Chuyên Đề Đạo Hàm Và Hàm Số Mũ, Hàm Số Logarit Luyện Thi THPT Quốc Gia

CHUYÊN ĐỀ II:

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT

Chủ đề 2.1:Lũy thừa, mũ, logarit

1. Kiến thức cơ bản

I. Lũy thừa

1. Định nghĩa lũy thừa

Số mũ 	Cơ số a	Lũy Thừa
	a  R	(n thừa số a)

2. Tính chất của lũy thừa

 với mọi a > 0, b > 0 ta có :

 a > 1 : ; 0 < a < 1 :

 Với 0 < a < b ta có :

;

Chú ý: + Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0

+ Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương

3. Định nghĩa và tính chất của căn bậc n

 Căn bậc n (n  N*, ) của a là số b sao cho .

 nếu n là số nguyên dương lẻ thì xác định , nếu n là số nguyên dương chẵn thì xác định

 n là số nguyên dương lẻ , n là số nguyên dương chẵn

 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có :

; ; ;

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì .

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì .

II. LÔGARIT

1.Định nghĩa

 Với a > 0, a  1, b > 0 ta có :

chú ý : có nghĩa khi

 Loogarit thập phân :

 Loogarit tự nhiên (logarit Nepe): (vôùi )

2. Tính chất

 ; ; ;

 Cho a > 0, a  1, b, c > 0. Khi đó :

+ Nếu a > 1 thì

+ Nếu 0 < a < 1 thì

3. Các qui tắc tính logarit

Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta có :

  

4. Đổi cơ số

Với a, b, c > 0 và a, b  1, ta có :

 hay

 

2. Kĩ năng cơ bản:

- Tìm điều kiện và rút gọn biểu thức

- Đưa biểu thức về dạng lũy thừa

- So sánh lũy thừa

- Tính giá trị biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho

- Chứng minh đẳng thức

3. Bài tập luyện tập

Bài 1 Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa

a) b) c)

Bài 2 Tìm điều kiện và rút gọn các biểu thức sau

a) b)

c) (a,b>0 , a ≠ b)

Bài 3 So sánh m và n

a) b)

Bài 4 Tìm điều kiện của a và x biết

a) b)

c) d)

e) f)

Bài 5. Rút gọn biểu thức :

a) (a > 0) b ) ( )

Bài 6: Tính giá trị biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho :

a) Cho . Tính theo a.

b) Cho . Tính theo a.

a) Cho ; . Tính theo a, b.

b) Cho ; . Tính theo a, b.

Bài 7: Chứng minh các biểu thức sau (với giả thuyết các biểu thức đều có nghĩa ) :

a) b)

c) , với .

4. Bài tập TNKQ

Câu 1: Cho a > 0 và a  1. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau :

A. có nghĩa x B. log_a1 = a và log_aa = 0

C. log_axy = log_ax.log_ay D. (x > 0,n  0)

Câu 2: Cho a > 0 và a  1, x và y là hai số dương . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau :

A. B.

C. D.

Câu 3: (a > 0, a  1) bằng :

A. - B. C. D. 4

câu 4 : bằng :

A. 3 B. C. D. 2

Câu 5: (a > 0, a  1, b > 0) bằng :

A. B. C. D.

Câu 6 : Nếu (a > 0, a  1) thì x bằng :

A. B. C. D. 3

Câu 7: Nếu (a, b > 0) thì x bằng :

A. B. C. 5a + 4b D. 4a + 5b

Câu 8 : nếu (a, b > 0) thì x bằng :

A. B. C. D.

Câu 9: Cho log2 = a. Tính log25 theo a?

A. 2 + a B. 2(2 + 3a) C. 2(1 - a) D. 3(5 - 2a)

Câu 10 : Cho log . Khi đó tính theo a và b là :

A. B. C. a + b D.

Câu 11 : Cho hai số thực dương và với Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?

A. B.

C. D.

Câu 12. Cho . Tính theo a, ta được:

A. . B. . C. . D. .

Câu 13. Rút gọn biểu thức , ta được:

A. . B. . C. . D. .

Câu 14: Cho a là một số dương, biểu thức viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là:

A. B. C. D.

Câu 15: Biểu thức a viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là:

A. B. C. D.

Câu 16: Biểu thức (x > 0) viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là:

A. B. C. D.

Câu17: Trong các phương trình sau đây, phương trình nào có nghiệm?

A. + 1 = 0 B. C. D.

Câu18: Cho K = . biểu thức rút gọn của K là:

A. x B. 2x C. x + 1 D. x - 1

Câu19: Rút gọn biểu thức: , ta được:

A. 9a²b B. -9a²b C. D. Kết quả khác

Câu20: Rút gọn biểu thức: , ta được:

A. x⁴(x + 1) B. C. - D.

Câu21: Nếu thì giá trị của  là:

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

Câu22: Cho . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. -3 <  < 3 B.  > 3 C.  < 3 D.   R

Câu23: Rút gọn biểu thức (a > 0), ta được:

A. a B. 2a C. 3a D. 4a

Câu24: Rút gọn biểu thức (b > 0), ta được:

A. b B. b² C. b³ D. b⁴

Câu25: Cho . Khi đo biểu thức K = có giá trị bằng:

A. B. C. D. 2

Chuyên đề 2: HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ

Chủ đề 2.2: Hàm số lũy thừa, mũ, logarit

1. Kiến thức cơ bản

1. HÀM SỐ LŨY THỪA

1. ĐN: Hàm số có dạng với

2. Tập xác định:

   • D = R với nguyên dương

   • với nguyên âm hoặc bằng 0

   • D = với không nguyên

3. Đạo hàm

Hàm số ( ) có đạo hàm với mọi x > 0 và

4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng

Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1)

Khi > 0 hàm số luôn đồng biến, khi < 0 hàm số luôn nghịch Biến

Đồ thị hàm số không có tiệm cận khi > 0. khi < 0 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox, tiệm cận đứng là trục Oy.

II. HÀM SỐ MŨ
a) ĐN: Hàm số có dạng

b) Tập xác định: D = R, tập giá trị

c) Đạo hàm: Hàm số có đạo hàm với mọi x và
, Đặc biệt:

d) Sự biến thiên:

Khi a > 1: Hàm số đồng biến

Khi 0 < a < 1: hàm số nghịch biến

5. Đồ thị: đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox và luôn đi qua các điểm (0; 1), (1; a) và nằm về phía trên trục hoành

6. Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.

Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng đồng với lãi kép /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau kì hạn ( ) là:

(2)

Chú ý: Từ công thức (2) ta có thể tính được:

(3)

(4)

(5)

III. HÀM SỐ LÔGARIT

a) ĐN: Hàm số có dạng

b) Tập xác định: D = , tập giá trị R

c) Đạo hàm: Hàm số có đạo hàm với mọi x > 0 và
, Đặc biệt:

d) Sự biến thiên:

Khi a > 1: Hàm số đồng biến

Khi 0 < a < 1: hàm số nghịch biến

e) Đồ thị: thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm (1; 0), (a; 1) và nằm về phía phải trục tung.

2. Kĩ năng cơ bản

• Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa ,hàm số logarit

• Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa , hàm số mũ , hàm số logarit

• Tính tiền lãi , thời gian giửi tiết kiệm và tăng trưởng … , lãi suất hay % tăng trưởng trong bài toán lãi suất

• Khảo sát hàm số lũy thừa , hàm số mũ , hàm số logarit

3. Bài tập luyện tập

Bài 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a, y= e^3x b, y=2^x c, y=

HD:

a,(e^3x)’ = e^3x.(3x)’ = 3e^3x

b, (2^x)’ = 2^x.ln2;

c,( )’ = .(ln3). (1-x²)’ = -2x. .ln3

Bài 2: Tìm TXĐ của các hàm số sau:

a, y = x³ b, y = x ^-3 c, y = d, y =

HD:

a, y = x³ có D = R (vì = 3 nguyên dương)

b, y = x ^-3 có D = R\{0} (vì = - 3 nguyên âm)

c, y = ( hữu tỉ);

d, y = ( vô tỉ) nên có D = R⁺ = (0;+ )

Bài 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a, y= (x>0) b, y= ( )

HD:

+ = = =

+( )’=[ ]’= .(-2x) =

Bài 4: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a, b,

HD

a , y’ =

b,

Bài 5: Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép 5%/năm.

a) Tính số tiền cả gốc lẫn lãi chú Việt nhận được sau khi gửi ngân hàng 10 năm.

b) Với số tiền 10 triệu đó, nếu chú Việt gửi ngân hàng với lãi kép /tháng thì sau 10 năm chú Việt nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn hay ít hơn?

HD

a) Số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau 10 năm với lãi kép 5%/năm là

triệu đồng.

b) Số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau 10 năm với lãi kép /tháng là

triệu đồng.

Vậy số tiền nhận được với lãi suất /tháng nhiều hơn.

Bài 6: Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi suất 0,58%/tháng (không kỳ hạn). Hỏi bạn An phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng ?

HD

Ta có nên để nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng thì bạn An phải gửi ít nhất là 46 tháng.

Bài 7: Một người có 58 000 000đ gửi tiết kiệm ngân hàng (theo hình thức lãi kép ) trong 8 tháng thì lĩnh về được 61 329 000đ. Tìm lãi suất hàng tháng?

HD lãi suất hàng tháng là

Bài 8: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

HD: a, D=(-1; ) b, D= c, D=( ;1) d, D=(-1;1)

Bài 9: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a, y= ln b, y=log₂(3x² - 5)

HD:

a, (ln )’ = = (vì = )

b, [log₂(3x² - 5)]’ = =

4. Bài tập TNKQ

Câu 1: Đạo hàm của hàm số là:

A. B. C. D.

Câu 2: Tập xác định của hàm số là:

A. . B. . _C. D. .

Câu 3. Hàm số có tập xác định là:

A. R B. (0; +) C. R\ D.

Câu 4 Hàm số nào sau đây là đạo hàm của hàm số _{ } ?

A. _{ } B. _{ } C. _{ } D. _{ }

Câu 5: Hàm số có đạo hàm là:

A. B.

C. D.

Câu 6: Đạo hàm của hàm số là:

A. B.

C. D.

Câu 7: Đạo hàm của hàm số là:

A. . B. ln2. C. . D. .

Câu 8: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 6,8% năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn, hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?

A. 8         B. 9                C. 10                   D. 11

Câu 9: Một khu rừng có trữ lượng gỗ mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm. Tìm khối lượng gỗ của khu rừng đó sau 5 năm.

A. B. C. D.

Câu 10: Tập xác định của hàm số là:

A. B.

C. D.

Câu11: Tập xác định của hàm số là:

A. B.

C. D.

Câu 12. Đạo hàm của hàm số là:

A. B.

C. D.

Câu 13: Đạo hàm của hàm số  là :

A. B.

C. D.

Câu 14: Hàm số y = có đạo hàm f’(0) là:

A. B. C. 2 D. 4

Câu 15: Cho hàm số y = . Đạo hàm f’(x) có tập xác định là:

A. R B. (0; 2) C. (-;0)  (2; +) D. R\{0; 2}

Câu 16: Hàm số y = có đạo hàm là:

A. y’ = B. y’ = C. y’ = D. y’ =

Câu 17: Cho f(x) = . Đạo hàm f’(1) bằng:

A. B. C. 2 D. 4

Câu18: Cho f(x) = . Đạo hàm f’(0) bằng:

A. 1 B. C. D. 4

Câu19: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên các khoảng nó xác định?

A. y = x^-4 B. y = C. y = x⁴ D. y =

Câu20: Cho hàm số y = . Hệ thức giữa y và y” không phụ thuộc vào x là:

A. y” + 2y = 0 B. y” - 6y² = 0 C. 2y” - 3y = 0 D. (y”)² - 4y = 0

Câu21: Cho hàm số y = x^-4. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Đồ thị hàm số có một trục đối xứng.

B. Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 1)

C. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận

D. Đồ thị hàm số có một tâm đối xứng

Câu 22: Trên đồ thị (C) của hàm số y = lấy điểm M₀ có hoành độ x₀ = 1. Tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀ có phương trình là:

A. y = B. y = C. y = D. y =

Câu23: Trên đồ thị của hàm số y = lấy điểm M₀ có hoành độ x₀ = . Tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀ có hệ số góc bằng:

A.  + 2 B. 2 C. 2 - 1 D. 3

Câu 24: Trong các hình sau hình nào là dạng đồ thị của hàm số

Câu 25: Cho đồ thị hai hàm số và như hình vẽ: Nhận xét nào đúng? A. B. C. D.

Chủ đề 2.3: Phương trình mũ , bất phương trình mũ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Một số tính chất đối với hàm số mũ.

a) Luỹ thừa:

* Các công thức cần nhớ:

* Tính chất của lũy thừa:

; ; ;

;

* Quy tắc so sánh:

+ Với a > 1 thì

+ Với 0 < a < 1 thì

b) Căn bậc n

;

2. Phương trình mũ cơ bản:

Là phương trình dạng: a^x = b (*) với a, b cho trước và 0 < a ¹ 1

+ b £ 0: (*) VN

+ b > 0: (0<a¹1 và b>0)

Minh họa bằng đồ thị

Phương trình ax = b (a > 0, a≠ 1)
b > 0	Có nghiệm duy nhất x = logab
b ≤ 0	Vô nghiệm

B. KĨ NĂNG CƠ BẢN

I. Phương trình mũ

1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

2. Phương pháp dùng ẩn phụ.

Khi sử dụng phương pháp này ta nên thực hiện theo các bước sau:

B1: Đưa pt, bpt về dạng ẩn phụ quen thuộc.

B2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ.

B3: Giải pt, bpt với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa điều kiện.

B4: Thay giá trị t tìm được vào giải PT, bpt mũ cơ bản

B5: Kết luận.

Sau đây là một số dấu hiệu.

Loại 1: Các số hạng trong pt, bpt có thể biểu diễn qua đặt t =

Hay gặp một số dạng sau:

+ Dạng 1: bậc 2 ẩn t.

+ Dạng 2: bậc 3 ẩn t.

+ Dạng 3: trùng phương ẩn t.

Lưu ý: Trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được một phương trình, Bpt vẫn chứa x ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc n đối với và .

Hay gặp một số dạng sau:

+ Dạng 1:

Chia 2 vế cho loại 1(dạng 1)

+ Dạng 2:

Chia 2 vế cho loại 1(dạng 2)

Tổng quát: Với dạng này ta sẽ chia cả 2 vế của Pt cho hoặc với n là số tự nhiên lớn nhất có trong pt Sau khi chia ta sẽ đưa được pt về loại 1.

Loại 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo

+ Dạng 1: với a.b = 1

+ Dạng 2: , với a.b = c²

Với dạng 1 ta đặt ẩn phụ t = = 1/t ; còn với dạng 2 ta chia cả 2 vế của pt cho để đưa về dạng 1.

3. Phương pháp logarit hóa

Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT mũ bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể lấy logarit hai vế theo cùng một sơ số thích hợp nào đó PT, BPT mũ cơ bản (phương pháp này gọi là logarit hóa)

Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường có dạng ( nói chung là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau) khi đó ta có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số a (hoặc b, hoặc c).

II. Bất phương trình mũ

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Xét bất phương trình a^x > b

- Nếu , tập nghiệm của bất PT là R vì a^x > 0

- Nếu b > 0 thì BPT tương đương với

Nếu a > 1 thì nghiệm của bất PT là x > log_ab

Nếu 0 <a < 1 thì nghiệm của bất PT là x < log_ab

2. Giải bất phương trình bằng phương pháp đưa về cùng một cơ số

3. Giải bất phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

C. Bài tập luyện tập

1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

1) 2)

3) 4)

LG

1)

2)

3)

4)

Ví dụ: Giải các phương trình sau :

HD:

Vậy phương trình có nghiệm:

Ví dụ: Giải các phương trình sau :

HD:

Vậy phương trình có nghiệm:

Ví dụ: Giải phương trình sau :

HD:

2. Dùng ẩn phụ.

Ví dụ: Giải các phương trình

1)

2)

3)

LG

1)

Đặt với t>0 ta được phương trình:

Với t=1 ta có x=0

Với t=3 ta có x=1

2)

Đặt ta được phương trình:

Với t=1 ta có

Với t=2 ta có

Ví dụ: Giải các phương trình sau :

HD: (*)

Đặt Phương trình (*)

Với

Với

Vậy phương trình có nghiệm:

Ví dụ: Giải các phương trình sau :

HD: (*)

Đặt Phương trình (*)

Với

Vậy phương trình có nghiệm:

Ví dụ: Giải các phương trình sau :

HD: (*)

Đặt Pt (*)

Với

Vậy phương trình có nghiệm:

3. Phương pháp logarit hóa

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

1) 2)

LG

1) Pt

4. Bất phương trình

Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

a) b)

Lời giải:

1. Ta có: .

- Bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là:

2. Ta có:

- Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là: .

Bài 2: Giải bất phương trình :

Lời giải:

Ta có:

Bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là:

Bài 3: Giải bất phương trình:

Lời giải:

Ta có

Bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là:

Bài 4: Giải bất phương trình:

Lời giải:

Ta có:

Bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là:

Bài 5: Giải bất phương trình:

Lời giải:

Ta có:

Khi đó

Bài 6: Giải bất phương trình:

Lời giải:

- Ta có:

- Đặt . Điều kiện: t > 0.

- Ta có:

- Khi đó:

- Vậy bất phương trình có tập nghiệm là:

Bài 7: Giải bất phương trình:

Lời giải:

- Ta có: (1)

- Đặt . Điều kiện: t > 0.

- Ta có:

- Vậy bất phương trình có tập nghiệm là:

Bài 8: Giải bất phương trình:

Lời giải:

- Ta có:

Chia hai vế của (1) đã cho ta được: (1) (2)

- Đặt . Điều kiện: t > 0.

- Khi đó (2) có dạng

- Với ta có: .

- Với ta có: .

- Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm:

_{* Bài tập tự luyện}

Bài 1: Giải các phương trình:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14) 2^{x - 2} = 3

15) 3^{x + 1} = 5^{x – 2}

16) 3^{x – 3} =

17)

18)

19) 5^{2x + 1}- 7^{x + 1} = 5^2x + 7^x

Bài 2: Giải các bất phương trình:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1: Phương trình có nghiệm là:

A. x = B. x = C. 3 D. 5

Câu 2: Tập nghiệm của phương trình: là:

A. B. {2; 4} C. D.

Câu 3: Phương trình có nghiệm là:

A. B. C. D. 2

Câu 4: Phương trình có nghiệm là:

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Câu 5: Phương trình: có nghiệm là:

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Câu 6: Phương trình: có nghiệm là:

A. -3 B. 2 C. 3 D. 5

Câu 7: Tập nghiệm của phương trình: là:

A. B. C. D.

Câu 8: Phương trình: có nghiệm là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 9: Phương trình: có nghiệm là:

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

Câu 10: Phương trình: có nghiệm là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 11: Xác định m để phương trình: có hai nghiệm phân biệt? Đáp án là:

A. m < 2 B. -2 < m < 2 C. m > 2 D.

Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình: là:

A. B. C. D.

Câu 13: Bất phương trình: có tập nghiệm là:

A. B. C. D. Kết quả khác

Câu 14: Bất phương trình: có tập nghiệm là:

A. B. C. (0; 1) D.

Câu 15: Bất phương trình: có tập nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 16: Bất phương trình: có tập nghiệm là:

A. B. C. D. Kết quả khác

Câu 17: Bất phương trình: 2^x > 3^x có tập nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 18: Nghiệm của bất phương trình là:

1. B. C. D.

Câu19: Tập nghiệm của bất phương trình: là:

A. B. C. D.

Câu20: Bất phương trình: có tập nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu21: Bất phương trình: có tập nghiệm là:

A. B. C. (0; 1) D.

Câu22: Bất phương trình: có tập nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu23: Bất phương trình: có tập nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 24: Bất phương trình: 2^x > 3^x có tập nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 25: Nghiệm của bất phương trỡnh là:

A. B. C. D.

Chủ đề 2.4: Phương trình lôgarit , bất phương trình lôgarit

1. KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. phương trình lôgarit

1. Phương trình lôgarit cơ bản:

PT log_ax = b ( a > 0, ) luôn có nghiệm duy nhất x = a^b với mọi b

2.cách giải một số phương trình loogarit đơn giản :

a. Đưa về cùng cơ số:

1. f(x) = g(x)

2. f(x) = ab

Lưu ý rằng với các PT, BPT logarit ta cần phải đặt điều kiện để các biểu thức log_af(x) có nghĩa là

f(x) 0.

b. Đặt ẩn phụ

Với các PT, BPT mà có thể biểu diễn theo biểu thức log_af(x) thì ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ t = log_af(x).

Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức log_af(x) có nghĩa là f(x) > 0, chúng ta cần phải chú ý đến đặc điểm của PT, BPT đang xét ( chứa căn, có ẩn ở mẫu) khi đó ta phải đặt điều kiện cho các PT, BPT có nghĩa.

c. Mũ hóa

Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT logarit bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể đặt x = a^t PT, BPT cơ bản (phương pháp này gọi là mũ hóa)

Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường chứa nhiều cơ số khác nhau

II. Bất phương trình lôgarit

1. Bất phương trình lôgarit cơ bản

Xét bất phương trình log_ax > b : - Nếu a > 1 thì

- Nếu 0 <a < 1 thì

2.cách giải một số bất phương trình loogarit đơn giản :

a. Đưa về cùng cơ số:

b. Đặt ẩn phụ

c. Mũ hóa

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1. Đưa về cùng cơ số:

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a. (*)

Đk:

(t/m đk)

b. (*)

Đk:

Khi đó PT (*) (t/m đk)

c. (*)

Đk:

Khi đó PT (t/m đk)

d. (*)

Đk:

Với điều kiện trên thì PT (*)

(t/m đk).

e. (*)

Đk:

Với điều kiện trên thì PT m(*)

So sánh với điều kiện ta thấy PT đã cho chỉ có một nghiệm là

2. Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a.

Với điều kiện đặt ta được PT hoặc

+ ta có

+ ta có

b. 4 (*)

Với đk: (*)

Đặt và Ta được PT:

+ ta có (t/m đk)

+ ta có (t/m đk)

Vậy BPT đã cho có hai nhghiệm là và

VD: Giải phương trình sau:

Giải

ĐK : x >0, log₃x ≠5, log₃x ≠-1

Đặt t = log₃x, (ĐK:t ≠5,t ≠-1) Ta được phương trình : ó t² - 5t + 6 = 0

t =2, t = 3 (thoả ĐK)

Vậy log₃x = 2, log₃x = 3 Phương trình đã cho có nghiệm : x₁ = 9, x₂ = 27

Ví dụ: Giải các phương trình sau :

HD: (1)

Điều kiện: Phương trình

Đặt ta có

Vậy phương trình có nghiệm

Ví dụ: Giải các phương trình sau :

HD: (2)

Điều kiện:

Phương trình

(2)

Đặt phương trình (2)

tm đk (*)

Vậy phương trình có nghiệm

3. Mũ hóa

Ví dụ Giải các phương trình sau:

a.

Đk: (*)

Với đk (*) thì PT đã cho tương đương với PT (t/m đk (*))

b.

Đk: (*)

Với đk (*) mũ hóa 2 vế của PT đã cho ta được PT (t/m)

c.

Đk: (*)

Với đk (*) thì PT đã cho tương đương với PT

Kết hợp với đk (*) ta thấy PT đã cho chỉ cố một nghiệm duy nhất là

VD: Giải phương trình sau: log₂(5 – 2^x) = 2 – x

Giải. ĐK : 5 – 2^x > 0.

+ Phương trình đã cho tương đương. 5 – 2^x = ó2^2x – 5.2^x + 4 = 0.

Đặt t = 2^x, ĐK: t > 0.Phương trình trở thành:t² -5t + 4 = 0.

phương trình có nghiệm : t = 1, t = 4.

Vậy 2^x = 1, 2^x = 4, nên phương trình đã cho có nghiệm : x = 0, x = 2.

* Bất phương trình lôgarit cơ bản

1. Giải BPT cơ bản:

Bài 1. Giải các BPT

a)

Bài giải:

a)

bất phương trình có tập nghiệm:

_b)

bất phương trình có tập nghiệm:

2. Giải BPT PP đưa về cùng cơ số:

Bài 1: Giải bất phương trình sau:

Lời giải:

- Điều kiện:

- Khi đó:

- Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm:

Bài 2: Giải bất phương trình:

Lời giải:

- Điều kiện:

- Khi đó:

- Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là :

Bài 3: Giải bất phương trình:

Lời giải:

- Điều kiện:

- Khi đó:

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là :

_{3. Giải BPT bằng PP đặt ẩn phụ:}

Bài 1: Giải bất phương trình:

Lời giải:

- Điều kiện:

- Đặt :

- Khi đó:

- Với ta có:

- Kết hợp với điều kiện, bất phương trình đã cho có tập nghiệm là :

Bài 2: Giải bất phương trình:

Lời giải:

- Điều kiện:

- Đặt :

- Khi đó:

- Với t < 4 ta có:

- Với t > 9 ta có:

- Kết hợp với điều kiện bất phương trình có tập nghiệm là :

_{Bài 3:Giải bất phương trình:}

a) ; Với ĐK : x > 0

ta có : <=>

Đặt BPT trở thành :

<=>

Kết hợp với đk : ta có nghiệm của BPT đã cho là :

Bài 4: Giải các bất phương trình :

a) (1)

Với ĐK : thì (1) <=>

<=> <=>

<=> <=>

Kết hợp với ĐK : ta được nghiệm của BPT :

b) (2)

(2)

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1: Phương trình: có nghiệm là:

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

Câu 2: Phương trình: = 3lgx có nghiệm là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 3: Phương trình: = 0 có mấy nghiệm?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 4: Phương trình:

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 5: Phương trình: có nghiệm là:

A. 24 B. 36 C. 45 D. 64

Câu 6: Phương trình: có tập nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 7: Phương trình: có tập nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 8: Phương trình: = 1 có tập nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 9: Phương trình: có tập nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 10: Phương trình: có tập nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 11: Phương trình: có tập nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 12: Nghiệm của phương trình : là:

A. x = 5 B. C. D.

Câu 13: Phương trình có 2 nghiệm .Khi đó :

A. B. C. D.

Câu 14. Phương trình có hai nghiệm . Khi đó tổng là:

A. B. C. D. 1

Câu 15. Giá trị của m để phương trình có nghiệm

là:

A. 3 m 6 B. 2 m 3 C. 6 m 9 D. 2 m 6

Câu 16. Phương trình sau có nghiệm là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 17. Cho phương trình để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt trái dấu thì điều kiện của m là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 18. Nghiệm của phương trình là:

A. B. C. D.

Câu 19. Nghiệm của bất phương trình là:

A. B. C. D.

Câu 20. Tập nghiệm của bất phương trình là:

A. B.

C. D.

Câu 21: Tập nghiệm S của bất phương trình là:

A. B. C. D.

Câu 22 . Phương trình có hai nghiệm . Khi đó tổng là:

A. B. C. D. 1

Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình là:

A. B.

C. D.

Câu 24. Giá trị của m để phương trình có nghiệm

là:

A. 3 m 6 B. 2 m 3 C. 6 m 9 D. 2 m 6

Câu 25. Nghiệm của bất phương trình là:

A. B. C. D.

Câu 26: Phương trình sau có nghiệm là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 27. Cho phương trình để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt trái dấu thì điều kiện của m là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 28. Nghiệm của phương trình là:

A. B. C. D.

KIỂM TRA 45 PHÚT

I. MỤC TIÊU KIỂM TRA

1. Kiến thức: Kiểm tra kiến thức về luỹ thừa, logarit, hàm số mũ, hàm số logarits, hàm số luỹ thừa, phương trình bất PT mũ và logarit

2. Kĩ năng: Kiểm tra kỹ năng: Tìm tập xác định của hàm số logarit, ĐK xác định của lũy thừa, kỹ năng tính đạo hàm của HS mũ và HS logarit. kỹ năng giải PT, bất PT mũ và logarit

3. Thái độ: Nghiêm túc trong kiểm tra

II. HÌNH THỨC KIỂM TRA

- Hình thức: Trắc nghiệm khách quan

- Học sinh làm bài trên lớp

III. MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA

MA TRẬN NHẬN THỨC

Chủ đề hoặc mạch kiến thức, kĩ năng	Tầm quan trọng (Mức cơ bản trọng tâm của KTKN)	Trọng số (Mức độ nhận thức của Chuẩn KTKN)	Tổng điểm	Điểm theo thang điểm 10
Lũy thừa	15	2	30	1
Hàm số Luỹ thừa				1
logarit				2
Hàm số logarit	20	3	60	1
Hàm số mũ	15	2	30	1
Phương trình mũ	25	3	75	1
Phương trình logarit				1
Bất PT mũ	25	3	75	1
Bất phương trình logarit				1
Tổng	100		270	10

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA

Chủ đề\ Mức độ	1	2	3	4	Tổng
Lũy thừa	Câu 1	Câu11	Câu 21,25		4
Hàm số Luỹ thừa	Câu 2	Câu 16,17			3
logarit	Câu 4	Câu12			2
Hàm số logarit	Câu 3,5,7	Câu13	Câu22		5
Hàm số mũ		Câu14, 15			2
Phương trình mũ	Câu 6	Câu19,18		Câu 23	4
Phương trình logarit	Câu 8			Câu 24	2
Bất PT mũ	Câu10				1
Bất phương trình logarit	Câu9	Câu 20			2
Tổng	10	10	3	2	25

BẢNG MÔ TẢ TIÊU CHÍ LỰA CHỌN CÂU HỎI, BÀI TẬP

Câu 1.Tính chất lũy thừa

Câu 2: Tìm tập xác định của và hàm số lũy thừa

Câu 3: Tính chát của hà số mũ và HS logarit

Câu 4: tính giá trị logarit

Câu 5 .Tính đạo hàm của một tích : Hàm sốy= lnx và y=x

Câu 6: Giải PT mũ bằng PP đặt ẩn phụ

Câu 7: Tập xác định của hàm số logarit

Câu 8 .Giải Pt logarit : PP đưa về cùng cơ số

Câu 9. Giải BPT logarit cùng cơ số và có cơ số 0<a<1

Câu 10. Quan hệ giữa hàm số mũ và logarit

Câu 11. Đạo hàm của hàm số căn thức

Câu 12.Biểu diễn logarit theo một logarit khác

Câu 13.Tìm TXĐ của hàm số logarit

Câu14 . So sánh 2 logarit và 2 lũy thừa

Câu 15. ĐK có nghĩa của biểu thức gồm có chứa căn thức và lũy thừa

Câu 16. So sánh 2 logarti

Câu 17.Tính đồng biến nghịch biến của hàm số lũy thừa

Câu 18. Giải PT mũ đẳng cấp

Câu 19.Giải PT mũ bằng logarit hóa 2 vế

Câu 20. Giải bất PT logarit phối hợp 2 cơ số a<1 và 0<a<1

Câu 21.Bài toán thục tế về Pt mũ

Câu 22. Kết hợp đạo hàm của hàm số và giải PT

Câu 23. Tìm ĐK của tham số m để PT có mũ có nghiệm trong (a;b)

Câu 24.Tìm ĐK của tham số m để PT có logarit có nghiệm trong (a;b)

Câu 25.Tìm điều kiện có nghĩa của biểu thức phối hợp giữa că bậc chẵn và lũy thừa

IV. ĐỀ KIỂM TRA

Câu 1. Cho là một số thực dương. Rút gọn biểu thức kết quả là:

A. B. C. D.

Câu 2. Tập xác định của hàm số là:

A. B. C. D.

Câu 3: Cho a 0 ; a 1 . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Tập xác định của hàm số là khoảng 0;

B. Tập giá trị của hàm số là tập _

C. Tập xác định của hàm số là tập _

D. Tập giá trị của hàm số là tập _

Câu 4: Giá trị của bằng

A.3 B. C.-3 D.

Câu 5: Đạo hàm của hàm số y=x.lnx là:

A. B.lnx C.1 D. lnx+1

Câu 6: Số nghiệm của phương trình 3^x-3^1-x=2 là:

A.0 B.1 C.2. D.3.

Câu 7: Tập xác định của hàm số y=log(1-2x+x²) là:

A. D = R B. D = C. D = D. D = R\{1}

Câu 8:Tập nghiệm phương trình là

A. S={1} B. S={1;-2} C. S= D. S=

Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình là:

A. B. S=(-1;1) C. S= D. S=

Câu 10:Đồ thị hàm số và nhận đường thẳng nào sau đây làm trục đối xứng:

A.y=0 B. x=0 C. y=x D. y=-x

Câu 11: Đạo hàm của hàm số là:

A. B. C. D.

Câu 12:Nếu và thì:

A. B. C. D.

Câu 13: Tập xác định của hàm số là

A. D = B. D= C. D = D. D =

Câu 14: Nếu và thì:

A. a>1; b>1 B. 0<a<1; b>1 C. a>1; 0<b<1 D. 0<a<1; 0<b<1

Câu 15: Đồ thị hàm số và y = 5^x nhận đường thẳng nào sau đây làm trục đối xứng:

A. y = 0 B. x = 0 C. y = x D. y = -x

Câu 16: Với 0 < a < 1 và b > 1, bất đẳng thức nào sau đây đúng

A. B. C. D.

Câu 17: Hàm số nào sau đây chỉ đồng biến trên khoảng ?

A. B. C. D.

Câu 18: Tập nghiệm của 12.9^x - 35.6^x + 18.4^x = 0 là

A. S={1;2} B. S={1;-2} C. S={-1;-2} D. S={-1;2}

Câu 19: Số nghiệm của phương trình là:

A.0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 20: Tập nghiệm của bất phương trình là

A. S= B. S= C. S= D. S=(1;81)

Câu 21:Dân số tỉnh A năm 2014 là khoảng 15 triệu người với mức độ tăng hàng năm là 1,3%/năm. Hỏi nếu với mức độ tăng như vậy thì vào năm nào dân số tỉnh A khoảng 20 triệu người:

A. Năm 2034-2035 B. Năm 2036-2037

C. Năm 2037-2038 D. Năm 2039-2040

Câu 22:Cho hàm số f(x) = x² .ln . Phương trình f ’(x) = x có tất cả nghiệm thuộc khoảng:

A. (0; 1) B. (1; 2) C. (2; 3) D. Một khoảng khác

Câu 23: Giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm là:

A. m 2 B. m  -2 C. m > -2 D. m > 3, m = 2

Câu 24: Để phương trình: có nghiệm thuộc khoảng (1; +∞) thì giá trị của m là:

A. m > 3 B. m > - 1 C. m  - 1 D. m < 3

Câu 25: Điều kiện có nghĩa của là

A. B. C. D. x>2