Bài Tập Vận Dụng Các Công Thức Toán Hình Lớp 9 Nâng Cao Kèm Lời Giải

CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9

CÓ LỜI GIẢI

Câu 1. Cho tứ giác nội tiếp . Gọi là giao điểm của . là giao điểm của và . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm khác . Tiếp tuyến của tại cắt nhau tại .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh thẳng hàng.

Câu 2. Cho đường tròn đường kính . Trên tiếp tuyến tại của lấy điểm Vẽ cát tuyến (tia nằm giữa 2 tia , , nằm giữa ). Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và ,

a) Vẽ tiếp tuyến của . Chứng minh là tứ giác nội tiếp

b) Vẽ tại . Chứng minh là tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh thẳng hàng.

Câu 3. Cho tứ giác nội tiếp . Gọi là giao điểm của và . Vẽ đường kính . Gọi là giao điểm của . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm khác .

a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp

d) Chứng minh thẳng hàng.

Câu 4. Cho tam giác nhọn . Đường tròn đường kính cắt tại . cắt tại . cắt tại . Chứng minh các tứ giác nội tiếp.

Câu 5. Cho tam giác nhọn các đường cao cắt nhau tại . Vẽ tại tại , . Gọi là điểm đối xứng của qua . Chứng minh tứ giác nội tiếp và

Câu 6. Từ điểm nằm ngoài đường tròn . Vẽ hai tiếp tuyến là hai tiếp điểm) và một cát tuyến đến sao cho ( nằm giữa 2 tia , ,Đường thẳng qua song song với cắt lần lượt tại . Gọi là điểm đối xứng với qua . Gọi là giao điểm của với

a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.

b) Ba điểm thẳng hàng.

Câu 7. Từ điểm nằm ngoài đường tròn . Vẽ hai tiếp tuyến ( là hai tiếp điểm). Từ điểm nằm trên cung ( nằm cùng phía ) dựng tiếp tuyến cắt tại . cắt tại . Gọi là giao điểm của . Chứng minh là các tứ giác nội tiếp.

Câu 8. Cho tam giác nhọn . Đường tròn đường kính cắt tại . cắt tại , các tiếp tuyến của tại cắt nhau tại . Vẽ tiếp tuyến của với thuộc cung nhỏ , , . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại .

a) Chứng minh các tứ giác nội tiếp

b) Ba điểm thẳng hàng.

c) Ba điểm thẳng hàng.

d) Ba điểm thẳng hàng.

Câu 9. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn có hai đường cao cắt nhau tại . Gọi là trung điểm của . Giả sử cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại .

a) Chứng minh thẳng hàng.

b) Giả sử cắt tại . Chứng minh thẳng hàng.

Câu 10. Cho tam giác ngoại tiếp . Gọi là tiếp điểm của với . Gọi lần lượt là trung điểm của . Đường thẳng cắt tại .

a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp

b) Ba điểm thẳng hàng.

Câu 11. Cho tam giác có ba đường cao cắt nhau tại . Từ ta dựng các tiếp tuyến đến đường tròn đường kính .

a) Chứng minh các tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Câu 12. Cho tam giác nhọn có các đường cao cắt nhau tại điểm . Gọi là trung điểm của . Các phân giác của góc cắt nhau tại .

a) Chứng minh 5 điểm nằm trên một đường tròn. Điểm là trung điểm cung nhỏ .

b) Ba điểm thẳng hàng.

Câu 13. Cho tam giác nhọn có các đường cao cắt nhau tại điểm .Đường thẳng cắt nhau tại điểm . Gọi là trung điểm . Giả sử các đường tròn ngoại tiếp các tam giác cắt nhau tại giao điểm thứ 2 là .

a) Chứng minh các tứ giác là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh là tam giác vuông.

Câu 14. Cho tam giác nhọn có trực tâm là điểm . Gọi là chân các đường cao hạ từ của tam giác .Gọi là điểm trên cạnh . Gọi là đường tròn đi qua các điểm gọi là đường tròn đi qua các điểm . lần lượt là đường kính của . Chứng minh thẳng hàng.

Câu 15. Cho tam giác có là góc lớn nhất. Các điểm thuộc cạnh sao cho . Gọi lần lượt là các điếm đối xứng của qua . Chứng minh rằng: cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Câu 16. Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Lấy một điểm trên cung không chứa điểm của . Gọi là đường tròn đi qua tiếp xúc với . cắt tại khác . Gọi là đường tròn qua đồng thời tiếp xúc với . cắt tại khác .Gọi là điểm đối xứng với qua .

a) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác .

b) Ba điểm thẳng hàng.

Câu 17. Cho tam giác , trên hai cạnh lần lượt lấy hai điểm sao cho . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tia tại .Gọi là giao điểm của . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tia tại

a) Chứng minh 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn.

b) Gọi là giao điểm thứ 2 của các đường tròn . Chứng minh thẳng hàng.

c) Chứng minh : Tam giác cân tại .

Câu 18. Cho tam giác có theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh của tam giác. Gọi là tiếp điểm của với điểm chính giữa cung của , cắt tại điểm . Gọi là giao điểm của và

a) Chứng minh: là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

c) Chứng minh: .

Câu 19. Cho đường tròn tâm bán kính và một dây cung cố định có độ dài . Điểm thay đổi trên cung lớn . Gọi là điểm đối xứng của lần lượt qua . Các đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt nhau tại giao điểm thứ 2 là .

a) Chứng minh điểm luôn thuộc một đường tròn cố định

b) Xác định vị trí điểm để tam giác có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó theo

c) Gọi là giao điểm của . Chứng minh tam giác và đường thẳng luôn đi qua điểm cố định.

Câu 20. Từ điểm nằm ngoài đường tròn . Vẽ hai tiếp tuyến là hai tiếp điểm) và một cát tuyến đến sao cho ( nằm giữa 2 tia , , Gọi là điểm đối xứng của qua , là giao điểm của . Chứng minh: thẳng hàng.

Câu 21. Từ điểm nằm ngoài đường tròn . Vẽ hai tiếp tuyến là hai tiếp điểm) và một cát tuyến đến sao cho ( nằm giữa 2 tia , và ) Vẽ đường thẳng qua vuông góc với cắt tại cắt tại . Vẽ .

a) Chứng minh: nội tiếp

b) Chứng minh đường thẳng đi qua trung điểm của

Câu 22. Cho tam giác nhọn nội tiếp .Các đường cao cắt nhau tại . Tiếp tuyến tại của cắt nhau tại . . Gọi là trung điểm cạnh . Giả sử

a) Chứng minh 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh thẳng hàng.

Câu 23. Cho và không giao nhau. Vẽ lấy hai điểm thuộc sao cho . Lấy điểm thuộc đường tròn . Dựng các cát tuyến qua và điểm cắt đường tròn lần lượt tại , . Dựng đường thẳng qua cắt tiếp tuyến tại của ở .Dựng tại .

a) Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp

b) Ba điểm thẳng hàng

Câu 24. Cho tam giác có đường tròn nội tiếp là tiếp xúc với ba cạnh lần lượt tại . Trên đoạn lấy điểm và dựng đường tròn tâm bán kính . Dựng là các tiếp tuyến của tại . Gọi ,

a) Chứng minh nội tiếp

b) Ba điểm thẳng hàng.

Câu 25. Cho 3 đường tròn biết tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm và lần lượt tiếp xúc trong với tại . Tiếp tuyến của tại cắt lần lượt tại . Đường thẳng cắt tại điểm , đường thẳng cắt tại điểm .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp và

b) Kẻ đường kính của sao cho ( Điểm nằm trên cung không chứa điểm ). Chứng minh rằng nếu không song song thì các đường thẳng đồng quy.

Câu 26. Cho tam giác không cân. Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại . Đường thẳng cắt lần lượt tại

a) Chứng minh các góc bằng nhau hoặc bù nhau.

b) Chứng minh điểm cùng nằm trên một đường tròn.Chứng minh thẳng hàng. Biết là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác _.

Câu 27. . Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Kẻ và vuông góc với đường kiính .

a) Chứng minh .

b) Qua trung điểm của đoạn thẳng kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Chứng minh cân.

Câu 28. Cho tam giác nhọn . Vẽ đường cao và đường phân giác trong của tam giác ( thuộc ). Vẽ đường tròn tâm tiếp xúc với lần lượt tại .

a) Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh .

c) Qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tại . Đường thẳng cắt tại . Chứng minh là trung điểm cạnh .

Câu 29. Cho nửa đường tròn đường kính và là hai điểm di động trên nửa đường tròn sao cho thuộc cung và ( khác và khác ). Gọi là giao điểm của tia và , là giao điểm của dây và .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn và tính khoảng cách từ đến đường thẳng .

b) Gọi và lần lượt là trung điểm và . Chứng minh thẳng hàng và .

c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác theo .

Câu 30. Cho nửa đường tròn đường kính . Giả sử là điểm chuyển động trên nửa đường tròn này, kẻ vuông góc với tại . Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tiếp tuyến tại với nửa đường tròn ở .

a) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Giả sử là hình chiếu của trên đường thẳng và . Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.

c) Gọi lần lượt là trung điểm của và . Xác định vị trí để diện tích tứ giác đạt giá trị lớn nhất.

Câu 31. Cho hình vuông , trên đường chéo lấy điểm sao cho . Đường thẳng đi qua vuông góc với cắt tại , cắt tại .

a) Chứng minh rằng .

b) Đường tròn tâm bán kính cắt tại điểm thứ hai . Chứng minh rằng: .

Câu 32. Cho đường tròn và một điểm nằm ngoài đường tròn. Đường tròn đường kính cắt đường tròn tại hai điểm .

a) Chứng minh giao điểm của đoạn thẳng với đường tròn là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác .

b) Cho là một điểm bất kỳ thuộc cung chứa điểm của đường tròn đường kính ( khác và ). Đoạn thẳng cắt đoạn thẳng tại . Chứng minh .

c) Cho biết và là điểm bất kỳ thuộc cung chứa điểm của đường tròn ( khác và ). Gọi là đường thẳng qua và vuông góc với đường thẳng tại điểm , cắt đường tròn đường kính tại điểm ( khác ). Hai đường thẳng và cắt nhau tại điểm . Chứng minh rằng: .

Câu 33. Cho tam giác cân tại nội tiếp đường tròn . Gọi là điểm chính giữa của cung nhỏ . Hai đường thẳng và cắt nhau tại . Chứng minh rằng:

a) .

b) .

Câu 34. Cho hai đường tròn và cắt nhau tại và . Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó chúng cắt nhau ở . Gọi và là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với là tiếp điểm của tiếp tuyến với (điểm và điểm ở cùng nửa mặt phẳng bờ là ). Đường thẳng cắt tại (điểm khác điểm ).

a) Gọi là giao điểm của đường thẳng với . Chứng minh , từ đó suy ra .

b) cắt tại . Chứng minh bốn điểm nằm trên một đường tròn.

c) Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp .

Câu 35. Cho nửa đường tròn tâm đường kính , trên nửa đường tròn lấy điểm (cung nhỏ hơn cung ), qua dựng tiếp tuyến với đường tròn tâm cắt tại . Kẻ vuông góc với , kẻ vuông góc với ; cắt tại .

a) Chứng minh là phân giác của .

b) Chứng minh .

c) Chứng minh .

Câu 36. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Cho là điểm bất kỳ trên đoạn sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đoạn tại khác và đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đoạn tại khác .

a) Chứng minh rằng .

b) Chứng minh rằng và .

c) Chứng minh rằng là trực tâm tam giác .

Câu 37. Trên nửa đường tròn đường kính ( là độ dài cho trước) lấy hai điểm ( khác ) sao cho thuộc và tổng các khoảng cách từ đến đường thẳng bằng .

a) Tính độ dài đoạn thẳng theo .

b) Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo .

c) Tìm GTLN của diện tích tam giác theo khi thay đổi trên nửa đường tròn nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết bài toán.

Câu 38. Cho hai đường tròn và cắt nhau tại hai điểm và . Vẽ đường thẳng qua cắt tại và cắt tại sao cho nằm giữa và . Tiếp tuyến của tại và tiếp tuyến của tại cắt nhau tại .

a) Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh rằng .

Câu 39. Cho đường tròn có đường kính cố định và đường kính thay đổi sao cho không vuông góc cũng không trùng với . Gọi là tiếp tuyến tại của . Các đường thẳng và cắt tương ứng tại và .

a) Chứng minh rằng là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi là trung điểm của , chứng minh rằng .

c) Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác . Chứng minh rằng .

d) Gọi là trực tâm của tam giác , chứng minh rằng luôn chạy trên một đường tròn cố định.

Câu 40. Cho tam giác vuông ở , đường cao . Vẽ đường tròn tâm , đường kính , đường tròn này cắt các cạnh theo thứ tự tại và .

a) Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

c) Cho biết . Tính diện tích tứ giác .

Câu 41. Cho tam giác không là tam giác cân, biết tam giác ngoại tiếp đường tròn . Gọi lần lượt là các tiếp điểm của với đường tròn . Gọi là giao điểm của đường thẳng và đường thẳng , biết cắt đường tròn tại điểm ( không trùng với ), gọi là giao điểm của và .

a) Chứng minh rằng các điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn .

Câu 42. Từ một điểm nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến tới đường tròn , ( là hai tiếp điểm). Gọi là một điểm thuộc cung nhỏ của đường tròn , ( khác điểm chính giữa của ). Kéo dài cắt tại điểm , cắt đường tròn tại điểm thứ hai là . Qua điểm kẻ đường thẳng vuông góc với tại điểm và cắt đường thẳng tại điểm . Gọi là giao điểm của và .

a) Chứng minh rằng .

b) Chứng minh năm điểm cùng thuộc một đường tròn.

Câu 43. Cho đường tròn có đường kính cố định, là một điểm thuộc ( khác ). Các tiếp tuyến của tại và cắt nhau ở . Đường tròn đi qua và tiếp xúc với đường thẳng tại . là đường kính của . Chứng minh rằng:

a) Ba điểm thẳng hàng.

b) Tam giác là tam giác cân.

c) Đường thẳng đi qua và vuông góc với luôn đi qua một điểm cố định khi di động trên đường tròn .

Câu 44. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm , đường cao và . Tiếp tuyến tại và cắt nhau tại , và cắt nhau tại .

a) Chứng minh rằng .

b) Hai tam giác và đồng dạng.

c) Gọi cắt tại , cắt tại . Chứng minh rằng .

Câu 45. Cho tam giác vuông tại có ngoại tiếp đường tròn tâm . Gọi lần lượt là tiếp điểm của với các cạnh ; cắt tại . là điểm di chuyển trên đoạn .

a) Tính .

b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng nếu thì tứ giác nội tiếp.

c) Gọi là giao điểm của với cung nhỏ của , và lần lượt là hình chiếu của trên các đường thẳng . Xác định vị trí của điểm để lớn nhất.

Câu 46. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Giả sử là điểm thuộc đoạn thẳng ( không trùng ), là điểm thuộc tia ( nằm trên đường thẳng sao cho nằm giữa và ) sao cho khi cắt tại thì là trung điểm của . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại điểm khác .

a) Chứng minh rằng các tứ giác và nội tiếp.

b) Giả sử , chứng minh rằng tam giác cân.

Câu 47. Cho có . Đường tròn tâm nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh lần lượt tại . Đường thẳng cắt tại , đường thẳng qua và song song với cắt theo thứ tự tại .

a) Chứng minh rằng các tứ giác và nội tiếp.

b) Gọi là trung điểm cạnh . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

c) Gọi là bán kính của đường tròn và là diện tích tứ giác . Tính theo . Chứng minh ( là diện tích ).

Câu 48. Cho hình vuông nội tiếp đường tròn . Trên cung nhỏ lấy điểm ( không trùng với và ). Tia cắt các đường thẳng lần lượt tại và . Tia cắt các đường thẳng lần lượt tại . Hai đường thẳng cắt nhau tại .

a) Chứng minh rằng tứ giác là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng .

c) Khi điểm ở vị trí trung điểm của . Hãy xác định độ dài đoạn theo .

Câu 49. Cho tam giác . Trên phân giác có hai điểm sao cho . Chứng minh rằng .

Câu 50. Cho hình thoi có . Một đường thẳng thay đổi qua cắt lần lượt tại . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng thuộc một đường tròn cố định.

Câu 51. Cho tam giác vuông tại . . Gọi là một điểm trên cạnh , là một điểm trên cạnh kéo dài về phía sao cho . Gọi là một điểm trên sao cho thuộc cùng một đường tròn, là giao điểm thứ hai của với đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh rằng .

Câu 52. Cho tam giác có nội tiếp trong đường tròn , ngoại tiếp đường tròn . Cung nhỏ có là điểm chính giữa. là trung điểm cạnh . Điểm đối xứng với qua . Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai . Lấy điểm thuộc sao cho . Chứng minh rằng:

a) Điểm thuộc cung nhỏ của đường tròn .

b) Tứ giác nội tiếp và .

Câu 53. Cho là một điểm nằm trong tam giác . Gọi lần lượt là các điểm đối xứng của qua . Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác có điểm chung.

Câu 54. Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Hai phân giác và của góc và . Tia cắt tại . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của xuống . Chứng minh rằng:

a) .

b) .

Câu 55. Cho tam giác nhọn . Đường tròn đường kính cắt các cạnh tương ứng tại . Gọi là trung điểm của . Đường phân giác của và cắt nhau tại . Chứng minh rằng đường tròn ngoai tiếp tam giác và cùng đi qua một điểm nằm trên cạnh .

Câu 56. Cho tứ giác có đường chéo không là phân giác của các góc và . Một điểm nằm trong tứ giác sao cho: . Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi .

Câu 57. Ba tia chung gốc . Lấy cặp điểm trên , lấy cặp điểm trên , lấy cặp điểm trên theo thứ tự đó kể từ sao cho . Chứng minh rằng tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác và thẳng hàng.

Câu 58. Cho là một dây cung khác đường kính của đường tròn . Điểm thay đổi trên cung lớn . Đường tròn bàng tiếp góc của tam giác tiếp xúc với cạnh lần lượt tại .

a) Tìm vị trí của để chu vi tam giác đạt giá trị lớn nhất.

b) Chứng minh rằng đường thẳng Ơ-le của tam giác luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 59. Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài với nhau. Một đường tròn thay đổi tiếp xúc ngoài với và . Giả sử là một đường kính của sao cho là một hình thang . Gọi là giao điểm của với . Chứng minh rằng thuộc một đường thẳng cố định.

Câu 60. Cho tam giác có là tâm đường tròn nội tiếp, là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm . Giả sử rằng . Chứng minh rằng và song song.

Câu 61. Cho hình chữ nhật và bốn đường tròn sao cho . Gọi là hai tiếp tuyến chung ngoài của và ; là hai tiếp tuyến chung ngoài của và . Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn tiếp xúc với cả bốn đường thẳng .

Câu 62. Cho tứ giác có hai đường chéo và vuông góc với nhau tại . Gọi lần lượt đối xứng với qua . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại tại . Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

Câu 63. Cho tam giác cân tại , trên cạnh lấy sao cho và trên đoạn lấy sao cho . Chứng minh rằng .

Câu 64. Cho tứ giác nội tiếp. Gọi lần lượt là các chân đường vuông góc của xuống . Chứng tỏ rằng khi và chỉ khi phân giác các góc và cắt nhau trên .

Câu 65. Trong mặt phẳng cho hai đường tròn và cắt nhau ở hai điểm và . Các tiếp tuyến tại và của cắt nhau ở điểm . Giả sử là một điểm nằm trên nhưng không trùng vào và . Đường thẳng cắt ở điểm thứ hai , đường thẳng cắt ở điểm thứ hai và đường thẳng cắt ở điểm thứ hai . Chứng minh rằng trung điểm của nằm trên đường thẳng .

Câu 66. Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Đường tròn nằm trong tiếp xúc với tại thuộc cung (cung không chứa ). Kẻ các tiếp tuyến tới . Chứng minh rằng .

Câu 67. Cho hai đường tròn và cùng tiếp xúc với đường tròn . Tiếp tuyến chung của và cắt tại bốn điểm. Gọi là hai trong bốn điểm đó sao cho nằm về cùng một phía đối với . Chứng minh rằng song song với một tiếp tuyến chung ngoài của và .

Câu 68. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn . Chứng minh rằng .

Câu 69. Cho tam giác cân ở . Kí hiệu lần lượt là khoảng cách từ một điểm nằm trong tam giác tới các đường thẳng . Giả sử , chứng minh rằng thuộc một đường tròn cố định.

Câu 70. Cho tam giác nhọn . Điểm thay đổi trên . Đường tròn tâm bán kính cắt lần lượt tại các điểm thứ hai . Chứng minh rằng trực tâm của tam giác thuộc một đường thẳng cố định.

Câu 71. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn tâm . Gọi lần lượt là trực tâm của các tam giác . Chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.

Câu 72. Điểm nằm trong tam giác và thỏa mãn . Chứng minh rằng ba đường thẳng Ơ-le của các tam giác và đồng quy.

Câu 73. Gọi và lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và trực tâm của tam giác . Chứng minh rằng: Nếu đường tròn ngoại tiếp tam giác đi qua một trong các đỉnh của tam giác thì phải đi qua một đỉnh khác của tam giác .

Câu 74. Cho tam giác nội tiếp đường tròn , trực tâm , đường cao . Giả sử một đường thẳng qua vuông góc với cắt lần lượt tại . Các tia cắt thứ tự tại . Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp.

Câu 75. Tam giác có trực tâm , đường cao . Điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác . Vẽ các hình bình hành và . Giao điểm và là . Chứng minh rằng song song với .

Câu 76. Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm . Một đường tròn qua và cắt các cạnh lần lượt tại . Đường tròn qua ba điểm cắt tại . Chứng minh rằng .

Câu 77. Cho hai đường tròn và cắt nhau tại và . Giả sử là hai tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này , điểm gần hơn ). Gọi là đường thẳng qua tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác và là đường thẳng qua tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy.

Câu 78. Cho hai đường tròn và tiếp xúc trong tại ( chứa trong ). Giả sử và là hai điểm bất kỳ thuộc . Qua và kẻ các tiếp tuyến với cắt tại và . Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp các tam giác nằm trên .

Câu 79. Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài với nhau tại và cùng tiếp xúc trong với . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài với và cắt tại . Qua kẻ tiếp tuyến chung với và cắt tại ( thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ với . Chứng minh rằng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

Câu 80. Cho tam giác cân đỉnh . Điểm nằm trong tam giác sao cho . Qua kẻ đường thẳng song song với cắt lần lượt tại . Vẽ lần lượt song song với . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng tứ giác là tứ giác nội tiếp.

Câu 81. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn , các đường cao cắt nhau tại .

a) Chứng minh rằng .

b) Chứng minh rằng các tứ giác nội tiếp đường tròn.

c) Vẽ tia là tia tiếp tuyến của đường tròn , tia nằm trên nửa mặt phẳng bờ có chứa điểm . Chứng minh rằng . Từ đó suy ra .

d) Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Đường thẳng đi qua song song với cắt lần lượt tại . Chứng minh rằng .

Câu 82. Cho đường tròn tâm , đường kính . Lấy thuộc ( không trùng với ), là điểm chính giữa của cung nhỏ . Các đường thẳng và cắt nhau tại , các đường thẳng cắt nhau tại .

a) Chứng minh và cân .

b) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

c) Đường thẳng cắt tiếp tuyến tại của ở . Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của và .

d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn tại ( không trùng với ). Chứng minh thẳng hàng.

Câu 83. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn tâm , đường kính . Hai đường chéo và cắt nhau tại . Gọi là hình chiếu của lên và là trung điểm của . Đường tròn cắt tại ( khác ). Gọi là giao điểm của và .

a) Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.

Câu 84. Cho đường tròn cố định. Từ một điểm cố định ở bên ngoài đường tròn , kẻ các tiếp tuyến và với đường tròn ( là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua cắt đường tròn tại hai điểm và ( nằm giữa và ). Gọi là trung điểm của dây .

a) Chứng minh rằng là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng .

c) Khi cát tuyến thay đổi thì điểm chuyển động trên cung tròn nào? Vì sao?Xác định vị trí của cát tuyến để .

Câu 85. Cho tam giác nhọn , đường cao . Vẽ đường tròn tâm đường kính cắt tại . Gọi là điểm đối xứng của qua , cắt tại và cắt đường tròn tại điểm thứ hai .

a) Chứng minh .

b) Chứng minh là phân giác của .

c) Chứng minh rằng điểm cùng thuộc một đường tròn tâm . Và ba đường thẳng đồng quy tại một điểm.

d) cắt đường tròn tại điểm thứ hai . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Câu 86. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . Gọi lần lượt là trung điểm của và , tam giác đều.

a) Tính và theo .

b) Gọi là trực tâm của tam giác ; cắt tại , cắt tại . Chứng minh năm điểm cùng thuộc một đường tròn .

c) Đường tròn cắt tại , tính theo .

d) cắt tại . Chứng minh tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác . Tính .

Câu 87. Cho điểm nằm ngoài đường tròn . Vẽ hai tiếp tuyến và cát tuyến ( thuộc đường tròn ), tia nằm giữa hai tia và . Gọi là giao điểm của và .

a) Chứng minh rằng .

b) Chứng minh tứ giác nội tiếp, .

c) Chứng minh rằng .

d) cắt đường tròn tại ( nằm giữa ). Chứng minh rằng các đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên đường thẳng .

Câu 88. Cho ở ngoài đường tròn . Vẽ các tiếp tuyến với . là điểm trên tia đối của tia . Đường thẳng vuông góc với ( tại cắt lần lượt tại ; cắt đường tròn tại ( nằm giữa ). cắt tại . là điểm đối xứng của qua , là điểm đối xứng của qua . Chứng minh rằng hai đường tròn và tiếp xúc nhau.

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP KHÓ

Câu 1) Phân tích và định hướng giải:

a). Để chứng minh tứ giác

nội tiếp ta chứng minh

. Điểm

trong bài toán có mối quan hê với

hai đường tròn ngoại tiếp các

tứ giác vì vậy ta

tìm cách tính các góc

theo các góc có liên quan đến 2 tứ

giác này.

Ta có:

(1)

Mặt khác ta cũng có: (2)

Từ (1) và (2) ta có: .

b). Thực nghiệm hình vẽ cho ta thấy thẳng hàng. Thật vậy ta có: . Bây giờ ta chứng minh: thẳng hàng: Thật vậy ta có: . Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.

Câu 2)

Phân tích định hướng giải:

a). Tứ giác có liên quan

đến tiếp tuyến nên ta tập trung

khai thác giả thiết về góc tạo bởi

tiếp tuyến và một dây.

Ta thấy: , mặt khác

cùng phụ với góc

, nhưng

(góc nội tiếp) từ đó ta suy ra hay tứ giác nội tiếp.

b). Dễ thấy . Từ đó suy ra suy ra đpcm.

c). Để chứng minh thẳng hàng: Ta chứng minh: , điều này cũng tương đương với việc chứng minh: . Thật vậy ta có: , nhưng (Cùng chắn cung , mặt khác do nội tiếp, suy ra ,Từ đó suy ra . (đpcm).

Câu 3).

Phân tích định hướng giải:

Để chứng minh tứ giác nội tiếp ta sẽ chứng minh

. Ta có: Mặt khác ta cũng có:

từ đó suy ra: Ta cũng có: . Từ đó suy ra đpcm.

b). Ta có tứ giác nội tiếp nên

hay thẳng hàng. Mặt khác ta cũng có: hay thẳng hàng. Từ đó suy ra thẳng hàng.

Câu 4) Phân tích định hướng giải:

Ta có: . Suy ra

là trực tâm của tam giác .

Hay

hay tứ giác nội tiếp.

Tương tự ta cũng có: nội tiếp.

Ta có: tức là

là tứ giác nội tiếp.

Câu 5)

+ Ta có tính chất quen thuộc:

là phân giác trong của góc

. (Học sinh tự chứng minh

điều này dựa vào các tứ giác

nội tiếp ) .

Từ đó suy ra và . Do đó . Mặt khác ta cũng có . Suy ra đpcm.

+ Xét tứ giác ta có: , mặt khác ta vừa chứng minh nội tiếp nên suy ra . Như vậy suy ra đpcm.

+ Ta có: cân tại . Từ đó dễ dàng chứng minh được: .

Câu 6)

Phân tích định hướng giải:

a). Áp dụng hệ thức lượng

trong tam giác vuông

ta có: . Theo tính chất của tiếp tuyến và cát tuyến ta có: nên suy ra nội tiếp.

Ta có thể giải thích tường minh hơn như sau:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: .

Xét tam giác và tam giác ta có: chung, (Tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây). Từ đó suy ra đồng dạng với nên .

b). Để giải quyết tốt câu hỏi này ta cần nắm chắc tính chất liên quan đến cát tuyến và tiếp tuyến. (Xem thêm phần: ‘’Chùm bài tập liên quan đến cát tuyến và tiếp tuyến’’) đó là: là phân giác trong của góc và là phân giác ngoài của góc

Thật vậy ta có: mặt khác ta cũng có: ( Tính chất tứ giác nội tiếp). Suy ra hay là phân giác của góc do nên suy ra là phân giác ngoài của góc .

Quay trở lại bài toán:

Ta thấy rằng : Từ việc chứng minh: là phân giác trong của góc và là phân giác ngoài của góc ta có: và suy ra Mặt khác theo định lý Thales ta cũng có: suy ra mà nên . Điều này chứng tỏ là trung điểm của và thẳng hàng.

Câu 7).

Ta thấy rằng: Nếu tứ giác

nội tiếp thì

Mặt khác do tứ giác

nội tiếp suy ra .

Như vậy ta cần quy bài toán về

chứng minh nội tiếp.

Ta có: (Tính chất tiếp tuyến).

Như vậy là tứ giác nội tiếp. Hoàn toàn tương tự ta cũng có: nội tiếp nên cũng suy ra được: nội tiếp.

Câu 8).

a). Giả sử đường tròn ngoại tiếp

tam giác . Dễ thấy

là trực tâm tam giác

là trung điểm .

Những điểm đặc biệt này

giúp ta nghỉ đến bài toán

đặc biệt liên quan đến

đường thẳng, đường tròn Ơ le.

Kẻ đường kính của . Ta dễ chứng minh được: là hình bình hành và thẳng hàng. Ta có: do là tứ giác nội tiếp.

Mặt khác (Tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây). Từ đó suy ra tức là tứ giác nội tiếp.

Để ý rằng: Tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn đường kính hay . Mặt khác suy ra thẳng hàng. Do đó 4 điểm thẳng hàng. Tam giác có là hai đường cao nên suy ra là trực tâm, do đó nên 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn. Suy ra tức là tứ giác nội tiếp.

b). Ta có 5 điểm cùng nằm trên đường tròn đường kính nên , nhưng suy ra là trung điểm của . Như vậy: nên thẳng hàng.

c) Ta có do nội tiếp. nội tiếp. . Mà cùng bù với hay thẳng hàng.

d) Vì là tiếp tuyến của đường tròn đi qua các điểm tâm . Suy ra . Mặt khác thẳng hàng. Mà thẳng hàng nên suy ra thẳng hàng.

Câu 9) Phân tích định hướng giải toán:

Bài toán này làm ta liên tưởng đến đường thẳng Ơle, đường tròn Ơ le. Dựng đường kính .Ta dễ thấy 4 điểm cùng nằm trên đường tròn tâm đường kính _. Suy ra . Mặt khác từ tính chất quen thuộc khi chứng minh là hình bình hành ta cũng suy ra là hình bình hành do đó . Ta lại có là đường nối tâm của 2 đường tròn nên (Do nằm trên đường trung trực của ). Từ đó suy ra . Hay thẳng hàng.

*) Để chứng minh thẳng hàng. Ta chứng minh: . Ta tìm cách quy 2 góc này về 2 góc đối nhau trong một tứ giác nội tiếp.

+ Ta có: (Cùng chắn cung ), cùng phụ với góc suy ra nội tiếp suy ra . Mà (Do nội tiếp).

+ Từ đó suy ra ( Điều phải chứng minh).

Câu 10) Phân tích định hướng giải:

a). Ta cần dùng các góc để tận

dụng điều kiện là

các tiếp tuyến của Thật vậy: ,

vì vậy ta cần chứng minh

.

Mặt khác do là đường trung bình của tam giác nên nhưng (Tính chất phân giác trong)

Từ đó suy ra cân tại vuông tại hay là tứ giác nội tiếp.

b). Để chứng minh thẳng hàng ta chứng minh: . Thật vậy ta có: mà , suy ra (Đpcm).

11) Phân tích định hướng giải:

a). Ta có:

nên 5 điểm cùng nằm

trên đường tròn đường kính .

Suy ra các tứ giác

là tứ giác nội tiếp.

b). Ta có: là tứ giác nội tiếp

nên:

Mặt khác

nên . Hay là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác suy ra . Ta cũng có:

là tứ giác nội tiếp nên: từ đó ta suy ra hay thẳng hàng.

Câu 12) Phân tích định hướng giải:

a). Ta thấy các điểm nằm trên đường tròn đường kính

. Để chứng minh 5 điểm nằm trên một đường tròn

Ta cần chứng minh . Thật vậy ta có:

Tương tự ta cũng có: .

. Từ đó suy ra

. Vậy điểm thuộc đường tròn đường kính .Mặt khác là phân giác của góc nên là trung điểm của cung nhỏ .

b). Để ý rằng là tâm của hai đường tròn đường kính và đường tròn đường kính Do hai đường tròn cắt nhau theo dây cung nên đi qua trung điểm của cung . Hay thẳng hàng.

Câu 13) Phân tích định hướng giải:

a). Điểm trong bài toán

chính là điểm Miquel của

tam giác .

+ Ta dễ thấy 4 điểm

cùng nằm

trên đường tròn

đường kính .

Bây giờ ta chứng minh là tứ giác nội tiếp.

Thật vậy ta có:

suy ra là tứ giác nội tiếp hay 5 điểm cùng nằm trên đường tròn đường kính là tứ giác nội tiếp.

+ Xét tứ giác ta có: . Mặt khác ta cũng có: hay là tứ giác nội tiếp.

+ Ta có: Ta có: thẳng hàng.

, , mặt khác ta có: suy ra là tứ giác nội tiếp.

b). Theo câu a ta có: nội tiếp nên mà hay là tam giác vuông tại

Chú ý: Bài toán này có thể giải theo cách như bài 1: Đó là chỉ ra suy ra là trực tâm tam giác , ngoài ra ta cũng thấy thẳng hàng.

Câu 14) Phân tích định hướng giải. Gọi là giao điểm thứ 2 của hai đường tròn

. Ta dễ chứng

minh được là tứ giác

nội tiếp ( Đây là bài toán

rất quen thuộc) từ đó suy

ra 5 điểm

cùng nằm trên một đường tròn.

+ Trước hết ta chứng minh: thẳng hàng: Ta có: cùng chắn cung , do các tứ giác nội tiếp . Suy ra do đó thẳng hàng: + Vì 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn nên: . Vì là đường kính của suy ra , là đường kính của nên điều đó chứng tỏ các tia trùng nhau. Hay thẳng hàng.

Câu 15).

Giả sử cắt nhau tại .

Ta cần chứng minh nội tiếp.

Ta có vì

chung, )

suy ra (1)

vì chung, ) suy ra

(2). Từ (1), (2) ta có: . Vì suy ra . Mặt khác (Tính chất góc ngoài tam giác). Suy ra hay là tứ giác nội tiếp. Suy ra là tứ giác nội tiếp.

Câu 16). Phân tích định hướng giải:

a). Do đối xứng với qua nênta có . Để ý rằng: là tiếp tuyến của nên điều này chứng tỏ

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác .

b). Từ chứng minh ở câu a ta có: .

Tương tự ta cũng có: .

Ta có: Mặt khác ta có: . Nhưng do tứ giác nội tiếp. Vậy hay 3 điểm thẳng hàng.

Câu 17)

Phân tích định hướng giải:

a). Theo giả thiết ta có:

suy raTứ giác là tứ giác

nội tiếp.Suy ra

Tứ giác nội tiếp nên:

. Tứ giác nội tiếp nên

Kết hợp các đẳng thức trên ta suy ra suy ra là tứ giác nội tiếp.

Hay bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.

b). Giả sử đường thẳng cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm . Ta có tứ giác nội tiếp nên: mặt khác theo chứng minh ở câu ta có: nội tiếp nên: suy ra suy ra 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn. Điều đó chứng tỏ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt nhau tại và thẳng hàng.

c) Ta có ( Góc ngoài của tam giác). Mặt khác (giả thiết) suy ra . Suy ra tam giác cân tại . Chú ý rằng: Chứng minh tương tự ta cũng có: cân tại suy ra là tâm vòng tròn ngoại tiếp tứ giác .

Câu 18) Phân tích định hướng giải :

a). Gọi là giao điểm của

với đường tròn thì

_{là điểm chính giữa của cung}

(không chứa ). là tiếp điểm

của với .

Ta có các tính chất quen thuộc sau:

+ thẳng hàng

_{+ Tam giác} cân tại

( Hay là tâm

vòng tròn ngoại tiếp tam giác )

(Xem thêm phần góc với đường tròn)

+ ( Phân giác trong

và phân giác ngoài cung một góc thì vuông góc với nhau).

Từ đó suy ra tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm .

b). Để chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ta chứng minh: .

Mặt khác nên ta cần chứng minh: . Nhưng điều này là hiển nhiên do:

+ là đường kính của nên , là trung điểm của nên tại + Hệ thức lượng trong tam giác vuông cho ta .

c). Vì (Góc nội tiếp) , nhưng là tiếp tuyến của ngoại tiếp tam giác nên .

Như vậy ta cần chứng minh: (*).Ta có: nên do đó ta cần chứng minh: .

Điều này tương đương với: , nhưng ta có: , nên ta cần chứng minh: . Để ý rằng: có: . (Bài toán được giải quyết).

Câu 19) Phân tích định hướng:

Vì . Áp dụng công thức

do đó

. Trong bài toán

có các yếu tố cố định là

nên ta tập trung khai

thác các yếu tố này.

a). Ta có: . Mà ,

, suy ra . Do đó luôn thuộc cung chứa góc nhìn đoạn dưới một góc .

b). Ta có tam giác có độ dài cạnh không đối , nên diện tích lớn nhất khi và chỉ khi đường cao hạ từ đến lớn nhất. Tức là là trung điểm cung , khi đó là trung điểm cung lớn . Tam giác đều nên độ dài đường cao tam giác đều là ,

c) Để ý rằng: tại trung điểm của , tại trung điểm của nên kéo dài cắt đường tròn tại thì là đường kính của đường tròn. Kéo dài cắt đường tròn tại là đường kính của đường tròn.

Dễ thấy thẳng hàng. ( Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) nên các đường cao của tam giác cắt nhau tại trực tâm .Nên đường thẳng đi qua . Mặt khác tứ giác nội tiếp là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác . Điều đó chứng tỏ đi qua cố định.

Câu 20) Bài toán này làm ta liên

tưởng đến tính chất quen thuộc:

Từ điểm ở ngoài đường tròn

dựng hai tiếp tuyến

và cát tuyến .

Gọi là giao điểm của

và thì là tứ giác nội tiếp và

là đường phân giác trong của . (Các em học sinh tự chứng

minh tính chất này)

Quay trở lại bài toán:

Ta có là đường phân giác trong của nên . Suy ra . Nên ba điểm thẳng hàng.

Câu 21)

Do 5 điểm

cùng nằm trên một đường tròn

nên ta có: . Mà

suy ra

hay tứ giác nội tiếp.

Kéo dài cắt tại .

Ta chứng minh là trung điểm của . Do tứ giác nội tiếp nên mà suy ra

Suy ra là trung điểm của . Áp dụng định lý Thales ta có: mà (đpcm).

Câu 22) Giả sử cắt tại cắt tại . Khi đó ta dễ dàng chứng minh được: tại . Thật vậy: Dựng tiếp tuyến của thì . Ta có: mà hay .

Ta cũng chứng minh được: tại điểm . Thật vậy ta có:

mà

suy ra hay

suy ra

. Mặt khác ta

có:

(Do )

Suy ra

hay .

Dễ thấy 4 điểm cùng

nằm trên đường tròn đường kính .

Tứ giác nội tiếp nên:

Tứ giác nội tiếp nên suy ra hay tứ giác nội tiếp. Từ đó suy ra 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn.

Tứ giác nội tiếp nên . Tứ giác nội tiếp

nên . Xét tứ giác ta có:

.Mặt khác ta cũng có

. Suy ra tứ giác nội tiếp. Do đó . Nhưng suy ra hay tứ giác nội tiếp . Mặt khác từ chứng minh trên ta cũng có: nội tiếp nên . Suy ra thẳng hàng.

Câu 23) Trong bài toán có giả thiết

là trung điểm .Mặt khác các điểm

có liên quan đến cát tuyến

qua . Để tận dụng điều này ta sẽ

dựng đường thẳng qua song

song với đường thẳng cắt

tại . Khi đó ta dễ chứng minh được

là trung điểm của theo định lý

Thales từ đó suy ra là đường trung

bình của tam giác .Để chứng minh

tứ giác nội tiếp ta chứng minh:

. Mặt khác ta có:

so le trong. Như vậy ta cần chứng minh:

tức là ta cần chứng minh nội tiếp.

+ Thật vậy: ( so le trong) mà suy ra

hay là tứ giác nội tiếp.

+ Ta có tứ giác nên: . Tứ giác nội tiếp nên

suy ra . Hay tứ giác là tứ

giác nội tiếp. Nhưng

là tiếp tuyến của . Mà cũng là tiếp tuyến của

nên ta suy ra thẳng hàng.

Câu 24)

Theo tính chất tuyến

tuyến ta có: ,

,

+ Ta có:

. Mặt khác , suy ra (1) + Ta có: nhưng , suy ra (2) . Từ (1) và (2) ta có: Hay tứ giác nội tiếp.

Việc chứng minh trực tiếp thẳng hàng là rất khó. Để khắc phục khó khăn này ta giả sử cắt đường tròn và đường tròn ngoại tiếp tứ giác lần lượt tại . Ta sẽ chứng minh .

Thật vậy: Theo tính chất tiếp tuyến, cát tuyến ta có: , , , là điều phải chứng minh.

Câu 25)

Phân tích định hướng giải toán:

a). Do là tiếp tuyến chung

_{của các đường tròn}

nên

Từ đó suy ra tứ giác nội tiếp.

b). Để chứng minh vuông góc với

Ta chứng minh

Thật vậy ta có: Từ việc chứng minh

. Ta suy ra

Do đó (Do tam giác cân tại . Vậy vuông góc với .

c) Ta có . Gọi là giao điểm của và thì thẳng hàng và mặt khác ta có: . Suy ra thẳng hàng . Tương tự thẳng hàng. Mà là đường kính của nên . Suy ra là trực tâm tam giác . Suy ra qua . Vậy ba đường thẳng đồng quy tại

Câu 26)

a) Có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: nằm trong đoạn . Ta có ( Góc ngoài tam giác ).

Ta có . Từ đó suy ra .

Trường hợp 2: nằm ngoài đoạn . Ta có (Đpcm)

b) Từ kết quả chứng minh ở câu a)

Ta suy ra là tứ giác nội tiếp suy ra , Chứng minh tương tự ta cũng có: là tứ giác nội tiếp. Suy ra do đó suy ra 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn.

c) Gọi là giao điểm của . Từ chứng minh ở câu ta suy ra là trực tâm

của tam giác . Suy ra thẳng hàng. Ta cũng có: cùng nằm trên đường tròn đường kính nên là trung điểm của . Từ đó suy ra thẳng hàng.

Câu 27)

a). Có

tứ giác nội tiếp.

mà

b) Nối với , với . Ta được thuộc trung trực của .Có và .

Có và là trung trực của hay cân tại .

Câu 28)

a). Ta có

nên 5 điểm thuộc đường

tròn tâm đường kính .

b) Ta có (1) mà

(2) (góc nội tiếp chắn

hai cung bằng nhau).

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

c) Qua ta kẻ đường thẳng song song cắt tại . Ta có các tứ giác nội tiếp nên mà (do cân tại ). Nên . Xét có vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên . Áp dụng hệ quả định lý Talet cho hai tam giác và có . Ta có (đpcm).

Câu 29)

a). Ta có

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra

tứ giác nội tiếp

đường tròn tâm đường kính (theo định lý đảo). Kẻ và vuông góc với đường thẳng ta có tứ giác là hình thang vuông có là đường trung bình nên . Trong đều có là đường cao nên không đổi. Vậy không đổi. Theo giả thiết nên . nên ta có

Trong tam giác vuông có (không đổi). Ta có tam giác cân tại và có là trung điểm nên và cùng vuông góc với suy ra thẳng hàng.

c) (g.g)

nên .

lớn nhất khi lớn nhất. Kéo dài cắt tại thì vuông góc với . Ta có không đổi, lớn nhất khi lớn nhất và chạy trên cung dựng trên ; khi thuộc trung điểm cung này, khi đó tam giác đều, ; .

Cách khác: Kẻ thì . Tính được theo .

Câu 30)

a). Ta có (1) (đồng vị);

(2) (so le trong);

(3) ( cân) (3).

Từ (1),(2),(3) ta có .

Xét và có ; chung nên (c.g.c) suy ra nên bốn điểm cùng thuộc một đường tròn đường kính .

b) Ta có tứ giác là hình chữ nhật nên và cắt nhau tại và là trung điểm của mỗi đường. Ta chứng minh thẳng hàng. Gọi cắt tại ; cắt tại cắt tại ta có tứ giác nội tiếp (vì ) nên cùng bù với mà so le. Nên suy ra tứ giác nội tiếp suy ra mà ở vị trí đồng vị nên mà nên . Vậy đi qua hay ba đường thẳng đồng quy. c) Ta có (không đổi) (c.c.c); (c.c.c) nên khi thuộc chính giữa .

Câu 31)

a). Tam giác cân tại nên

suy ra

hay (1).Xét vuông

cân đỉnh do đó (2).

Từ (1) và (2) suy ra (đpcm).

b) Do và nên đường tròn đi qua và nhận làm tiếp tuyến. Từ đó ta có .

Xét có . Mặt khác nên (1). Do cân tại nên .

Xét có (2)

Từ (1) và (2) suy ra (đpcm).

Câu 32)

a). Ta có là tiếp tuyến của

đường tròn , từ đó dễ dàng chứng

minh được của đường tròn

. Dễ dàng chứng minh được

là các đường phân giác của

.

b) Gọi cắt tại . Dễ chứng minh được

c) Ta có là tâm đường tròn ngoai tiếp và đều có cạnh bằng . Sử dụng góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung để chứng minh . Ta có . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (*). Mà là trực tâm tam giác nên (1). Ta có nên (2). Thay (1),(2) vào (*) ta có đpcm, dấu bằng khi hay trùng nhau.

Câu 33)

a) .

b) .

Xét (g.g)

.

Câu 34)

a) Do và là hai phân giác của thẳng hàng.

Có chung (g.g) (1). Tương tự (2). Từ (1) và (2) .

b) Xét vuông có: (3).

Lại có , chung (g.g) (4). Từ (3) và (4) (vì , chung) tứ giác nội tiếp hay 4 điểm cùng thuộc một đường tròn.

c) Do (cùng ) nhưng cắt và thẳng hàng . Mà và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp hay là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp .

Câu 35)

a). Ta có

(cùng chắn ),

(góc có cạnh tương ứng vuông góc)

. Do đó là tia phân giác của .

b) Xét có: là trực tâm

tại hay là đường cao của . Mà là tia phân giác của nên cân tại . Mặt khác (góc cạnh tương ứng vuông góc), . Do đó cân tại

Trong tam giác vuông tại có (cạnh huyền lớn nhất)

.

c) Xét có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông) Ta lại có: (g.g) (1)\

Mặt khác ta có: (cùng vuông góc với ) (so le trong) mà (g.g) (2). Mặt khác (g.g) (3). Từ (1),(2) và (3) suy ra .

Câu 36)

a) (nội tiếp chắn

) mà

( cân)

nên (1).

b) Tương tự (2)

Từ (1) và (2) ta có . Kéo dài cắt tại . Ta có nên (đpcm)

c) Gọi là giao điểm của và , cắt tại . Ta có mà và hay (3). Tương tự (4)

Từ (3) và (4) suy ra là trực tâm (đpcm)

Câu 37)

a). Gọi lần lượt là hình

chiếu vuông góc của lên

đường thẳng . Gọi là

trung điểm đoạn thẳng

thì .

Xét hình thang có

là đường trung bình nên ; .

b) Ta có . Suy ra bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn đường kính .

Vì nên đều. . Gọi là trung điểm của thì là tâm của đường tròn đi qua bốn điểm và là bán kính của đường tròn này. Do đó . c) Gọi là giao điểm của và , do là trực tâm của nên , nên là đường cao tam giác hạ từ . Do nằm trên trung trực đoạn , nên thẳng hàng. Xét có . Suy ra mà có không đổi nên nó có diện tích lớn nhất khi lớn nhất. Ta có . Đẳng thức xảy ra khi cân tại đều (do ). Do đó . Kết luận: Diện tích lớn nhất bằng khi và chỉ khi (hay đều).

Câu 38)

a) của , của

(tổng ba góc trong ).

Vậy tứ giác nội tiếp.

b) Vì tứ giác nội tiếp nên mà nên . (1). Tương tự (2). Từ (1) và (2) ta được: .

Nhận xét: Kết quả câu b) thực chất là định lý Ptolemy (Xem thêm phần ‘’Các định lý hình học nổi tiếng’’)

Câu 39)

a). Vì là đường kính

nên . Do đó

(góc có

cạnh tương ứng vuông

góc cùng nhọn), mà

nên . Do đó tứ giác nội tiếp.

b) Gọi , vuông tại nên (1)

vuông tại nên mà (chứng minh ở câu a) nên (2). Từ (1) và (2) ta có hay .

c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác , là trung điểm của nên (vì cùng vuông góc với ). Tương tự (cùng vuông góc với ). Do đó tứ giác là hình bình hành nên .

d) là trực tâm của tam giác , do đó suy ra . Tương tự (cùng vuông góc với ). Do đó tứ giác là hình bình hành nên . Mặt khác tứ giác là hình chữ nhật nên (3).Lấy đối xứng với qua ta có (4) với cố định vì cố định. Từ (3) và (4) suy ra tứ giác là hình bình hành nên . Vậy chạy trên đường tròn cố định.

Câu 40)

a) Nối với .

(vì là đường kính),

( là đường cao)

(cùng phụ với ) (1) (góc nội tiếp cùng chắn ) (2). Từ (1) và (2) tứ giác nội tiếp đường tròn

b) Vì là đường kính thẳng hàng (đpcm).

c) Ta có

vuông có là đường cao: (cùng là đường kính đường tròn ) và có chung; (câu a)

(g.g) Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng

Câu 41)

a) Nối với , với .

+ Xét và có

(vì là

tiếp tuyến) và chung

(g.g) (1) + Xét có (vì là tiếp tuyến, là bán kính) và (vì và là tiếp tuyến chung và nối tâm) vuông tại có là đường cao) (2).

+ Xét và có chung. Từ (1) và (2)

(c.g.c) (3). Từ (3) có Tứ giác nội tiếp đường tròn Các điểm cùng thuộc đường tròn (đpcm)

b) Ta có ( là tiếp tuyến, là bán kính) và (câu a) Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . Vì bốn điểm cùng thuộc một đường tròn (câu a) Hai đường tròn này ngoại tiếp Hai đường tròn trùng nhau cũng nằm trên đường tròn đường kính . Vì là bán kính đường tròn , là tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm (đpcm).

Câu 42)

1.a) (1)

Xét vuông tại

có (2)

(3)

Từ (1),(2) và (3)

b) suy ra tứ giác nội tiếp (4)

Ta có .

Mà . Suy ra tứ giác nội tiếp (5)

Từ (4) và (5) suy ra cùng thuộc một đường tròn.

Câu 43) a). Ta có là tiếp tuyến của đường tròn (1)

Xét đường tròn :

Ta có

(2)

Từ (1) và (2)

và trùng nhau

thẳng hàng.

b) là tiếp tuyến của đường tròn (3). Đường tròn tiếp xúc với tại (4). Từ (3) và (4) (*) (hai góc so le trong) là hai tiếp tuyến cắt nhau của (**). Từ (*) và (**) cân tại .

c) Gọi chân đường vuông góc hạ từ tới là có (bài toán quỹ tích) kéo dài cắt ở . Gọi là giao điểm của và đường tròn và cân tại . Ta có tứ giác nội tiếp.

Vì có (cùng bù với ) (5) Ta có (cùng chắn cung của đường tròn ) (g.g) . Tương tự ta có: .

Mà (c.g.c) mà (5) là trung điểm của cố định đpcm.

Câu 44)

a) Ta chứng minh .

b) Từ câu a ta có (1)

mà (do vuông

tại có là trung điểm của )

nên Có

nên

do đó . Suy ra (2)

Từ (1) và (2) suy ra (đpcm).

c) Dễ thấy vuông góc với nên ta chứng minh .

Xét và : Từ câu b) ta có nên . Mà (do tứ giác nội tiếp). Do đó nên . Lại có . Suy ra nên trong tam giác có (định lý Talet đảo). Do đó bài toán được chứng minh.

Câu 45)

a). Gọi là giao điểm của

với vuông tại

có

b) Khi thì

vuông cân tại . Có Tứ giác nội tiếp 5 điểm cùng thuộc một đường tròn. Tứ giác nội tiếp. , mà thẳng hàng.

c) Có tứ giác nội tiếp .Tương tự có . Cách xác định điểm : Kẻ đường kính của , cắt tại thì lớn nhất. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi là đường kính của lớn nhất bằng .

Câu 46)

a). Chỉ ra Tứ giác nội tiếp.

Chỉ ra Tứ giác nội tiếp.

b) Vì (giả thiết) cân tại .

Kết hợp câu a) cân .

là đường trung trực của

Kết hợp câu a) (g.c.g)

cân.

Câu 47)

a). Ta có (gt),

( tiếp xúc với tại

Tứ giác nội tiếp.

Mặt khác tứ giác nội tiếp. Ta có (tứ giác nội tiếp) ; (tứ giác nội tiếp) Tứ giác nội tiếp.

b) Ta có (tứ giác nội tiếp); (tứ giác nội tiếp). Mặt khác cân tại cân tại có là đường cao là đường trung tuyến của là trung điểm của Mà ( là trung điểm của ). Do đó .Mặt khác có (hệ quả của định lý Talet). Ta có . Xét và có: (hai góc đồng vị do ); (c.g.c) Hai tia trùng nhau. Vậy ba điểm thẳng hàng.

c) là các tiếp tuyến của đường tròn , là tia phân giác của . cân tại có (gt) đều , đều có là đường phân giác là đường cao của . vuông tại . Vậy (đvdt). Gọi là giao điểm của và . Ta có , là trung điểm của và vuông tại . Do đó (đvdt). Xét và , ta có . Do đó (g.g) . Mà . Do đó . Ta có , vậy .

Câu 48.

a).

*) Tứ giác nội tiếp do

+ , + *) Ta có , . Suy ra tứ giác nội tiếp. b). Ta thấy tứ giác nội tiếp do suy ra suy ra . c). Ta có Mặt khác ta có: suy ra hay .Ta có: .

Câu 49). Giải:

Giả sử cắt đường tròn

ngoại tiếp tam giác

tại điểm thứ hai ,

cắt đường tròn ngoại tiếp

tam giác tại điểm

thứ hai . Ta có do đó là tứ giác nội tiếp.

Suy ra , do đó thẳng hàng.

Khi đó suy ra .

Câu 50. Giải:

Đường thẳng qua song song với cắt tại .

Ta có do đó . Mặt khác nên tam giác đều.

Vậy phép quay tâm góc quay biến thành , thành . Do đó và tạo với nhau một góc .

Vậy . Do đó thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Câu 51. Giải:

Vì tứ giác

nội tiếp nên .

Mặt khác

(1).Áp dụng định lý Ptô –lê- mê

cho tứ giác ta có

(2)

Từ (1) và (2) suy ra . Mặt khác nên .

Câu 52. Giải:

a) Ta có . Do đó nằm trong góc (1). Do nên và nằm

về cùng một phía đối với .

Do đó và nằm về cùng

một phía đối với (2).

Từ (1) và (2) suy ra nằm trong

góc . Vậy thuộc cung nhỏ .

b) Vì (3), suy ra . Mặt khác nên hay tứ giác nội tiếp. Từ đó ta có nên .

Gọi là giao điểm của và , khi đó là hình bình hành. Do đó là trung điểm của .Vậy là một hình bình hành. Mặt khác ta có và (4) nên (5). Từ (4) và (5) suy ra (6). Từ (3) và (6) ta có .

Câu 53. Giải:

Gọi là giao điểm (khác )

của đường tròn ngoại tiếp tam

giác và tam giác . Tứ giác nội tiếp một

đường tròn do đó

(do ) . Gọi là giao điểm của và . Khi đó do đó . Suy ra . Do đó tứ giác nội tiếp hay thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác . Tương tự thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Câu 54. Giải:

a). Gọi lần lượt là hình

chiếu vuông góc của

xuống . là hình chiếu

vuông góc của xuống

, là hình chiếu vuông

góc của xuống .

Đặt . Dễ dàng tính được: ; . Do đó .

b) Dễ dàng chứng minh được nên ; nên . Do đó hay .

Câu 55. Giải:

Ta có và nên (c.g.c).

Vậy .Do nằm trên đường trung trực của và nằm

trên phân giác nên là

điểm chính giữa cung

(cung không chứa ) của đường

tròn ngoại tiếp tam giác .

Vậy tứ giác nội tiếp một

đường tròn. Giả sử đường tròn

ngoại tiếp tam giác cắt tại khác . Do đó các tứ giác nội tiếp được nên tứ giác cũng nội tiếp.

Vậy hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác cắt nhau tại thuộc .

Câu 56. Giải:

Sử dụng tứ giác nội tiếp.

Ta chứng minh .

Giả sử cắt ở ,

cắt ở . Dễ dàng chứng

minh được các cặp tam giác

đồng dạng

suy ra

. Do đó . Mặt khác nên . Từ đó ta có (c.g.c). Vậy .

Ngược lại, giả sử . Gọi tương ứng là giao điểm của với đường tròn ngoại tiếp tam giác . Ta có các cặp tam giác đồng dạng nên (1). Mặt khác nên (2). Từ (1) và(2) suy ra . Do đó .Vậy nội tiếp.

Câu 57. Giải:

Đường tròn ngoại tiếp tam

giác cắt các đường

thẳng lần lượt

tại các điểm thứ hai .

Gọi , lần lượt

là đường tròn ngoại tiếp tam

giác .

Ta có: ; do đó . Suy ra hai tam giác và có các cạnh tương ứng song song nên . Mặt khác ta có . Vậy ba điểm thẳng hàng.

Câu 58.

Giải:

Khi thay đổi trên cung lớn

thì tam giác có không đổi bằng .

_{Tam giác} luôn cân, có

không đổi nên lớn nhất khi

lớn nhất, khi đó là điểm chính giữa của cung lớn . Gọi là điểm chính giữa của cung lớn , ứng với vị trí đó ta có tam giác cân tại ; . Vậy chu vi chu vi . Do đó chu vi tam giác lớn nhất khi .

b) Gọi là giao điểm của với , là giao điểm của với , là giao của với . Các điểm lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm tam giác . Ta có . Do đó theo câu 9 suy ra ba điểm thẳng hàng. Mặt khác ba điểm cùng nằm trên đường thẳng Ơ-le của tam giác luôn đi qua cố định.

Câu 59) Giải:

Gọi lần lượt là các

tiếp điểm của các cặp đường

tròn .

Đường thẳng cắt tại . Ta có ba điểm thẳng hàng.

Mặt khác và nên .Tương tự và . Do đó . Vậy các đoạn thẳng đồng quy nên cũng là đường cao của tam giác hay suy ra . Vậy thuộc đường thẳng qua vuông góc với .

Câu 60. Giải:

Gọi là giao điểm thứ hai

khác của với đường

tròn . Khi đó là điểm

chính giữa cung

(cung không chứa ).

Ta có .

Theo định lý Ptô-lê-mê ta có do đó . Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có: .Vậy .Gọi là trung điểm cạnh , khi đó . Vậy .

Câu 61. Giải:

Gọi là giao điểm của và . Ta có (Tính chất đường trung bình trong một hình thang), ở đó là khoảng cách từ tới . Tương tự . Vậy . Do đó cùng tiếp xúc với một đường tròn tâm .

Câu 62. Giải:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác

có tâm và tiếp xúc với

tại , tại . Đường

tròn ngoại tiếp tam giác

có tâm và tiếp xúc với

tại , tại .

Ta có suy ra (1)

Ta có hay tứ giác nội tiếp. Do đó (để ý rằng ) Từ (1) và (2) suy ra hay . Do đó tứ giác nội tiếp.

Câu 63. Giải:

Đường thẳng qua song song

với cắt tại . Đường

thẳng qua song song với

cắt tại . Gọi là trung

điểm của .Ta có

nên .

Vậy . Do đó suy ra . Do nên . Vậy tứ giác là tứ giác nội tiếp. Do đó suy ra tứ giác nội tiếp.

Vì là các tứ giác nội tiếp nên là tứ giác nội tiếp. Hơn nữa do , nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác . Vậy .

Câu 64. Giải:

Theo định lý Sim-sơn, ba điểm

thẳng hàng. Từ hai bộ

bốn điểm

cùng thuộc một đường tròn ta

suy ra .

Tương tự ta được các cặp tam giác đồng dạng . Do đó . Suy ra . Điều đó tương đương với chân đường phân giác góc của tam giác và chân đường phân giác góc của tam giác trùng nhau, hay các phân giác góc và cắt nhau trên .

Câu 65. Giải:

Gọi là giao điểm của với . Ta cần chứng minh là trung điểm của .Ta có suy ra . Tương tự suy ra .

Mặt khác nên

do đó

(1).

Dễ dàng nhận thấy

suy ra (2). Từ (1) và (2) ta có . Sử dụng định lý Mê-lê-la –uyt cho tam giác với cát tuyến ta có: . Do đó .

Câu 66. Giải:

cắt đường tròn

tại các điểm thứ hai .

Khi đó ,

hơn nữa chúng có các cạnh

tương ứng song song. Ta có

và .Do đó . Tương tự .

Vậy do đó (1). Theo định lý Ptô- lê-mê ta có (2). Từ (1) và (2) ta có: .

Câu 67. Giải:

Kẻ các tiếp tuyến chung

trong của

và . Giao điểm của

với lần lượt là

.Kẻ tiếp tuyến chung

ngoài của và sao cho và nằm về cùng một phía đối với . Các điểm lần lượt là các tiếp điểm của với . cắt tại . Ta sẽ chứng minh . Gọi là điểm chính giữa của cung của đường tròn , kẻ các tiếp tuyến của . Dễ dàng chứng minh được ba điểm thẳng hàng, ba điểm thẳng hàng và tứ giác nội tiếp. Do đó hay .

Áp dụng câu 66 cho tam giác nội tiếp đường tròn và đường tròn tiếp xúc với tại , ta có: . Tương tự .

Suy ra do đó hay . Vậy là trung điểm của cung , do đó .

Câu 68. Giải:

Lấy thuộc đường tròn sao cho .

Khi đó .

Áp dụng định lý Ptô-lê-mê

cho hai tứ giác nội tiếp

và ta có:

(1)

Và

(2)

Mặt khác

Do đó suy ra (3)

Từ (1),(2),(3) ta có điều phải chứng minh.

Câu 69. Giải:

_{Tứ giác} và

nội tiếp được nên

và . Mà suy ra .

Ta lại có suy ra (c.g.c). Do đó . Mặt khác nên . Do đó không đổi. Vậy thuộc một đường tròn cố định.

Câu 70)

Gọi trực tâm của ,

là trung điểm cạnh . Gọi

là tia phân giác của .

Ta có nên

cũng là tia phân giác của .

Gọi đối xứng với qua .

Khi đó thuộc . Khi thay đổi trên thì thay đổi trên đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua . Tam giác có không đổi nên không đổi. Mặt khác nên không đổi. Do đó không đổi. hơn nữa thuộc cố định nên thuộc một đường thẳng song song với .