Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 10 Trường Trần Nguyên Hãn Vòng 1 [2021]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG

TRƯỜNG THPT TRẦN NGUYÊN HÃN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 1

LỚP 10 - NĂM HỌC 2020-2021

Môn: Toán

Thời gian bàm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu I

1. Cho hàm số (P): .

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

2. Dựa vào đồ thị vừa vẽ trên hãy tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

có 4 nghiệm phân biệt.

3,0

• Ta có :

 = 1 và  = 4.

• Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(1; 4), nhận đường thẳng

x = 1 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.

• Bảng biến thiên:

  x			1		+
  y	+		4		+

• Đồ thị: Đồ thị đi qua 2 điểm A(3; 0), B(1; 0).

• Ta có . Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số từ đồ thị hàm số như sau:

• Giữ nguyên đồ thị phía trên trục hoành. Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành ( bỏ phần dưới ).

Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số như hình vẽ.

• Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số (phần đường đậm) và đường thẳng (d): y =- m là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành cắt trục tung tại tung độ -m .

• Vậy phương trình có 4 nghiệm khi và chỉ khi -4<m<0.

0,5

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

2. Tìm m để hàm số đông biến trên khoảng .

1,0

• Với . Hàm số nghịch biến trên . Do đó không thỏa mãn.

• Với . Hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ kh

• Vậy

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 2

Cho số thực và hai tập hợp . Tìm a để

2,0

Ta có : khi và chỉ khi

(Vì )

Kết hợp với thì

Kết luận với thì .

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 3

4,0

1)Giải phương trình (1)

Điều kiện

Ta có

vì .

Kết luận: Phương trình có một nghiệm x = 4.

2,0

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

2)Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:

(1)

• Điều kiện: x  1.

Ta có (1) suy ra (m + 2)x = 4  m. (2)

• Trường hợp 1: Nếu m + 2 = 0  m = 2 thì

(2)  0x = 6, mâu thuẫn  phương trình vô nghiệm.

• Trường hợp 2: Nếu m  2  0  m  2 thì:

(2)  x = .

Do đó (1) vô nghiệm khi và chỉ khi

GPT tìm được m = 1.

• Vậy với m = 2 hoặc m = 1 phương trình (1) vô nghiệm.

2,0

0,5

0,25

0,5

0,5

0,25

Câu 4

Cho hệ phương trình

Tìm m để hệ có nghiệm thỏa

Nhận xét : nên hệ có nghiệm với mọi m

Giải hệ có nghiệm

Tính

Ta có

2,0

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

Câu 5

Cho tam giác có trọng tâm

1) Phân tích véctơ theo hai véctơ và .

2) Điểm thỏa mãn chứng minh đẳng thức:

3) Gọi là giao điểm của và , tính tỉ số .

4,0

Gọi M là trung điểm của BC

1. Ta có :

0,5

0,5

0,5

1. Ta có

0,5

0,25

0,25

0,5

2. Đặt .

.

Theo 2) có

Ba điểm thẳng hàng nên hai vectơ cùng phương

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 6

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2,0

= =

Đặt , , .

Do abc = 1 xyz = 1 và a,b,c dương suy ra x,y,z dương. Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

, ,

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1.

Vậy khi x = y = z = 1

0,5

0,5

0,5

0,5