giác
Gọi là điểm đối xứng của qua O. Đường thẳng đi qua vuông góc với cắt các tia lần lượt tại các điểm và Q. Khi di động trên tia đối của tia tìm vị trí của điểm để tứ giác có diện tích nhỏ nhất

ĐÁP ÁN

Câu 4.

Chứng minh tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn tâm có là các tiếp tuyến

Tứ giác có: là tứ giác nội tiếp

Chứng minh là trọng tâm

Xét đường tròn (O) có là hai tiếp tuyến cắt nhau tại nên và là tia phân giác của

Mà

Xét vuông có

Ta có:

Lại có: nên là đường trung trực của đoạn Gọi là giao điểm của và tại I

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Từ đó ta có:

Xét tam giác có và nên là tam giác đều có là đường phân giác nên cũng là trung tuyến. Lại có nên là trọng tâm tam giác

Tìm vị trí của M để

Vì đối xứng với qua nên

Xét hai tam giác vuông có cạnh chung,

Suy ra

Diện tích tứ giác là :

Xét vuông tại O có là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Áp dụng bất đằng thức Cô si ta có:

Hay

Từ đó nhỏ nhất là

Khi đó: Xét có: chung; (cùng chắn

Đặt ( không đổi,

Ta có:

Vậy điểm thuộc tia đối của tia và cách B một khoảng bằng không đổi thì tứ giác có diện tích nhỏ nhất là

BẠC LIÊU

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho đường tròn tâm đường kính Gọi là trung điểm của đoạn thẳng là điểm thay đổi trên đường tròn sao cho không trùng với và Dựng đường thẳng và lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn tại và B. Gọi đường thẳng qua và vuông góc với Đường thẳng cắt lần lượt tại

Chứng minh tứ giác nội tiếp
Chứng minh đồng dạng với Từ đó chứng minh
Khi điểm thay đổi, chứng minh tam giác vuông tại I và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác theo

ĐÁP ÁN

Câu 4.

Chứng minh tứ giác nội tiếp

Vì là tiếp tuyến của tại nên

Vì tại E nên

Xét tứ giác có

Vậy tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng

Chứng minh đồng dạng với Từ đó chứng minh

Vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên

Ta có:

(cùng phụ với

Xét và có: (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn

(hai cạnh tương ứng)

Mà là trung điểm của

Lại có là trung điểm của

. Khi đó ta có:

(nhân cẩ 2 vế với 3)

Chứng minh vuông tại I và tìm GTNN của theo

Xét tứ giác có: tại E)

là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B)

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Lại có : Tứ giác là tứ giác nội tiếp (ý a)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Xét tam giác có:

(do nên vuông tại E)

vuông tại I (tam giác có tổng hai góc nhọn bằng

Ta có:

Đặt

Xét vuông ta có:

Ta có:

Do không đổi nên diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ nhất đạt giá trị lớn nhất.

Vì nên . Áp dụng BĐT Cô – si ta có:

Dấu xảy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác là , đạt được khi

HÀ NAM

Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn . Hai đường cao của tam giác cắt nhau tại H. Đường thẳng cắt tại D và cắt đường tròn tại điêm thứ hai là

Chứng minh tứ giác nội tiếp
Chứng minh là tia phân giác của
Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác . Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
Khi hai điểm cố định và điểm di động trên đường tròn nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh Xác định vị trí của điểm A để tổng đạt giá trị lớn nhất.

ĐÁP ÁN

Câu 4.

Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có: là các đường cao của

Xét tứ giác ta có : là tứ giác nội tiếp

Chứng minh là tia phân giác của

Ta có: (cùng phụ góc DAC)

Hay

Lại có: (cùng chắn cung MC)

là phân giác của

Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

Ta có : là góc nội tiếp chắn cung

là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

là trung điểm của

Ta có: là tam giác vuông tại E

Đường tròn ngoại tiếp có tâm là trung điểm của

Gọi là trung điểm của là tâm đường tròn ngoại tiếp

(tính chất tiếp tuyến của tam giác vuông)

cân tại hay

Ta có là đường trung tuyến của vuông tại E cân tại I mà (hai góc đối đỉnh)

Lại có :

Hay là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

Xác định vị trí điểm A………

Gọi

Kẻ đường kính

Khi đó ta có là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Xét tứ giác có: mà hai đỉnh E, F kề nhau là tứ giác nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Hay mà (cùng chắn ccung AC)

Hay

Chứng minh tương tự ta có:

Ta có: (tứ giác có hai đường chéo vuông góc)

Tương tự:

Kéo dài cắt (O) tại

Khi đó ta có:

Đặt

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ta có:

Dấu xảy ra khi đó điểm là điểm chính giữa của cung lớn

HÀ NAM (CHUYÊN)

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn đường kính cố định. Điểm cố định nằm giữa hai điểm và sao cho Kẻ dây cung vuông góc với tại H. Gọi là điểm tùy ý thuộc cung lớn sao cho không trùng với và Gọi là giao điểm của và

Chứng minh tứ giác nội tiếp
Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác
Cho độ dài đoạn thẳng Tính theo
Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Xác định vị trí của điểm để độ dài đoạn thẳng nhỏ nhất

ĐÁP ÁN

Câu 4.

Có mà

Tứ giác có là tứ giác nội tiếp

Xét và có:

(cùng chắn

Xét và có: (cùng phụ

Từ (1) và (2) ta có:

Vì là tiếp tuyến của (do mà 1 góc là góc nội tiếp , 1 góc là góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung)

Ta có: khoảng cách từ xuống nhỏ nhất.

do đó khoảng cách từ đến tâm I nhỏ nhất thì là giao điểm của và (O)

Vậy là hình chiếu của trên

HẢI DƯƠNG

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi là chân các đường cao lần lượt thuộc các cạnh và là trực tâm của Vẽ đường kính

Chứng minh tứ giác là hình bình hành
Trong trường hợp không cân, gọi là trung điểm của Hãy chứng minh là phân giác của và 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Khi và đường tròn cố định, điểm thay đổi trên đường tròn sao cho luôn nhọn, đặt Tìm vị trí của điểm để tổng lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó theo và

ĐÁP ÁN

Câu 4.

Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) hay

Mà hay

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) hay

Mà

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác là hình bình hành

Chứng minh là phân giác

Xét tứ giác ta có: , mà hai góc này ở vị trí đối diện nên là tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn

Xét tứ giác có mà hai góc này ở vị trí đối diện nên là tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn (4)

Xét tứ giác ta có: là tứ giác nội tiếp (dhnb)

Từ

Hay là phân giác của

Xét vuông tại E có đường trung tuyến

cân tại M (góc ngoài của tam giác). Lại có

là tứ giác nội tiếp cùng thuộc một đường tròn.

Tìm vị trí điểm A…….

Gọi

Ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Xét tứ giác có do đó tứ giác là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau)

(góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp )

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Chứng minh tương tự ta có :

Ta có: (tứ giác có hai đường chéo vuông góc)

Kéo dài cắt tại (do

Khi đó ta có:

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ta có:

Dấu xảy ra khi đó điểm là điểm chính giữa của cung lớn

Vậy đạt giá trị lớn nhất khi điểm là điểm chính giữa của cung lớn

LAI CHÂU

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn Từ kẻ hai tiếp tuyến và cát tuyến không đi qua tâm tới đường tròn đó ( là hai tiếp điểm, D nằm giữa và E). Gọi là giao điểm của và

Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp
Chứng minh
Tiếp tuyến tại D của đường tròn cắt theo thứ tự tại Qua điểm kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tại P và cắt tại Q. Chứng minh rằng :

ĐÁP ÁN

Câu 5.

Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có: là tứ giác nội tiếp

Chứng minh

Xét và có: (cùng chắn

(1)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

Từ (1) và (2)

Chứng minh rằng :

Lại có:

Xét và có:

( cân);

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

Vậy

THÁI BÌNH

Câu 4. (3,5 điểm) Qua điểm nằm bên ngoài đường tròn , kẻ hai tiếp tuyến là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D)

Chứng minh tứ giác nội tiếp và
Chứng minh
Gọi là trung điểm của dây cung và E là giao điểm của hai đường thẳng và Tính độ dài đoạn thẳng theo R khi
Qua tâm O kẻ đường thẳng vuông góc với cắt các đường thẳng lần lượt tại P, Q. Tìm vị trị của điểm để diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ nhất.

ĐÁP ÁN

Câu 4.

Chứng minh tứ giác nội tiếp và

Vì là các tiếp tuyến của (O) nên

Xét tứ giác có:

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng

Vì thuộc trung trực của

(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) thuộc trung trực của

là trung trực của đoạn thẳng

Vậy

Chứng minh

Xét và có: chung; (cùng chắn cung AC)

Tính độ dài đoạn thẳng theo R

Gọi theo ý ta có tại H

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đường cao ta có:

Mà nên

Xét và có: chung;

(hai góc tương ứng)

Vì là trung điểm của nên (đường kính dây cung)

vuông tại

Lại có: vuông tại H)

Mà nên

Từ (1) và (2) suy ra

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

vuông tại C, có đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Vậy khi thì

Tìm vị trí điểm M……….

Đặt Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đường cao ta có:

Xét tam giác có đường cao đồng thời là đường phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên là tam giác cân tại M, do đó đường cao cũng đồng thời là đường trung tuyến

Khi đó

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:

Khi đó

Dấu xảy ra

Vậy diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ nhất bằng cách tâm O một khoảng bằng

THANH HÓA

Câu IV.(3 điểm)

Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao (D thuộc thuộc của tam giác kéo dài lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm và N (M khác B, khác

Chứng minh tứ giác nội tiếp được trong một dường tròn
Chứng minh song song với DE
Khi đường tròn (O) và dây cố định, điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác nhọn, chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác không đổi và tìm vị trí của điểm A để diện tích tam giác đạt giá trị lớn nhất.

ĐÁP ÁN

Câu IV.

Chứng minh tứ giác nội tiếp

Vì là các đường cao của nên

Suy ra tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau

Chứng minh song song với

Vì là tứ giác nội tiếp (cmt) (cùng chắn cung BE)

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn

, mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên

Tìm vị trí A để lớn nhất.

Gọi

Xét tứ giác có là tứ giác nội tiếp

Lai có nên là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính tâm I là trung điểm của

Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn

Kẻ đường kính và gọi là trung điểm của

Vì là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên

Ta có:

Tứ giác là hình bình hành

Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà K là trung điểm BC (theo cách vẽ) nên cũng là trung điểm của HF

Khi đó là đường trung bình của nên (tính chất đường trung bình) , suy ra đường tròn ngoại tiếp là đường tròn

Mà và cố định, do đó cố định nên OK không đổi

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng OK không đổi

Ta có: mà cố định nên sđ cung BC không đổi.

Do đó không đổi

Xét và có:

(góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác

theo tỉ số

Do đó ta có:

Xét tam giác vuông có:

, mà không đổi nên đạt giá trị lớn nhất thì

Kéo dài cắt tại P nên và

Do không đổi (giả thiết) nên không đổi lớn nhất

Khi đó phải là điểm chính giữa của cung lớn

Vậy đạt giá trị lớn nhất khi A là điểm chính giữa của cung lớn

PHẦN 3: CÒN LẠI

AN GIANG

Câu 4. (2,0 điểm)

Cho tam giác có ba góc đều nhọn và nội tiếp trong đường tròn Vẽ các đường cao cắt nhau tại

Chứng minh rằng tứ giác là tứ giác nội tiếp
Kéo dài cắt đường tròn tại điểm Chứng minh rằng tam giác cân

ĐÁP ÁN

Câu 4.

Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có:

Tứ giác có: là tứ giác nội tiếp

Chứng minh cân

Ta có:

Lại có: (cùng chắn

Xét có vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên là tam giác cân

BÀ RỊA VŨNG TÀU

Bài 4. (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn có đường kính Lấy điểm C thuộc cung sao cho (C khác Hai tiếp tuyến của nửa đường tròn tại và cắt nhau ở

Chứng minh tứ giác nội tiếp
Chứng minh
Đường thẳng đi qua và vuông góc với cắt tại H. Chứng minh
Hai tia và cắt nhau tại P, đặt

Chứng minh giá trị của biểu thức là một hằng số

ĐÁP ÁN

Bài 4.

Chứng minh tứ giác nội tiếp

Vì là các tiếp tuyến của nên

Xét tứ giác có : Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh

Vì là tứ giác nội tiếp nên (hai góc nội tiếp cùng chắn . Lại có: (cùng chắn )

Chứng minh

Gọi

Theo ý b, ta có:

Mà hai góc này ở vi trí đồng vì nên

(so le trong)

Ta lại có:

vuông tại N)

(phụ nhau) (cùng phụ với

Lại có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Từ (1) và (2) suy ra cân tại C

Chứng minh giá trị biểu thức … là một hằng số

Xét và có: chung;

. Lại có: Khi đó ta có:

Xét vuông ta có:

_Vậy

BẮC GIANG

Chứng minh tứ giác nội tiếp trong một đường tròn
Đoạn thẳng cắt đường tròn tại điểm Chứng minh rằng khi thì là trọng tâm của tam giác
Gọi là điểm đối xứng của qua O. Đường thẳng đi qua vuông góc với cắt các tia lần lượt tại các điểm và Q. Khi di động trên tia đối của tia tìm vị trí của điểm để tứ giác có diện tích nhỏ nhất

ĐÁP ÁN

Câu 4.

Chứng minh tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn tâm có là các tiếp tuyến

Tứ giác có: là tứ giác nội tiếp

Chứng minh là trọng tâm

Xét đường tròn (O) có là hai tiếp tuyến cắt nhau tại nên và là tia phân giác của

Mà

Xét vuông có

Ta có:

Lại có: nên là đường trung trực của đoạn Gọi là giao điểm của và tại I

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Từ đó ta có:

Xét tam giác có và nên là tam giác đều có là đường phân giác nên cũng là trung tuyến. Lại có nên là trọng tâm tam giác

Tìm vị trí của M để

Vì đối xứng với qua nên

Xét hai tam giác vuông có cạnh chung,

Suy ra

Diện tích tứ giác là :

Xét vuông tại O có là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Áp dụng bất đằng thức Cô si ta có:

Hay

Từ đó nhỏ nhất là

Khi đó: Xét có: chung; (cùng chắn

Đặt ( không đổi,

Ta có:

Vậy điểm thuộc tia đối của tia và cách B một khoảng bằng không đổi thì tứ giác có diện tích nhỏ nhất là

BẮC CẠN

Câu 5. (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính điểm thuộc nửa đường tròn Kẻ bán kính vuông góc với cắt dây MP tại E. Gọi là tiếp tuyến tại của nửa đường tròn. Đường thẳng đi qua và song song với cắt ở F. Chứng minh rằng:

Tứ giác nội tiếp đường tròn
Gọi là chân đường cao hạ từ xuống Hãy tìm vị trí điểm để vuông góc với

ĐÁP ÁN

Câu 5.

a) Tứ giác nội tiếp đường tròn

Vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên

Xét tứ giác có là tứ giác nội tiếp

Xét và có:

c) OF song song với MP

Vì mà nên là tứ giác nội tiếp

Lại có là tứ giác nôi tiếp (cmt) điểm cùng thuộc một đường tròn nên tứ giác cũng là tứ giác nội tiếp

mà

Xét tứ giác có: là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông) là tiếp tuyến của tại N

(cùng chắn

Mà (do cân tại

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên

d) Tìm vị trí điểm P……

Đặt

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Ta có: (cùng vuông góc với nên áp dụng định lý Ta let ta có:

Để thì , khi đó (hai góc đồng vị )

Xét tam giác có:

Xét tam giác vuông có

Vì

_{Vậy
khi điểm} nằm trên đường tròn thỏa mãn thì

BẮC NINH

Câu 3. (2,0 điểm)

Cho tam giác vuông tại Trên cạnh lấy điểm khác C sao cho Vẽ đường tròn tâm đường kính đường tròn này cắt tại và cắt đường thẳng tại

Chứng minh là một tứ giác nội tiếp
Chứng minh và lầ tia phân giác của góc
Gọi là giao điểm của và Chứng minh rằng

ĐÁP ÁN

Câu 3.

ADCB là tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Xét tứ giác có mà là 2 đỉnh kề nhau

Nên là tứ giác nội tiếp

Chứng minh và lầ tia phân giác của góc

Xét đường tròn ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

(hai góc kề bù)

Xét tứ giác ta có: là tứ giác nội tiếp

(cùng chắn cung

Ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn của (O))

Vì là tứ giác nội tiếp (cmt) (hai góc nội tiếp cùng chắn

Lại có hay

Từ (1), (2), (3) là phân giác của

Chứng minh rằng

Xét ta có: là phân giác trong của tam giác (tính chất đường phân giác) (tính chất đường phân giác)

Lại có : là đường phân giác ngoài tại đỉnh E của

(tính chất đường phân giác)

BẾN TRE

Câu 8. (2,0 điểm)

Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn và có các đường cao cắt nhau tại H

Chứng minh tứ giác nội tiếp
Chứng minh
Gọi là hai giao điểm của đường thẳng và đường tròn (O) sao cho điểm nằm giữa hai điểm và điểm Chứng minh là đường trung trực của đoạn thẳng

ĐÁP ÁN

Câu 8.

Chứng minh tứ giác nội tiếp

Ta có:

Tứ giác có Tứ giác nội tiếp

Chứng minh

Kéo dài cắt tại D

Do là các đường cao trong tam giác và nên H là trực tâm của là đường cao trong

Chứng minh là đường trung trực của đoạn thẳng

Xét tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau)

(cùng bù với

Kẻ đường kính Gọi là giao điểm của và

Tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn

Từ (1) và (2) suy ra :

Mà (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên hay

tại

là trung điểm của (tính chất đường kính dây cung)

Nên là đường trung trực của

BÌNH ĐỊNH

Bài 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường kính và là một tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A. Trên đường thẳng lấy điểm (khác A) và trên đoạn lấy điểm N (khác và Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm và D sao cho nằm giữa và Gọi là trung điểm của đoạn thẳng

Chứng minh tứ giác nội tiếp trong một đường tròn
Kẻ đoạn song song với nằm trên đường thẳng Chứng minh rằng và
Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm I. Chứng minh rằng đường thẳng song song với đường thẳng

ĐÁP ÁN

Bài 4.

Chứng minh AOHM là tứ giác nội tiếp

Ta có: là tiếp tuyến của

là trung điểm của (đường kính – dây cung)

Xét tứ giác có: mà hai góc này đối diện nên là tứ giác nội tiếp (đpcm)

Chứng minh và

Ta có: (hai góc so le trong)

Vì là tứ giác nội tiếp (cm câu a) (cùng chắn

Hay

Xét và ta có: chung; (cùng chắn

Chứng minh

Gọi là giao điểm của và Kéo dài cắt BC tại

Xét tứ giác có (câu b)

là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau) (góc nội tiếp cùng chắn

Mà (cùng chắn nên

Hai góc này ở vị trí đồng vị nên

Trong tam giác là trung điểm CD nên K là trung điểm

. Lại có:

Mà

_{Xét
tứ giác} có hai đường chéo và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành

_{BÌNH
DƯƠNG}

Bài 5. (3,5 điểm)

Cho đường tròn có đường kính và tiếp tuyến Trên lấy điểm sao cho cắt đường tròn tại Đường phân giác của góc cắt đường tròn tại M và cắt tại

Tính độ dài đoạn thẳng
Gọi là giao điểm của và Chứng minh tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.
Chứng minh tam giác là tam giác cân
Kẻ vuông góc Chứng minh thẳng hàng.

ĐÁP ÁN

Bài 5.

Tính độ dài đoạn thẳng

Vì nội tiếp nửa đường tròn (O) nên hay

Ta có: là tiếp tuyến của tại nên hay

là đường kính của nên
Do đó vuông tại A có đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Vậy

Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có :

Tương tự ta có là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên

hay

Xét tứ giác có

Vậy tứ giác là tứ giác nội tiếp .

Chứng minh là tam giác cân

Ta có: (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn

(hai góc nội tiếp cùng chắn

Mà do đó là tia phân giác của

Xét có là đường cao đồng thời là đường phân giác nên tam giác cân tại

Chứng minh thẳng hàng

Xét có
là trực tâm của tam giác

Do đó là đường cao thứ ba của tam giác nên
Lại có :

Qua điểm nằm ngoài đường thẳng kẻ được hai đường thẳng cùng vuông góc với (Tiên đề Ơ clit)

Vậy thẳng hàng (đpcm)

BÌNH PHƯỚC

Câu 5. (2,5 điểm)

Từ một điểm ở bên ngoài đường tròn Vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn là hai tiếp điểm). Tia cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt và D ( nằm giữa T và O) và cắt đoạn thẳng tại điểm

Chứng minh : Tứ giác nội tiếp
Chứng minh:
Vẽ đường kính của đường tròn Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ điểm đến là giao điểm của và Chứng minh là trung diểm của

ĐÁP ÁN

Câu 5.

Chứng minh tứ giác nội tiếp

Ta có: là hai tiếp tuyến của tại A, B (gt)

Xét tứ giác ta có: , mà hai góc này là hai góc đối diện nên là tứ giác nội tiếp

Chứng minh:

Ta có: thuộc đường trung trực của

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) thuộc đường trung trực của

là đường trung trực của

Áp dụng hệ thức lượng cho vuông tại có đường cao ta có:

Xét và ta có:

chung; (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn

Từ (1) và (2)

Chứng minh là trung điểm của

Gọi

Ta có: (so le trong)

Mà (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên cân tại T

là phân giác của

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay

Do đó là phân giác ngoài của

Áp dụng định lý đường phân giác ta có:

Lại có (định lý Ta – lét )

Do đó

Vậy là trung điểm của

BÌNH THUẬN

Bài 5. (4,0 điểm)

Cho nửa đường tròn đường kính Trên đoạn thẳng lấy điểm (M khác và Đường thẳng vuông góc với tại cắt các tiếp tuyến của nửa đường tròn lần lượt ở và và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ

Chứng minh tứ giác nội tiếp
Chứng minh
Gọi là giao điểm của và Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tại Chứng minh thẳng hàng
Khi tính theo diện tích của phần nửa hình tròn tâm O bán kính nằm ngoài

ĐÁP ÁN

Bài 5.

Chứng minh tứ giác nội tiếp

Vì là tiếp tuyến của tại nên

Vì tại nên

Xét tứ giác có:

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng

Chứng minh

Vì là tiếp tuyến của tại B nên

Xét tứ giác có:

là tứ giác nội tiếp (cùng chắn cung

Vì là tứ giác nội tiếp (câu a) (cùng chắn cung

Xét và có:

Chứng minh thẳng hàng.

Gọi ta chứng minh

Vì nên mà (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác có

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

Vì vuông tại B nên (hai góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau)

Mà

Từ (1) và (2) suy ra mà hai góc này ở vị trí so le trong nên . Lại có

Vậy đường thẳng qua vuông góc với cắt tại

Khi , tính theo R diện tích …..

Xét tam giác vuông vuông tại N có ta có:

Diện tích nửa hình tròn tâm là

Vậy diện tích của phần nửa hình tròn tâm O, bán kính R nằm ngoài là:

CÀ MAU

Bài 6.

Câu 1.Cho tam giác có các góc đều nhọn. Vẽ các đường cao của tam giác Gọi là giao điểm của

Chứng minh tứ giác nội tiếp được đường tròn
Chứng minh rằng:
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh rằng

ĐÁP ÁN

Bài 6.

Câu 1.

Theo giả thiết, ta có: tứu giác nội tiếp đường tròn
Vì và cùng nhìn cạnh BC nên là tứ giác nội tiếp

Xét và có: chung;

Gọi

Ta có:

Xét có cân tại O

Lại có: (do

Từ (1), (2), (3)

CAO BẰNG

Câu 4. (2.0 điểm)

Qua điểm nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến và của đường tròn là các tiếp điểm)

Chứng minh là tứ giác nội tiếp
Kẻ đường thẳng qua diểm cắt đường tròn tại hai điểm và sao cho nằm giữa A và F. Chứng minh

ĐÁP ÁN

Bài 4.

là tiếp tuyến với nên

là tiếp tuyến với nên

Tứ giác có

Do đó là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng

Xét và có: chung ; (cùng chắn cung

(các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

và

Xét và có:

chung; (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn

(các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

. Ta có:

Mà

ĐẮK LẮK

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho hai đường tròn bằng nhau và cắt nhau tại hai điểm và B sao cho Kẻ đường kính của đường tròn Gọi là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ , và lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai là và

Chứng minh
Chứng minh
Gọi P là giao điểm của và Gọi là giao điểm của và Chứng minh là đường trung trực của
Tính tỉ số

ĐÁP ÁN

Câu 4.

Chứng minh

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

(hai góc kề bù)

Mà là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên là đường kính

Lại có : là góc nội tiếp chắn cung

Chứng minh

Ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung của hay

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung của

Hay

Ta có: cân tại

Từ (1), (2), (3) là tam giác cân

Chứng minh là đường trung trực của

Ta có: thuộc đường trung trực của

Xét và ta có:

chung (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

thuộc đường trung trực của

Từ (4) và (5) suy ra là đường trung trực của

Tính tỉ số

Ta có: là đường trung trực của

Áp dụng hệ thức lượng cho vuông tại F có đường cao ta có:

Xét vuông tại ta có:

. Vậy

ĐẮK NÔNG

Bài 4. (3,0 điểm)

Cho tam giác có ba góc nhọn. Hai đường cao của tam giác là cắt nhau tại

Chứng minh: là tứ giác nội tiếp một đường tròn
Chứng minh:
Gọi điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

ĐÁP ÁN

Bài 4.

Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp

Ta có: là hai đường cao của

Xét tứ giác ta có: là tứ giác nội tiếp

Chứng minh

Xét và ta có:

(đối đỉnh);

Chứng minh là tiếp tuyến ……….

Xét tứ giác ta có: , mà hai đỉnh là hai đỉnh liên tiếp của tứ giác là tứ giác nội tiếp

Lại có: vuông tại cùng thuộc đường tròn tâm O đường kính

Ta có: là tứ giác nội tiếp (cmt) (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện ) (1)

Ta có: là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác là trung điểm của

vuông tại E có đường trung tuyến (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)

cân tại (tính chất tam giác cân) hay

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (cmt) (cùng chắn

Từ (1), (2), (3) suy ra

cân tại O (tính chất tam giác cân)

Hay mà

là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

ĐIỆN BIÊN

Câu 4. (3 điểm) Trên nửa đường tròn đường kính bán kính Lấy hai điểm sao cho thuộc cung Gọi C là giao điểm của hai tia là giao điểm của hai dây và Chứng minh rằng:

Tứ giác là tứ giác nội tiếp
luôn không đổi.

ĐÁP ÁN

Bài 4.

Tứ giác nội tiếp

Vì là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên

Xét tứ giác có: nên là tứ giác nội tiếp

Chứng minh

Xét và có: (cùng chắn cung

(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Chứng minh luôn không đổi

Ta có:

Xét và có:

chung;

Vậy luôn không đổi (đpcm)

ĐỒNG THÁP

Câu 6. (2,0 điểm)

Cho đường tròn và một điểm nằm ngoài . Vẽ các tiếp tuyến với là các tiếp điểm)

Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp
Biết rằng Tính phần diện tích của tứ giác nằm bên ngoài đường tròn

ĐÁP ÁN

Câu 6.

Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp

Ta có: là các tiếp tuyến tại của

Xét tứ giác ta có: là tứ giác nội tiếp

Tính phần diện tích …………..

Ta có: là hai tiếp tuyến cắt nhau tại

là phân giác của (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét vuông tại M ta có:

Ta có: là tứ giác nội tiếp (cmt)

(tính chất tứ giác nội tiếp)

Mà là góc ở tâm chắn cung

Nên diện tích phần cần tìm là

Vậy diện tích cần tìm là

GIA LAI

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường kính Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng OA, qua C kẻ dây cung vuông góc với Gọi là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM (K không trùng với B và là giao điểm của AK và MN

Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp
Chứng minh
Trên đoạn thẳng lấy điểm I sao cho Chứng minh

ĐÁP ÁN

Câu 5.

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn);
Do đó Vậy tứ giác nội tiếp
Chứng minh

Ta có: là đường trung trực của nên và nên dều,

Xét và có: chung

Mặt khác tam giác vuông tại M có là đường cao ứng với cạnh huyền nên (hệ thức lượng) . Vậy

Ta có:Tứ giác có hai đường chéo và vuông góc nhau tại trung điểm C mỗi đường nên là hình thoi. Do đó

Từ đó góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung MN)

Mặt khác đều

Ta có: là trung trực của MN nên và (góc nội tiếp cùng chắn cung BM), do đó đều, suy ra

Ta có:

Ta lại có:

Từ (1), (2) suy ra vì nên

Vậy

HÀ GIANG

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn và điểm nằm bên ngoài đường tròn Qua điểm dựng hai tiếp tuyến đến đường tròn với là các tiếp điểm. Một đường thẳng đi qua cắt đường tròn tại hai điểm và đường thẳng không đi qua tâm

Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp
Chứng minh
Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại K. Chứng minh rằng điểm luôn thuộc một đường thẳng cố định khi đường thẳng thay đổi và đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề bài

ĐÁP ÁN

Câu 4.

Vì là tiếp tuyến tại M, N của Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính
Dễ chứng mnh (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Xét và ta có:

(tính chất góc tạo bởi tiêp tuyến dây cung)

Suy ra

Gọi cắt (O) tại

Vì tứ giác nội tiếp

Gọi cắt tại

Dễ thấy điểm cùng thuộc một đường tròn (1)

Áp dụng hệ thức lượng trong vuôn tại B, đường cao ta có:

Tứ giác nội tiếp hay 5 điểm cùng thuộc một đường tròn, kết hợp với (1) suy ra hay cố định

CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM (HÀ NỘI)

Bài 4. (3,0 điểm)

Cho đường tròn và một điểm nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (B là tiếp điểm) và đường kính Trên đoạn thẳng lấy điểm ( khác C và O). Đường thẳng cắt tại hai điểm và ( nằm giữa A và E). Gọi là trung điểm của đoạn thẳng

Chứng minh
Đường thẳng đi qua điểm song song với cắt tại điểm Chứng minh
Tia cắt tại điểm tia cắt tại điểm Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật

ĐÁP ÁN

Bài 4.

Chứng minh

Xét và có: chung; (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn

(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ )

Chứng minh

Vì là trung điểm của nên (tính chất đường kính và dây cung)

Xét tứ giác có : (do là tiếp tuyến của

là tứ giác nội tiếp

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung OH)

Mà (so le trong do

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn (hai góc nội tiếp cùng chắn cung . Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị bằng nhau

Chứng minh là hình chữ nhật

Kẻ tiếp tuyến với đường tròn

Xét tứ giác có: là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Lại có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện) (hai góc nội tiếp cùng chắn

Mà (đối đỉnh) (hai góc nội tiếp cùng chắn

Xét và có: (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);

( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

(hai góc tương ứng)

Từ (1) và (2)

là góc nội tiếp chắn nửa đườn tròn (O) nên là đường kính của

là trung điểm của

Xét tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành. Lại có: nên là hình chữ nhật

HÀ TĨNH

Câu 5. (2,0 điểm) Cho đường tròn tâm đường kính điểm I thay đổi trên đoạn

( khác M). Đường thẳng qua vuông góc với cắt tại và Trên tia đối của tia lấy điểm cố định. Đoạn cắt tại gọi H là giao điểm của và

Chứng minh tam giác và tam giác đồng dạng
Chứng minh độ dài đoạn không phụ thuộc vào vị trí của điểm I.

ĐÁP ÁN

Câu 5.

Chứng minh

Ta có : bốn điểm cùng thuộc (O) nên tứ giác nội tiếp

(góc nội tiếp cùng chắn cung

Xét và có :

Chứng minh độ dài đoạn không phụ thuộc vào I

Từ câu (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Ta có:

Xét và có: chung

(Hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Từ (1) và (2) suy ra

Mà cố định nên không đổi không đổi

không đổi

Vậy độ dài không phụ thuộc vào vị trí điểm

HẢI PHÒNG

Bài 4. (3,5 điểm)

Qua điểm nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến và của đường tròn và là các tiếp điểm). Gọi là trung điểm của đoạn thẳng là giao điểm thứ hai của đường thẳng với đường tròn là giao điểm thứ hai của đường thẳng với đường tròn . Chứng minh

Tứ giác là tứ giác nội tiếp và tam giác đồng dạng với tam giác
và là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

ĐÁP ÁN

Bài 4.

Tứ giác là tứ giác nội tiếp và

Ta có: là hai tiếp tuyến của tại

Xét tứ giác ta có: mà hai góc này đối nhau nên là tứ giác nội tiếp

Xét và ta có: chung; (cùng chắn

Chứng minh

Ta có: (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ )

Xét và có: chung; (cùng chắn

(các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Mà (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Chứng minh EA là tiếp tuyến……

Ta có: (góc nội tiếp và góc tiếp tuyến dây cung cùng chắn

Lại có: là tứ giác nội tiếp đường tròn

(góc ngoài tại 1 điểm bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét và ta có: chung;

Vì

Xét và ta có: chung;

(hai góc tương ứng)

Mà là góc nội tiếp chắn cung của đường tròn ngoại tiếp

được tạo bởi dây cung và ( nằm ngoài đường tròn)

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

HẬU GIANG

Câu IV. (2,0 điểm) Cho đường tròn có bán kính và điểm nằm ngoài đường tròn Kẻ đến hai tiếp tuyến (với là các tiếp điểm.

1) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm và bán kính của đường tròn

2) Tính diện tích của tứ giác theo biết rằng

3) Gọi là điểm đối xứng với qua O và là giao điểm của đường thẳng và nằm bên ngoài đoạn Tính

ĐÁP ÁN

Câu IV.

Xác định tâm và bán kính

Gọi là trung điểm của

Ta có: là tiếp tuyến với vuông tại M

Có là trung tuyến

là tiếp tuyến của vuông tại N

Có là trung tuyến nên

Từ (1) và (2) suy ra nên 4 điểm cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính

Tính diện tích S……..

Gọi là giao điểm của và

Ta có: và (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

là đường trung trực của tại trung điểm của
Tam giác vuông tại M, theo định lý ta có:

Tam giác vuông tại có là đường cao nên:

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc nên:

Vậy

Tính sin MPN

Nối với N ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn

Tam giác có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên là tam giác vuông tại

Vậy

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Bài 8.

Cho đường tròn tâm bán kính và điểm nằm ngoài đường tròn sao cho Từ kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn là hai tiếp điểm) Lấy điểm nằm trên cung nhỏ sao cho Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt lần lượt tại Đường thẳng cắt tại

Chứng minh là đường trung trực của đoạn thẳng và
Chứng minh tứ giác nội tiếp và 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn
Chứng minh và

ĐÁP ÁN

Bài 8.

Chứng minh là đường trung trực đoạn thẳng và

Ta có: là các tiếp tuyến của đường tròn tại

Mà nên tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có: nên là đường trung trực của đoạn

Xét và có: chung; (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);

(hai góc tương ứng ) (đpcm)

Chứng minh là tứ giác nội tiếp và cùng nằm trên một đường tròn

Vì là tiếp tuyến với tại D nên

là tiếp tuyến với tại B nên

Tứ giác có: nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng . Vậy tứ giác là tứ giác nội tiếp

Theo câu a,

(góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn)

Nên

Xét tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau),

do đó các điểm cùng thuộc một đường tròn

Mà tứ giác nội tiếp (cmt) nên các điểm cùng thuộc một đường tròn. Vậy 5 điểm cùng thuộc một đường tròn

Chứng minh ……..

Xét và có: chung; (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2 góc tương ứng)

Tứ giác nội tiếp (cmt) (tính chất tứ giác nội tiếp)

Mà nên

Lại có

Xét tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng

(hai góc nội tiếp cùng chắn

Mà (theo câu b) nên

Xét và có:

(hai góc tương ứng)

Tứ giác nội tiếp (cmt) (góc ngoại tại 1đỉnh và góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét tam giác và có:

chung;

(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ )

Từ (1) và (2) suy ra

PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU (THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MÌNH)

Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác nội tiếp đường tròn có tâm O, có và Gọi là trung điểm của đoạn thẳng Tia cắt đường tròn tại điểm Đường thẳng lần lượt cắt các đường thẳng và tại các điểm

Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp và
Tia phân giác của cắt đường thẳng tại điểm Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm Chứng minh rằng và
Chứng minh rằng tam giác cân. Tính tỉ số

ĐÁP ÁN

Câu 5.

Chứng minh là tứ giác nội tiếp và

*) Ta có : thuộc đường trung trực của

(cùng bằng bán kính) thuộc trung trực của

Khi đó ta có là trung trực của

Vì là trung điểm của (gt) nên (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Xét tứ giác có suy ra là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối dưới các góc bằng nhau)

*)Xét có là đường cao đồng thời là đường trung tuyến suy ra cân tại D nên cũng là đường phân giác của

Ta có : nên (trong một đường tròn hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau) (trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau)

là phân giác của

Từ (1) và (2) suy ra

Phân giác góc cắt BC tại E, cắt AB tại F. Chứng minh và ME vuông góc với

Ta có :

Lại có : (góc nội tiếp chắn cung )

(góc có đỉnh nằm phía trong đường tròn chắn cung

Suy ra cân tại C (tam giác có hai góc bằng nhau)

Ta có : (hai góc đối đỉnh )

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Mà (do tam giác cân tại C) (cmt)

cân tại D, do đó phân giác đồng thời là đường cao nên

Xét tứ giác có Tứ giác là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Mà (đối đỉnh)

Ta có: (do tam giác vuông tại M)

(do tam giác vuông tại D)

Mà nên

Từ (3) và (4)

Gọi . Ta có:

vuông tại I hay

Chứng minh tam giác cân. Tính

Ta có: lớn (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)

là tia phân giác của

cân tại B (phân giác đồng thời là đường cao)

(góc ở đáy tam giác cân)

Ta có: (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp mà nên , hai góc này lại ở vị trí so le trong

(hai góc so le trong ) (6)

Từ (5) và (6) suy ra

Suy ra cân tại

Vì cân tại B(cmt) nên

Xét và có: chung; (theo

(hai cạnh tương ứng)

Vậy .

HÒA BÌNH

Câu IV. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn có các đường cao cắt nhau tại

Chứng minh rằng: Tứ giác là tứ giác nội tiếp
Chứng minh rằng
Chứng minh rằng: Đường tròn ngoại tiếp tam giác đi qua trung điểm của cạnh

ĐÁP ÁN

Câu IV.

Chứng minh tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác có: là tứ giác nội tiếp

Chứng minh

Xét tứ giác có:

là tứ giác nội tiếp (cùng chắn cung HF)

Tương tự xét tứ giác có:

là tứ giác nội tiếp (cùng chắn

Ta lại có:

vuông tại E)

vuông tại

(cùng phụ với

Từ (1), (2), (3)

Chứng minh đường tròn ngoại tiếp đi qua trung điểm M của cạnh BC

Gọi là trung điểm của sẽ chứng minh tứ giác nội tiếp

Xét tam giác vuông tại E có trung tuyến ứng với cạnh huyền

(định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông)

cân tại M

(góc ngoài của tam giác)

Vì là tứ giác nội tiếp (cmt) (cùng chắn

Vì là tứ giác nội tiếp (cùng chắn

Mà vuông tại E)

vuông tại D)

(cùng phụ với

Từ (3) và (4)

Từ (5) và (6)

Từ và

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác đi qua trung điểm M của

HÒA BÌNH (CHUYÊN)

Câu III. (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm và dây cố định, gọi là điểm chính giữa của cung và là một điểm bất kỳ trên dây (N khác A, N khác B). Tia cắt đường tròn (O) tại E.

Chứng minh rằng : Tam giác đồng dạng với tam giác
Chứng minh rằng:
Chứng minh rằng: là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác
Chứng minh rằng : Khi di động trên AB thì tổng bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác và đường tròn ngoại tiếp tam giác không đổi

ĐÁP ÁN

Câu III.

Vì là điểm chính giữa (góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

Xét và có: chung;

2) Xét và có:

chung; (cùng chắn hai cung

(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

3) Ta có: (chứng minh câu 2)

Mà xét đường tròn ngoại tiếp thì là góc nội tiếp là góc tạo bởi tiếp tuyến – dây cung là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp

Vẽ đường kính cắt AB tại

Áp dụng định lý Ta let và tam giác đồng dạng ta có:

mà (tính chất đường kính – dây cung)

là đường kính, M chính giữa)

(không đổi)

HÒA BÌNH (CHUYÊN 2)

Câu IV. (2,0 điểm)

Cho đường tròn và dây cung Gọi là điểm chính giữa của cung nhỏ là điểm tùy ý trên cung lớn Qua kẻ tiếp tuyến tới Đường thẳng cắt và lần lượt tại và Các đường thẳng và cắt nhau tại

Chứng minh : là tứ giác nội tiếp
Chứng minh rằng: song song với
Tiếp tuyến tại của cắt tại Chứng minh rằng :
Xác định vị trí của sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp lớn nhất

Câu IV.

Ý 1. là tứ giác nội tiếp

Ta có là điểm chính giữa cung

(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Mà 2 góc này cùng nhìn là tứ giác nội tiếp

Ý 2. song song với

Ta có: là tứ giác nội tiếp ) (1)

(góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau )

Từ (1) và (2) suy ra

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên

Ý 3.

Dễ chứng minh : và

Ta có: (hệ quả Ta let)

Ý 4.

Ta có : (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

là tiếp tuyến của đường tròn

Kẻ đường kính của . Gọi là giao điểm đường trung trực của đoạn và

là tâm đường tròn

Tương tự dựng là tâm

Dễ dàng chứng minh được cân
là hình bình hành (không đổi)

Ta có: mà

Dấu xảy ra khi là điểm chính giữa của cung lớn

HƯNG YÊN (KHÔNG CÓ)

KIÊN GIANG

Bài 4. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn có nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ hai đường cao

Chứng minh tứ giác nội tiếp trong một đường tròn
Chứng minh
Tính diện tích tam giác biết diện tích tam giác là

ĐÁP ÁN

Bài 4

Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp

Vì là hai đường cao của

Xét tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau)

Chứng minh

Xét và có: chung; (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp

(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Vậy

Tính

Ta có: theo tỉ số

Xét tam giác vuông tại E ta có:

Do đó ta có:

Vậy

KON TUM

Câu 5. (2,5 điểm) Từ điểm ở ngoài đường tròn (O),, kẻ hai tiếp tuyến tới đường tròn là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua cắt đường tròn (O) tại hai điểm và và không đi qua tâm O)

Chứng minh là tứ giác nội tiếp
Gọi là giao điểm của và Chứng minh
Gọi là giao điểm của và M là trung điểm

Chứng minh

ĐÁP ÁN

Câu 5.

Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp

Ta có: là các tiếp tuyến của (O) nên

Xét tứ giác ta có: mà hai góc này ở vị trí đối diện nên là tứ giác nội tiếp

Chứng minh

Ta có: đường trung trực của

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà , Áp dụng hệ thức lượng cho vuông tại B có đường cao ta có:

Xét và ta có:

(cùng chắn cung

Mà

Chứng minh

Xét và có:

(phương tích)

Xét và có: (cùng chắn

Chứng minh tương tự :

Cộng (1), (2) vế theo vế:

Vậy

LÂM ĐỒNG

Câu 10. Cho tam giác nhọn có là ba đường cao Chứng minh là tia phân giác của góc

Câu 12. Cho đường tròn cố định đi qua hai điểm và cố định khác đường kính). Điểm di chuyển trên đường tròn ( không trùng với và là trọng tâm Chứng minh rằng điểm chuyển động trên một đường tròn cố định.