Đề Thi Chuyên Toán Vào Lớp 10 – Chuyên Tin Sở GD Quảng Nam 2022

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2021-2022

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN (Chuyên Tin)

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Khóa thi ngày: 03-05/6/2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2021-2022

HDC CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN TIN

Câu

Nội Dung

Điểm

Câu 1

Cho biểu thức (với ) .

Rút gọn biểu thức P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho

1,5

Tính được

0,25

Suy ra

0,25

0,25

Kết quả:

0,25

0,25

0,25

Câu 2

Cho phương trình , với m là tham số nguyên. Chứng minh rằng không phải là nghiệm của phương trình (*) và phương trình này có không quá một nghiệm nguyên.

1,0

Đặt

Tính

Vì m là số nguyên nên

Vậy không phải là nghiệm của phương trình (*).

0,25

0,25

Giả sử là nghiệm nguyên của phương trình (*), ta có

Khi đó chia hết cho , suy ra ( ) là số lẻ, suy ra là số chẵn.

_{Giả sử PT (*) có 2 nghiệm} nguyên phân biệt

Suy ra: là các số chẵn và .

Ta có Do vế trái là số lẻ nên mâu thuẩn. Vậy bài toán được chứng minh.

0,25

0,25

Câu 3

Cho parabol và đường thẳng (m là tham số). Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn

1,0

Phương trình hoành độ giao điểm của và là

Hay (1)

0,25

Tính được và suy ra được

0,25

Theo hệ thức Viet

Ta có:

_{So điều kiện, suy ra m=3.}

0,25

0,25

Câu 4

( 2,0 )

a) Giải phương trình

1,0

0,25

0,25

Giải PT (*) ta được hoặc

So điều kiện, kết luận .

( HS có thể bình phương rồi thử lại).

0,25

0,25

b) Giải hệ phương trình .

1,0

Nhận thấy không phải là nghiệm của (2) nên rút

Thay vào phương trình (1) được:

Đưa về phương trình:

0,25

0,25

Với , suy ra hai nghiệm .

Với , suy ra hai nghiệm .

( Không lí luận thì trừ 0,25 và chấm tiếp)

0,25

0,25

Câu 5

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC cắt nhau tại O. Gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO và là đường tròn ngoại tiếp tam giác ACO. Kẻ các đường kính OP của và OQ của

a) Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh hai tam giác OEF và OQP đồng dạng.

c) Cạnh AC cắt đường tròn tại D (D khác A). Tiếp tuyến của tại P và tiếp tuyến của tại Q cắt nhau tại T. Chứng minh ba điểm O, D, T thẳng hàng.

3.5

5a

a. Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp trong đường tròn.

1,0

Hình vẽ phục vụ câu a.

Nêu được (mỗi ý cho 0,25)

Suy ra tứ giác AEOF nội tiếp.

0,25

0,5

0,25

5b

b. Chứng minh đồng dạng với .

1,5

Hình vẽ

0,25

Ta có . Suy ra 3 điểm P, A, Q thẳng hàng.

0,25

Xét hai tam giác và có:

Góc chung (1)

Suy ra (2)

0,25

0,25

0,25

Từ (1) và (2) suy ra hai tam giác và đồng dạng.

0,25

5c

Cạnh AC cắt đường tròn tại D (D khác A). Tiếp tuyến của tại P và tiếp tuyến của tại Q cắt nhau tại T. Chứng minh O, D, T thẳng hàng.

1,0

Lập luận:

(Tứ giác TPOQ nội tiếp)

0,25

0,25

0,25

Từ (1) và (2) suy ra và kết luận O, D, T thẳng hàng.

0,25

Câu 6

Cho các số thực dương thỏa mãn .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

1,0

Cách 1:

Có

.

0,25

0,25

0,25

Dấu bằng xảy ra khi . Vậy Min P=3.

0,25

Cách 2:

Biến đổi giả thiết

_{CM được BĐT}

0,25

0,25

_{Áp dụng: thu được}

0,25

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1. Vậy Min P=3.

0,25