CHUYÊN ĐỀ 9: TẬP HỢP CÁC SỐ NGUYÊN

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa:

+ Số nguyên là tập hợp bao gồm các số: Số không, số tự nhiên dương và các số đối của chúng còn gọi là số tự nhiên âm.

+ Số nguyên được chia làm hai loại là số nguyên dương và số nguyên âm.

* Số nguyên dương là tập hợp các số nguyên lớn hơn (ví dụ: đôi khi còn viết

nhưng dấu thường được bỏ đi).

* Số nguyên âm là tập hợp các số nguyên nhỏ hơn ( ví dụ:

Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là 

Lưu ý: Số không phải là số nguyên dương cũng không phải là số nguyên âm.

2. Biểu diễn số nguyên trên trục số:

Số nguyên âm có thể được biểu diễn trên tia đối của tia số đó, gọi là trục số. Điểm được gọi là điểm gốc của trục số. Trục số có thể được vẽ theo hướng ngang (nằm) hoặc hướng dọc (đứng).

Khi vẽ trục số ngang, chiều từ trái sang phải gọi là chiều dương (thường được đánh dấu bằng mũi tên), chiều từ phải sang trái gọi là chiều âm.

Tương tự như vậy, khi vẽ trục số dọc, chiều từ dưới lên trên gọi là chiều dương (cũng được đánh dấu bằng mũi tên), chiều từ trên xuống dưới gọi là chiều âm.

Điểm biểu diễn số nguyên trên trục số được gọi là điểm  

Như vậy một trục số là một đường thẳng trên đó đã chọn điểm gọi là điểm gốc, thường chọn chiều từ trái sang phải làm chiều dương và một đơn vị độ dài , mỗi số tự nhiên (hay số nguyên dương) được biểu diễn bởi một điểm ở bên phải điểm , mỗi số nguyên âm được biểu diễn bởi một điểm ở bên trái điểm

_{3. Số đối:}

Hai số đối nhau khi chúng cách đều điểm và nằm ở hai phía của điểm trên trục số. Để viết số đối của một số nguyên dương, chỉ cần viết dấu trước số đó; và ngược lại với số nguyên âm. 

*Lưu ý: Số đối của số là

4. So sánh hai số nguyên:

Khi biểu diễn trên trục số (nằm ngang), điểm nằm bên trái điểm thì số nguyên bé hơn số nguyên Như vậy:

– Mọi số dương đều lớn hơn số

– Mọi số âm đều bé hơn số và mọi số nguyên bé hơn đều là số âm;

– Mỗi số âm đều bé hơn mọi số dương.

Lưu ý: Số nguyên được gọi là số liền sau số nguyên nếu và không có số nguyên nào nằm giữa và Khi đó ta cũng nói số nguyên là số liền trước của

Khi nói lớn hơn hoặc bằng xảy ra hai trường hợp hoặc lớn hơn hoặc bằng

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1. Điền kí hiệu thích hợp vào chỗ trống:

I. Phương pháp giải:

-Dạng điền kí hiệu

-Tập hợp số tự nhiên 

-Tập hợp số nguyên gồm các số nguyên âm, số  và số nguyên dương 

nếu mọi phần tử của A đều thuộc B

-Dạng điền Đ (đúng) hoặc chữ S (sai); đánh dấu "x" vào ô đúng hoặc sai.

II. Bài toán:

Bài 1: Điền kí hiệu vào chỗ trống:

Lời giải:

Bài 2: Điền chữ Đ (đúng) hoặc chữ S (sai) vào chỗ trống :

       

Lời giải:

(Đ);  (Đ);        (Đ);     (Đ);  (Đ);      (S);          (S).

Bài 3: Đánh dấu “x” vào ô thích hợp

Câu	Đúng	Sai
a) Nếu thì
b) Nếu thì
c) Nếu thì
d) Nếu thì

Lời giải:

Câu	Đúng	Sai
a) Nếu thì	x
b) Nếu thì		x
c) Nếu thì		x
d) Nếu thì	x

Câu a đúng vì

Câu b sai vì Vậy nên Nếu thì

Câu c sai, giả sử nhưng

Câu d đúng vì

Bài 4. Đánh dấu “X” vào ô thích hợp :

Khẳng định	Đúng	Sai
a) Tích của hai số nguyên âm là một số nguyên dương
b) Tổng của hai số nguyên âm là một số nguyên dương
c) Tích của hai số nguyên dương là một số nguyên dương
d) Số là số nguyên dương nhỏ nhất.

Lời giải:

Khẳng định	Đúng	Sai
a) Tích của hai số nguyên âm là một số nguyên dương	x
b) Tổng của hai số nguyên âm là một số nguyên dương		x
c) Tích của hai số nguyên dương là một số nguyên dương	x
d) Số là số nguyên dương nhỏ nhất.		x

Dạng 2. Biểu diễn số nguyên trên trục số

I.Phương pháp giải.

Trục số là hình biểu diễn gồm một đường thẳng nằm ngang hoặc thẳng đứng, một đầu gắn với mũi tên(biểu thị chiều dương) được chia thành các khoảng bằng nhau(được gọi là đơn vị) và ghi kèm các số tương ứng. Điểm (biểu diễn số ) được gọi là điểm gốc của trục số(thường đặt tên là ). Điểm biểu diễn số a trên trục số gọi là điểm . Với trục số nằm ngang: Chiều từ trái sang phải là chiều dương, với hai điểm trên trục số, nếu điểm nằm trước điểm thì nhỏ hơn . Với trục số thẳng đứng: Chiều từ dưới lên trên là chiều dương, với hai điểm trên trục số, nếu điểm nằm trước điểm thì nhỏ hơn .

II.Bài toán.

Bài 1.Trên trục số, mỗi điểm sau cách gốc bao nhiêu đơn vị?

a) Điểm b) Điểm c) Điểm d) Điểm

Lời giải

Trên trục số

a) Điểm cách gốc là đơn vị b) Điểm cách gốc là đơn vị

c) Điểm cách gốc là đơn vị d) Điểm cách gốc là đơn vị

Bài 2.Trên trục số, xuất phát từ gốc ta sẽ đi đến điểm nào nếu:

a) Di chuyển đơn vị theo chiều dương. b) Di chuyển đơn vị theo chiều âm.

c) Di chuyển đơn vị theo chiều dương. d) Di chuyển đơn vị theo chiều âm.

Lời giải

Trên trục số, xuất phát từ gốc

1. Di chuyển đơn vị theo chiều dương ta sẽ đi đến điểm .

2. Di chuyển đơn vị theo chiều âm ta sẽ đi đến điểm .

3. Di chuyển đơn vị theo chiều dương ta sẽ đi đến điểm .

4. Di chuyển đơn vị theo chiều âm ta sẽ đi đến điểm .

Bài 3. Vẽ trục số và biểu diễn các số nguyên sau trên trục số:

Lời giải

Bài 4. Điền số nguyên thích hợp vào trong các ô trống.

Lời giải

4

0

-3

-5

Bài 5. Các điểm trong hình vẽ sau đây biểu diễn những số nào?

Lời giải

Điểm biểu diễn số Điểm biểu diễn số

Điểm biểu diễn số Điểm biểu diễn số

Bài 6.Vẽ một trục số nằm ngang

1. Tìm trên trục số những điểm cách gốc một khoảng bằng đơn vị.

2. Chỉ ra hai số nguyên có điểm biểu diễn cách điểm một khoảng là đơn vị.

Lời giải

1. _{Trên trục số những điểm cách gốc} một khoảng bằng đơn vị là điểm và điểm

2. _{Hai số nguyên có điểm biểu diễn cách điểm} một khoảng là đơn vị là và

Bài 7.Trên trục số điểm cách điểm ba đơn vị theo chiều dương, điểm cách điểm ba đơn vị theo chiều âm.Điền vào chỗ trống các câu sau đây:

a) Điểm cách điểm là …. đơn vị và theo chiều ….

b) Điểm cách điểm là …. đơn vị và theo chiều ….

Lời giải

a) Điểm cách điểm là   đơn vị và theo chiều âm.

b) Điểm cách điểm là   đơn vị và theo chiều dương.

Bài 8.Trắc nghiệm

Câu 8.1: Điểm gốc trong trục số là điểm nào?

A. Điểm         B. Điểm          C. Điểm          D. Điểm

Lời giải

Trong trục số: Điểm được gọi là điểm gốc của trục số.Chọn đáp án A.

Câu 8.2: Điểm cách điểm bao nhiêu đơn vị?

Lời giải

    + Điểm cách điểm là đơn vị.

    + Điểm cách điểm là đơn vị.

Vậy điểm cách điểm là đơn vị.Chọn đáp án B.

Câu 8.3: Những điểm cách điểm ba đơn vị là?

Lời giải

    + Điểm cách điểm là đơn vị.

    + Điểm cách điểm là đơn vị.

Vậy điểm và cách điểm là đơn vị.Chọn đáp án C.

Câu 8.4: Chiều từ trái sang phải trong trục số được gọi là?

A. Chiều âm        B. Chiều dương        C. Chiều thuận        D. Chiều nghịch

Lời giải

Trong trục số: Chiều từ trái sang phải trong trục số được gọi là chiều dương (thường được đánh dấu bằng mũi tên). Chọn đáp án B.

Dạng 3: So sánh hai hay nhiều số nguyên

I. Phương pháp giải

Cách 1:

Biểu diễn các số nguyên cần so sánh trên trục số;

Giá trị các số nguyên tăng dần từ trái sang phải(điểm a nằm bên trái điểm b thì số nguyên a bé hơn số nguyên b)

Cách 2: Căn cứ vào các nhận xét sau:

Số nguyên dương lớn hơn

Số nguyên âm nhỏ hơn

Số nguyên dương lớn hơn số nguyên âm;

Trong hai số nguyên dương, số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số ấy lớn hơn;

Trong hai số nguyên âm, số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì số ấy lớn hơn.

Kiến thức về giá trị tuyệt đối

- Giá trị tuyệt đối của một số tự nhiên là chính nó;

- Giá trị tuyệt đối của một số nguyên âm là số đối của nó;

- Giá trị tuyệt đối của một số nguyên là một số tự nhiên;

- Hai số nguyên đối nhau có cùng một giá trị tuyệt đối.

II. Bài toán:

Bài 1:Điền dấu thích hợp vào chỗ trống:

 Lời giải:

Bài 2: Điền dấu hoặc vào chỗ trống để được kết quả đúng:

a) b)

c) d)

(Chú ý : có thể có nhiều đáp số).

Lời giải:

a) b)

c) d)

Bài 3: Điền dấu thích hợp vào chỗ trống:

a) b) c) d)

Lời giải:

a) b)

c) d)

Bài 4. So sánh các số nguyên sau:

a) b) c)

d) e) f)

Lời giải:

a) vì điểm nằm ở bên trái của điểm nên

b) vì giá trị tuyệt đối của nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nên

c) vì là số nguyên dương, là số nguyên âm nên

d) vì giá trị tuyệt đối của nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nên

e) vì là số nguyên dương, là số nguyên âm nên nên

f) vì số lớn hơn số nguyên âm nên

Bài 5: Điền dấu vào chỗ trống:

a. b.

_c.

_{Lời giải:}

a. Ta có:	b. Ta có:
c. Ta có:

Bài 6: So sánh và rút ra nhận xét:

a. với b. với

_{Lời giải:}

a. với Có:

b. với Có:

Bài 7: So sánh và

a.

b.

_{Lời giải:}

a)

b)

Có

Dạng 4: Viết tập hợp số.

I.Phương pháp giải.

• Tên tập hợp được viết bằng chữ cái in hoa như: A, B, C,…

• Hai cách viết tập hợp số

Cách 1: Liệt kê các phần tử

Ví dụ: 

Cách 2: Chỉ ra các tính chất đặc trưng.

Ví dụ: 

Chú ý:

• Các phần tử của một tập hợp được viết trong hai dấu ngoặc nhọn { }, ngăn cách nhau bởi dấu “;” (nếu có phần tử số) hoặc dấu “,” nếu không có phần tử số.

• Mỗi phần tử được liệt kê một lần, thứ tự liệt kê tùy ý.

II.Bài toán.

Bài 1. Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau.

Lời giải

Bài 2.Viết các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng.

Lời giải

Bài 3: Cho các tập hợp

a) Viết tập hợp các phần tử thuộc và không thuộc .

b) Viết tập hợp các phần tử thuộc và không thuộc .

c) Viết tập hợp các phần tử vừa thuộc vừa thuộc .

d) Viết tập hợp các phần tử hoặc thuộc hoặc thuộc .

Lời giải:

Bài 4: Cho tập hợp

a) Hãy chỉ rõ các tập hợp con của có phần tử.

b) Hãy chỉ rõ các tập hợp con của có phần tử.

c) Tập hợp có phải là tập hợp con của không?

Lời giải:

c) Tập hợp B không phải là tập hợp con của tập hợp bởi vì nhưng

Bài 5: Cho tập hợp . Hỏi tập hợp có tất cả bao nhiêu tập hợp con?

Lời giải:

+ Tập hợp con của không có phần từ nào là

+ Các tập hợp con của có một phần tử là:

+ Các tập hợp con của có hai phần tử là:

+ Tập hợp con của có phần tử chính là

Vậy tập hợp có tất cả tập hợp con.

Bài 6: Gọi là tập hợp các số nguyên âm có chữ số. Hỏi tập hợp có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

Ta có:

Tập hợp có phần tử.

Bài 7: Hãy tính số phần tử của các tập hợp sau:

a) Tập hợp

b) Tập hợp

Lời giải:

a) Tập hợp có phần tử.

b) Tập hợp có phần tử.

Bài 8: Cho hai tập hợp

a) Viết các tập hợp trên bằng cách liệt kê các phần tử;

b) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử;

c) Dùng kí hiệu để thực hiên mối quan hệ giữa hai tập hợp đó.

Lời giải:

b) Tập hợp có phần tử. Tập hợp có phần tử

c)

Dạng 5: Sử dụng số nguyên âm trong thực tế.

I.Phương pháp giải.

Số dương và số âm được dùng để biểu thị các đại lượng đối lập nhau hoặc có hướng ngược nhau.

Số âm thường dùng để chỉ:

• Nhiệt độ dưới

• Độ cao dưới mực nước biển

• Số tiền còn nợ

• Số tiền lỗ

• Độ cận thị

• Thời gian trước Công Nguyên.

• ......

II.Bài toán.

Bài 1. Sử dụng số nguyên âm để diễn tả lại ý nghĩa các câu sau

1. Độ sâu của vịnh Cam Ranh từ đến dưới mức nước biển.

2. Nhiệt độ trung bình vào mùa đông ở Hàn Quốc là đến dưới .

3. Với bình dưỡng khí, thợ lặn có thể lặn sâu đến dưới mực nước biển.

4. Độ sâu của đáy vực Ma-ri-an thuộc vùng biển Phi-lip-pin là mét (sâu nhất thế giới) dưới mực nước biển.

5. Trong năm nay, doanh thu của công ty thua lỗ tỉ đồng.

6. Nhà toán học Archimedes sinh năm trước công nguyên.

7. Ông A nợ ngân hàng triệu đồng.

8. Thế vận hội đầu tiên diễn ra năm trước Công nguyên.

Lời giải

1. Độ sâu của vịnh Cam Ranh từ đến

2. Nhiệt độ trung bình vào mùa đông ở Hàn Quốc là đến

3. Với bình dưỡng khí, thợ lặn có thể lặn sâu đến

4. Độ sâu của đáy vực Ma-ri-an thuộc vùng biển Phi-lip-pin là mét (sâu nhất thế giới)

5. Trong năm nay, doanh thu của công ty tỉ đồng.

6. Nhà toán học Archimedes sinh năm

7. Ông A bị triệu đồng ở ngân hàng.

8. Năm tổ chức Thế vận hội đầu tiên là năm .

Bài 2.Hình 35 minh họa một phần các nhiệt kế (tính theo độ ):

a) Viết và đọc nhiệt độ ở các nhiệt kế.

b) Trong hai nhiệt kế a và b, nhiệt độ nào cao hơn?

Lời giải

a)  Nhiệt kế a chỉ  đọc là âm ba độ hoặc trừ ba độ .

Nhiệt kế b chỉ  đọc là âm hai độ hoặc trừ hai độ .

Nhiệt kế c chỉ  đọc là không độ .

Nhiệt kế d chỉ  đọc là hai độ .

Nhiệt kế e chỉ   đọc là ba độ .

b) Trong hai nhiệt kế a và b thì nhiệt độ của nhiệt kế b cao hơn nhiệt độ của nhiệt kế a ( vì  ).

Bài 2. Nêu ý nghĩa của mỗi câu sau:

1. Cá voi xanh có thể lặn được

2. _{Tàu ngầm có thể lặn được}

3. Công ty năm nay bị tỉ đồng

4. Nhiệt độ mùa đông ở Miền bắc Việt Nam có năm tới

Lời giải

1. Cá voi xanh có thể lặn sâu _{so với mực nước biển.}

2. Tàu ngầm có thể lặn sâu so với mực nước biển.

3. Công ty năm nay bị thua lỗ tỉ đồng

4. Nhiệt độ mùa đông ở Miền bắc Việt Nam có năm xuống tới _dưới

HẾT