CHUYÊN ĐỀ 9: DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT

DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ

1. Bài tập minh họa:

Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số A = có giá trị là một số nguyên.

Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số A =

Bài 3: Cho phân số: A = với n thuộc số tự nhiên.

1. Với giá trị nào của n thì A rút gọn được.

2. Với giá trị nào của n thì A là số tự nhiên?

2. Bài tập tự luyện:

Bài 4: Tìm số tự nhiên n để phân số A = có giá trị là số nguyên.

Bài 5: Tìm số tự nhiên n để phân số A = sao cho:

1. Có giá trị là số tự nhiên.

2. Là phân số tối giản

3. Với giá trị nào của n trong khoảng 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được?

Bài 6: Tìm các giá trị nguyên của n để các phân số sau có giá trị là số nguyên:

1. A =

2. B =

1. DẠNG 2: TÍNH NHANH

3. Bài tập minh họa:

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:

1. S =

2. 

3. 

4. .

Bài 2: Tính các tổng sau:

1. A =
   
   
   

2. B =
   
   
   

3. C =
   
   
   

4. D =
   
   
   

5. 
   
   
   

6. 

4. Bài tập tự luyện:

• A =

• B = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n!

• C =

• D = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9

(50 chữ số 9)

• 

• 

• 

2. DẠNG 3: CHỨNG MINH BIỂU THỨC

5. Bài tập minh họa:

Bài 1: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản:

• 

• 

• 

Bài 2: Chứng minh rằng:

Bài 3: Cho A =1 +

Chứng minh rằng tổng A không phải là số tự nhiên.

Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:

a)

b)

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi ta có:

Bài 6: Cho . Chứng minh

Bài 7: Tổng bằng phân số . Chứng minh rằng a chia hết cho 149.

6. Bài tập tự luyện:

Bài 8: Cho . Chứng minh:

Bài 9: Cho . Chứng minh:

Bài 10: Cho . Chứng minh C > 48

Bài 11: Cho . Chứng minh

Bài 12: Cho . Chứng minh

Bài 13: Chứng minh với mọi n N; n > 1 ta có:

Bài 14: Cho . Chứng minh:

Bài 15: Cho . Chứng minh:

Bài 16: Cho . Chứng minh:

Bài 17: Cho . Chứng minh:

• DẠNG 4: TÌM X

7. Bài tập minh họa:

Bài 1: Tìm x, biết rằng:

Bài 2: Tìm x, biết rằng:

Bài 3: Tìm x, biết rằng:

Bài 4: 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820

• Bài tập tự luyện:

Bài 5: 1 +

Bài 6:

Bài 7:

• DẠNG 5: SO SÁNH PHÂN SỐ

• Bài tập minh họa:

Bài 1: Cho và

So sánh A và B?

Bài 2: Cho A = 1 + 2 + 3 + … + 1000 và B = 1.2.3…11

So sánh A và B?

Bài 3: So sánh với

Bài 4: So sánh với

• Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho và

So sánh A và B?

Bài 2: Cho và

So sánh A và B?

Bài 3: So sánh và

Bài 4: So sánh:

• 63⁷ và 16¹²

• và

• và

• 5²⁹⁹ và 3⁵⁰¹

• 3²³ và 5¹⁵

• 127²³ và 513¹⁸

• 1990¹⁰ + 1990⁹ và 1991¹⁰

• 3⁵⁰⁰ và 7³⁰⁰

• 99²⁰ và 9999¹⁰

• 202³⁰³ và 303²⁰²

• DẠNG 5: TÌM GIÁ TRỊ THỎA MÃN BIỂU THỨC

Bài 1: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho:

Bài 2: Tìm các số nguyên x và y sao cho:

HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ

1. DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ

8. Bài tập minh họa:

Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số A = có giá trị là một số nguyên.

A = => 2A = = 1 + Để 2A nguyên thì 2n – 8 phải là ước của 28

Ta có bảng đáp số:

2n - 8	n	2A	A	Kết luận
-28	-10	-1	-1/2	L
-14	-3	-2	-1	TM
-7	½	-4	-2	L
-4	2	-7	-7/2	L
-2	3	-14	-7	TM
-1	7/2	-28	-14	L
1	9/2	28	14	L
2	5	14	7	TM
4	6	7	7/2	L
7	15/2	4	2	L
14	11	2	1	TM
28	18	1	1/2	L

Bài 3: Cho phân số: A = với n thuộc số tự nhiên.

1. Với giá trị nào của n thì A rút gọn được.

2. Với giá trị nào của n thì A là số tự nhiên?

Hướng dẫn:

1. Ta có: A =

Để A rút gọn được <=> 3n + 1 3 hoặc 3n + 1 7.

TH1: 3n + 1 3 (Vô lý)

TH2: 3n + 1 7. Với n = 7k + 2 (k  N) thì 3n + 1 7.

Kết luận: n = 7k + 2 (k  N) thì phân số A = rút gọn được.

2. Để A là số tự nhiên <=> 63 (3n + 1) <=> 3n + 1 là ước của 63.

Ư(63) = {1; 3; 7; 9; 21; 63}

3. DẠNG 2: TÍNH NHANH

9. Bài tập minh họa:

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:

• S =

3S = 3 + (1 + )

3S = 3 + S -

2S = 3 -

S =

• 

2A = 1 +

2A = 1 +A -

A = 1 -

• 

C = . . ….. = = 50

• .

Bài 2: Tính các tổng sau:

• A =
  A = 1 - + - + - + ..+ -

A = 1 - =

• B =
  B = =

B = =

• C =
  
  
  

Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:

Ta xét:

- = ; - = ; …;

- =

Tổng quát: - =

2C = - + - + …+ - = -

2C = =

C =

• D =

D = = 1

• 
  
  
  

• 

10. Bài tập tự luyện:

• A =

A =

A = =

• B = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n!

Ta có : 1! = 2! -1! 
2.2! = 3 ! -2! 
3.3! = 4! -3! 
..... ..... ..... 
n.n! = (n + 1) –n! 

Vậy

B = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1

• C =

Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:

Ta xét:

- = ; - = ; …; - =

Tổng quát: - =

C = - + - + …+ - = -

C= =

• D = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9

(50 chữ số 9)

D = 10 – 1 + 100 -1 + 1000 – 1 + ….+ - 1

D = – 50.1 =

• 

S = Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:

Ta xét:

- = ; - = ; …; - =

Tổng quát: - =

C = - + - + …+ - = -

C = =

• 

• 

4. DẠNG 3: CHỨNG MINH BIỂU THỨC

11. Bài tập minh họa:

Bài 1: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản:

• 

• 

• 

Bài 2: Chứng minh rằng:

Bài 3: Cho A =1 +

Chứng minh rằng tổng A không phải là số tự nhiên.

Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:

a)

VT =

= = = = VP (đpcm)

b)

VT =

= = . =

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi ta có:

Ta có VT =

= < . = => đpcm

Bài 6: Cho . Chứng minh

A > + + +…+ = - + - +…+ -

= - = = (1)

A < + +…+ = 1 - + - +…+ - = 1 - = (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

Bài 7: Tổng bằng phân số . Chứng minh rằng a chia hết cho 149.

12. Bài tập tự luyện:

Bài 8: Cho . Chứng minh:

Ta có: < = -

Thay n = 1, 2, 3, …, 1003

Ta có: A < - = (đpcm)

Bài 9: Cho . Chứng minh:

Ta có: < ; < ; … ; <

1. B = + + …+ < + + …+

Bài 10: Cho . Chứng minh C > 48

C có 49 số hạng

Ta có: C – 49 = -(1 - + 1 - + 1 - + …+ 1 - )

2. C – 49 = -

3. C = 49 - = 49 – D

Xét D = = + + …+

D < + + … + = 1 - + - + …+ - = 1 - < 1

D < 1 => 49 – D > 49 – 1 = 48

4. C > 48 (đpcm)

_{Bài 11}: Cho . Chứng minh

Áp dụng công thức: 1 +2+ 3 + …+ n =

M = + + …+ = 2

= 2 = 2 = 2. = < =

5. M < (đpcm).

Bài 12: Cho . Chứng minh

Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:

Ta xét:

- = ; - = ; …; - =

Tổng quát: - =

Do đó: 2A = + + …+

= + +…+

= - =

6. A = < = (đpcm)

Bài 13: Chứng minh với mọi n N; n > 1 ta có:

A < + + + …+

Nhận xét: mỗi số hạng tổng có dạng:

= .

Từ đó suy ra:

A < .

= . < . = (đpcm)

Bài 14: Cho . Chứng minh:

Hướng dẫn giải:

4

3C = 5 -

C <

Bài 15: Cho . Chứng minh:

Hướng dẫn giải:

(1)

(2)

Từ (1), (2) suy ra:

_{Bài 16}: Cho . (1) Chứng minh:

Biểu thức C là tích của 100 phân số nhỏ hơn 1, trong đó các tử đều lẻ, các mẫu đều chẵn. Ta đưa ra biểu thức trung gian là một tích các phân số mà các tử đều chẵn, các mẫu đều lẻ. Thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi phân số của A, giá trị mỗi phân số tăng thêm, do đó:

C < . . ….. (2)

Nhân (1) với (2) theo từng vế ta được:

C² < ( . . ….. ).( . . ….. )

Vế phải của bất đẳng thức trên bằng

Vậy C² < (đpcm)

• DẠNG 4: TÌM X

13. Bài tập minh họa:

Bài 1: Tìm x, biết rằng:

 .( - + - + - + … + - ) =

 .( - ) =

 - = .3 =

 = - =

 x + 3 = 308

 x = 305

_{Bài 2}: Tìm x, biết rằng:

<=> x - =

 5x = 90

 x = 18

_{Bài 3}: Tìm x, biết rằng:

 (x – 5).30 = 200x + 500

(x – 5).3 = 20x + 50

 3x – 15 = 20x + 50

 17x = -65

 x = -

Bài 4: 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820

 = 820

 x(x+1) = 1640 = 40.41

Vậy x = 40

• DẠNG 5: SO SÁNH PHÂN SỐ

• Bài tập minh họa:

Bài 1: Cho và

So sánh A và B?

Ta có:

10A = = 1 +

10B = = 1 +

Vì > nên 10A > 10B, do đó A > B.

Bài 2: Cho A = 1 + 2 + 3 + … + 1000 và B = 1.2.3…11

So sánh A và B?

Ta có: A = < 10³.10³ = 10⁶

B = (2.5).(3.4).(6.7).(8.9).10.11 > 10⁶

Vậy A < B

_{Bài 3}: So sánh với

Ta có : L = . . … . = >

Vậy L >

Bài 4: So sánh với

Ta có:

M = . . ….. = = = =

• Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho và

So sánh A và B?

Ta có:

10A = = 1 +

10B = = 1 +

Vì > nên 10A > 10B, do đó A > B.

Bài 2: Cho và

So sánh A và B?

Áp dụng tính chất: nếu > 1 thì < (m > 0)

Vì B > 1 nên

B = > = = = = A

Vậy A < B

Bài 3: So sánh và

Ta có: U =

U = =

Vì < => U < V

Bài 4: So sánh:

1. 63⁷ và 16¹²

63⁷ < 64⁷ = (8²)⁷ = 8¹⁴

16¹² = (2⁴)¹² = 2⁴⁸ = 2^3.16 = (2³)¹⁶ = 8¹⁶

8¹⁴ < 8¹⁶ nên 63⁷ < 16¹²

2. và

= =

= =

Ta có : 2³⁵ < 2³⁶ nên > => >

3. và

= và < =

> => >

4. 5²⁹⁹ và 3⁵⁰¹

5²⁹⁹ < 5³⁰⁰ = (5³)¹⁰⁰ < (3⁵)¹⁰⁰ = 3⁵⁰⁰ < 3⁵⁰¹

Vậy 5²⁹⁹ < 3⁵⁰¹

5. 3²³ và 5¹⁵

3²³ = 9.(3³)⁷ > 5.(5²)⁷ = 5¹⁵

6. 127²³ và 513¹⁸

127²³ < 128²³ = (2⁷)²³ = 2¹⁶¹
513¹⁸ > 512¹⁸ = (2⁹)¹⁸ = 2¹⁶²

Vì 2¹⁶² > 2¹⁶¹ nên 513¹⁸ > 127²³

7. 1990¹⁰ + 1990⁹ và 1991¹⁰

1990⁹.(1990+1) = 1991.1990⁹

1991¹⁰ = 1991.1991⁹

Vì 1991⁹ > 1990⁹ nên 1991.1991⁹ > 1991.1990⁹ => 1991¹⁰ > 1990¹⁰ + 1990⁹

8. 3⁵⁰⁰ và 7³⁰⁰

3⁵⁰⁰ = 3^5.100 = (3⁵)¹⁰⁰ = 243¹⁰⁰
7³⁰⁰ = 7^3.100 . (7³ )¹⁰⁰ = (343)¹⁰⁰
Vì 243¹⁰⁰ < 343¹⁰⁰ => 3⁵⁰⁰ < 7³⁰⁰ 

9. 99²⁰ và 9999¹⁰

99²⁰ = (99²)¹⁰ = (99.99)¹⁰ = 99¹⁰. 99¹⁰
9999¹⁰ =( 101.99)¹⁰ = 101¹⁰ . 99¹⁰
Vì 101> 99 nên 101¹⁰ > 99¹⁰
=> 101¹⁰ . 99¹⁰ > 99¹⁰. 99¹⁰
Vậy 9999¹⁰ > 99²⁰

10. 202³⁰³ và 303²⁰²

Vì 202³⁰³ = (2.101)^3.101 = (2³.101³)¹⁰¹ = (8.101.101²)¹⁰¹ = (808.101²)¹⁰¹

Và 303²⁰² = (3.101)^2.101 = (3².101²)¹⁰¹ = (9.101²)¹⁰¹

Mà (808.101²)¹⁰¹ > (9.101²)¹⁰¹ nên 202³⁰³ > 303²⁰²

• DẠNG 5: TÌM GIÁ TRỊ THỎA MÃN BIỂU THỨC

Bài 1: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho:

Đkxđ : y ≠ 0

 =

 5xy – 60 = 3y

 y(5x – 3) = 60

 y =

Vì y là số tự nhiên nên 5x – 3 phải là ước của 60

Vì x cũng là số tự nhiên nên giá trị của x thỏa mãn là x = 1; x = 3

Vậy x = 3, y = 5; x = 1, y = 30

Đkxđ: x ≠ 0

 =

 24 – 2xy= 5x

 x(5 + 2y) = 24

 x =

Vì x là số tự nhiên nên 5 +2y là ước của 24 , vì y cũng là số tự nhiên nên không có giá trị nào của x, y thỏa mãn.

Bài 2: Tìm các số nguyên x và y sao cho:

Đkxđ: x≠0
<=> =
<=> x+2xy=3
<=> x =
x nguyên nên 2y + 1 là ước lẻ của 30. Ta có:

2y+ 1	1	-1	3	-3	5	-5	15	-15
2y	0	-2	2	-4	4	-6	14	-16
y	0	-1	1	-2	2	-3	7	-8
x	30	-30	10	-10	6	-6	2	-2

Đkxđ : y ≠ 0

 =

 =

5xy – 60 = y

5xy – y = 60

y (5x – 1) = 60

 y =

Vì y là số nguyên nên 5x – 1 phải là ước của 60 và chia cho 5 thiếu 1. Ta có:

5x – 1	-1	4	-6
5x	0	5	-5
x	0	1	-1
y	-60	15	-10