Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 6 – Quy Nạp Toán Học Chứng Minh Bài Toán Chia Hết

CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIACÓ DƯ

CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC CHỨNG MINH BÀI TOÁN CHIA HẾT

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. TÍNH CHẤT CHUNG

1) và thì

2) với mọi khác 0

3) với mọi khác 0

4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1

2. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU

- Nếu cùng chia hết cho m thì chia hết cho và chia hết cho

- Tổng (Hiệu) của 2 số chia hết cho và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho .

- Nếu 1 trong 2 số chia hết cho số kia không chia hết cho thì tổng, hiệu của chúng không chia hết cho .

3. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA 1 TÍCH

- Nếu một thừa số của tích chia hết cho thì tích chia hết cho

- Nếu chia hết cho thi bội của a cũng chia hết cho

- Nếu chia hết cho , chia hết cho n thì chia hết cho

- Nếu chia hết cho thì:

4. CÁC TÍNH CHẤT KHÁC:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

₉₎ (p là số nguyên tố) thì hoặc hoặc

5. CÁC TÍNH CHẤT SUY LUẬN ĐƯỢC

- Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẵn và một số lẻ.

- Tổng hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ.

- Tích hai số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn.

- Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.

- Tổng của hai số tự nhiên bất kỳ là một số lẻ thì có một số tự nhiên là số chẵn.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

1, Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là số mũ) chia hết cho một số.

2, Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là cơ số) chia hết cho một số.

3, Dạng 3: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức.

Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là số mũ) chia hết cho một số.

I. Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau:

PHƯƠNG PHÁP 1:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với ( giả thiết quy nạp)

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với .

PHƯƠNG PHÁP 2:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với có nghĩa là

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với có nghĩa là

Bước 3: Ta chứng minh .

II. Bài toán:

Bài 1: Chứng minh rằng: chia hết cho 3 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 3 với mọi .

Bài 2: Chứng minh rằng: chia hết cho 6 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 6 với mọi .

Bài 3: Chứng minh rằng: chia hết cho 8 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 8 với mọi .

Bài 4: Chứng minh rằng: chia hết cho 6 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 6 với mọi .

Bài 5: Chứng minh rằng: chia hết cho 15 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 15 với mọi .

Bài 6: Chứng minh rằng: chia hết cho 3 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 3 với mọi .

Bài 7: Chứng minh rằng: chia hết cho 35 với mọi

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 35 với mọi .

Bài 8: Chứng minh rằng: chia hết cho 9 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 9 với mọi .

Bài 9: Chứng minh rằng: chia hết cho 9 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 9 với mọi .

Bài 10: Chứng minh rằng: chia hết cho 9 với mọi

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , Xét

Vậy chia hết cho 9 với mọi

Bài 11: Chứng minh rằng: chia hết cho 9 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Mà

Vậy chia hết cho 9 với mọi .

Bài 12: Chứng minh rằng: chia hết cho 225 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Ta có :

Vậy chia hết cho 225 với mọi .

Bài 13: Chứng minh rằng chia hết cho 7 với mọi .

Giải:

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 7 với mọi .

Bài 14: Chứng minh rằng chia hết cho 133 với mọi .

Giải:

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 133.

Bài 15: Chứng minh rằng: chia hết cho 32 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 32 với mọi .

Bài 16: Chứng minh rằng: chia hết cho 169 với mọi .

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy chia hết cho 169 với mọi .

Bài 17: Chứng minh rằng: chia hết cho 8 với mọi

Giải: Ta sử dụng phương pháp 2

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Xét

Vậy chia hết cho 8 với mọi .

Bài 18: Chứng minh rằng: chia hết cho 27 với mọi .

Giải: Ta sử dụng phương pháp 2

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Xét

Đặt

Ta có và

Nên:

Vậy chia hết cho 27 với mọi .

Bài 19: Chứng minh rằng: chia hết cho 64 với mọi .

Giải: Ta sử dụng phương pháp 2

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Xét

Mà chia hết cho 8 với mọi (bài 17)

Nên:

Vậy chia hết cho 64 với mọi .

Bài 20: Chứng minh rằng: chia hết cho 64 với mọi

Giải: Ta sử dụng phương pháp 2

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Xét

Đặt

Ta có và

Nên:

Vậy chia hết cho 64 với mọi .

Dạng 2: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là cơ số) chia hết cho một số.

I. Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau:

PHƯƠNG PHÁP:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với ( giả thiết quy nạp)

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với

Ta dùng một số Hằng đẳng thức sau:

1.

2.

3.

4.

II. Bài toán:

Bài 1: Chứng minh rằng với thì chia hết cho 3.

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy với thì chia hết cho 3.

Bài 2: Chứng minh rằng với thì chia hết cho 6.

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy với thì chia hết cho 6.

Bài 3: Chứng minh rằng với ta luôn có chia hết cho 3.

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy với ta luôn có chia hết cho 3.

Bài 4: Chứng minh rằng với ta luôn có chia hết cho 6.

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy với ta luôn có chia hết cho 6.

Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi số thì chia hết cho .

Giải:

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Mà

Vậy với mọi số thì chia .hết cho .

Dạng 3: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức.

I. Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau:

PHƯƠNG PHÁP:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với ( giả thiết quy nạp)

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với có nghĩa là khi ta chứng minh vế trái bằng vế phải.

II. Bài toán:

Bài 1: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái chỉ có một số hạng là 1, vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Bài 2: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Bài 3: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái chỉ có một số hạng là 1 , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Bài 4: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Bài 5: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Bài 6: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Bài 7: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Bài 8: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Bài 9: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi

Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có:

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Bài 11: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .