Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 6 – Dùng Tính Chất Chứng Minh Bài Toán Chia Hết

CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIACÓ DƯ

CHỦ ĐỀ 3: DÙNG TÍNH CHẤT CHỨNG MINH BÀI TOÁN CHIA HẾT

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. TÍNH CHẤT CHUNG

1) và thì

2) với mọi khác 0

3) với mọi khác 0

4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1

2. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU

- Nếu cùng chia hết cho m thì chia hết cho và chia hết cho

- Tổng (Hiệu) của 2 số chia hết cho và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho .

- Nếu 1 trong 2 số chia hết cho số kia không chia hết cho thì tổng, hiệu của chúng không chia hết cho .

3. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA 1 TÍCH

- Nếu một thừa số của tích chia hết cho thì tích chia hết cho

- Nếu chia hết cho thi bội của a cũng chia hết cho

- Nếu chia hết cho , chia hết cho n thì chia hết cho

- Nếu chia hết cho thì:

4. CÁC TÍNH CHẤT KHÁC:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

₉₎ (p là số nguyên tố) thì hoặc hoặc

5. CÁC TÍNH CHẤT SUY LUẬN ĐƯỢC

- Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẵn và một số lẻ.

- Tổng hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ.

- Tích hai số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn.

- Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.

- Tổng của hai số tự nhiên bất kỳ là một số lẻ thì có một số tự nhiên là số chẵn.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

1, Dạng 1: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số.

2, Dạng 2: Cho một biểu thức chia hết cho chứng minh một biểu thức khác chia hết cho .

3, Dạng 3: Tìm để biểu thức chia hết cho biểu thức

4, Dạng 4: Bài toán chứng minh chia hết liên quan đến số chính phương.

5, Dạng 5: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một biểu thức.

6, Dạng 6: Chứng minh chia hết từ một đẳng thức cho trước.

Dạng 1: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số

I. Phương pháp giải: Chứng minh biểu thức chia hết cho số .

- Viết biểu thức thành một tổng(hiệu) các số trong đó mỗi số đều chia hết cho từ đó suy ra chia hết cho .

- Viết biểu thức thành một tích các thừa số trong đó có thừa số chia hết cho từ đó suy ra chia hết cho .

- Viết m thành một tích các thừa số nguyên tố cùng nhau và chỉ ra biểu thức chia hết cho các thừa số của từ đó suy ra chia hết cho .

- Viết biểu thức và thành một tích các thừa số và chỉ ra mỗi thừa số của chia hết cho một thừa số của m từ đó suy ra chia hết cho .

- Viết thành một tổng hoặc hiệu các số mà có tổng hoặc hiệu các số dư chia hết cho từ đó suy ra chia hết cho .

Cụ thể ta có thể vận dụng các PHƯƠNG PHÁP sau:

+ PHƯƠNG PHÁP 1: Nếu là một số cụ thể ta vận dụng dấu hiệu chia hết 2; 3; 4; 8; 9; 11; ... để chứng minh.

+ PHƯƠNG PHÁP 2: Nếu có tổng hoặc hiệu các số, ta cần phân tích để đưa về hoặc hiệu hoặc tích của các số có dấu hiệu chia hết rồi áp dụng tính chất chia hết của tổng (hiệu) hoặc tích để chứng minh.

+ PHƯƠNG PHÁP 3: Để chứng minh chia hết cho , ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia cho .

+ PHƯƠNG PHÁP 4: Ngoài ra ta cũng có thể dùng cách tìm chữ số tận cùng của để chứng minh chia hết cho một số.

+ PHƯƠNG PHÁP 5: Nếu và mà và là hai số nguyên tố cùng nhau thì

II. Bài toán

Bài 1: Chứng minh rằng

a. b.

Lời giải

a) Cách 1:

Ta có: và

Lại có có tổng các chữ số là 9 nên chia hết cho 9. Vậy A chia hết cho 72

Cách 2:

có ba chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8

_b) Ta có ; ; chia hết cho 9 nên chia hết cho 9

Lại có có tận cùng là 1

có tận cùng là 7

có tận cùng là 9

nên có tận cùng là 5 nên chia hết cho 5.

Mà

Bài 2: Chứng minh : chia hết cho 17.

Lời giải

Bài 3: Chứng minh rằng: chia hết cho 19

Lời giải

Thêm bớt , ta được:

Ta có:

(mod19)

Vậy

Ghi chú: Đối với một số bài toán lớp 8 nếu ta sử dụng đến hằng đẳng thức: với với ( ; n lẻ). Thì ta có thể giải được một cách dễ dàng, tuy nhiên với học sinh lớp 6 thì chưa thể sử dụng những hằng đẳng thức đó. Vì vậy, ta có thể sử dụng Đồng dư thức để có được lời giải phù hợp với trình độ của học sinh lớp 6.

Bài 4: Chứng minh rằng: a) chia hết cho 7.

b) chia hết cho 7.

Lời giải

a) Ta có

Mà

Tương tự:

Vậy chia hết cho 7.

b)

Sử dụng tính chất: khi chia cho có số dư là

Ta có

Bài 5 : Chứng minh rằng: chia hết cho 6

Lời giải

Ta có:

Tổng của hai số hạng :

Tổng A có 200 số hạng ta chia thành 100 nhóm chứa hai số hạng có tổng 6.

Nên:

Vậy chia hết cho 6

Bài 6 : Chứng minh rằng: chia hết cho 4 và 5.

Lời giải

Vậy chia hết cho 5 và 4.

Bài 7 : Chứng minh rằng:

a,

b,

c,

Lời giải

a, Ta có:

Nếu là số lẻ thì

Nếu là số chẵn thì

Như vậy với mọi là số tự nhiên thì :

b, Ta có: là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3.

c, Ta có: là 1 số lẻ nên và có chữ số tận cùng khác 0 và 5

Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì:

a.

b.

Lời giải

a) Ta có: là số lẻ nên chẵn hoặc chẵn,

(1)

Xét các trường hợp :

với mọi số tự nhiên (2)

Từ (1) và (2) ( Do 2; 3 là hai số nguyên tố cùng nhau)

b) Vậy

Bài 9: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.

Lời giải

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là:

Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là

(Tính chất chia hết của một tổng).

Nâng cao: Có phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho n hay không?

Bài 10: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ?

Lời giải

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là .

Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là:

Do 4 chia hết cho 4 nên chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên không chia hết cho 4 Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.

Kết luận nâng cao: Vậy không phải lúc nào tổng n số tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho n

Bài 11: Chứng minh chia hết cho 45 với mọi là số tự nhiên.

Lời giải

Vì 495 chia hết cho 9 nên chia hết cho 9 với mọi .

Vì 1035 chia hết cho 9 nên chia hết cho 9 với mọi .

Nên: chia hết cho 9.

Chứng minh tương tự ta có: chia hết cho 5 với mọi

Mà chia hết cho 45.

Bài 12: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.

Lời giải

Gọi hai số chẵn liên tiếp là

Tích của hai số chẵn liên tiếp là:

Vì không cùng tính chẵn lẻ nên chia hết cho 2.

Mà 4 chia hết cho 4 nên chia hết cho (4.2)

chia hết cho 8.

chia hết cho 8.

Bài 13: Chứng minh rằng:

a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.

b) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4.

Lời giải

a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là

Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là:

Một số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư 0; 1; 2.

+) Nếu thì n chia hết cho 3 chia hết cho 3.

+) Nếu thì (k là số tự nhiên).

chia hết cho 3.

chia hết cho 3.

+) Nếu thì (k là số tự nhiên).

chia hết cho 3.

chia hết cho 3.

Tóm lại: chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên.

b) Chứng minh tương tự ta có chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên.

Kết luận: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n.

Dạng 2: Cho một biểu thức chia hết cho chứng minh một biểu thức khác chia hết cho

I. Phương pháp giải

- Vận dụng tính chất: từ đó tìm giá trị p và q thích hợp.

II. Bài toán

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì:

a. b.

c. d.

Lời giải

a) Gợi ý: Tìm sao cho

_Chọn

Trình bày bài:

Cách 1:

_* Chứng minh:

_Từ

Mà nên

_* Chứng minh:

_Từ

(Vì 4 và 17 nguyên tố cùng nhau)

Cách 2:

_{*Chứng minh:}

Vì (1)

Mà (2)

Từ (1), (2) suy ra

_{* Chứng minh:}

Vì

Mà (Vì 4 và 17 nguyên tố cùng nhau)

b) chọn

_c)

d)

Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu thì

Lời giải

_{Ta có :}

Bài 3: Chứng minh rằng:

a, Nếu thì

b, Nếu thì

Lời giải

a, Ta có:

hay

Khi đó vì có

b, Ta có:

mà nên

Bài 4: Chứng minh rằng:

a, Nếu thì

b, Nếu thì

Lời giải

a, Ta có:

_{b, Ta có}:

Mà nên

Bài 5: Chứng minh rằng:

_a, Nếu thì

b, Nếu thì

_{c, Nếu} thì

Lời giải

_a, Ta có :

b, Ta có :

c, Ta có :

Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu thì

Lời giải

_{Ta có :}

Bài 7: Chứng minh rằng:

a, nếu

b, nếu

Lời giải

a, Ta có: và

nên

b, Ta có: và

nên

Bài 8: Chứng minh rằng:

a, thì

b, thì

Lời giải

a, Ta có:

b, Ta có:

Bài 9: Cho là các số nguyên. CMR nếu chia hết cho 31 thì cũng chia hết cho 31

Lời giải

Ta có:

Bài 10: Cho là các số nguyên. CMR :

Lời giải

Ta có:

Ngược lại ta có:

Bài 11: Cho là các số nguyên. CMR nếu thì và ngược lại.

Lời giải

_{Ta có:}

_{Ngược lại ta có:}

Bài 12: Cho là các số nguyên. CMR nếu thì

điều ngược lại có đúng không?

Lời giải

Ta có:

Điều ngược lại vẫn đúng

Bài 13: Cho là các số nguyên và . Chứng minh rằng:

a, b, c,

Lời giải

a, Ta có:

_{b, Ta có:}

c, Ta có:

Bài 14: Cho biết . CMR các biểu thức sau cũng chia hết cho 6

a,

b,

c,

Lời giải

a, Ta có:

b, Ta có:

c, Ta có:

Dạng 3: Tìm để biểu thức chia hết cho biểu thức

Bài 1: Tìm số tự nhiên để chia hết cho

Lời giải

Ta có

Mà

Do đó là ước của 4.

Vậy với thì

Bài 2: Tìm số tự nhiên để là số tự nhiên .

Lời giải

Để là số tự nhiên thì

Ư

Vậy với thì là số tự nhiên.

Bài 3: Tìm số tự nhiên sao cho

Lời giải

Ta có

Để thì

Với

Với

Vậy

Bài 4: Tìm số tự nhiên để

Lời giải

Ư

Bài 5: Tìm để là bội của

Lời giải

Để là bội của thì là số nguyên

Ư

(thỏa mãn )

Bài 6: Tìm số nguyên để: chia hết cho

Lời giải

Ta có

khi

Ư

Bài 7: Tím tất cả các số nguyên để phân số có giá trị là một số nguyên

Lời giải

là số nguyên khi

Ta có

Vậy khi

Ư(3)

Bài 8: Cho . Tìm nguyên để là một số nguyên.

Lời giải

=

Với n nguyên, nhận giá trị nguyên hay Ư

Lập luận tìm ra được

Bài 9: Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên

Lời giải

Ta có: =

Vì n nguyên nên để nguyên thì nguyên

Ư

Vậy với thì có giá trị là một số nguyên

Bài 10: Tìm số tự nhiên để biểu thức sau là số tự nhiên:

Lời giải

Để là số tự nhiên thì là số tự nhiên

Ư

Do nên

Vậy thì là số tự nhiên

Dạng 3: Bài toán chứng minh chia hết liên quan đến số chính phương

I. Phương pháp giải

_{- Kết hợp các tính chất chia hết với tính chất của số chính phương để giải bài tập.}

_{- Tính chất của số chính phương :}

_{Số chính phương chỉ có tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9.}

_{Khi phân tích ra TSNT thì số chính phương chỉ chứa TSNT với số mũ chẵn.}

Một số chính phương chia hết cho số nguyên tố thì cũng chia hết cho

_{Một số là số chính phương khi và chỉ khi có số ước lẻ.}

II. Bài toán

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì

Lời giải

Nhận xét: Số chính phương chỉ có tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nên một số chính phương khi chia cho 5 có số dư là: 0, 1, 4. Ta xét các trường hợp sau :

Nếu chia 5 dư 0 hay thì (vì 5 là số nguyên tố)

Nếu chia 5 dư 1 thì

Nếu chia 5 dư 4 thì

Vậy với mọi số tự nhiên n thì

Bài 2: a) Chứng minh rằng một số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.

b) Chứng minh rằng một số chính phương khi chia cho 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.

Lời giải

Gọi

a) Xét:

 nên
nên chia cho 3 dư 1

nên chia cho 3 dư 1.

Vậy: Một số chính phương chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1
b) Xét:

nên
nên chia cho 4 dư 1

Vậy: Một số chính phương chia cho 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.
Nhận xét: Một số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, một số chính phương lẻ khi chia cho 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.

Bài 3: Cho là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có

Nhận xét: Nếu lẻ thì

Thật vậy: mà và là hai số chẵn liên tiếp nên

Từ đó

là các số chính phương nên chia 3 dư 1 hoặc 0

Vì a, b là các số chính phương lẻ liên tiếp nên luôn có một trong hai số không chia hết cho 3

Mà đpcm.

Bài 4: Có hay không số tự nhiên để là số chính phương.

Lời giải

Giả sử là số chính phương thì

_{Từ đó suy ra}

Như vậy trong 2 số và phải có ít nhất 1 số chẵn (1)

Mặt khác và có cùng tính chẵn lẻ (2)

Từ (1) và (2) và là 2 số chẵn.

và

nhưng 2010 không chia hết cho 4

Điều giả sử sai.

Vậy không tồn tại số tự nhiên để là số chính phương.

Dạng 4: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một biểu thức

I. Phương pháp giải:

- Biến đổi biểu thức bị chia thành tích của các biểu thức nhỏ trong đó có biểu thức chia hết cho biểu thức chia.

II. Bài toán

_Bài 1: Cho . Chứng minh rằng chia hết cho

Lời giải

_{Ta có}

_Xét

_{Vì nên}

_Bài 2: Cho Chứng minh rằng chia hết cho

Lời giải

Ta có

_Xét

_{suy ra}

_Vậy chia hết cho

Bài 3: Tính tổng . Từ đó chứng minh luôn chia hết cho hai trong ba số

Lời giải

Ta có

Vì là ba số tự nhiên liên tiếp nên luôn có một số chia hết cho 3, hai số còn lại là chia hết cho chính nó

là một số tự nhiên chia hết cho hai trong ba số

Bài 4: Tính tổng . Từ đó chứng minh luôn chia hết cho ba trong bốn số .

Lời giải

Ta có :

Xét

Vì là bốn số tự nhiên liên tiếp nên luôn có một số chia hết cho 3, ba số còn lại là chia hết cho chính nó

là một số tự nhiên chia hết cho ba trong bốn số

Bài 5: Cho biểu thức .

a) Thu gọn biểu thức .

b) Chứng minh luôn chia hết cho 3.

c) Chứng minh E luôn chia hết cho hai trong ba số

Lời giải

a) Ta có : (1)

Vậy

b) Từ (1) suy ra là số tự nhiên là số tự nhiên (ĐPCM)

c) Ta có (2)

Lại có là ba số tự nhiên liên tiếp nên luôn có một số chia hết cho 3, nếu chia hết cho 3 thì cũng chia hết cho 3. (3)

Từ (2); (3) suy ra trong 3 số luôn có một số chia hết cho 3, hai số còn lại là chia hết cho chính nó.

Suy ra là số tự nhiên luôn chia hết cho hai trong ba số (ĐPCM)

Bài 6: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:

a. (tích 2n số nguyên dương đầu)

b. (tích 3n số nguyên dương đầu)

Lời giải

a) Xét biểu thức:

Vậy (ĐPCM)

_b) Xét biểu thức:

Vậy (ĐPCM)

Bài 7: Chứng minh rằng:  chia hết cho

Lời giải

Ta có:

Để chứng minh chia hết cho ta chứng minh chia hết cho 50 và 101

Ta có:

Với n lẻ ta có:

Suy ra mỗi tổng trong ngoặc của chia hết cho 101 nên (1)

Lại có:  

Tương tự ta có mỗi tổng trong ngoặc của chia hết cho 50 nên (2)

Từ (1) và (2) suy ra chia hết cho 101.50 nên chi hết cho

Bài 8: Cho số tự nhiên , Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt:

Mặt khác, với n lẻ ta có:

Nên

Cũng có

_Mà

Dạng 5: Chứng minh chia hết từ một đẳng thức cho trước:

I. Phương pháp giải:

Cách 1: Từ đẳng thức đã cho biến đổi, lập luận để làm xuất hiện số bị chia, số chia. Từ đó dựa vào các tính chất chia hết lập luận suy ra điều phải chứng minh.

Cách 2: Biến đổi số bị chia làm xuất hiện vế trái hoặc vế phải của đẳng thức, thay số và lập luận suy ra điều phải chứng minh.

II. Bài toán

Bài 1: Chứng minh rằng:

a) Nếu thì

b) Nếu thì

Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có:

Bài 2: Cho số tự nhiên bằng 3 lần tích các chữ số của nó.

a) Chứng minh rằng:

b) Đặt Chứng minh rằng

c) Tìm số tự nhiên

Lời giải

_{a) Theo bài ra có} (1)

(ĐPCM)

b) Thay vào (1) ta được

(2)

(ĐPCM)

c) Từ (2) mà

Thay các giá trị của k vào (2) ta có các trường hợp:

+) (loại)

+)

₊₎

Vậy tìm được 2 số tự nhiên thỏa mãn đề bài là 24; 15

Bài 3: Cho ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn: , chứng minh rằng:

a. Trong hai số a, b có ít nhất một số chia hết cho 2

b. Trong hai số a, b có ít nhất một số chia hết cho 3

c. Trong hai số a, b có ít nhất một số chia hết cho 4

Lời giải

Chứng minh bài toán phụ: Một số chính phương khi chia cho 3; 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.

(Bài 2, dạng 3, chủ đề này)

a. Giả sử cả a, b đều không chia hết cho 2 chia 4 dư 1

chia 4 dư 2 chia 4 dư 2 (mâu thuẫn vì cũng là số chính phương)

Điều giả sử là sai Trong hai số a, b có ít nhất một số chẵn.

Vậy trong hai số a, b có ít nhất một số chia hết cho 2.

b. Giả sử a, b đều không chia hết cho 3 chia 3 dư 1

chia 3 dư 2 chia 3 dư 2 (mâu thuẫn vì cũng là số chính phương)

Điều giả sử là sai Trong hai số a, b có ít nhất một số chia hết cho 3

c. Giả sử a, b đều không chia hết cho 4 chia 4 dư 1

chia 4 dư 2 chia 4 dư 2 (mâu thuẫn vì cũng là số chính phương)

Điều giả sử là sai Trong hai số a, b có ít nhất một số chia hết cho 4.

Bài 4: Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: , chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

+) Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3 chia cho 3 dư 1

chia cho 3 dư 2 ,

Do đó trong 3 số phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy (1)

+) Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5

chia 5 dư 1 hoặc 4 (vì SCP chỉ có tận cùng là 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9

chia 5 dư 2 hoặc 3

Do đó trong 3 số phải có ít nhất 1 số chia hết cho 5. Vậy (2)

_{+) Nếu a, b, c đều là các số không chia hết cho 4} chia 4 dư 1

chia 4 dư 2

Do đó trong 3 số phải có ít nhất 1 số chia hết cho 4. Vậy (3)

Ta thấy 3; 4; 5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với (1),(2),(3)

(ĐPCM)

Bài 5: Cho , chứng minh rằng

Lời giải

Tách

Quy đồng A với mẫu chung là tích của các mẫu ta thấy rằng có chứa 17.13.11

_Gọi là các thừa số phụ tương ứng ta có trong đó không chứa 11 ; không chứa 13 ; không chứa 17 nên không chia hết cho 11; 13; 17 suy ra luôn chứa 17.13.11 khi ở dạng tối giản

Vậy (ĐPCM)

PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương thì chia hết cho 10.

Lời giải

Ta có :

chia hết cho 10.

Vậy với mọi số nguyên dương thì chia hết cho 10.

Bài 2: Tìm số nguyên sao cho có giá trị là số nguyên.

Lời giải

_{Ta có} có giá trị là số nguyên khi mà

Vậy với thì có giá trị là số nguyên

Bài 3: Cho . Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có .

Vậy

Bài 4: Tìm số tự nhiên thỏa mãn

Lời giải

Ta có

_Vì nên

Vậy với thì

Bài 5: Chứng minh rằng nếu là một số lẻ không chia hết cho 3 thì

Lời giải

Vì là một số lẻ nên cũng là một số lẻ, suy ra (1)

Vì là một số không chia hết cho 3 nên có dạng hoặc

+ Nếu (2)

+ Nếu (3)

Từ (1), (2), (3) và , suy ra

Bài 6: Cho . Tính và tìm số dư khi chia cho 4.

Lời giải

Ta có

Vì mà là số nguyên

chia cho 4 dư 1.

Vậy 3¹⁰⁰ chia cho 4 dư 1.

Bài 7: Cho

a) Chứng tỏ chia hết cho 4.

b) Tìm số dư trong phép chia cho 13

Lời giải

a)

Vậy chia hết cho 4

b) Ta có

Tổng có 100 số hạng ta nhóm 3 số thành một nhóm ta được 33 nhóm và thừa ra một số:

Vì chia hết cho 13 nên chia cho 13 dư 3

Vậy số dư trong phép chia cho 13 là 3

Bài 8: Chứng minh rằng tổng chia hết cho .

Lời giải

Ta có:

Bài 9: Chứng minh rằng: chia hết cho .

Lời giải

Ta có:

Hay

Bài 10: Cho . Tìm số dư khi chia B cho 7.

Lời giải

Ta có:

Vì chia hết cho 7; 2 chia 7 dư 2

nên chia 7 dư 2 hay chia cho 7 dư 2

Bài 11: Cho . Chứng tỏ chia hết cho 5.

Lời giải

Ta có:

(100 số hạng nhóm thành 50 tổng nhỏ )

Do nguyên dương suy ra chia hết cho 5

Bài 12: Cho . Chứng minh rằng chia hết cho 5

Lời giải

Ta có

Lại có

Suy ra

Vậy chia hết cho 5.