Top 15 Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 10 Năm 2022 Kèm Hướng Dẫn Giải

Top 15 Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 10 Kèm Hướng Dẫn GiảiTop 15 Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 10 Kèm Hướng Dẫn Giải – Toán 10 được Trang Tài Liệu sưu tầm với các thông tin mới nhất hiện nay. Đề thi này sẽ giúp các em học sinh ôn tập, củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng làm bài. Cũng như hỗ trợ thầy cô trong quá trình giảng dạy. Hy vọng những tài liệu này sẽ giúp các em trong quá trình ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi sắp tới.

>>> Mọi người cũng quan tâm:

Đề Thi Học Sinh Giỏi GDCD Lớp 10 Cấp Trường Năm 2020-2021 Trường Trần Nguyên Hãn (Vòng 1)

Đề Thi Giáo Dục Công Dân Lớp 10 Học Kì 1 Kèm Giải

Đề Thi Học Kì 1 GDCD 10 Sở GD&ĐT Quảng Nam 2019-2020 Có Đáp Án

Đề Cương Ôn Tập GDCD Lớp 10 HK2 Sở GD&ĐT Quảng Nam (Đề 1)

Đề Thi Học Kỳ 1 GDCD 10 Quảng Nam (Đề 1) Có Đáp Án

Top 15 Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 10 năm 2022

Mục lục

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
- ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10
Môn : TOÁN

Dưới đây là bản đọc trực tuyến giúp thầy cô và các em học sinh có thể nghiên cứu Online hoặc bạn có thể tải miễn phí với phiên bản word để dễ dàng in ấn cũng như học tập Offline

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT CON CUÔNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10

NĂM HỌC 2017 – 2018

Môn : TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1.(5,0 điểm)

Cho phương trình bậc hai (1) với x là ẩn số.

a) Giải phương trình (1) khi m = 6.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x₁, x₂ thoả mãn .

Câu 2. (3,0 điểm)

Giải hệ phương trình:

Câu 3.(5,0 điểm)

a) Cho góc thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức

b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các . Điểm K trên đoạn

thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số .

Câu 4. ( 5,0 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm

AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình , .

a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD

và BE.

b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm.

Câu 5. (2,0 điểm) Cho là các số thực dương thoả mãn .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

---- Hết ----

Họ tên thí sinh :........................................................................... Số báo danh :.....................................

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Câu	Nội dung	Điểm
1.	Phương trình	5,0
a)	Giải phương trình (1) khi	1,5
	Khi PT (1) có dạng:	0,5
	Ta có:	0,5
	PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: và	0,5
b)	Tìm giá trị m thỏa mãn	3,5
	Lập ∆ = 25 - 4m Phương trình có 2 nghiệm khi ∆ ≥ 0 hay m 	0,5
	Áp dụng hệ thức Viet, ta có Hai nghiệm dương khi hay m > 0.	0,5
	Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương x₁, x₂ là 0 < m  (*)	0,5
	Ta có: Suy ra Ta có Hay (1)	0,5
	Đặt , khi đó (1) thành:  2t³ + 5t² - 36 = 0  (t - 2)(2t² + 9t + 18) = 0	0,5
	 t - 2 = 0 hoặc 2t² + 9t + 18 = 0 Với t - 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*)). Với 2t² + 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm.	0,5
	Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x₁, x₂ thoả mãn .	0,5
2.	Giải hệ phương trình:	3,0
	Hệ	1,0
	Đặt . Hệ trở thành: (*)	0,5
	Hệ Từ đó tìm ra	0,5
	Với ta có hệ . Với ta có hệ .	0,5
	Với ta có hệ . Kết luận: Hệ có 5 nghiệm .	0,5
3.		5,0
a)	Cho góc thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức	2,5
		1.0
		0,5
		0,5
		0,5
b)	b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các . Điểm K trên đoạn thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số .	2,5
	Vì	0,5
	Giả sử	0,5
	Mà nên	0,5
	Do không cùng phương nên	0.5
	Từ đó suy ra . Vậy	0,5
4.	Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình , .	5,0
a)	Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD và BE.	2,5
	Ta có là chân đường phân giác trong	0,5
	Do BD = BC	0,5
	tọa độ điiểm I là nghiệm của hệ	0,5
	Giải hệ phương trình	1,0
b)	Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm.	2,5
	Đặt	0,5
	Do (1) Tam giác vuông tại I (2)	0,5
	Từ (1) và (2)	0,5
	Gọi từ	0,5
	Với Với Vậy	0,5
5.	Cho là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .	2,0
	Áp dụng BĐT AM- GM ta có	0,5
		0,5
		0,5
	Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi chẳng hạn tại .	0,5

`SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN

ĐỀ THI OLYMPIC 24/3 QUẢNG NAM

NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi: TOÁN 10 (đề thi đề nghị)

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (5,0 điểm).

a) Giải phương trình

b) Giải hệ phương trình

Câu 2 (4,0 điểm).

a) Tìm tập xác định của hàm số : .

b) Gọi là hai nghiệm của phương trình .

Đặt . Với giá trị nào của thì đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3 (3,0 điểm).

Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Câu 4 (4,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có BC ,các đường thẳng AB và AC lần lượt đi qua các điểm M(1; ) và N(0; ). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường cao AH có phương trình x+y – 2=0 và điểm B có hoành độ dương.

Câu 5 (4,0 điểm).

a) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện = 2 thì tam giác ABC là tam giác cân.

b) Cho tam giác . Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC sao cho và I là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh : . Hãy biểu diễn vecto theo hai vecto và .

---------------Hết--------------

SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10

TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN


Câu	Nội dung	Điểm
Câu 1 5,0	a) Giải phương trình: (1)	2,5
	ĐK: x  0; . Khi đó: (1)  Vậy (1) có nghiệm:	0,25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25
	b) Giải hệ phương trình	2,5
	Điều kiện: . PT thư nhất tương đương: Kết hợp với PT hai ta được Vậy, hệ đã cho có nghiệm	0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25

Câu 2

Nội dung

Điểm

4,0

a) Tìm tập xác định của hàm số :

1.5

ĐK:

0.5

b) Gọi là hai nghiệm của phương trình .

Đặt . Với giá trị nào của thì đạt giá trị nhỏ nhất.

2.5

+ PT có hai ngiệm khi

A nhỏ nhất khi

0.25

0.5

Câu 3

3,0

Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Viết lại

Theo Cô si: (1)

( Do x+y=1 )

Theo Bunhiacopski:

( Do x+y=1 ) (2)

Trừ theo từng vế (1) và (2) ta có :

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy minQ =

0.5

0.25

Câu 4

4,0

Phương trình đường thẳng qua N và vuông góc với AH là

Tọa độ giao điểm I của AH với là nghiệm của hệ PT

Gọi N₁ là giao điểm của và AB, suy ra

Đường thẳng AB đi qua hai điểm M và N₁ nên có PT 7x+3y = 2

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

Giả sử

Khi đó

PT đường thẳng BC: x-y = 6

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

0,5

0,25

0.25

0,5

0.5

0.25

0.5

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 5

4,0

a) . Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện = 2 thì tam giác ABC là tam giác cân.

2,0

+ Viết được .

+ Thay vào = 2, rút gọn ta được b=c

+ Vậy tam giác ABC cân tại A

0.5

0.75

0.25

b). Cho tam giác . Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC sao cho và I là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh : . Hãy biểu diễn vecto theo hai vecto và

2.0

+ Chứng minh được

+ Ta có I là trung điểm của MN

0.5

SỞ GD & ĐT THANH HÓA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4 Năm học 2016 – 2017

*** Môn thi: Toán - Khối 10

( Thời gian làm bài: 120 phút)

Câu 1 (5.0 điểm). Cho phương trình:

1. Tìm m để phương trình có nghiệm

2. Khi phương trình có hai nghiệm , tìm a để biểu thức không phụ thuộc

vào m.

Câu 2 (8.0 điểm). Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:

Câu 3 (2.0 điểm). Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi S là diện tích tam giác ABC, chứng minh rằng :

Câu 4 (2.0 điểm). Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, E trên các đoạn AB, BC, CA sao cho . Chứng minh rằng:

Câu 5 (2.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm . Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho tứ giác MNEF là hình vuông.

Câu 6 (1.0 điểm). Biết a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:

…………………Hết…………………

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị xem thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh..........................................................................;Số báo danh….......

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN CẤP TRƯỜNG KHỐI 10

Năm học 2016- 2017

Câu	Đáp án	Điểm
1 (5đ)	Cho phương trình:
	1. Tìm m để phương trình có nghiệm	3.0
	TH1. Nếu , pt trở thành: là nghiệm thỏa mãn.	1.0
	TH2. Nếu Ta có	1.0
	Pt đã cho có nghiệm kết hợp 2 TH trên ta được m cần tìm là	1.0
	2. Khi phương trình có hai nghiệm , tìm a để biểu thức không phụ thuộc vào m.	2.0
	Với phương trình có hai nghiệm , khi đó theo định lí vi-et ta có: , ta có: =	1.0
	F không phụ thuộc vào m	1.0
2 (8đ)	1.	3.0
	Đk : pt	0.5
	đặt ( đk ). Ta có phương trình:	0.5
	kết hợp với điều kiện ta được t = 3	1.0
	với t =3 (TM).	1.0
	2.	3.0
	Đk x > 2 bpt	1.0
	kết hợp với đk ta có bpt Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là:	1.0 1.0
	3.	2.0
	Đk: hpt đặt (ĐK a, b > 0) , ta có hệ:	0.5
		0.5
	( vì a, b > 0)	0.5
	với (thỏa mãn)	0.5
3 (2đ)	Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi S là diện tích tam giác ABC, chứng minh rằng :	2.0
	Ta có :	0.5
		0.5
	tương tự ta cũng có: , do đó	0.5
		0.5
4 (2đ)	Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, E trên các đoạn AB, BC, CA sao cho . Chứng minh rằng:	2.0
	Từ gt ta có:	1.0
	cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:	0.5
	mà và , nên	0.5
5 (2đ)	Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm . Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho MNEF là hình vuông.	2.0
	*) Viết pt đường thẳng AB: ta có AB có vtcp là AB có vtpt là :	0.5
	pt AB: 2(x - 6) + 3(y - 0) = 0 pt AB: 2x + 3y -12 = 0	0.5
	*) Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho MNEF là hình vuông. Gọi H là hình chiếu của A trên Ox, do MNEF là hình vuông nên ta có: MF //AH // NE	0.5
	và khi đoa M(1 ; 2) , F(1; 0), N( 3; 2), E(3; 0)	0.5
6 (1đ)	Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn chứng minh rằng:	1.0
	do a, b, c là ba số thực dương nên áp dụng bđt TBC- TBN ta có: ; tương tự ta cũng có:	0.5
	cộng theo vế các bđt trên ta được: VT + mà nên đpcm	0.5

SỞ GD & ĐT THANH HÓA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4 Năm học 2015 – 2016

*** Môn thi: Toán - Khối 10

( Thời gian làm bài: 120 phút)

Câu 1 (5.0 điểm). Cho hàm số

1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn .

2. Tìm m để với mọi .

Câu 2 (8.0 điểm). Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau:

Câu 3 (2.0 điểm). Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :

Câu 4 (2.0 điểm). Cho tứ giác MNPQ gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của MN, NP, PQ, QM. Chứng minh rằng:

Câu 5 (2.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường thẳng chứa đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương trình x + y + 1 = 0 ; 2x - y - 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC.

Câu 6 (1.0 điểm). Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn chứng minh rằng: .

…………………Hết…………………

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Giám thị xem thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh..........................................................................;Số báo danh….......

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁP TRƯỜNG KHỐI 10

Năm Học 2015- 2016

Câu	Đáp án	Điểm
1 (5đ)	Cho hàm số
	1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn .	3.0
	xét phương trình: để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn trước hết pt (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 0	1.0
	; theo định lí viet ta có:	1.0
	(TM)	1.0
	2. Tìm m để với mọi .	2.0
	để với mọi đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành với mọi	1.0
		1.0
2 (8đ)	1.	3.0
	Đk : pt	0.5
	đặt ( đk ). Ta có phương trình:	0.5
	kết hợp với điều kiện ta được t = 2	1.0
	với t =2 (TM).	1.0
	2.	3.0
	Đk x > 2 bpt	1.0
	vì x > 2 nên 2 vế đều dương, do đó bpt kết hợp với đk ta được tập nghiệm của bpt là: S = ( 2; )	1.0 1.0
	3.	2.0
	hpt đặt , ta có hệ:	0.5
	hoặc	0.5
	với	0.5
	với (vô nghiệm)	0.5
3 (2đ)	Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu : (1)	2.0
	Ta có: (1)	1.0
		0.5
	tam giác ABC vuông tại A	0.5


4 (2đ)	Cho tứ giác MNPQ gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của MN, NP, PQ, QN. Chứng minh rằng:	2.0
	Theo quy tắc trung điểm ta có: ; ; ;	1.0
	cộng theo vế các đẳng thức trên ta được: VT =	0.5
	= = VP	0.5
5 (2đ)	Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường thẳng chứa đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương trình x + y + 1 = 0 ; 2x - y - 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC.	2.0
	Tọa độ điểm B: vì đt: x + y + 1 = 0 B(b; -b - 1) gọi M là trung điểm của AB ta có	0.5
	vì M đt: 2x - y -2 = 0 B(-1; 0)	0.5
	Tọa độ điểm C: vì AC đi qua A(3; 0) và vuông góc với đt: x + y + 1 = 0 nên ta có: pt AC: x - y - 3 = 0	0.5
	Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ pt:	0.5
6 (1đ)	Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn chứng minh rằng:	1.0
	từ gt ta có: áp dụng bđt TBC- TBN ta có: ; tương tự ta cũng có:	0.5
	cộng theo vế các bđt trên ta được: 2.VT + đpcm	0.5

SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN

ĐỀ THI OLYMPIC

Môn thi: TOÁN 10

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (5,0 điểm).

a) Giải bất phương trình. .

b) Giải hệ phương trình

Câu 2 (4,0 điểm).

a) Tìm tập xác định của hàm số : .

b) Tìm m để đường thẳng d: y=x-1 cắt parabol (P): tại hai điểm P ,Q mà đoạn PQ = 3.

Câu 3 (3,0 điểm).

Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Câu 4 (4,0 điểm).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có BC ,các đường thẳng AB và AC lần lượt đi qua các điểm M(1; ) và N(0; ). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường cao AH có phương trình x+y – 2=0 và điểm B có hoành độ dương.

Câu 5 (4,0 điểm).

a)Cho tam giác ABC có BC=a, AB=c , AC = b.Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu:

b) Cho hình vuông ABCD cạnh a . M là điểm trên cạnh AB. Chứng minh rằng : không đổi khi M di động trên cạnh AB.

---------------Hết--------------

SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10

TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN


Câu	Nội dung	Điểm
Câu 1 5,0	a) Giải bất phương trình: (1)	2,5
	ĐK: x  1 (). Khi đó: (1)    (do )   Kết hợp với điều kiện (), ta có nghiệm của bất phương trình là Vậy (1) có nghiệm:	0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0.25 0.25
	b) Giải hệ phương trình	2,5
	Điều kiện: . (I) Đặt , hệ phương trình trở thành: (thỏa điều kiện) Vậy, hệ đã cho có nghiệm (x,y) là : (-1 ;-1) ; (1 ;1)	0.25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25

Câu 2

Nội dung

Điểm

4,0

a) Tìm tập xác định của hàm số :

1,0

Viết lại:

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi :

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = [1 ; +)

0,25

b) Tìm m để đường thẳng d: y=x-1 cắt parabol (P): tại hai điểm P ,Q mà đoạn PQ = 3.

3,0

PT hoành độ giao điểm của (P) và d là:

 (1)

(P) và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt P, Q khi và chỉ khi:

PT (1) có hai nghiệm phân biệt hoặc

Gọi là 2 nghiệm của (1)

Ta có PQ =3

(chọn)

0,25

0,5

Câu 3

3,0

Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Viết lại

0,5

0,25

Theo Cô si: (1)

( Do x+y=1 )

0,5

Theo Bunhiacopski:

( Do x+y=1 ) (2)

0,5

Trừ theo từng vế (1) và (2) ta có :

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy minQ =

0.5

0.25

Câu 4

4,0

Phương trình đường thẳng qua N và vuông góc với AH là

Tọa độ giao điểm I của AH với là nghiệm của hệ PT

Gọi N₁ là giao điểm của và AB, suy ra

Đường thẳng AB đi qua hai điểm M và N₁ nên có PT 7x+3y = 2

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

Giả sử

Khi đó

PT đường thẳng BC: x-y = 6

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

0,5

0,25

0.25

0,5

0.5

0.25

0.5

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 5

4,0

a) . a)Cho tam giác ABC có BC=a, AB=c , AC = b.Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu:

(1)

2,0

Nhận thấy cả hai vế của (1) đều dương nên bình phương hai vế ta có

Tam giác ABC cân tại C

0,25

0.25

b) ) Cho hình vuông ABCD cạnh a . M là điểm trên cạnh AB. Chứng minh rằng không đổi khi M di động trên cạnh AB.

2,0

Do cùng hướng, ta có:

( Vì cùng hướng)

Do đó

0,75

0,5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HIỀN

KỲ THI OLYMPIC 24–3 QUẢNG NAM

Môn thi: TOÁN 10(ĐỀ ĐỀ NGHỊ)

Câu 1 (4,0 điểm).

a) Giải phương trình .

b) Giải hệ phương trình

Câu 2 (4,0 điểm).

a) Tìm giá trị của tham số m để hàm số có đồ thị đối xứng qua oy

b) Cho hàm số và m.Xác định giá trị tham số m để đồ thị của chúng cắt nhau ở hai điểm A,B phân biệt thỏa AB = .

Câu 3 (4,0 điểm).

Cho ba số thực dương x,y,z thỏa :3 .

Chứng minh

Câu 4 (4,0 điểm).

a) Cho tam giácABC.O,G, M lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiêp, trọng tâm, trung điểm cạnh AB của tam giác ABC.

Chứng minh rằng cotB+cotC= 2 cot A khi và chỉ khi tứ giác AOGM nội tiêp

b) Cho tam giác ABC có D E,M,G là các điểm thỏa mãn :

, .Tìm h,k để ABC và MDG có cùng trọng tâm.

Câu 5 (4,0 điểm).

a/Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn và đường thẳng

d:x-y-1=0.Tìm tọa độ M thuộc d mà từ đó kẻ được hai tiêp tuyến đến đườn tròn (C) tiếp xúc với (C) ở A,B thỏa góc AMB bằng .

b/Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có .Đường phân giác ngoài góc BAC cắt cạnh BC kéo dài ở E(9,3).

Phương trinh tiêp tuyến ở A của đường tròn ngoại tiêp tam giác ABClà x+2y-7=0.Tìm tọa đọ của A biết A có tung độ dương.

---------------Hết--------------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24–3 QUẢNG NAM LẦN THỨ NHẤT

Môn thi: TOÁN 10

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu	Nội dung	Điểm
Câu 1 5,0	a) Giải phương trình (1)	2,0
	ĐK: . Đặt Khi đó: (1)   (2)    KL phương trình có nghiệm x=0,x=1/2,x=1	0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0.25 0.25
	b) Giải hệ phương trình	2,0
	Đk: Đặt (I) Kết luận	0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 2

3,0

a) Tìm giá trị của tham số m để hàm số có đồ thị đối xứng qua oy

1,0

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi :

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là

Điều kiện cần :y có đồ thị đối xứng qua oy tương đương chẵn

suy ra y(-1/2)=y(1/2),suy ra m=0

Điều kiện đủ m= 0,y

Chứng tỏ hàm y chẵn theo định nghĩa

0,25

b) Cho hàm số và m.Xác định giá trị tham số m để đồ thị của chúng cắt nhau ở hai điểm A,B phân biệt thỏa AB = .

2,0

Gọi (P) là parabol và d là đường thẳng

PT hoành độ g/đ của (P) và d là: (1)

(P) và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi:

PT (1) có hai nghiệm phân biệt

Gọi là 2 nghiệm của (1)

;

AB=

0,25

0,5

0,25

Câu 3

3,0

Cho ba số thực dương x,y,z thỏa 3 .

Chứng minh

Ta có

Đặt

Ta có

1đ

0,5

1đ

Học sinh không cần chỉ ra dấu bằng vẫn cho tối đa.

Câu 4

2,0

Cho tam giácABC.O, M,Nần lượt là tâm đường tròn ngoại tiêp, trung điểm cạnh AB ,BC tam giác ABC.

Chứng minh rằng cotB+cotC= 2 cot A khi và chỉ khi tứ giác ANGM nội tiêp

G trọng tâm ABC Chứng minh được

Chứng minh được

AGOM nội tiêp.

Tương tự AGON nội tiêp và kết luận

0,25

0,5

0,25

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 5

Cho tam giác ABC có D E,M,G là các điểm thỏa mãn :

, .Tìm h,k để ABC và MEG có cùng trọng tâm.

2,0

Điều kiện để ABC và MDG có cùng trọng tâm là

0,5

Phân tíh các vecto theo cặp vecto BA,BC

0,25

Câu 6

3,0

.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn và đường thẳng

d:x-y-1=0.Tìm tọa độ M thuộc d mà từ đó kẻ được hai tiêp tuyến đến đườn tròn (C) tiếp xúc với (C) ở A,B thỏa góc AMB bằng .

Hình

Tìm tâm I va bán kính đường tròn

Tính IM

Tham số hóa M

3,0

0,25

0,5

0,25

0,5

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có .Đường phân giác ngoài góc BAC cắt cạnh BC kéo dài ở E(9,3).

Phương trinh tiêp tuyến ở A của đường tròn ngoại tiêp tam giác ABClà x+2y-7=0.Tìm tọa đọ của A biết A có tung độ dương.

Giả sử F,D lần lượt là giao điểm của đường phân giác ngoài d’và trong d

của góc BAC với đtBC

Hình

Viết BC x-2y-3=0

Tìm F là giao của d’ với BC,F(5,1)

Chùng minh được FA=FE

Tham số hóa A

Tìm A

0,25

0,5

0,25

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

NĂM HỌC 2018-2019

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (2,0 điểm). Tìm tập xác định của hàm số

Câu 2 (2,0 điểm). Cho hàm số và hàm số . Tìm để hai đồ thị đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt và sao cho .

Câu 3 (2,0 điểm). Tìm để phương trình có nghiệm.

Câu 4 (2,0 điểm). Tìm tham số để bất phương trình có tập nghiệm là .

Câu 5 (2,0 điểm). Giải phương trình

Câu 6 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình

Câu 7 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC đều cạnh 3a. Lấy các điểm M, N lần lượt trên các cạnh BC, CA sao cho BM =a, CN=2a. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với PN. Tính độ dài PN theo a.

Câu 8 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho tam giác có , phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh là . Biết và . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác.

Câu 9 (2,0 điểm). Cho tam giác gọi I là tâm đường tròn nội tiếp , biết . Chứng minh rằng (Với ).

Câu 10 (2,0 điểm). Cho các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .

------Hết------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh…………………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

NĂM HỌC 2018-2019

(Đáp án có 05 trang)

I. LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

II. ĐÁP ÁN:

Câu	Nội dung trình bày	Điểm
1	(2,0 điểm). Tìm tập xác định của hàm số
	Hàm số có xác định khi và chỉ khi	0,5
		0,5
		0,5
	Vậy tập xác định của hàm số là:	0,5
2	(2,0 điểm). Cho hàm số và hàm số . Tìm để hai đồ thị đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt và sao cho .
	Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: (*)	0,5
	Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi () có hai nghiệm phân biệt Gọi với là nghiệm phương trình ()	0,5
	Theo Vi-et ta có: Ta có:	0,5
	So sánh với điều kiện ta được m=0 và m=-5	0,5
3	(2,0 điểm). Tìm để phương trình có nghiệm.
	Ta có	0,5
	. Xét và	0,5
	Ta có bảng biến thiên hàm số là:	0,5
	Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) phải có nghiệm hay	0,5
4	(2,0 điểm). Tìm tham số để bất phương trình có tập nghiệm là .
	Để bất phương trình có tập nghiệm ta cần có với ( m =0 không thỏa mãn)	0,5
	Với . Khi đó ta có với Bpt (1) Bpt có tập nghiệm Mà	0,5
	Với . Khi đó ta có với Bpt (2) Bpt có tập nghiệm Mà	0,5
	KL: ;	0,5
5	(2,0 điểm). Giải phương trình
	Điều kiện: . Đặt	0,5
	Ta có thay vào ta được phương trình sau:	0,5
		0,5
		0,5
6	(2,0 điểm). Giải hệ phương trình
	Đặt Khi đó hệ trở thành	0,5
		0,5
	Với	0,5
	Giải hệ trên ta được .	0,5
7	(2,0 điểm). Cho tam giác ABC đều cạnh 3a. Lấy các điểm M, N lần lượt trên các cạnh BC, CA sao cho BM =a, CN=2a. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với PN. Tính độ dài PN theo a.
	Đặt Ta có:	0,5
		0,5
	Khi đó	0,5
		0,5
8	(2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho tam giác có , phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh là . Biết và . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác.
	Đặt Ta có:	0,5
	Ta có Suy ra tam giác ABM vuông tại B.	0,5
	Khi đó phương trình AB: B là giao của AB và BM	0,5
	Ta có: Gọi . M là trung điểm AC nên hoặc	0,5
9	(2,0 điểm). Cho tam giác gọi I là tâm đường tròn nội tiếp , biết . Chứng minh rằng (Với ).
	Ta chứng minh	0,5
		0,5
	Khi đó Do	0,5
	Nên ta có:	0,5
10	(2,0 điểm). Cho các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
	Ta thấy	0,5
		0,5
		0,5
	Vậy . Dấu “=” xảy ra .	0,5

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG

Đề chính thức

(Đề thi có 1 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN

Năm học: 2018-2019

Thời gian làm bài: 120 phút

(Không kể thời gian giao đề)

Câu I (6 điểm)

1) Cho parabol ;

Tìm giá trị của để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt sao cho trung điểm của đoạn thẳng nằm trên đường thẳng

2) Giả sử phương trình bậc hai ẩn ( là tham số): có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:

Câu II (5điểm):

1) Giải bất phương trình:

2) Giải hệ phương trình :

Câu III (2 điểm). Cho là những số thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu IV(4 điểm)

1) Cho tam giác có diện tích bằng .

Tính số đo các góc của tam giác này biết

2) Cho tam giác là tam giác đều có độ dài cạnh bằng . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho .

Tìm giá trị của theo để đường thẳng vuông góc với đường thẳng

Câu IV(3 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ cho hình thang với hai đáy là và . Biết diện tích hình thang bằng ( đơn vị diện tích), đỉnh và trung điểm cạnh là . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng biết đỉnh có hoành độ dương và nằm trên đường thẳng .

------------------Hết------------------

ĐÁP ÁN

Câu I:

Câu I 6 điểm	Nội dung	Điểm
	Tìm m... với parabol
	Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì phương trình có hai nghiệm phân biệt hay phương trình : có hai nghiệm phân biệt có	0.75
	Khi đó giao điểm nên trung điểm của đoạn thẳng MN là	0.75
	Theo định lý Viet ta có nên	0.75
	Do I thuộc đường thẳng nên hay thì thỏa mãn bài toán.	0.75
2. 3 điểm	Giả sử phương trình bậc hai ẩn ( là tham số); có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:
	Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện khi .	0.75
	Với thỏa mãn điều kiện (*), áp dụng Viet ta có : Nên Ta có bảng biến thiên hàm số trên miền điều kiện Ta có giá trị lớn nhất của P là 16 khi Giá trị nhỏ nhất của P là -144 khi	0.75 0.75 0.75

Câu II

Câu II	Nội dung	Điểm
1. 2 điểm	Đk: Ta có	0.5
	Đặt Bất phương trình trở thành	0.5
	So sánh điều kiện ta được	0.5
	Với KL đúng	0.5
2. (3 điểm)
	ĐKXĐ: (2)	0.5
		0.5
	Thay vào phương trình thứ nhất ta được; (Có thể bình phương được phương trình:	1.0
	Giải hai pt này ta được . Thử lại nghiệm... KL: Hệ phương trình có hai nghiệm là	1.0

Câu III

Câu III	Nội dung	Điểm
1. 2 điểm	Có	0.5
	Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số đương và ta được Suy ra	0.5
	GTNN của P là khi	0.5
		0,5

Câu IV

Câu IV	Nội dung	Điểm
1. 2 điểm	Ta có	0,5
		0,5
	Hai số hạng của tổng (1) đều không âm nên	0,5
	KL đúng	0,5
1. 2 điểm	Ta có	0,5
1. 2 điểm	Ta lại có	0,5
		0.5
	. KL đúng	0.5

Câu V

Câu V	Nội dung	Điểm
3 điểm	Gọi Dễ thấy	0.5
	, phương trình tổng quát của đường thẳng AE:	0.5
		0.5
	Suy ra + H là trung điểm AE	0.5
	Phương trình tổng quát của CD:	0.5
	Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD PT tổng quát của AB :	0.5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: Toán – Lớp 10 – THPT

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (3.0 điểm) . Cho hàm số .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với .

b) Tìm m để cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn

Câu 2. (3.0 điểm) Cho và là hai nghiệm của phương trình ; và là hai nghiệm của phương trình . Biết rằng . Tìm a và b.

Câu 3. (6.0 điểm)

a)Giải phương trình:

b)Giải hệ phương trình:

Câu 4. (3.0 điểm)

a) Cho tam giác OAB. Đặt . Gọi C, D, E là các điểm sao cho . Hãy biểu thị các vectơ theo các vectơ . Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng.

b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh

Câu 5. (3.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm .

a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B.

b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.

Câu 6. (2.0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

-----------------Hết-----------------

Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................

Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:........................................................................................

Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:........................................................................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2		HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn: Toán – Lớp 10 – THPT
Câu	ĐÁP ÁN		Điểm
1	Cho hàm số . a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với b) Tìm m để cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn		3.0
	a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với		2.0
	Với m=1 thì TXĐ: R. Đồ thị là 1 parabol, có:Đỉnh 2;-1). hệ số parabol có bề lõm hướng lên trên		0.5 0.5
	Lập BBT Tìm giao của parabol với trục hoành, trục tung và vẽ.		0.5 0.5
	b) Tìm m để cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn		1.0
	Xét pt hoành độ giao điểm Dựa vào đồ thị tìm được Chú ý: HS có thể dùng bảng biến thiên cho hàm hoặc ...		0.5 0.5

2	Cho và là hai nghiệm của phương trình ; và là hai nghiệm của phương trình . Biết rằng . Tìm a và b.			3.0
	Điều kiện có nghiệm Đặt			0.5 0.5
	Theo định lý viet ta có hệ			0.5 0.5
	Với thì ta được (tm)			0.5
	Với thì ta được (tm)			0.5
3	1. Giải phương trình:			2.0
	Điều kiện:			0.5
	Phương trình			0.5
				0.5
	Đối chiếu điều kiện , ta được nghiệm			0.5
	2. Giải hệ phương trình:			4.0
	Phương trình thứ nhất Đặt ta được . Vì			0.5 0.5 0.5
	Ta được thay vào pt thứ hai ta được . ĐK:			0.5 0.5
	Kết luận: Hệ pt có nghiệm			0.5 0.5 0.5
	Chú ý: +) pt thứ nhất của hệ, hs có thể dùng máy tính, phân tích nhân tử đưa về tích +) pt , hs có thể chuyển vế và bình phương, đưa về tích.
4	a) Cho tam giác OAB. Đặt . Gọi C, D, E là các điểm sao cho . Hãy biểu thị các vectơ theo các vectơ . Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng. b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh			3.0
	a) Cho tam giác OAB. Đặt . Gọi C, D, E là các điểm sao cho . Hãy biểu thị các vectơ theo các vectơ . Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng.			2.0
				0.5 0.5 0.5
	Ta được . Vậy C,D,E thẳng hàng			0.5
	b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh			1.0
	Chọn hệ trục tọa độ thỏa mãn . Giả sử thì ta được			0.5
	Khi đó . Nhận thấy chứng tỏ			0.5
5	Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm . a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B. b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.			3.0
	a) Gọi .			0.5
	Sử dụng			0.5
	b) Gọi . Giải hệ			1.0
	Tìm được hoặc			1.0
6	Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức			2.0
	. Áp dụng			1.0
	Lại có			0.5
	Ta được . Dấu "=" xảy ra khi			0.5

Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa.
Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ.
Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm

SỞ GD & ĐT THANH HÓA KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG DẠY - HỌC BỒI DƯỠNG LẦN 2 TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4 Năm học 2015 – 2016

*** Môn thi: Toán - Khối 10

( Thời gian làm bài: 90 phút)

Câu 1 (3.0 điểm). Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:

Câu 2 (2.0 điểm). Cho

1. Tìm m để > 0 với

2. Biết m = 2, tìm x để

Câu 3 (2.0 điểm)

1. Cho là góc thỏa mãn điều kiện và . Tính A =

2. Cho ba số thực dương chứng minh rằng:

Câu 4 (3.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết

A(1; -2), B(3; 1) , C(-1; 3) .

1. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

2. Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH và trung tuyến BM của tam giác ABC

3. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với BC tại trung điểm E của BC.

…………………Hết…………………

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Giám thị xem thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh..........................................................................;Số báo danh….......

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁP TRƯỜNG KHỐI 10

Năm Học 2015- 2016

Câu	Đáp án	Điểm
1 (3đ) 2 (2đ)	Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình	3.0
	1.	1.0
	pt	0.5
		0.5
	2.	1.0
	đk bpt , từ đk nên 2 vế đều dương do đó bpt	0.5
	đối chiếu với đk ta được tập nghiệm của bpt đã cho là S = .	0.5
	^3.	1.0
	hpt ; đặt (đk )	0.25
	ta có hệ pt hoặc	0.25
	với	0.25
	với	0.25
	Cho	2.0
	1. Tìm m để > 0 với	1.0
	> 0 với	0.5
		0.5
	2. Biết m = 2, tìm x để	1.0
	Khi m = 2 ta có Đk	0.25
	pt	0.25
		0.25
	vì >0 nên pt	0.25
3 (2đ)	1. Cho là góc thỏa mãn điều kiện và . Tính A =	1.0
	ta có do nên cos < 0	0.5
	khi đó	0.25
	ta có A =	0.25
	2. Cho hai số thực dương chứng minh rằng:	1.0
	ta có: (1)	0.5
	tương tự ta cũng có : (2) (3)	0.25
	Nhân theo vế ba bđt trên ta được:	0.25
4 (3đ)	Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(1; -2), B(3; 1) , C(-1; 3) .	3.0
	1. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành	1.0
	gọi D(a ; b) là điểm cần tìm tứ giác ABCD là hình bình hành (*)	0.25
	với	0.25
	khi đó (*)	0.5
	2. Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH và trung tuyến BM của tam giác ABC	1.0
	+) Ta có AH đi qua điểm A(1; -2) và nhận vec tơ làm vtpt nên pt AH: -4(x - 1) + 2(y - 2 ) = 0 pt AH : 2x - y - 4 = 0	0.5
	+) vì M là trung điểm của AC nên ta có đường trung tuyến BM nhận làm vtcp BM nhận làm vtpt mà BM đi qua B(3; 1) nên pt BM: x - 3 - 6(y - 1) = 0 pt BM: x - 6y + 3 = 0.	0.5
	3. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với BC tại trung điểm E của BC.	1.0
	+) gọi I là tâm của đường tròn (C). Do E là trung điểm của BC E(1; 2); gọi F là trung điểm của AE F(1; 0)	0.25
	+) do (C) tiếp xúc với BC tại trung điểm E của BC nên do đó IE đi qua E(1; 2) và nhận làm vtpt pt IE: 2x - y = 0	0.25
	+) vì (C) đi qua A và E nên do đó IF đi qua F(1; 0) và nhận làm vtpt pt IF: y = 0 do nên I(0 ; 0)	0.25
	+ khi đó (C) có bán kính R = IE = và tâm I(0; 0) nên pt (C) :	0.25

Trường THPT Nguyễn Duy Hiệu

ĐỀ THAM KHẢO THI HSG TOÁN 10

Năm học 2017-2018

Thời gian : 150 phút

Câu 1 (3 điểm)

Cho parabol (P): và điểm . Tìm trên (P) hai điểm M, N đối xứng nhau qua điểm I.
Tìm các giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 2 (5 điểm)

Giải bất phương trình:
Giải hệ phương trình:
Tìm m để phương trình có nghiệm.

Câu 3 (2 điểm)Cho . T×m m ®Ó f(x) cã hai nghiÖm ph©n biÖt tháa m·n .

Câu 4 (2 điểm)Trong mÆt ph¼ng täa ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc Oxy cho hai ®iÓm A(1 ; 1) vµ B(4 ; -3). T×m ®iÓm C thuéc ®êng th¼ng x – 2y – 1= 0 sao cho kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn ®êng th¼ng AB b»ng 6.

Câu 5 (5 điểm)

a) Cho tam giác ABC có trọng tâm là G. Hai điểm D và E được xác định bởi các hệ thức: . Chứng minh rằng: D, E, G thẳng hàng

b) Gọi H là trực tâm ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD, điểm là trung điểm của cạnh AB, điểm là hình chiếu của B trên AD và điểm là trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng HM cắt BC tại E, đường thẳng HG cắt BC tại F. Tìm tọa độ các điểm E, F và B

Câu 6 (1,5 điểm) Cho x, y là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Câu 7 (1,5 điểm) T×m m ®Ó hÖ bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm

SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT NGUYỄN DUY HIỆU

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THAM KHẢO HSG TOÁN 10

NĂM HỌC 2017 – 2018

MÔN THI: TOÁN

(Đáp án gồm 05 trang)

Câu

Nội dung

Điểm

Cho parabol (P): và điểm . Tìm trên (P) hai điểm M, N đối xứng nhau qua điểm I

1,50

Vì I không thuộc trục đối xứng của (P) nên hai điiểm M,N thỏa đề bài thuộc đường thẳng  qua I và có hsg k có phương trình

Xét pt (1)

0,25

0.25

 cắt (P) tại M và N

Gọi 2 nghiệm của (1) là

0,25

M, N đối xứng nhau qua điểm I  I là trung điểm của MN

0,25

Khi đó (1) hoặc . Vậy

0,25

Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

1,50

Điều kiện cần hoặc (1)

0,5

Khi đó

0,25

Điều kiện đủ

0,25

Kết hợp với ĐK (1) ta được hoặc

0,25

Cách khác. Pt có 4 nghiệm đường thẳng cắt đths tại 4 điểm. Từ đồ thị suy ra

Giải bất phương trình:

2,00

ĐK : .

BPT

0,25

Ta có

0,25

BPT

Vậy tập nghiệm của BPT là

0,25

Giải hệ phương trình:

1,50

Trừ vế ta được

0,25

TH 1. . Thế vào pt thứ nhất ta được

0,25

TH 2.

Cộng hai pt theo vế ta được

0,25

(Loại)

Vậy hệ có 4 nghiệm là

0,25

Tìm m để phương trình có nghiệm

1,50

ĐK: . Chia hai vế cho ta được

0,25

Đặt ta được (2)

0,25

Pt (1) có nghiệm pt (2) có nghiệm

Lập bảng biến thiên của trên

0,25

Từ BBT suy ra pt (2) có nghiệm

0,25

cho . tìm m để f(x) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

điều kiện để f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

biến đổi

0,5

0,25

Kết luận m=-1

0,25

trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc oxy cho hai điểm a(1 ; 1) và b(4 ; -3). tìm điểm c thuộc đường thẳng x – 2y – 1= 0 sao cho khoảng cách từ c đến đường thẳng ab bằng 6.

đường thẳng ab có phương trình

do c thuộc đường thẳng x – 2y – 1= 0 nên c = (2c + 1; c)

ta có

+ với

vậy có hai điểm ;

0,25

0,75

0,5

0,25

Cho tam giác ABC có trọng tâm là G. Hai điểm D và E được xác định bởi các hệ thức: . Chứng minh rằng: D, E, G thẳng hàng

1,50

Gọi M là trung điểm của BC ta có:

0,25

0,5

Từ (1) và (2) suy ra D, E, G thẳng hàng

0,25

Gọi H là trực tâm ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh

1,50

T a có

0,25

Vì

0,25

Mặt khác ta có

Nên

0,25

(đpcm)

0,25

Tìm tọa độ các điểm E, F và B

2,00

Chứng minh được từ đó suy ra

0,5

Chứng minh được từ đó suy ra

0,5

Giả sử . Từ giả thiết suy ra B, E, F thẳng hàng và BE  BH

Đến quan hệ vecto

Đến hệ pt

0,25

Tìm được tọa độ

0,25

Tìm max và min của biểu thức .

1,50

Thế vào S ta được

0,25

TH 1.

TH2. . Đặt

0,25

Với , tồn tại

0,25

Biến đổi ta được

Do nên

0,25

Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1,50

Vậy .

0,25

TH 1.

0,25

TH 2.

0,25

khi và chỉ khi

Ta có

0,25

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi: 03/4/2019

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu I (2,0 điểm)

1) Cho hàm số có đồ thị . Tìm giá trị của tham số để đường thẳng cắt đồ thị ( ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn .

2) Cho hàm số ( là tham số). Tìm để hàm số nghịch biến trên khoảng .

Câu II (3,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2) Giải phương trình .

3) Giải bất phương trình .

Câu III (3,0 điểm)

1) Cho tam giác có trọng tâm và điểm thỏa mãn . Gọi là giao điểm của và , tính tỉ số .

2) Cho tam giác nhọn , gọi lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh . Gọi diện tích các tam giác và lần lượt là và . Biết rằng

, chứng minh .

3) Trong mặt phẳng tọa độ , cho cân tại . Đường thẳng có phương trình , đường thẳng có phương trình . Biết điểm thuộc cạnh , tìm tọa độ các đỉnh .

Câu IV (1,0 điểm)

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất?

Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương thỏa mãn .

Chứng minh bất đẳng thức .

........................................ Hết ......................................

Họ và tên thí sinh: ....................................................................... Số báo danh: .....................................................

Giám thị coi thi số 1: ............................................... Giám thị coi thi số 2: ............................................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT – NĂM HỌC 2018 - 2019

MÔN: TOÁN

(Hướng dẫn chấm gồm 6 trang)

Câu	Nội dung	Điểm
Câu I.1 1,0đ	Cho hàm số có đồ thị . Tìm giá trị của tham số để đường thẳng cắt đồ thị ( ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn .
	Phương trình hoành độ giao điểm (1)	0,25
	Đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt .	0,25
	Ta có	0,25
	(thỏa mãn)	0,25
Câu I.2 1,0 đ	Cho hàm số ,( là tham số). Tìm để hàm số nghịch biến trên khoảng .
	Với . Hàm số nghịch biến trên . Do đó thỏa mãn.	0,25
	Với . Hàm số nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi	0,25
	.	0,25
	Vậy	0,25
CâuII.1 1,0 đ	Giải hệ phương trình
		0,25
		0,25
	Thế vào phương trình (2) ta có .	0,25
	. Hệ có nghiệm	0,25
CâuII.2 1,0 đ	Giải phương trình (1)
	Điều kiện . Phương trình	0,25
		0,25
	(Thỏa mãn điều kiện).	0,25
	Với điều kiên ta có . Dấu không xảy ra nên phương trình (2) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .	0,25
CâuII.3 1,0 đ	Giải bất phương trình (1)
	Điều kiện .	0,25
	Xét , thay vào (2) thỏa mãn. Xét . Chia hai vế của (2) cho ta được bất phương trình .	0,25
	Đặt , ta có bất phương trình	0,25
	Kết hợp là nghiệm, ta có tập nghiệm của bất phương trình .	0,25
Câu III.1 1,0 đ	Cho tam giác có trọng tâm và điểm thỏa mãn . Gọi là giao điểm của và , tính tỉ số .
	G ọi M là trung điểm của cạnh BC. Đặt . .	0,25
		0,25
	Ba điểm thẳng hàng nên hai vectơ cùng phương. Do đó	0,25
	.	0,25
Câu III.2 1,0 đ	Cho tam giác nhọn , gọi lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh . Gọi diện tích các tam giác và lần lượt là và . Biết rằng , chứng minh .
	Đ ặt thì từ giả thiết suy ra	0,25
		0,25
		0,25
	.	0,25
Câu III.3 1,0 đ	Trong mặt phẳng tọa độ , cho cân tại . Đường thẳng có phương trình , đường thẳng có phương trình . Biết điểm thuộc cạnh , tìm tọa độ các đỉnh .
	Toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình . Vậy .	0,25
	Phương trình các đường phân giác của góc là 	0,25
	Do tam giác cân tại nên đường phân giác trong kẻ từ cũng là đường cao. Xét trường hợp là đường cao của tam giác kẻ từ . Phương trình đường thẳng là . Toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình . Toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình . nằm ngoài đoạn . Trường hợp này không thỏa mãn.	0,25
	Nếu là đường cao của tam giác kẻ từ Phương trình đường thẳng là . Toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình . Toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình . thuộc đoạn . Vậy .	0,25
Câu IV 1,0 đ	Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất?
	Giả sử sản xuất sản phẩm loại I và sản phẩm loại II. Điều kiện và Tổng số giờ máy làm việc: Ta có Số tiền lãi thu được là (đồng).	0,25
	Ta cần tìm thoả mãn: (I) sao cho đạt giá trị lớn nhất.	0,25
	Trên mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm , cắt trục tung tại điểm . Đ ường thẳng cắt trục hoành tại điểm , cắt trục tung tại điểm . Đường thẳng và cắt nhau tại điểm . Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền đa giác .	0,25
	; ; ; Vậy để thu được tổng số tiền lãi nhiều nhất thì xưởng cần sản xuất sản phẩm loại I và sản phẩm loại II.	0,25
Câu V 1,0 đ	Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh bất đẳng thức .
	Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: Tương tự, ta cũng có . Từ đó suy ra: . (1)	0,25
	Chứng minh bổ đề: Cho và ta có: Ta có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Áp dụng bổ đề ta có .	0,25
	Đến đây, ta chỉ cần chứng minh: Do Nên (4)	0,25
	Mặt khác, do là các số dương nên ta có: Nên bất đẳng thức (4) đúng. Từ (1), (2), (3) và (4), ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .	0,25

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM

TRƯỜNG : THPT QUẾ SƠN

ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ

KỲ THI OLYMPIC MÔN: Toán ; LỚP : 10

Bài 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình

Bài 2: (4 điểm) Trên các cạnh của tam giác ABC về phía ngoài ta dựng các hình vuông; là trung điểm các cạnh của các hình vuông nằm đối nhau với các cạnh BC, CA, AB tương ứng. Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy tại một điểm.

Bài 3: (3 điểm) Cho Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 4: (3 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn

Bài 5: (3 điểm) Trong mặt phẳng cho 9 điểm có tọa độ nguyên, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi trong số các tam giác được tạo thành từ 3 trong 9 điểm đó có ít nhất bao nhiêu tam giác có diện tích nguyên?

Bài 6: (3 điểm) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn các điều kiện sau:

Bài 1: ( 4 điểm) Giải hệ phương trình

Đáp án	Điểm
Xét hệ	1.0
Thay vào PT (1) ta được (3) Giải (3). Điều kiện	0.5
Với PT (3) tương đương với (4) Ta có nên PT (4) vô nghiệm, suy ra PT (3) vô nghiệm.	0.5
Với PT (3) tương đương với (5) Đặt PT (5) trở thành	0.5
(6)	0.5
Với có và nên Do đó Suy ra	0. 5
Từ đó HPT đã cho có nghiệm là	0.5

Bài 2: (4 điểm) Trên các cạnh của tam giác ABC về phía ngoài ta dựng các hình vuông;

là trung điểm các cạnh của các hình vuông nằm đối nhau với các cạnh BC, CA, AB tương ứng. Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy tại một điểm.

Đáp án	Điểm
G ọi các giao điểm của các đường thẳng với các cạnh BC, CA, AB lần lươt là . với và tan = 2.	1.0
Tương tự	1.0
	1.0
Nhân các đẳng thức với nhau ta có: , tức là các đường thẳng đồng quy tại một điểm. Vậy các đường thẳng đồng quy tại một điểm.	1.0

Bài 3: ( 3 điểm) Cho Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Đáp án	Điểm
Đặt thì Khi đó	0.5
Với mọi thì Áp dụng BĐT Cauchy, ta có	0.5
Nhân hai vế của BĐT này với ta được (1)	0.5
Mặt khác từ giả thiết, ta có (2) Thật vậy, BĐT (2) tương đương với (BĐT đúng).	0.5
Tương tự (3)	0.5
Cộng từng vế các BĐT (1), (2), (3) ta được Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy GTLN của là 2, đạt được khi	0.5

Bài 4: ( 3 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn

Đáp án	Điểm
Rõ ràng các cặp số nguyên (x; y) sao cho là nghiệm của phương trình đã cho. Ta giả sử (x; y) thỏa mãn phương trình mà Trước tiên, từ phương trình, ta phải có Thật vậy, chia cả 2 vế của cho ta được	0,5
Đẳng thức trên tương đương với từ đó suy ra	0,5
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh Hàm số là hàm lồi trên nửa khoảng [0; + ) nên suy ra rằng với mọi số không âm x và y, ta có:	0,5
Nếu thì	0,5
Tương tự, nếu x, y đều không dương, đồng thời , thì	0,5
Vậy ta chỉ cần xét các x, y mà xy 0 và ta tìm được các nghiệm là Tóm lại, các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình là (với a là số nguyên).	0.5

Bài 5: ( 3 điểm) Trong mặt phẳng cho 9 điểm có tọa độ nguyên, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi trong số các tam giác được tạo thành từ 3 trong 9 điểm đó có ít nhất bao nhiêu tam giác có diện tích nguyên?

Đáp án	Điểm
Với tam giác ABC có tọa độ đỉnh thì	1.0
Xét 9 điểm A, B, C, D, F, G, H, I có tọa độ nguyên thì tọa độ của mỗi điểm sẽ thuộc một trong các dạng sau: (chẵn, chẵn), (lẻ, lẻ), (lẻ, chẵn), (chẵn, lẻ). Do đó theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất điểm thuộc cùng một dạng, tức là tọa độ cùng tính chẵn lẻ, giả sử đó là A, B, C.	1.0
Với hai điểm A, B có tọa độ cùng tính chẵn lẻ thì đều là số chẵn nên diện tích tam giác có cạnh AB đều nguyên (do(1)). Tương tự diện tích các tam giác có cạnh là AC, BC đều nguyên.	0.5
Với mỗi 2 trong 3 điểm A, B, C kết hợp với 6 điểm còn lại thì được 6 tam giác có diện tích nguyên. Vậy có ít nhất tam giác có diện tích nguyên.	0.5

Bài 6: ( 3 điểm) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn các điều kiện sau:

Đáp án	Điểm
Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn các yêu cầu của bài toán. Ta có Ta thấy rằng	0.5
và	0.5
Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp () Thật vậy, Với ta có (đúng). Với ta có (đúng) Giả sử () đúng với tức là ta có Ta cần chứng minh (*) đúng , tức là cần chứng minh	0.5
Nếu k là số lẻ thì là số chẵn và	0.5
Nếu k chẵn thì chẵn và do nên theo giả thiết quy nạp ta có Vậy Ta có: Theo nguyên lý quy nạp, ta có:	0.5
Thử lại, ta thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.	0.5

SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM

Trường THPT Khâm Đức

——————

ĐỀ THI OLYMPIC 24-3 NĂM HỌC 2016-2017

MÔN: TOÁN 10

Dành cho học sinh THPT không chuyên

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

————————————

Câu 1 (5,0 điểm).

a) Giải phương trình .

b) Giải hệ phương trình

Câu 2 (3,0 điểm).

a) Tìm tập xác định của hàm số : .

b) Giả sử phương trình bậc hai ẩn ( là tham số): có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: .

Câu 3 (3,0 điểm).

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa x . y. z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Câu 4 (2,0 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có các đỉnh là những điểm có tọa độ nguyên. Chứng minh rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một điểm có tọa độ nguyên.

Câu 5 (4,0 điểm).

a) Cho tam giác đều ABC . Lấy các điểm M, N thỏa mãn Gọi I là giao điểm của AM và CN . Chứng minh BI  IC.

b) Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm C cố định thuộc đoạn AB (C khác A, B).Lấy điểm M trên nửa đường tròn. Đường thẳng qua M vuông góc với MC lần lượt cắt tiếp tuyến qua A và B của nửa đường tròn tại E và F. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác CEF khi M di chuyển trên nửa đường tròn.

Câu 6 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng là d₁: và d₂: . Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d₁ tại A, cắt d₂ tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của đường tròn (C) biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành độ dương.

---------------Hết--------------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24–3 QUẢNG NAM LẦN THỨ NHẤT

Môn thi: TOÁN 10

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

5,0

a) Giải phương trình (1)

2,0

ĐK: x  5/3 (*).

Khi đó: (1) 



 (thỏa (*))

Vì

Vậy (1) có nghiệm: x = 2 .

0,25

0,5

0,25

0,5

0,25

b) Giải hệ phương trình

3,0

Điều kiện: (*)

Nhận thấy y = 0 không thỏa (1) nên (1)

Với x = y thay vào (2) ta được :
Với x = 4y thay vào (2) ta được:

So với (*) ta được nghiệm của hệ là :

0,5

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 2

3,0

a) Tìm tập xác định của hàm số :

1,0

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi :

( Vì x² -5x + 2017 > 0 với mọi x)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D =

0,25

b) Giả sử phương trình bậc hai ẩn ( là tham số): có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: .

2,0

Phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn

Theo định lí Viet ta có suy ra

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta được: khi , khi .

0,5

Câu 3

3,0

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa x . y. z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Áp dụng BĐT Cô-si , ta có: .

Tương tự , ta có :

0,75

0,25

Cộng vế theo vế , ta được:

Áp dụng BĐT Cô-si , ta có: .

0,5

Từ (1) , (2) suy ra

0,5

Vậy P_min = , đạt được khi x = y = z = 1

0,5

Câu 4

2,0

Điểm

Coi đỉnh A_i (x_i ; y_i), i = 1,2,3,4,5.

Khi đó (x_i ; y_i) có thể rơi vào những trường hợp sau: (2k ; 2k’) ; (2k ; 2k’ + 1) ;

(2k + 1 ; 2k’ + 1) ; (2k + 1 ; 2k’ ) với .

Do đa giác có 5 đỉnh nên theo nguyên lí Đi rich lê, có ít nhất hai đỉnh có tọa độ thuộc một trong bốn kiểu trên.

Khi đó trung điểm của đoạn nối 2 đỉnh đó sẽ có tọa độ nguyên.

Do ngũ giác là lồi nên trung điểm đó nằm ở miền trong hoặc tren cạnh của ngũ giác đó.

0,75

0,5

0,25

0,5

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 5

a) Cho tam giác đều ABC . Lấy các điểm M, N thỏa mãn Gọi I là giao điểm của AM và CN . Chứng minh BI  IC.

2,0

Giả sử , ta có:

và .

Vì cùng phương nên

Ta có

Suy ra: .

Vì tam giác ABC đều nên AB = AC và

Vậy :

0,25

2,0

Vì AEMC và BFMC là các tứ giác nội tiếp nên:

Vậy

Hai tam giác AEC và BCF đồng dạng nên:

Ta có :

(không đổi).

Vậy diện tích tam giác CEF nhỏ nhất bằng AC.BC khi AE = AC và BC = BF.

0,25

0,5

0,25

Câu 6

3,0

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng là d₁: và d₂: . Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d₁ tại A, cắt d₂ tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của đường tròn (C) biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành độ dương.

3,0

+ Gọi I là tâm đường tròn (C) đường kính là AC

+ A thuộc d₁ nên có tọa độ là

+ Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với d₂ có phương trình:

AB: ;

+ Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với d₁ có phương trình:

AC: ;

+ Tam giác ABC có diện tích bằng

+ Tính đúng

+ Viết đúng phương trình (C):

0,25

0,5

0,25

SỞ GIÁO DỤC  ĐÀO TẠO QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT HỒ NGHINH

ĐỀ ĐỀ NGHỊ KỲ THI OLYMPIC

MÔN : TOÁN 10 - NĂM HỌC 2017-2018

Thời gian :150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (5,0 điểm).

a.(3đ). Giải bất phương trình.

b.(2đ). Giải hệ phương trình.

Câu 2. (3,0 điểm).

a. (2đ). Cho parabol (P) : y = 3x² – x – 4. Gọi A,B là giao điểm của (p) với Ox. Tìm m<0 sao cho đường thẳng d: y= m cắt (P) tại hai điểm phân biệt M,N mà bốn điểm A, B, M, N tạo thành tứ giác có diện tích bằng 4.

b. (1đ) Cho

Tính

Câu 3. (3,0 điểm).

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 4. (2,0 điểm).

Trong mặt phẳng lấy 2n + 3 điểm ( ) sao cho trong ba điểm bất kì luôn có hai điểm mà khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất n + 2 điểm nêu trên.

Câu 5 .(3,0 điểm).

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng với mọi điểm M thì

Câu 6. (4,0 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC. D là trung điểm AB, E nằm trên cạnh AC mà AC = 3EC. Đường thẳng DC có phương trình x - 3y + 1 = 0. Tìm tọa độ A, B, C.

…………………Hết………..............

ĐÁP ÁN

CÂU	NỘI DUNG	ĐIỂM
Câu 1 (5đ)	a Giải bất phương trình.	3đ
	Đk :	0.5đ
	* Suy ra là nghiệm của bpt	1đ
	*	0.5đ
		0.5đ
	Vậy tập nghiệm của bpt	0.5đ
	b. Giải hệ :	2đ
	Đk:	0.25đ
		0.5 đ
		0.5đ
	_{Khi x=y:}	0.5đ
	KL: Hệ có tập nghiệm	0.25đ
Câu 2 (3 đ)	a. Cho parabol (P) : y = 3x² – x – 4. Gọi A,B là giao điểm của (P) với Ox. Tìm m < 0 sao cho đường thẳng d: y= m cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N mà bốn điểm A, B, M, N tạo thành tứ giác có diện tích bằng 4.	2 đ
	Ta chọn A(-1;0), B(4/3;0)	0.25 đ
	Pthđgđ của (P) và d: 3x² – x – 4- m = 0 () ĐK:  > 0  M,N là giao điểm nên x_M , x_N là hai nghiệm của ()	0.25 đ 0.25 đ
	A và B, M và N đối xứng nhau qua trục đối xứng của (P) nên bốn điểm tạo nên hình thang cân có hai đáy AB, MN, độ dài đường cao =	0.5 d
		0.5 đ
	Vậy m = -4 , m = -2 thỏa mãn đề.	0.25 đ
	b.	1đ
		0.25đ
		0.25đ
		0.5đ
Câu 3 (3,0 điểm).	Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức	3đ
		0.5 đ
	Đặt _{Lại có :}	0.5 đ 0.25đ
	Suy ra	0.25 đ
	Đặt - ( )	0.5 đ
	Suy ra	0.25 đ
	T=A+B	0.5đ
	KL: MinT= khi	0.25đ
Câu 4 (2,0 điểm)	Trong mặt phẳng lấy 2n + 3 điểm ( ) sao cho trong ba điểm bất kì luôn có hai điểm mà khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất n + 2 điểm nêu trên.	2đ
	Chọn điểm A bất kì trong 2n + 3 điểm đó. Vẽ đường tròn (A;1), khi đó có hai khả năng : a) Nếu tất cả các điểm thuộc hình tròn (A;1) thì bài toán thỏa mãn.	0.5 đ
	b) Nếu không phải tất cả các điểm thuộc hình tròn (A;1). Khi đó, có 1 điểm gọi là B không thuộc hình tròn (A;1). Vẽ đường tròn (B;1). Gọi C là điểm bất kì trong 2n + 1 điểm còn lại. Xét ba điểm A, B, C thì phải có AC hoặc BC nhỏ hơn 1.	0.5 đ
	Nếu AC nhỏ hơn 1 thì C thuộc hình tròn (A;1) Nếu BC nhỏ hơn 1 thì C thuộc hình tròn (B;1).	0.5 đ
	Do đó 2n + 1 điểm còn lại thuộc (A;1) hoặc thuộc (B;1) nên theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất n + 1 điểm thuộc (A;1) hoặc (B;1). Nói cách khác có ít nhất n+ 2 điểm thoả mãn đề.	0.5 đ
Câu 5 (3,0 điểm)	Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng với mọi điểm M thì	3 đ
Câu 5 (3,0 điểm)
		0.5 đ
		1 đ
		0.5đ
		0.5đ
	Dấu bằng xảy ra khi M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC	0.5đ
Câu 6 (4,0 điểm	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC. D là trung điểm AB, E nằm trên cạnh AC mà AC = 3EC. Đường thẳng DC có phương trình x - 3y + 1 = 0. Tìm tọa độ các điểm A, B, C.	4 đ
Câu 6 (4,0 điểm
	Ta có nên BE là phân giác của góc B	0.5 đ
	Suy ra BE vuông góc DC, nên DC có ptrình	0.5 đ
		0.5 đ
	Gọi BC= a. tính được	0.5 đ
		0.5 đ
		0.5 đ
		0.5 đ
	KL: A(12;1), B(4,5), C(2;1) hoặc A(0;-3), B(4;5), C(8,3)	0.5 đ
Chú ý: thí sinh làm theo cách khác đúng, giám khảo dựa vào thang điểm cho điểm tương ứng

SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH

TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH MÔN: TOÁN 10.

Năm học: 2017 - 2018

ĐỀ

Câu 1: (5,0 điểm)

a. Giải bất phương trình:

b. Giải hệ phương trình:

Câu 2: (4,0 điểm)

a. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: .

b. Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số có

giá trị bé nhất trên đoạn [0;1] bằng 1.

Câu 3: (4,0 điểm)

a. Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 4: (4,0 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) và trung điểm của BC là I(6;1). Đường thẳng AH có phương trình x + 2y - 3 = 0. Gọi D , E lần lượt là chân đường cao kẻ từ điểm B và C của tam giác ABC. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình DE là x - 2 = 0 và điểm D có hoành độ dương.

Câu 5: (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB.Chứng minh rằng diện tích của một trong ba tam giác AB’C’, BA’C’, CA’C’ không thể vượt qua một phần tư diện tích tam giác ABC. Với điều kiện nào các tam giác này có diện tích bằng nhau và bằng một phần tư diện tích tam giác ABC.

---- HẾT ---

	KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH Năm học 2017 – 2018
	ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
	Môn thi: TOÁN
	(Đáp án – Thang điểm gồm trang)

Câu	Đáp án	Điểm
Câu 1 (5,0 điểm)	a) Giải phương trình	2,0
	Điều kiện:	0,25
	+	0,5
		0,5
		0,25
	Giải tìm được tập nghiệm của bất phương trình là S=	0,5

	b) Giải hệ phương trình	3,0
	Điều kiện: và .	0,25
	- Xét phương trình thứ hai trong hệ:	0,5
		0,5
	(vì theo điều kiện thì biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương + Với thay vào phương trình thứ nhất ta được: Điều kiện: . Khi đó, ta có:	0,25 0,25 0,5
		0,25
	Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( 2; ).	0,5

Câu

Đáp án

Điểm

Câu 2(4,0 điểm) ãn

a/. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

1,5

Viết lại hàm số

0,5

Lập được bảng biến thiên

0,5

Vẽ được đúng đồ thị hàm số

0,5

b/. Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số có giá trị bé nhất trên đoạn [0;1] bằng 1.

2,5

Hoành độ đỉnh

Bảng biến thiên:

-m-1/2

-m-5/4

0,25

+ Nếu thì

0,25

(Không thỏa)

0,25

+Nếu thì f(x) dồng biến trên [0;1]

(thỏa ) hoặc (không thỏa)

0,25

+ Nếu thì f(x) nghịch biến trên [0;1]

m=0 (không thỏa ) hoặc m=-2 (thỏa)

0,25

Vậy và m=-2

0,25

Câu3 (4,0 điểm)

a/. Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:

2,0

Ta có .

Tương tự

Suy ra

đccm

0,25

0,5

0,25

b/. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2,0

P xác định khi .

Ta có

Áp dụng Bđt Côsi ta có:

Max P= , đạt được khi x=2, y=8, z=18

0,25

0,5

0,25

Câu 4 (4,0 điểm)	Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) và trung điểm của BC là I(6;1). Đường thẳng AH có phương trình x + 2y - 3 = 0. Gọi D , E lần lượt là chân đường cao kẻ từ điểm B và C của tam giác ABC. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình DE là x - 2 = 0 và điểm D có hoành độ dương.	4,0
	Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn tâm I và tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn tâm F	0,5
	Vậy IF là đường trung trực của ED. Do đó IF ED	0,5
	Suy ra phương trình IF : y-1=0	0,25
	Suy ra F (1 ; 1)	0,25
	Suy ra A(-1 ;2)	0,5
	D thuộc DE suy ra D(2 ;d)	0,25
	Do FD = FA suy ra Do nên D(2; 3)	0,5 0,25
	Phương tình AC: x - 3y + 7 = 0	0,25
	Đường BC đi qua I và vuông góc AH nên có phương trình BC 2x – y – 11 = 0	0,25
	Suy ra C ( 8; 5)	0,25
	Suy ra B ( 4 ; -3 )	0,25

Câu5 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB.Chứng minh rằng diện tích của một trong ba tam giác AB’C’, BA’C’, CA’B’ không thể vượt qua một phần tư diện tích tam giác ABC. Với điều kiện nào các tam giác này có diện tích bằng nhau và bằng một phần tư diện tích tam giác ABC.

3,0

Kí hiệu , , , .

Ta có

Suy ra

= .

Mặt khác:

Suy ra hoặc hoặc

Dấu bằng xảy ra đồng thời khi và chỉ khi A’, B’, C’ tương ứng là trung điểm của BC, CA, AB.

0,25

0,5

0,25

Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng thì Ban Giám khảo thảo luận và thống nhất thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm.

Link tải về

Ngoài Top 15 Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 10 Kèm Hướng Dẫn Giải – Toán 10 thì các đề thi trong chương trình lớp 10 sẽ được cập nhật liên tục và nhanh nhất có thể sau khi kỳ thi diễn ra trên Danh mục Kho Đề Thi nhằm giúp các bạn đọc thuận tiện trong việc tra cứu và đối chiếu đáp án. Quý thầy cô và các bạn đọc có thể chia sẻ thêm những tài liệu học tập hữu ích đến địa chỉ email của chúng tôi, nhằm xây dựng nên kho đề thi phong phú, đa dạng cho các em học sinh tham khảo và rèn luyện.

Top 15 Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 10 Kèm Hướng Dẫn Giải là bộ tài liệu hữu ích dành cho học sinh lớp 10 muốn rèn luyện và nâng cao kỹ năng toán học của mình. Bộ đề thi này được tạo ra dựa trên các đề thi học sinh giỏi toán 10 chất lượng, đa dạng và có độ khó tương đương với những đề thi chính thức.

Bộ tài liệu bao gồm 15 đề thi học sinh giỏi toán 10, mỗi đề thi đi kèm với đáp án chi tiết và hướng dẫn giải bài từng câu hỏi. Hướng dẫn giải được trình bày một cách rõ ràng, từng bước một, giúp học sinh hiểu rõ cách áp dụng các kiến thức toán học để giải quyết từng bài toán.

Các đề thi trong bộ tài liệu có tính chất đa dạng, bao gồm các dạng bài tập về đại số, hình học, giải tích và xác suất. Độ khó của các đề thi được tăng dần từ đề thi đầu tiên đến đề thi cuối cùng, giúp học sinh từng bước đối mặt với những thử thách toán học hơn.

Top 15 Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 10 Kèm Hướng Dẫn Giải là công cụ hữu ích để học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết bài toán, cải thiện khả năng tư duy logic và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi học sinh giỏi toán. Bộ tài liệu này sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học và tự tin đối mặt với những bài toán khó trong các kỳ thi quan trọng.

>>> Bài viết liên quan:

Top 5 Đề Cương Ôn Tập GDCD Lớp 10 HK2 Có Đáp Án

Đề Thi Giữa Kì 2 Văn 10 Kết Nối Tri Thức 2022-2023 (Đề 1) – Ngữ Văn Lớp 10

Bộ Đề Thi Giữa Kì 2 Văn 10 Năm 2022-2023 Có Đáp Án

Bộ Đề Thi Giữa Kì 2 Văn 10 Kết Nối Tri Thức – Ngữ Văn Lớp 10

Đề Thi Văn Cuối Kì 1 Lớp 10 Năm 2022-2023 Có Đáp Án

Ngân Hàng Đề Thi Văn Cuối Kì 1 Lớp 10 Năm 2022-2023 – Ngữ Văn Lớp 10

Bộ Đề Thi HK1 Ngữ Văn 10 Kết Nối Tri Thức | Ôn Tập Ngữ Văn

Đề Thi Văn Lớp 10 Học Kì 1 Sở GD&ĐT Bắc Ninh 2022-2023

Đề Thi Văn 10 Học Kì 2 Sở GD&ĐT Quảng Nam 2021-2022

Đề Thi Văn Kì 2 Lớp 10 Sở GD&ĐT Quảng Nam (Đề 1)