Hình chiếu là gì, phân loại, quan hệ và cách vẽ hình chiếu trong Toán học

Hình chiếu là gì? Phân loại hình chiếu? Quan hệ giữa đường xiên với hình chiếu là gì? Kính mời quý bạn đọc theo dõi bài viết dưới đây của Trang Tài Liệu để hiểu hơn về chủ đề này nhé!

Hình chiếu là gì?

Hình chiếu là hình biểu diễn ba chiều của đối tượng lên mặt phẳng hai chiều. Yếu tố cơ bản giúp tạo nên chiếu chính là đối tượng cần chiếu, mặt phẳng chiếu và phép chiếu.

Hình chiếu của một đoạn thẳng nằm trên đường chiếu chính là khoảng cách giữa hai đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho trước. Hình chiếu của một điểm tức là giao điểm của đường thẳng đã cho trước, và đường thẳng kẻ từ điểm vuông góc.

Phân loại hình chiếu

Hình chiếu gồm 2 loại hình chiếu đó là chiếu thẳng góc và hình chiếu trục đo:

– Hình chiếu thẳng góc

Hình chiếu thẳng góc là loại hình chiếu biểu diễn theo cách đơn giản, hình dạng, kích thước của vật thể đã được bảo toàn và cho phép thể hiện hình dạng, kích thước vật thể một cách chính xác.

Với mỗi hình chiếu thẳng góc sẽ chỉ thể hiện được hai chiều. Nên chúng ta cần phải dùng đến nhiều hình chiếu để biểu diễn nhất là đối với những vật thể phức tạp. Có ba hình chiếu phổ biến đó là: hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng.

– Hình chiếu trục đo

Hình chiếu trục đo có thể biểu diễn được hết ba chiều của vật thể lên mặt phẳng chiếu. Và các tia chiếu song song với nhau. Sẽ tùy thuộc và phương chiếu là vuông góc hay góc xiên. Theo sự tương quan của ba chiều, sẽ được phân ra gồm có hai loại hình chiếu là hình chiếu trụ đo vuông goc và hình chiếu trục đo  xiên góc và hình chiếu phối cảnh, cụ thể các loại hình chiếu này là:

• Hình chiếu trục đo vuông góc: có đều ba hệ số biến dạng với ba trục bằng nhau; sẽ cân hai trong ba hệ số biến dạng có từng đôi một bằng nhau; sẽ lệch ba hệ số biến dạng, với ba chục không bằng nhau
• Hình chiếu trục đo xiên góc: đo xiên góc đều; đo xiên góc cân; đo xiên góc lệch
• Hình chiếu phối cảnh được sử dụng phép chiếu xuyên tâm, các toa chiếu hội tụ về một điểm gọi là điểm tụ. Dựa vào số lượng điểm tụ mà chia ra hình chiếu phối cảnh 1 điểm tụ, 2 điểm tụ và 3 điểm tụ. Ngoài ra còn có hình chiếu phối cảnh Curvilinnear perpective dùng khung cơ sở là mạng đường cong cho phép thể hiện cả hưởng nhìn từ trên xuống ( bỉd’s eye view ) và hướng nhìn từ dưới lên ( worm ‘s eye view ). HÌnh chiếu phối cảnh rút gọn khoảng cách foresshoting khiến cho khoảng cách trông có vẻ gần hơn về hướng người xem.

Quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên, và đường xiên với hình chiếu

Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d, sau đó kẻ một đường thẳng vuông góc tại điểm H và trên d lấy điểm B không trùng với điểm H đó.

a có:

– Đoạn thẳng AH: được gọi là đoạn thẳng vuông góc hay còn là đường vuông góc bắt đầu kẻ từ điểm A đến đường thẳng d

– Điểm H: là đường xiên góc bắt đầu kẻ từ A đến đường thẳng d

– Đoạn thẳng AB : là đường xiên góc bắt đầu ket từ điểm A đến đường thẳng d

– Đoạn thảng HB : là hình chiếu của đường xiên góc AB ở trên đường thẳng d

Định lý 1: Trong các đường xiên góc và trong đường vuông góc kẻ từ điểm nằm ngoài đường thẳng, cho đến đường thẳng đó, đường xiên góc sẽ là đường ngắn nhất.

Định lý 2: Trong hai đường xiên góc kẻ từ điểm nằm ngoài đường thẳng cho đến đường thẳng đó: 

– Đường xiên góc có hình chiếu lớn hơn tương đương sẽ lớn hơn

– Đường xiên góc lơn hơn sẽ có hình chiếu lớn hơn.

– Hai đường xiên góc bằng nhau, hai hình chiếu sẽ bằng nhau. Hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên góc bằng nhau.

Các phép chiếu

Hiện có ba loại phép chiếu bao gồm: phép chiếu xuyên tam, phép chiếu song song, phép chiếu vuông góc .

– Phép chiếu xuyên tâm: là phép chiếu mà các tia chiếu đồng quy về một điểm. Điểm đó gọi là tâm chiếu S . Phép chiếu xuyên tâm được ứng dụng trong vẽ tranh, vẽ phong cảnh, vẽ kiến trúc.

– Phép chiếu song song: là phép chiếu mà các tia chiếu song song với nhau và song song với phương chiếu L. Phép chiếu song song được dùng làm cơ sở cho phương pháp biểu diễn hình thể bằng hình chiếu trục đo.

–  Phép chiếu vuông góc: là phép chiếu mà các tia chiếu song song với nhau và song song với phương chiếu L mà L vuông góc với mặt phẳng chiếu vuông góc là phương pháp chính trong các bản vẽ kĩ thuật.

Cách tìm hình chiếu trên một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng

Phương pháp giải

Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên đường thẳng d

– Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa điểm A và vuông góc với d

– Tìm H là giao điểm của d và ( P ) ⇒ H là giao điểm của A trên d

Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên mặt phẳng ( P )

– Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( P )

– Tìm H là giao điểm của d và ( P ) ⇒ H là giao điểm của A trên ( P )

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm hình chiếu vuông góc của A ( 1; 2; 1 ) trên đường thẳng d:

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương 

Gọi mặt phẳng ( P ) chứa điểm A và vuông góc với d nhận vecto chỉ phương của d làm vecto pháp tuyến nên ta có phương trình của ( P ) là:

1 x ( x – 1 ) + 2 x ( y – 2 ) – 2 x ( z – 1 ) = 0

hay x + 2y – 2z – 3 = 0

Tìm H là giao điểm của d và ( P )

 Tọa độ H ( t – 2; 2t + 1; -2t – 1 ) thỏa mãn:

t – 2 + 2 x ( 2t + 1 ) – 2 x ( 2t – 1 ) – 3 = 0

⇔ t = 1/9

Vậy H là hình chiếu của A trên d là H 

Ví dụ 2: CHo M ( 1; -1; 2 ) và mặt phẳng ( P ): 2x – y + 2z +2 = 0. Tìm tạo độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng ( P )

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng ( P ) có vecto pháp tuyến 

Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với ( P ) nhận vecto pháp tuyến của ( P ) làm vecto chỉ phương

Phương trình của d là: 

x = 1 + 2t

y = -1- t

z = 2 + 2t

Tìm H là giao điểm của d và ( P )

Tọa độ điểm H ( 1 + 2t; -1 – t ; 2 + 2t ) thỏa mãn:

2 x ( 1 + 2t ) – ( – 1 – t ) + 2 x ( 2 + 2t ) + 2 = 0

⇔ 9t + 9 = 0

⇔ t = -1

Vậy H ( -1; 0; 0 )

Ví dụ 3: Cho điểm M ( 2; -1; 8 ) và đường thẳng . Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của d là :

x = 1 + 2t

y = -1 -t

z = 2t

Xét điểm H ( 1+ 2t; -t – 1; 2t ) thuộc d

Đường thẳng d có vecto chỉ phương 

H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi 

⇔ 2 x ( 2t -1 ) – 1 x ( -t ) + 2 x ( 2t – 8 ) = 0

⇔ 9t – 18 = 0

⇔ t = 2

⇒ Hình chiếu vuông góc của M lên d là H ( 5; -3; 4 )

VÍ dụ 4: TRong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ): x + 2y – z +5 = 0 và điểm M ( -1; 2; 1 ). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ).

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng ( P ) có vecto pháp tuyến 

Gọi d là đưởng thẳng đi qua M ( -1; 2; 1 ) và vuông góc với mặt phẳng ( P ) nên đưởng thẳng d nhận  làm vecto chỉ phương.

⇒ Phương trình đưởng thẳng d là 

x = – 1 + t

y = 2 +2t

z = 1 – t

Điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng ( P ) chính là giao điểm của đưởng thẳng d và mặt phẳng ( P )

Thay x = -1 + t; y = 2 + 2 t; z = 1 – t vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta được :

( -1 + 2t ) + 2 x ( 2 + 2t ) – ( 1 – t ) + 5 = 0

⇔ 7t + 7 = 0 

⇔ t = – 1

Vậy H ( -2; 0; 2 )

Các dạng bài tập liên quan tới hình chiếu của một điểm, một đoạn thẳng

Xác định hình chiếu của một điểm, một đoạn thẳng trên một đường thẳng

Phương pháp giải: Dựa vào cách xác định hình chiếu để tìm hình chiếu của điểm, đoạn thẳng, đường xiên trên một đường thẳng.

Ví dụ: Quan sát hình dưới đây và trả lời câu hỏi sau:

1. O là hình chiếu của điểm nào trên đường thẳng u1?
2. Tìm hình chiếu của WZ, XY trên đường thẳng u1
3. Tìm hình chiếu của WZ, XY trên đường thẳng u2

Gợi ý đáp án:

1. Ta có YO ⊥ u1 nên O là hình chiếu của Y trên u1.

ZO ⊥ u1 nên O là hình chiếu của Z trên u1.

1. Hình chiếu của WZ, XY trên đường thẳng u1 lần lượt là OW, OX
2. Tìm hình chiếu của WZ, XY trên đường thẳng u2 lần lượt là OZ, OY

So sánh các đường xiên và hình chiếu của các đường xiên đó

Phương pháp giải: Để so sánh các đường xiên và hình chiếu, bạn dựa vào mối liên hệ sau:

• Đường xiên nào có hình chiếu của nó lớn hơn thì đường xiên đó lớn hơn
• Đường xiên nào lớn hơn thì đường xiên đó có hình chiếu lớn hơn
• Đường xiên nào bằng nhau thì hình chiếu của nó bằng nhau và ngược lại các hình chiếu bằng nhau thì đường xiên cũng bằng nhau.

Với các thông tin có trong bài viết “Hình chiếu là gì? Phân loại và cách vẽ hình chiếu trong toán học” hy vọng sẽ giúp ích với bạn. Nếu có đóng góp nào cho bài viết, quý bạn đọc hãy comment phía dưới, Trangtailieu.com sẽ cập nhật thêm nhiều khái niệm và gửi đến bạn trong thời gian sớm nhất.