Giải Toán 9 Hệ Số Góc Của Đường Thẳng y=ax+b – Toán 9

Bài 5. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

• Góc tạo bởi đường thẳng và trục : Trong mặt phẳng tọa độ , khi nói góc là góc tạo bởi đường thẳng và trục (hoặc nói rằng đường thẳng tạo với trục một góc ), ta cần hiểu rằng đó là góc tạo bởi tia và tia , trong đó là giao điểm của hai đường thẳng với trục , là điểm thuộc đường thẳng và có tung độ dương.

• Cho đường thẳng . Khi đó, hệ số góc của đường thẳng đã cho là .

• Cho đường thẳng ; với là góc tạo bởi đường thẳng và trục . Khi đó

• Nếu thì là góc nhọn. Hệ số càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn .

• Nếu thì là góc tù. Hệ số càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn .

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Tìm hệ số góc của đường thẳng

Sử dụng kiến thức liên quan đế vị trí tương đối của hai đường thẳng và hệ số góc của hai đường thẳng.

Ví dụ 1. Xác định hệ số góc của các đường thẳng sau:

a) ; b) ;

c) ; d) .

Ví dụ 2. Cho đường thẳng . Xác định hệ số góc của biết:

a) song song với đường thẳng ; ĐS: .

b) tạo với tia một góc . ĐS: .

Ví dụ 3. Cho đường thẳng với là tham số. Tìm hệ số góc của biết

a) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng ; ĐS: .

b) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng ; ĐS: .

c) đi qua điểm . ĐS: .

Ví dụ 4. Cho đường thẳng với là tham số. Tìm để có hệ số góc nhỏ nhất. ĐS: .

Dạng 2: Xác định góc tạo bởi đường thẳng và trục

Cách 1: Gọi là góc tạo bởi trục và đường thẳng . Ta có Nếu thì và . Nếu thì và . Cách 2: Vẽ đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ và sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn của tam giác vuông một cách hợp lý.

Ví dụ 4. Tìm góc tạo bởi tia và đường thẳng (làm tròn đến độ) biết:

a) ; ĐS: .

b) ; ĐS: .

c) ; ĐS: .

d) . ĐS: .

Ví dụ 5. Tìm góc tạo bởi tia và đường thẳng biết:

a) có phương trình là ; ĐS: .

b) cắt tại điểm có tung độ bằng và cắt tại điểm có hoành độ bằng . ĐS: .

Ví dụ 6. Cho các đường thẳng và .

a) Vẽ và trên cùng một mặt phẳng tọa độ;

b) Gọi , lần lượt là giao điểm của và với trục hoành. Gọi là giao điểm của và . Tính số đo các góc của tam giác ;

c) Tính diện tích tam giác .

Dạng 3: Xác định phương trình đường thẳng khi biết hệ số góc

Bước 1: Gọi là phương trình đường thẳng cần tìm ( là các hằng số). Bước 2: Dựa vào kiến thức đã học về góc và hệ số góc để tìm .

Ví dụ 7. Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) đi qua và có hệ số góc bằng ; ĐS: .

b) đi qua và tạo với tia một góc ; ĐS: .

c) đi qua điểm và tạo với tia một góc . ĐS: .

Ví dụ 8. Xác định đường thẳng biết đi qua điểm sao cho tạo với tia một góc có . ĐS: .

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

I. TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng và song song với đường thẳng là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 2. Đường thẳng vuông góc với đường thẳng nào dưới đây?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 3. Đường thẳng vuông góc với đường thẳng thì bằng

A. . B. . C. . D. .

II. TỰ LUẬN

Bài 1. Xác định hệ số góc của đường thẳng sau:

a) ; b) ;

c) ; d) .

Bài 2. Cho đường thẳng . Xác định hệ số góc của biết:

a) song song với đường thẳng ; ĐS: .

b) tạo với một góc . ĐS: .

Bài 3. Cho đường thẳng với là tham số. Tìm hệ số góc của biết rằng

a) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng ; ĐS: .

b) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng ; ĐS: .

c) đi qua điểm . ĐS: .

Bài 4. Cho đường thẳng , với là tham số. Tìm để có hệ số nhỏ nhất. ĐS: .

Bài 5. Tìm góc tạo bởi tia và các đường thẳng sau (làm tròn đến độ) biết:

a) ; ĐS: .

b) ; ĐS: .

c) ; ĐS: .

d) . ĐS: .

Bài 6. Tìm góc tạo bởi tia và đường thẳng biết:

a) có phương trình là ; ĐS: .

b) cắt tia tại điểm có tung độ bằng và cắt tại điểm có hoành độ bằng . ĐS: .

Bài 7. Cho các đường thẳng và .

a) Vẽ và trên cùng một mặt phẳng tọa độ;

b) Gọi là giao điểm của với trục tung, là giao điểm của và . Tính số đo các góc của tam giác ; ĐS: .

c) Tính diện tích tam giác . ĐS: 3.

Bài 8. Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) đi qua và có hệ số góc bằng ; ĐS: .

b) đi qua và tạo với tia một góc ; ĐS: .

c) đi qua và tạo với tia một góc . ĐS: .

Bìa 9. Xác định đường thẳng , biết đi qua điểm sao cho tạo với tia một góc có . ĐS: .

D. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 10. Xác định hệ số góc của các đường thẳng sau:

a) ; b) ;

c) ; d) .

Bài 11. Cho đường thẳng . Xác định hệ số góc của biết:

a) vuông góc với đường thẳng ; ĐS: .

b) tạo với tia một góc . ĐS: .

Bài 12. Cho đường thẳng với là tham số. Tìm hệ số góc của biết rằng

a) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng ; ĐS: .

b) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng ; ĐS: .

c) đi qua điểm . ĐS: .

Bài 13. Tìm để đường thẳng với là tham số có hệ số góc lớn nhất. ĐS: .

Bài 14. Tìm góc tạo bởi tia và đường thẳng (làm tròn đến độ) biết:

a) ; ĐS: .

b) ; ĐS: .

c) ; ĐS: .

d) . ĐS: .

Bài 15. Tìm góc tạo bởi tia và đường thẳng biết:

a) có phương trình là ; ĐS: .

b) đi qua hai điểm và . ĐS: .

Bài 16. Cho các đường thẳng và .

a) Vẽ các đường thẳng và trên cùng một mặt phẳng tọa độ và chứng minh chúng cắt nhau tại điểm nằm trên trục hoành;

b) Gọi giao điểm của và với trục hoành lần lượt là và . Tính các góc của tam giác ;

c) Tính chu vi và diện tích của tam giác .

Bài 17. Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) đi qua điểm và có hệ số góc bằng ; ĐS: .

b) đi qua điểm và tạo với tia một góc ; ĐS: .

c) đi qua điểm và tạo với tia một góc . ĐS: .

Bài 18. Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) có hệ số góc bằng và chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng ;

ĐS: hoặc .

b) có hệ số góc bằng và khoảng cách từ đến bằng .

ĐS: hoặc .

E. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Đường thẳng đi qua điểm thì có hệ số góc bằng bao nhiêu?

Câu 2. Tính hệ số góc của đường thẳng , biết nó song song với đường thẳng . Vẽ đường thẳng vừa tìm được.

Lời giải

Đường thẳng có phương trình hay .

Vì và nên và .

Do đó hệ số góc của đường thẳng là .

Ta có . Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm và là đường thẳng cần vẽ (hình bên).

Bạn đọc tự vẽ.

Câu 3. Tính hệ số góc của đường thẳng , biết nó vuông góc với đường thẳng . Vẽ đồ thị vừa tìm được.

Lời giải

Đường thẳng có phương trình hay .

Vì nên .

Do đó hệ số góc của đường thẳng là .

Ta có . Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm và là đường thẳng cần vẽ (hình bên).

Bạn đọc tự vẽ.

Câu 4. Tính hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm và .

Câu 5. Tính góc tạo bởi đường thẳng và trục .

Lời giải

Vẽ đường thẳng . Khi đó là góc tạo bởi đường thẳng với trục (hình bên).

Xét tam giác vuông , ta có

.

Chú ý: Trong đó chính là giá trị tuyệt đối của hệ số góc của đường thẳng .

Bạn đọc tự vẽ.

Câu 6. Cho đường thẳng . Tính góc tạo bởi với trục , biết đi qua điểm .

Lời giải

Vì .

Khi đó có phương trình .

Gọi là góc tạo bởi đường thẳng với trục . Khi đó ta có .

Vậy góc tạo bởi đường thẳng với trục là .

Bạn đọc tự vẽ.

Câu 7. Cho hai đường thẳng và . Gọi là đường thẳng song song với trục và cắt trục tại điểm có tung độ bằng ; cắt và lần lượt tại và . Chứng minh rằng .

Lời giải

Vẽ ba đường thẳng như hình bên.

Xét hai tam giác và , ta có

.

Do đó .

Mà nên .

Chú ý:

có hệ số góc có hệ số góc . Ta thấy , do đó .

Bạn đọc tự vẽ.

Câu 8. Xác định đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc bằng .

Câu 9. Xác định đường thẳng đi qua điểm và tạo với trục một góc bằng .

Câu 10. Xác định đường thẳng đi qua điểm và tạo với đường thẳng một góc bằng .

Câu 11. Hệ số góc của đường thẳng là

Câu 12. Hệ số góc của đường thẳng là

Câu 13. Hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm là

Câu 14. Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm và là

Câu 15. Góc tạo bởi đường thẳng và trục là

Câu 16. Góc hợp bởi đường thẳng và trục là

Câu 17. Xác định đường thẳng biết nó có hệ số góc bằng và đi qua điểm .

Câu 18. Tính hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm và .

Câu 19. Cho đường thẳng . Tính góc tạo bởi với trục , biết:

a) đi qua điểm ; b) đi qua điểm .

Câu 20. Xác định đường thẳng đi qua điểm và tạo với đường thẳng một góc bằng .

--- HẾT ---