CHUYÊN ĐỀ 4: DÃY SỐ TỰ NHIÊN THEO QUY LUẬT

1. DẠNG 1: MỘT SỐ DÃY SỐ TỔNG QUÁT

• A = 1+2+3+…+(n-1)+n =

• A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +.…+ (n – 1) n =

• A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1) =

• A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n =

• A = 1² +2² +3²+...+(n-1)² +n² =

• A = 1³ +2³ +3³+...+(n-1)³ +n³ =

• A = 1⁵ + 2⁵ + .... + n⁵ = .n² (n + 1) ² ( 2n² + 2n – 1 )

• A = 1+ p + p ² + p³ + ..... + pⁿ = ( p 1)

• A = 1+ 2p +3p ² + .... + ( n+1 ) pⁿ = ( p 1)

• A =1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1) = n².(n + 1)

• A = 1³⁺ +3³ +5³ +... + (2n +1 )³ = (n +1)².(2n² +4n +1)

• A = = , ( n > 1 )

• A = = =

• A = =

2. DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

1. A = 1 + 2 + 3 + …+ 2015

2. B = 1 + 3 + 5 + …+ 1017

3. C = 2 + 4 + 6 +… + 2014

4. D = 1 + 4 + 7 + …+ 2008

5. E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 1001.1002

6. F = 1.3 + 2.4 + 3.5 + …+ 2013.2015

7. G = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +…+ 2013.2014.2015

8. H = 1² +2² +3²+...+ 99² + 100²

9. I = 1² +2² +3²+...+1001² +1002²

10. J = 6+16+30+48+...+19600+19998

11. K = 2+5+9+14+...+4949+5049

12. L = 2² +4² +6² +...+98² +100²

13. M = 1³+2³+3³+...+99³+100³

14. N = 1 + 5² + 5³ + … + 5¹⁰⁰

15. O = 1 + 3¹ + 3² + …+ 3¹⁰⁰

Bài 2: Tìm giá trị của x để thỏa mãn điều kiện:

1. Cho A= 3 + 3² + 3³ + 3⁴ +.....3¹⁰⁰

Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3ⁿ

2. Cho M = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ +.....3¹⁰⁰

Hỏi :

a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao?

b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3ⁿ

3. Cho biểu thức: M = 1 +3 + 3²+ 3³+…+ 3¹¹⁸+ 3¹¹⁹

a) Thu gọn biểu thức M.

b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?

4. Cho A = 1 – 2 + 3 – 4 +....... 99 – 100

a) Tính A.

b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?

c) A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ?

5. Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +....

a) Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ?

b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ?

6. Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +....

a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A.

b) Tìm số hạng thứ 2004 của A.

7. Tìm giá trị của x trong dãy tính sau:

(x+2)+(x+12)+(x+42)+(x+47) = 655

8. Tìm x biết :

x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + …+ (x+2009) = 2009.2010

9. Bạn Lâm đánh số trang một cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẵn 2, 4, 6, 8, … Biết mỗi chữ số viết mất 1 giây. Hỏi bạn Lâm cần bao nhiêu phút để đánh số trang cuốn sách?

10. Tích A = 1.2.3…500 tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?

11. Tính giá trị của biểu thức sau:

A = 9 + 99 + 999 + …+

12. Cho A = 1 + 4 + 4² + … + 4⁹⁹, B = 4¹⁰⁰. Chứng minh rằng: A < B/3

HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

1. A = 1 + 2 + 3 + …+ 2015

A = = = 2015.1008 = 2031120

2. B = 1 + 3 + 5 + …+ 1017

B = (1017 + 1). = 1018.509:2 = 259081

3. C = 2 + 4 + 6 +… + 2014

C= (2014 + 2). = 2016.1007:2= 1015056

4. D = 1 + 4 + 7 + …+ 2008

D = (2008 +1). = 2009.670:2= 673015

5. E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 1001.1002

E = = = 335337002

6. F = 1.3 + 2.4 + 3.5 + …+ 2013.2015

F = = = 2722383213

7. G = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +…+ 2013.2014.2015

G = =

G = 4117265071920

8. H = 1² +2² +3²+...+ 99² + 100²

H = = = 338350

9. I = 1² +2² +3²+...+1001² +1002²

I = = = 335839505

10. J = 6+16+30+48+...+19600+19998

.J = 1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 + …. + 98.100 + 99.101

.J = = = 331650

1. J = 331650 . 2 = 663300

11. K = 2+5+9+14+...+4949+5049

2K = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + 99.102

2K = 1.(2 + 2) + 2.(2 + 3) + 3.(2 + 4) + …+ 99.(2 + 100)

2K = 1.2 + 1.2 + 2.2 + 2. 3 + 3.2 + 3.4 + …+ 2.99 + 99.100

2K = (1.2 + 2.3 + 3.4 +… + 99.100) + 2.(1 + 2 + 3 + 4 + …+ 99)

2K = + 2.

2K = 333300 + 9900

2K = 343200

K = 343200 : 2 = 171600

12. L = 2² +4² +6² +...+98² +100²

L = 2².(1² + 2² + 3² +… + 50²)

L = 4. = 4. = 171700

13. M = 1³+2³+3³+...+99³+100³

M = = = 5050² = 25502500

14. N = 1 + 5² + 5³ + … + 5¹⁰⁰

N = 1+5.(1+5+5² +....... + 5⁹⁹ )

N = 1+5.( 1 + 5 +5²+ ...... + 5⁹⁹ + 5 ¹⁰⁰ - 5¹⁰⁰ )

=> N= 1+5.( N - 5¹⁰⁰ )

=> N = 1+ 5.N - 5¹⁰¹

1. 4N = 5¹⁰¹-1

2. N =

15. O = 1 + 3¹ + 3² + …+ 3¹⁰⁰

O =

Bài 2: Tìm giá trị của x để thỏa mãn điều kiện:

• Cho A= 3 + 3² + 3³ + 3⁴ +.....+ 3¹⁰⁰

Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3ⁿ

Ta có A = 3.(1+ 3 + 3² + 3³ + 3⁴ +.....+ 3⁹⁹)

A = 3.(1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ +.....+ 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ – 3¹⁰⁰)

A = 3.(1 + A – 3¹⁰⁰)

A = 3 + 3.A - 3¹⁰¹

2A = 3¹⁰¹ – 3

A =

3. 2A + 3 = 3ⁿ

 2. + 3 = 3ⁿ

 3¹⁰¹ – 3 + 3 = 3ⁿ

 3¹⁰¹ = 3ⁿ

 n = 101

• Cho M = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ +.....3¹⁰⁰

Hỏi :

• M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao?

Ta có: M chia hết cho 4 vì

M = 3.(1 + 3) + 3².(1 + 3) + …+ 3⁹⁹.(1 + 3)

M = 3.4 + 3².4+ …+ 3⁹⁹.4

M = 4.(3 + 3² + …+ 3⁹⁹) 4

Ta có:

M 12 vì M = 4.(3 + 3² + …+ 3⁹⁹) 4; 3 mà (4;3)=1

b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3ⁿ

M = 3.(1+ 3 + 3² + 3³ + 3⁴ +.....+ 3⁹⁹)

M = 3.(1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ +.....+ 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ – 3¹⁰⁰)

M = 3.(1 + M – 3¹⁰⁰)

M = 3 + 3.M - 3¹⁰¹

2M = 3¹⁰¹ – 3

M =

4. 2M + 3 = 3ⁿ

 2. + 3 = 3ⁿ

 3¹⁰¹ – 3 + 3 = 3ⁿ

 3¹⁰¹ = 3ⁿ

 n = 101

• Cho biểu thức: M = 1 +3 + 3²+ 3³+…+ 3¹¹⁸+ 3¹¹⁹

  • Thu gọn biểu thức M.

M =

• Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?

  • Xét M =

Một số có tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1. Do đó, 3¹²⁰ =3^4.30 có tận cùng là 1 => M có tận cùng là 0 => M chia hết cho 5

• M = 1 +3 + 3²+ 3³+…+ 3¹¹⁸+ 3¹¹⁹

M =(1 +3 + 3²) + 3³.(1 +3 + 3²) + …+ 3¹¹⁷.(1 +3 + 3²)

M = 13 + 3³ .13 + …+ 3¹¹⁷ .13

M = 13.(1 + 3³ +…+ 3¹¹⁷) 13

Vậy M chia hết cho 5, chia hết cho 13.

• Cho A = 1 – 2 + 3 – 4 +....... 99 – 100

  • Tính A.

A = ( 1 + 3 + … + 99) – (2 + 4 +…+ 100)

A = (99 + 1). : 2 – (100+2). : 2

A = 100.50:2 – 102.51:2

A = 2500 – 2601 = -101

• A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?

A không chia hết cho 2, 3 và 5

• A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ?

Ư(A) ={-101; -1; 1; 101} và 4 ước nguyên.

vậy A có 2 ước tự nhiên

• Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +....

  • Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ?

A = 1 + 6 + 6 + ….

• Nếu n lẻ : A = 1 + 6. = 181 => 6. = 180 => = 30 => n = 61 ( TM )

• Nếu n chẵn: A = - 6 – 6 - 6 - …. = (-6). = -3n = 181 (loại)

Vậy A có 61 số hạng.

• Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ?

Nếu n chẵn: A = - 6 – 6 - 6 - …. = (-6). = -3n

Nếu n lẻ: A = 1 + 6 + 6 + …. = 1 + 6. = 3n - 2

• Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +....

  • Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A.

Theo câu 5 n chẵn => A = -3n = -3.40 = -120

• Tìm số hạng thứ 2004 của A.

Ta có số hạng thứ nhất: A₁ = 1

Số hạng thứ 2: A₂ = (-1)^2-1.(1 + 6)

Số hạng thứ 3: A₃ = (-1)^3-1.(1 + 6.2)

Số hạng thứ 4: A₄ = (-1)^4-1.(1 + 6.3)

….

Số hạng thứ n: A_n = (-1)^n-1.[1+6.(n-1)]

n = 2004 => A₂₀₀₄ = (-1)^2003-1.[1+6(2004-1)] = - (1+6.2003)

A₂₀₀₄ = -12019

• Tìm giá trị của x trong dãy tính sau:

(x+2)+(x+12)+(x+42)+(x+47) = 655

 4.x + 2 + 12 + 42 + 47 = 655

 4.x + 103 = 655

 4.x = 655 – 103 = 552

 x = 552 : 4 = 138

• Tìm x biết :

x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + …+ (x+2009) = 2009.2010

2010x + (1 + 2 + 3 +…+ 2009) = 2009.2010

2010x + = 2009.2010

2010x = 2009.2010 – 2009.2010:2

 x = 2009 – 2009: 2 = 1004,5

• Bạn Lâm đánh số trang một cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẵn 2, 4, 6, 8, … Biết mỗi chữ số viết mất 1 giây. Hỏi bạn Lâm cần bao nhiêu phút để đánh số trang cuốn sách?

Từ trang 2 đến trang 8 gồm: (8 - 2) : 2 +1 = 4 trang ứng với 4 chữ số
Từ trang 10 - 98 gồm ( 98 - 10) : 2 + 1 = 45 trang ứng với 90 chữ số
Từ trang 100 - 284 gồm (284 - 100) : 2 + 1 = 93 trang ứng với 93.3 = 279 chữ số
Vậy bạn Lâm phải viết tất cả : 4 + 90 + 279 = 373 chữ số tương ứng với 373 
giây hay 6 phút 13 giây .

• Tích A = 1.2.3…500 tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?

 Số mũ của 5 trong 500! là

[ ]+[ ]+[ ]=124

Vậy tích 500! có tận cùng 124 chữ số 0.

• Tính giá trị của biểu thức sau:

A = 9 + 99 + 999 + …+

A = 10 – 1 + 10² – 1 + 10³ – 1 +…+ 10⁵⁰ – 1

A = 10 + 10² + 10³ +…+ 10⁵⁰ –

A = – 50 =

• Cho A = 1 + 4 + 4² + … + 4⁹⁹, B = 4¹⁰⁰. Chứng minh rằng: A < B/3

Ta có A = < = B (đpcm)