Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 10 Sở GD&ĐT Tỉnh Vĩnh Phúc (Đề 5)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

(Dành cho học sinh THPT không chuyên)

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

(Đáp án có 03 trang)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN

(Dành cho học sinh THPT không chuyên)

II. ĐÁP ÁN:

Câu

Nội dung trình bày

Điểm

1(3đ)

1.a (1,5 điểm)

Điều kiện:

Đặt . Thay vào ta được: . Do đó ta có hệ phương trình:

0,25

0,5

0,25

+)

0,25

+) (do )

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

0,25

1.b (1,5 điểm)

Phương trình (1) có hai nghiệm không âm

0,75

Theo định lý Vi-ét ta có . Do đó

0,5

Do . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

0,25

2(2đ)

Đặt , thay vào hệ ta được:

0,5

0,5

₊₎

0,25

+)

0,5

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là

0,25

3(1đ)

Do là độ dài ba cạnh của một tam giác không nhọn nên có một trong các bất đẳng thức sau xảy ra: . Giả sử , khi đó ta có:

0,25

0,25

. Do đó

.

0,5

4(3đ)

4.a (1,0 điểm)

Áp dụng quy tắc trọng tâm và quy tắc trung điểm ta có:

. Khi đó

0,25

0,25

(chú ý )

0,25

0,25

4.b(1,0 điểm)

Kí hiệu . Khi đó ta có

0,25

Theo công thức Hê – rông ta có:

0,25

, trong đó

0,25

Do đó .

0,25

4.c (1,0 điểm)

Do BC vuông góc với đường cao kẻ từ A nên BC có dạng . Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ ,

tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình

.

0,25

AB đi qua và vuông góc với đường cao kẻ từ C nên

. Tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ

.

0,25

Theo giả thiết ta có

0,25

+) Nếu .

+) Nếu không thỏa mãn hoành độ của A âm.

Vậy .

0,25

5(1đ)

Giả sử (1).

Ta có .

0,25

Kết hợp với (1) ta được

Tương tự ta được các bất đẳng thức sau đây :

0,25

Cộng theo vế các bất đẳng thức (2), (3), (4), (5) ta được:

(6)

0,25

Mặt khác ta lại có: , mâu thuẫn với (6). Do đó giả sử ban đầu là sai suy ra tồn tại ít nhất một trong các góc có số đo không lớn hơn .

0,25