Phương Pháp Tính Diện Tích Tam Giác, Diện Tích Tứ Giác Sách Toán Lớp 9

Chuyên đề 5. TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, DIỆN TÍCH TỨ GIÁC NHỜ SỬ DỤNG CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC

A. Đặt vấn đề

Ta đã biết cách tính diện tích tam giác theo một công thức rất quen thuộc là trong đó a là độ dài một cạnh của tam giác, h là chiều cao ứng với cạnh đó. Bây giờ ta vận dụng các tỉ số lượng giác, các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để xây dựng thêm các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Chứng minh rằng diện tích một tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.

Giải

Gọi là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC. Vẽ đường cao CH. Xét vuông tại H có

Diện tích là Do dó

Lưu ý: Nếu ta có ngay

Như vậy điều này sẽ học ở các lớp trên.

Ví dụ 2. Tứ giác ABCD có góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng .

Chứng minh rằng diện tích của tứ giác này được tính theo công thức

G iải

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử

Vẽ

Ta có

và

Diện tích tứ giác là:

Lưu ý:

• Nếu ta có ngay

• Phương pháp tính diện tích của tứ giác trong ví dụ này là chia tứ giác thành hai tam giác không có điểm trong chung, rồi tính diện tích của từng tam giác.

Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c. Tính diện tích tam giác ABC biết

Giải

Theo định lí côsin ta có:

Do đó

Suy ra

Vậy diện tích tam giác ABC là:

Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tìm rồi suy ra Ta cũng có thể vận dụng định lí côsin để tìm rồi suy ra (hoặc tìm rồi suy ra

Ví dụ 4. Tứ giác ABCD có Góc nhọn giữa hai đường chéo là Tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó.

Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Giả sử

D iện tích tứ giác ABCD là:

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Do đó

Vậy khi

Ví dụ 5. Cho tam giác Vẽ đường phân giác AD.

Chứng minh rằng:

Giải

T a có

Mặt khác nên

Do đó

Suy ra

Nhận xét: Phưong pháp giải trong ví dụ này dựa trên quan hệ tổng diện tích các tam giác ABD và tam giác ACD bằng diện tích tam giác ABC.

Ví dụ 6. Tam giác ABC có mỗi cạnh đều nhỏ hơn 4cm. Chứng minh rằng tam giác này có diện tích nhỏ hơn

Giải

Giả sử khi đó và

Diện tích tam giác ABC là:

Nhận xét: Do vai trò các góc A, B, C của tam giác ABC là như nhau nên ta có thể giả sử từ đó suy ra dẫn tới

C. Bài tập vận dụng

• Tính diện tích

5.1. Chứng minh rằng diện tích cùa hình bình hành bằng diện tích của hai cạnh kề nhân với sin của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh ấy.

5.2. Cho hình chữ nhật và Chứng minh rằng diện tích của hình chữ nhật ABCD là

5.3. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A và C, trên tia Oy lấy điểm B và D sao cho Chứng minh rằng

5.4. Tam giác nhọn ABC có Gọi diện tích tam giác ABC là S. Chứng minh rằng Áp dụng với và Tính S.

5.5. Cho góc xOy có số đo bằng Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho Tính diện tích lớn nhất của tam giác AOB.

5.6. Cho tam giác nhọn ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M,N, P sao cho Chứng minh rằng diện tích tam giác MNP nhỏ hơn diện tích tam giác ABC.

5.7. Cho đoạn thẳng Lấy điểm O nằm giữa A và B sao cho Trên một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Một góc vuông đỉnh O có hai cạnh cắt các tia Ax, By lần lượt tại D và E. Tính diện tích nhỏ nhất của tam giác DOE.

5.8. Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng DC và BC.

a) Chứng minh rằng từ đó suy ra

b) Cho và Tính diện tích và tứ giác AKCH.

• Chứng minh các hệ thức

5.9. Cho tam giác Đường phân giác ngoài tại đỉnh A cắt đường thẳng BC tại N. Chứng minh rằng:

5.10. Cho tam giác ABC vuông tại Các đường phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của tam giác cắt đường thẳng BC tại M và N. Chứng minh rằng: 

a) b)

5.11. Cho tam giác Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh rằng:

5.12. Cho góc xOy có số đo bằng Trên tia phân giác của góc đó lấy điểm A sao cho . Qua A vẽ một đường thẳng cắt Ox và Oy theo thứ tự tại B và C.

Tính giá trị của tổng

5.13. Cho hình bình hành ABCD, góc nhọn giữa hai đường chéo bằng góc nhọn của hình bình hành. Chứng minh rằng độ dài hai đường chéo tỉ lệ với độ dài hai cạnh kề của hình bình hành.

• Tính số đo góc. Tính độ dài

5.14. Tam giác nhọn ABC có và có diện tích là Tính số đo góc B (làm tròn đến độ).

5.15. Cho hình bình hành Biết và diện tích của hình bình hành là Tính số đo các góc của hình bình hành.

5.16. Cho tam giác ABC có diện tích Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho nhọn, có diện tích là Chứng minh rằng

5.17. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Biết và Tính độ dài AD (làm tròn đến hàng phần mười).

5.18. Cho tam giác Vẽ đường phân giác AD. Tính độ dài AD.

5.19. Cho tam giác Vẽ đường phân giác AD. Tính độ dài AD.

5.20. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Biết tính số đo góc BAC.

HƯỚNG DẪN GIẢI-ĐÁP SỐ

5 .1. Xét hình bình hành

Vẽ đường cao AH.

Xét tam giác ADH vuông tại H, ta có:

D iện tích hình bình hành ABCD là:

Vậy

5.2. Xét vuông tại B có

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

5 .3. Tacó

Do đó

5.4. Vì nhọn nên theo định lí côsin ta có

Ta có (vì

Do đó .

Áp dụng: Với và ta có:

(đvdt)

5 .5. Ta đặt diện tích tam giác AOB là S.

Ta có

Nhưng

Do đó khi

Vậy

5 .6. Tacó

Ta đặt và

Khi đó:

Vậy Do đó

Cách giải khác: (không dùng tỉ số lượng giác) (h.5.10)

Vẽ đoạn thẳng AN. Xét các tam giác NMB và NAB có và chung chiều cao vẽ từ 4

đ ỉnh N nên

Xét các tam giác ABN và ABC có nên

Từ (1) và (2) suy ra

Chứng minh tương tự ta được

Do đó

5.7. Ta có (cùng phụ với

T a đặt thì

Xét vuông tại O, ta có:

Xét vuông tại B, ta có:

Diện tích tam giác DOE là:

Áp dụng bất đẳng thức ta được:

hay

Thay vào (*) ta đươc:

(dấu “=” xảy ra khi

Vậy khi

Nhận xét: Việc đặt giúp ta tính được các cạnh góc vuông của từ đó tính được diện tích của tam giác này theo các tỉ số lượng giác của góc Do đó việc tìm đưa về tìm đơn giản hơn.

5.8. a) Ta có mà nên

• và có:

(hai góc đối của hình bình hành).

Do đó ∽ (g.g).

S uy ra

Do đó (vì

• và có (cùng phụ với

Do đó ∽ (c.g.c).

Suy ra

Xét vuông tại K có

Vậy hay

b) Diện tích tam giác ABC là (đvdt).

Vì ∽ nên

Suy ra (đvdt)

Ta có (dvdt)

(đvdt)

(đvdt)

Mặt khác

Nên (đvdt)

5.9. Ta có

Vì

nên

Do đó

Suy ra hay

5.10. a) AM, AN là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên

;

;

(vì vuông tại A).

Mặt khác, nên:

Do đó

hay ;

b) Góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AN, AC là

Ta có

(vì vuông tại A).

Mặt khác, nên

Do đó

Suy ra hay

5.11.

• Trường hợp góc A nhọn

Ra đặt

Ta có

Mặt khác, nên

Suy ra

(vì

Do đó

Suy ra dẫn tới

• Trường hợp góc A tù

Ta đặt thì

Khi đó là góc nhọn.

Ta có

Do đó

Suy ra

Do đó hay

Nhận xét: Nếu thì ta chứng minh được vẫn phù hợp với kết luận của bài toán.

5 .12.

Ta có

Mặt khác,

nên

Do đó

Suy ra hay

5.13. Gọi O là giao điểm hai đường chéo.

Ta đặt

Giả sử

Xét có là góc ngoài nên

Mặt khác Suy ra

Ta có

Mặt khác nên

D o đó hay

5.14. Ta có

Vậy

5 .15. Ta có

Vậy

5.16. Ta đặt

K hi đó diện tích là

Ta có

Mặt khác (dấu “=” xảy ra khi

Do đó

Vậy

5.17. Ta có (bài 5.11)

Do đó

Suy ra

5.18. Ta có

D o đó

5.19. Vì cạnh CA là cạnh lớn nhất nên góc B là góc lớn nhất trong

Ta thấy (vì nên góc B là góc nhọn, do dó là tam giác nhọn.

Theo định lí côsin ta có:

Do đó

Ta có:

5.20. Ta đặt Ta có

Mặt khác

Suy ra Do đó

Do đó