Tứ diện đều là gì? Công thức và cách giải bài tập liên quan

Tứ diện đều là gì? Tứ diện là kháii niệm hình học cơ bản và quan trọng trong phạm trù kiến thức về khối đa diện. Để hiểu thêm về khái niệm về hình tứ diện và hình tứ diện đều cũng các tính chất, bải tập liên quan, cùng Trang Tài Liệu theo dõi bài viết sau đây.

Tứ diện đều là gì?

Tứ diện là gì?

Tứ diện là hình có bốn đỉnh, được tạo bởi 4 điểm không thẳng hàng trong không gian thường được kí hiệu A, B, C, D. Trong số 4 đỉnh này, bất kì điểm nào trong số các điểm trên được gọi là đỉnh của tứ diện, mặt tam giác đối diện với đỉnh đó được gọi là đáy.

Ví dụ: Chọn A là đỉnh thì mặt đáy sẽ là mặt phẳng được tạo bởi 3 đỉnh còn lại hay mặt phẳng (BCD).

Hay còn hiểu theo một cách gắn gọn khác thì trong không gian nếu cho 4 điểm không đồng phẳng gồm A, B, C, D. Thì khi đó khối đa diện có 4 đỉnh A, B, C, D gọi là khối tứ diện. Và được ký hiệu là ABCD.

Tứ diện đều là gì?

Tứ diện đều được coi là một trong 5 khối đa diện đều. Nếu một hình tứ diện có các mặt bên là các tam giác đều thì đây được gọi là hình tứ diện đều. 

Hay ngắn gọn hơn, tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là tam giác đều.

Tứ diện đều là một hình chóp tam giác đều. Như vậy, ta suy ra nếu hình chóp tam giác đều có thêm điều kiện cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều.​

Tứ diện đều có các tính chất như sau

– Bốn mặt xung quanh là các tam giác đều bằng nhau.

– Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc đều nhọn.

– Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện là 180.

– Hai cặp cạnh đối diện trong một tứ diện có độ dài bằng nhau.

– Tất cả các mặt của tứ diện đều tương đương nhau.

– Bốn đường cao của tứ diện đều có độ dài bằng nhau.

– Tâm của các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp nhau, trùng với tâm của tứ diện.

– Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật.

– Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.

– Đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là một đường thẳng đứng vuông góc của cả hai cạnh đó.

– Một tứ diện đều có ba trục đối xứng.

– Tổng các cos của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một mặt của tứ diện bằng 1.

Cách vẽ tứ diện đều

Để giải bất kỳ bài toán hình học không gian nói chung và bài toán nào liên quan tới hình tứ diện đều nói riêng, bước đầu tiên đều là vẽ hình. Điều quan trọng nhất khi giải bài toán về tứ diện đều là chúng ta phải vẽ chính xác hình tứ diện đều để có một cái hình tổng thể và đưa ra các phương pháp giải chính xác nhất. Sau đây là cách vẽ hình tứ diện đều chi tiết nhất:

• Bước 1: Đầu tiên, coi hình tứ diện đều là môt hình chóp tam giác đều A.BCD (đỉnh A, mặt đáy BCD)
• Bước 2: Tiến hành vẽ mặt là cạnh đáy, ở đây ví dụ là mặt BCD.
• Bước 3: Xác định trọng tâm G của tam giác BCD.
  • Tiến hành dựng các đường trung trực của cách cạnh đáy của mặt đáy BCD. Ví dụ đường trung tuyến này là BM.
  • Sau đó xác định trọng tâm G là giao của ba đường trung trực của tam giác BCD.
• Bước 5: Tiến hành dựng đường cao của tứ diện đều. Đường cao của tứ diện là đường thẳng đi qua đỉnh của tứ diện và vuông góc với mặt đáy. Do tứ diện đều nên đường cao của tứ diện đi qua tâm của mặt đáy BCD. Do đó khi dựng, ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt đáy tại tâm G của tam giác BCD.
• Bước 6: Xác định điểm A (đỉnh của tứ diện) trên đường thẳng vừa dựng và nối các đỉnh còn lại với nhau. Ta hoàn thiện được hình tứ diện đều.

Công thức tính thể tích tứ diện

Một tứ diện đều sẽ có 6 cạnh bằng nhau và 4 mặt tam giác đều sẽ có các công thức tính thể tích như sau:

– Thể tích tứ diện ABCD: Thể tích của một khối tứ diện bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối tứ diện tương ứng: 

– Thể tích tứ diện đều tam giác S.ABC: Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó: 

Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều cạnh a

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. từ A kẻ AH là đường cao của hình chóp A.BCD, H thuộc (BCD) thì H sẽ là tâm của tam giác đều BCD. Ta suy ra:

– Chiều cao của hình chóp A.BCD đều cạnh a là 

– Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là: 

Chứng minh:

Giả sử ABCD là khối tứ diện đều cạnh a. G là trọng tâm tam giác BCD (hình trên). Ta có:

  => AG = 

Vậy thể tích khối tứ diện đều cạnh a là:

V = 1/3. S (tam giác BCD) . AG = 

Một số bài tập ứng dụng

Bài tập kèm hướng dẫn giải

Bài tập 1: Hãy tính thể tích khối tứ diện đều ABCD biết:

a) cạnh AB = 4 cm

b) cạnh CD = 6 cm

c) cạnh BD = 3 cm

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện đều cạnh a:   

a) Vì ABCD là tứ diện đều nên các cạnh có độ dài bằng nhau: BC = CD = DA = BD = AC = AB = 4 cm nên  a= 4 (cm). Khi đó thể tích ABCD là: V = 7,54 cm3

b) Vì là tứ diện đều nên AB = BC = DA = BD = AC = CD = 6 cm nên a= 6 (cm). Khi đó thể tích ABCD là: V = 25,46 cm3

c) Vì là tứ diện đều nên AB = BC = CD = DA = AC = BD = 3 cm nên a = 3 (cm). Khi đó thể tích ABCD là: V = 3,18 cm3

Bài tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD (đáy là hình vuông), đường SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định hình chóp này có mặt đối xứng nào.

Hướng dẫn giải:

Ta có: BD vuông góc với AC, BD vuông góc với SA.

Từ đó suy ra, BD vuông góc với (SAC) => (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.

Ta kết luận rằng, (SAC) là mặt đối xứng của hình chóp và đây là mặt phẳng duy nhất.

Bài tập 3: Tìm số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều.

Hướng dẫn giải: 

Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện. Vì vậy, hình tứ diện đều sẽ có 6 mặt phẳng đối xứng.

Một số bài tập tự giải:

Câu hỏi 1: Khối chóp tứ diện đều cạnh a có thể tích bằng:

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu hỏi 2: Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:

A. 4 mặt phẳng

B. 6 mặt phẳng

C. 8 mặt phẳng

D. 10 mặt phẳng

Câu hỏi 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a và cạnh bên bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu hỏi 4: Cho tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. tính thể tích của khối chóp A.GBC.

A. V = 4

B. V = 5

C. V = 3

D. V = 6

Câu hỏi 5: Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành:

A. Các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều.

B. Các đỉnh của một hình mười hai mặt đều.

C. Các đỉnh của một hình bát diện đều.

D. Các đỉnh của một hình tứ diện.

Câu hỏi 6: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính góc giữa AB và CD?

Câu hỏi 7: Cho ABCD là tứ diện đều, cạnh a. Kéo dài BC 1 đoạn CE = a. Kéo dài BD 1 đoạn DF = a. M là trung điểm của AB.

a. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MEF).

b. Tính diện tích của thiết diện theo a.

Câu hỏi 8: Cho tứ diện đều ABCD có canh 2a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu hỏi 10: Cho tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 1. Tìm độ dài các cạnh của tứ diện

A. 

B. 

C. 

D. 

Trên đây là nội dung kiến thức về tứ điện đều và các bài tập bổ trợ kiến thức trên. Mong bài viết giúp ích được cho quý bạn đọc và tiếp tục nhận được sự ủng hộ của các bạn ở những bài viết tiếp theo của Trangtailieu.com