Tuyển Tập Các Bài Hình Thi Vào Chuyên THPT Theo Từng dạng Có Đáp Án

BỘ ĐỀ CÂU CUỐI HÌNH HỌC TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

MÔN TOÁN THPT CÁC TỈNH TRÊN CẢ NƯỚC

NĂM HỌC 2020-2021

PHẦN 1: CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG, ĐỒNG QUY

CẦN THƠ

Câu 4. (2,5 điểm) Cho tam giác có ba góc nhọn và Vẽ đường cao đường tròn đường kính cắt tại D và đường tròn đường kính cắt AC tại E

1. Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp

2. Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và Chứng minh

3. Gọi lần lượt là giao điểm của đường thẳng với đường tròn đường kính HB và đường tròn đường kính Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng và nằm trên đường thẳng

ĐÁP ÁN

Câu 4.

1. Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính

là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính

Xét tứ giác ta có: là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh:

Ta có: là tứ giác nội tiếp (cmt) (cùng chắn

Hay ,lại có (cùng phụ với

hay

Xét và ta có: chung;

3. Chứng minh giao điểm hai đường thẳng nằm trên đường thẳng AH

Gọi giao điểm của và CN là K

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BH

Hay , chứng minh tương tự

Vì là tứ giác nội tiếp (cmt) nên (cùng chắn cung hay

Vì là tư giác nội tiếp đường tròn đường kính

(góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Hay mà

hay

Mà

Lại có: , chứng minh tương tự:

là trực tâm

ĐỒNG NAI

Câu 5. (2,75 điểm) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn có hai đường cao cắt nhau tại trực tâm Vẽ đường kính của Gọi là giao điểm của đường thẳng với đường tròn khác Gọi lần lượt là giao điểm của đường thẳng với đường tròn khác Gọi lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng và và

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn và tâm của đường tròn này thuộc đường thẳng

2. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng Chứng minh

3. Gọi T là giao điểm của đường tròn với đường tròn ngoại tiếp tam giác khác Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.

ĐÁP ÁN

Câu 5.

1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có: là đường cao của hay

là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Xét tứ giác có: mà hai góc này đối diện nên là tứ giác nội tiếp (đpcm)

Có là góc nội tiếp chắn cung là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác Tâm của đường tròn này là trung điểm của

Gọi là giao điểm của và

Ta có: (cùng phụ với

(hai góc nôi tiếp cùng chắn cung hay

là phân giác của

Ta có: là đường cao của là đường cao

Xét ta có: vừa là đường cao, vừa là đường phân giác từ đỉnh B của tam giác

cân tại B và là đường trung tuyến của là trung điểm của

Gọi là giao điểm của và

Ta có: mà hay

Xét ta có: là trung điểm của là đường trung bình của là trung điểm của hay

2. Chứng minh

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà hay là hình bình hành

cắt tại trung điểm mỗi đường, lại có là trung điểm của

cũng là trung điểm của Xét ta có:

lần lượt là trung điểm của là đường trung bình

3. Chứng minh thẳng hàng

Gọi là giao điểm của tia với đường tròn

Xét tứ giác ta có: mà đỉnh là các đỉnh kề nhau

Nên là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét và ta có:

chung;

Ta có tứ giác nội tiếp đường tròn

(góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét và ta có: chung;

Xét và ta có:

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác

thẳng hàng.(đpcm)

HÀ NỘI

Bài IV. (3,0 điểm)

Cho tam giác có ba góc nhọn và đường cao Gọi và lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm đến đường thẳng

1. Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh

3. Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ điểm đến đường thẳng và là trung điểm của đoạn thẳng Chứng minh ba điểm là ba điểm thẳng hàng

ĐÁP ÁN

Bài IV.

1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có :

Tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng

2. Chứng minh

Theo câu a) tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn cung

Ta có:

vuông tại H)

vuông tại E) nên (cùng phụ với

Mà nên

Xét và có:

chung;
(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

1. Chứng minh thẳng hàng

Gọi là giao điểm của và

Xét tứ giác có : nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau) (cùng chắn

Ta có: (cùng vuông góc với (so le trong) do đó

Theo câu a, tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn

Từ (1) và (2) ta suy ra

có nên là tam giác cân

Lại có: ; vuông tại H)

Nên hay tam giác cân tại

Từ và hay là trung điểm
Do đó nên ba điểm thẳng hàng (đpcm)

CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN (HÀ NỘI)

Câu III. (3 điểm)

Cho tam giác có là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường tròn (O). Điểm thuộc cạnh sao cho là phân giác Lấy các điểm thuộc (O) sao cho đường thẳng cùng song song với đường thẳng

1. Chứng minh rằng

2. Gọi giao điểm của đường thẳng với các đường thẳng lần lượt là Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một đường tròn

3. Gọi theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy.

ĐÁP ÁN

Câu III.

1. Chứng minh rằng

Ta có: (so le trong do

; (so le trong do

(trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau).

Vậy (trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

2. Chứng minh rằng 4 điểm cùng thuộc một đường tròn.

Ta có: (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)

(góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn)

Vậy tứ giác là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện bằng nhau) hay cùng thuộc một đường tròn.

3. Chứng minh các đường thẳng đồng quy

Áp dụng định lý Mê-lê-na-uýt trong tam giác cát tuyến , ta có:

(do là trung điểm của nên

Gọi Ta đi chứng minh

Áp dụng định lý Mê-lê-na-uýt trong tam giác cát tuyến ta có:

(Do là trung điểm của nên

Ta sẽ chứng minh (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Vì nên áp dụng định lý Ta – let ta có:

Lại có : (định lý đường phân giác), do đó:

Xét và có: chung

Từ (1) và (2)

Tiếp tục áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác ta có:

Từ (3) và (4) ta suy ra do đó được chứng minh, tức là

Từ suy ra , do đó

Vậy đồng quy tại K

KHÁNH HÒA

Câu 4. (3,00 điểm) Cho đường tròn và một điểm nằm ngoài đường tròn. Qua kẻ hai tiếp tuyến và với đường tròn Gọi là điểm đối xứng với qua O. Đường thẳng cắt đường tròn tại H

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

2. Chứng minh

3. Kẻ vuông góc với Chứng minh đường thẳng đi qua trung điểm của

ĐÁP ÁN

Câu 4.

1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có: là các tiếp tuyến của tại

Xét tứ giác ta có:

Mà hai góc này là hai góc đối diện nên là tứ giác nội tiếp đường tròn

2. Chứng minh

Ta có: là điểm đối xứng của qua là trung điểm của và là đường kính của (O)

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)

Áp dụng hệ thức lượng vào vuông tại có đường cao

Ta có:

Mà (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

3. Chứng minh đường thẳng đi qua trung điểm của

Gọi

Ta có: nên tam giác cân tại I (hai góc đáy tam giác cân)

Lại có: (so le trong do cùng vuông góc với

(cùng bằng là phân giác trong

Lại có : là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên do đó nên là phân giác ngoài của

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

Áp dụng định lý Ta let do ta có:

Từ đó suy ra là trung điểm của

Vậy đường thẳng đi qua trung điểm của

THÁI NGUYÊN

Câu 9. Cho tam giác cân tại các đường cao cắt nhau tại Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

Câu 10. Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn các đường cao cắt nhau tại Đường thẳng cắt đường tròn tại khác A

1. Chứng minh tam giác cân

2. Gọi lần lượt là điểm đối xứng với qua và Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

ĐÁP ÁN

Câu 9.

Gọi là trung điểm của là tâm của đường tròn đường kính

Ta có: là đường cao của vuông tại

Xét vuông tại có đường trung tuyến (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).

cân tại

Vì cân tại A, có đường cao là trung điểm

Xét vuông tại có đường trung tuyến

(đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Mặt khác (hai góc đối đỉnh)

Từ (1), (2), (3) suy ra

Từ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

Câu 10.

1. Chứng minh cân

Ta có: là hai đường cao của

Xét tứ giác có : Mà đỉnh là hai đỉnh kề nhau nên là tứ giác nội tiếp (cùng chắn

hay

Xét đường tròn ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn

Xét tứ giác có: là tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn hay

Từ (1), (2), (3) suy ra hay là đường phân giác của

Xét ta có: vừa là đường cao, vừa là đường phân giác

cân tại B

2. Chứng minh thẳng hàng

Gọi là giao điểm của và là giao điểm của và

Xét tứ giác có: mà hai góc này là hai góc đối diện nên là tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn

Xét tứ giác ta có: mà hai góc này kề nhau nên là tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn

Tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Ta có: vuông tại

vuông tại

Từ là hai góc đối đỉnh nên thẳng hàng.

Ta có: là tam giác cân tại có đường cao BD đồng thời là đường trung tuyến là trung điểm của . Xét có:

lần lượt là trung điểm của là đường trung bình của

Xét ta có: lần lượt là trung điểm của

là đường trung bình

Từ (4) và thẳng hàng.

PHẦN 2: CỰC TRỊ HÌNH HỌC

BẮC GIANG

Câu 4. (2,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính Gọi là hai điểm phân biệt cố định trên đường tròn ( không là đường kính). Trên tia đối của tia lấy một điểm ( khác . Qua kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn đã cho là hai tiếp điểm)

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp trong một đường tròn

2. Đoạn thẳng cắt đường tròn tại điểm Chứng minh rằng khi thì là trọng tâm của tam giác

3. Gọi là điểm đối xứng của qua O. Đường thẳng đi qua vuông góc với cắt các tia lần lượt tại các điểm và Q. Khi di động trên tia đối của tia tìm vị trí của điểm để tứ giác có diện tích nhỏ nhất

ĐÁP ÁN

Câu 4.

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn tâm có là các tiếp tuyến

Tứ giác có: là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh là trọng tâm

Xét đường tròn (O) có là hai tiếp tuyến cắt nhau tại nên và là tia phân giác của

Mà

Xét vuông có

Ta có:

Lại có: nên là đường trung trực của đoạn Gọi là giao điểm của và tại I

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Từ đó ta có:

Xét tam giác có và nên là tam giác đều có là đường phân giác nên cũng là trung tuyến. Lại có nên là trọng tâm tam giác

3. Tìm vị trí của M để

Vì đối xứng với qua nên

Xét hai tam giác vuông có cạnh chung,

Suy ra

Diện tích tứ giác là :

Xét vuông tại O có là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Áp dụng bất đằng thức Cô si ta có:

Hay

Từ đó nhỏ nhất là

Khi đó: Xét có: chung; (cùng chắn

Đặt ( không đổi,

Ta có:

Vậy điểm thuộc tia đối của tia và cách B một khoảng bằng không đổi thì tứ giác có diện tích nhỏ nhất là

BẠC LIÊU

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho đường tròn tâm đường kính Gọi là trung điểm của đoạn thẳng là điểm thay đổi trên đường tròn sao cho không trùng với và Dựng đường thẳng và lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn tại và B. Gọi đường thẳng qua và vuông góc với Đường thẳng cắt lần lượt tại

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh đồng dạng với Từ đó chứng minh

3. Khi điểm thay đổi, chứng minh tam giác vuông tại I và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác theo

ĐÁP ÁN

Câu 4.

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Vì là tiếp tuyến của tại nên

Vì tại E nên

Xét tứ giác có

Vậy tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng

2. Chứng minh đồng dạng với Từ đó chứng minh

Vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên

Ta có:

(cùng phụ với

Xét và có: (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn

(hai cạnh tương ứng)

Mà là trung điểm của

Lại có là trung điểm của

. Khi đó ta có:

(nhân cẩ 2 vế với 3)

3. Chứng minh vuông tại I và tìm GTNN của theo

Xét tứ giác có: tại E)

là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B)

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Lại có : Tứ giác là tứ giác nội tiếp (ý a)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Xét tam giác có:

(do nên vuông tại E)

vuông tại I (tam giác có tổng hai góc nhọn bằng

Ta có:

Đặt

Xét vuông ta có:

Xét vuông ta có:

Ta có:

Do không đổi nên diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ nhất đạt giá trị lớn nhất.

Vì nên . Áp dụng BĐT Cô – si ta có:

Dấu xảy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác là , đạt được khi

HÀ NAM

Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn . Hai đường cao của tam giác cắt nhau tại H. Đường thẳng cắt tại D và cắt đường tròn tại điêm thứ hai là

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh là tia phân giác của

3. Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác . Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

4. Khi hai điểm cố định và điểm di động trên đường tròn nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh Xác định vị trí của điểm A để tổng đạt giá trị lớn nhất.

ĐÁP ÁN

Câu 4.

1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có: là các đường cao của

Xét tứ giác ta có : là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh là tia phân giác của

Ta có: (cùng phụ góc DAC)

Hay

Lại có: (cùng chắn cung MC)

là phân giác của

3. Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

Ta có : là góc nội tiếp chắn cung

là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

là trung điểm của

Ta có: là tam giác vuông tại E

Đường tròn ngoại tiếp có tâm là trung điểm của

Gọi là trung điểm của là tâm đường tròn ngoại tiếp

(tính chất tiếp tuyến của tam giác vuông)

cân tại hay

Ta có là đường trung tuyến của vuông tại E cân tại I mà (hai góc đối đỉnh)

Lại có :

Hay là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

4. Xác định vị trí điểm A………

Gọi

Kẻ đường kính

Khi đó ta có là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Xét tứ giác có: mà hai đỉnh E, F kề nhau là tứ giác nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Hay mà (cùng chắn ccung AC)

Hay

Chứng minh tương tự ta có:

Ta có: (tứ giác có hai đường chéo vuông góc)

Tương tự:

Kéo dài cắt (O) tại

Khi đó ta có:

Đặt

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ta có:

Dấu xảy ra khi đó điểm là điểm chính giữa của cung lớn

HÀ NAM (CHUYÊN)

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn đường kính cố định. Điểm cố định nằm giữa hai điểm và sao cho Kẻ dây cung vuông góc với tại H. Gọi là điểm tùy ý thuộc cung lớn sao cho không trùng với và Gọi là giao điểm của và

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác

3. Cho độ dài đoạn thẳng Tính theo

4. Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Xác định vị trí của điểm để độ dài đoạn thẳng nhỏ nhất

ĐÁP ÁN

Câu 4.

1. Có mà

Tứ giác có là tứ giác nội tiếp

2. Xét và có:

(cùng chắn

3. 

Xét và có: (cùng phụ

Từ (1) và (2) ta có:

4. Vì là tiếp tuyến của (do mà 1 góc là góc nội tiếp , 1 góc là góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung)

Ta có: khoảng cách từ xuống nhỏ nhất.

do đó khoảng cách từ đến tâm I nhỏ nhất thì là giao điểm của và (O)

Vậy là hình chiếu của trên

HẢI DƯƠNG

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi là chân các đường cao lần lượt thuộc các cạnh và là trực tâm của Vẽ đường kính

1. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

2. Trong trường hợp không cân, gọi là trung điểm của Hãy chứng minh là phân giác của và 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn.

3. Khi và đường tròn cố định, điểm thay đổi trên đường tròn sao cho luôn nhọn, đặt Tìm vị trí của điểm để tổng lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó theo và

ĐÁP ÁN

Câu 4.

1. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) hay

Mà hay

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) hay

Mà

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác là hình bình hành

2. Chứng minh là phân giác

Xét tứ giác ta có: , mà hai góc này ở vị trí đối diện nên là tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn

Xét tứ giác có mà hai góc này ở vị trí đối diện nên là tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn (4)

Xét tứ giác ta có: là tứ giác nội tiếp (dhnb)

Từ

Hay là phân giác của

Xét vuông tại E có đường trung tuyến

cân tại M (góc ngoài của tam giác). Lại có

là tứ giác nội tiếp cùng thuộc một đường tròn.

3. Tìm vị trí điểm A…….

Gọi

Ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Xét tứ giác có do đó tứ giác là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau)

(góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp )

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Chứng minh tương tự ta có :

Ta có: (tứ giác có hai đường chéo vuông góc)

Kéo dài cắt tại (do

Khi đó ta có:

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ta có:

Dấu xảy ra khi đó điểm là điểm chính giữa của cung lớn

Vậy đạt giá trị lớn nhất khi điểm là điểm chính giữa của cung lớn

LAI CHÂU

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn Từ kẻ hai tiếp tuyến và cát tuyến không đi qua tâm tới đường tròn đó ( là hai tiếp điểm, D nằm giữa và E). Gọi là giao điểm của và

1. Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh

3. Tiếp tuyến tại D của đường tròn cắt theo thứ tự tại Qua điểm kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tại P và cắt tại Q. Chứng minh rằng :

ĐÁP ÁN

Câu 5.

1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có: là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh

Xét và có: (cùng chắn

(1)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

Từ (1) và (2)

3. Chứng minh rằng :

Lại có:

Xét và có:

( cân);

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

Vậy

THÁI BÌNH

Câu 4. (3,5 điểm) Qua điểm nằm bên ngoài đường tròn , kẻ hai tiếp tuyến là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D)

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp và

2. Chứng minh

3. Gọi là trung điểm của dây cung và E là giao điểm của hai đường thẳng và Tính độ dài đoạn thẳng theo R khi

4. Qua tâm O kẻ đường thẳng vuông góc với cắt các đường thẳng lần lượt tại P, Q. Tìm vị trị của điểm để diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ nhất.

ĐÁP ÁN

Câu 4.

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp và

Vì là các tiếp tuyến của (O) nên

Xét tứ giác có:

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng

Vì thuộc trung trực của

(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) thuộc trung trực của

là trung trực của đoạn thẳng

Vậy

2. Chứng minh

Xét và có: chung; (cùng chắn cung AC)

3. Tính độ dài đoạn thẳng theo R

Gọi theo ý ta có tại H

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đường cao ta có:

Mà nên

Xét và có: chung;

(hai góc tương ứng)

Vì là trung điểm của nên (đường kính dây cung)

vuông tại

Lại có: vuông tại H)

Mà nên

Từ (1) và (2) suy ra

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

vuông tại C, có đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Vậy khi thì

4. Tìm vị trí điểm M……….

Đặt Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đường cao ta có:

Xét tam giác có đường cao đồng thời là đường phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên là tam giác cân tại M, do đó đường cao cũng đồng thời là đường trung tuyến

Khi đó

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:

Khi đó

Dấu xảy ra

Vậy diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ nhất bằng cách tâm O một khoảng bằng

THANH HÓA

Câu IV.(3 điểm)

Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao (D thuộc thuộc của tam giác kéo dài lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm và N (M khác B, khác

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp được trong một dường tròn

2. Chứng minh song song với DE

3. Khi đường tròn (O) và dây cố định, điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác nhọn, chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác không đổi và tìm vị trí của điểm A để diện tích tam giác đạt giá trị lớn nhất.

ĐÁP ÁN

Câu IV.

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Vì là các đường cao của nên

Suy ra tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau

2. Chứng minh song song với

Vì là tứ giác nội tiếp (cmt) (cùng chắn cung BE)

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn

, mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên

3. Tìm vị trí A để lớn nhất.

Gọi

Xét tứ giác có là tứ giác nội tiếp

Lai có nên là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính tâm I là trung điểm của

Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn

Kẻ đường kính và gọi là trung điểm của

Vì là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên

Ta có:

Tứ giác là hình bình hành

Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà K là trung điểm BC (theo cách vẽ) nên cũng là trung điểm của HF

Khi đó là đường trung bình của nên (tính chất đường trung bình) , suy ra đường tròn ngoại tiếp là đường tròn

Mà và cố định, do đó cố định nên OK không đổi

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng OK không đổi

Ta có: mà cố định nên sđ cung BC không đổi.

Do đó không đổi

Xét và có:

(góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác

theo tỉ số

Do đó ta có:

Xét tam giác vuông có:

, mà không đổi nên đạt giá trị lớn nhất thì

Kéo dài cắt tại P nên và

Do không đổi (giả thiết) nên không đổi lớn nhất

Khi đó phải là điểm chính giữa của cung lớn

Vậy đạt giá trị lớn nhất khi A là điểm chính giữa của cung lớn

PHẦN 3: CÒN LẠI

AN GIANG

Câu 4. (2,0 điểm)

Cho tam giác có ba góc đều nhọn và nội tiếp trong đường tròn Vẽ các đường cao cắt nhau tại

1. Chứng minh rằng tứ giác là tứ giác nội tiếp

2. Kéo dài cắt đường tròn tại điểm Chứng minh rằng tam giác cân

ĐÁP ÁN

Câu 4.

1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có:

Tứ giác có: là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh cân

Ta có:

Lại có: (cùng chắn

Xét có vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên là tam giác cân

BÀ RỊA VŨNG TÀU

Bài 4. (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn có đường kính Lấy điểm C thuộc cung sao cho (C khác Hai tiếp tuyến của nửa đường tròn tại và cắt nhau ở

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh

3. Đường thẳng đi qua và vuông góc với cắt tại H. Chứng minh

4. Hai tia và cắt nhau tại P, đặt

Chứng minh giá trị của biểu thức là một hằng số

ĐÁP ÁN

Bài 4.

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Vì là các tiếp tuyến của nên

Xét tứ giác có : Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh

Vì là tứ giác nội tiếp nên (hai góc nội tiếp cùng chắn . Lại có: (cùng chắn )

3. Chứng minh

Gọi

Theo ý b, ta có:

Mà hai góc này ở vi trí đồng vì nên

(so le trong)

Ta lại có:

vuông tại N)

(phụ nhau) (cùng phụ với

Lại có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Từ (1) và (2) suy ra cân tại C

4. Chứng minh giá trị biểu thức … là một hằng số

Xét và có: chung;

. Lại có: Khi đó ta có:

Xét vuông ta có:

_Vậy

BẮC GIANG

Câu 4. (2,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính Gọi là hai điểm phân biệt cố định trên đường tròn ( không là đường kính). Trên tia đối của tia lấy một điểm ( khác . Qua kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn đã cho là hai tiếp điểm)

4. Chứng minh tứ giác nội tiếp trong một đường tròn

5. Đoạn thẳng cắt đường tròn tại điểm Chứng minh rằng khi thì là trọng tâm của tam giác

6. Gọi là điểm đối xứng của qua O. Đường thẳng đi qua vuông góc với cắt các tia lần lượt tại các điểm và Q. Khi di động trên tia đối của tia tìm vị trí của điểm để tứ giác có diện tích nhỏ nhất

ĐÁP ÁN

Câu 4.

4. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn tâm có là các tiếp tuyến

Tứ giác có: là tứ giác nội tiếp

5. Chứng minh là trọng tâm

Xét đường tròn (O) có là hai tiếp tuyến cắt nhau tại nên và là tia phân giác của

Mà

Xét vuông có

Ta có:

Lại có: nên là đường trung trực của đoạn Gọi là giao điểm của và tại I

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Từ đó ta có:

Xét tam giác có và nên là tam giác đều có là đường phân giác nên cũng là trung tuyến. Lại có nên là trọng tâm tam giác

6. Tìm vị trí của M để

Vì đối xứng với qua nên

Xét hai tam giác vuông có cạnh chung,

Suy ra

Diện tích tứ giác là :

Xét vuông tại O có là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Áp dụng bất đằng thức Cô si ta có:

Hay

Từ đó nhỏ nhất là

Khi đó: Xét có: chung; (cùng chắn

Đặt ( không đổi,

Ta có:

Vậy điểm thuộc tia đối của tia và cách B một khoảng bằng không đổi thì tứ giác có diện tích nhỏ nhất là

BẮC CẠN

Câu 5. (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính điểm thuộc nửa đường tròn Kẻ bán kính vuông góc với cắt dây MP tại E. Gọi là tiếp tuyến tại của nửa đường tròn. Đường thẳng đi qua và song song với cắt ở F. Chứng minh rằng:

1. Tứ giác nội tiếp đường tròn

2. 

3. 

4. Gọi là chân đường cao hạ từ xuống Hãy tìm vị trí điểm để vuông góc với

ĐÁP ÁN

Câu 5.

a) Tứ giác nội tiếp đường tròn

Vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên

Xét tứ giác có là tứ giác nội tiếp

b)

Xét và có:

c) OF song song với MP

Vì mà nên là tứ giác nội tiếp

Lại có là tứ giác nôi tiếp (cmt) điểm cùng thuộc một đường tròn nên tứ giác cũng là tứ giác nội tiếp

mà

Xét tứ giác có: là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông) là tiếp tuyến của tại N

(cùng chắn

Mà (do cân tại

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên

d) Tìm vị trí điểm P……

Đặt

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Ta có: (cùng vuông góc với nên áp dụng định lý Ta let ta có:

Để thì , khi đó (hai góc đồng vị )

Xét tam giác có:

Xét tam giác vuông có

Vì

_{Vậy khi điểm} nằm trên đường tròn thỏa mãn thì

BẮC NINH

Câu 3. (2,0 điểm)

Cho tam giác vuông tại Trên cạnh lấy điểm khác C sao cho Vẽ đường tròn tâm đường kính đường tròn này cắt tại và cắt đường thẳng tại

1. Chứng minh là một tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh và lầ tia phân giác của góc

3. Gọi là giao điểm của và Chứng minh rằng

ĐÁP ÁN

Câu 3.

1. ADCB là tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Xét tứ giác có mà là 2 đỉnh kề nhau

Nên là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh và lầ tia phân giác của góc

Xét đường tròn ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

(hai góc kề bù)

Xét tứ giác ta có: là tứ giác nội tiếp

(cùng chắn cung

Ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn của (O))

Vì là tứ giác nội tiếp (cmt) (hai góc nội tiếp cùng chắn

Lại có hay

Từ (1), (2), (3) là phân giác của

3. Chứng minh rằng

Xét ta có: là phân giác trong của tam giác (tính chất đường phân giác) (tính chất đường phân giác)

Lại có : là đường phân giác ngoài tại đỉnh E của

(tính chất đường phân giác)

BẾN TRE

Câu 8. (2,0 điểm)

Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn và có các đường cao cắt nhau tại H

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh

3. Gọi là hai giao điểm của đường thẳng và đường tròn (O) sao cho điểm nằm giữa hai điểm và điểm Chứng minh là đường trung trực của đoạn thẳng

ĐÁP ÁN

Câu 8.

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Ta có:

Tứ giác có Tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh

Kéo dài cắt tại D

Do là các đường cao trong tam giác và nên H là trực tâm của là đường cao trong

3. Chứng minh là đường trung trực của đoạn thẳng

Xét tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau)

(cùng bù với

Kẻ đường kính Gọi là giao điểm của và

Tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn

Từ (1) và (2) suy ra :

Mà (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên hay

tại

là trung điểm của (tính chất đường kính dây cung)

Nên là đường trung trực của

BÌNH ĐỊNH

Bài 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường kính và là một tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A. Trên đường thẳng lấy điểm (khác A) và trên đoạn lấy điểm N (khác và Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm và D sao cho nằm giữa và Gọi là trung điểm của đoạn thẳng

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp trong một đường tròn

2. Kẻ đoạn song song với nằm trên đường thẳng Chứng minh rằng và

3. Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm I. Chứng minh rằng đường thẳng song song với đường thẳng

ĐÁP ÁN

Bài 4.

1. Chứng minh AOHM là tứ giác nội tiếp

Ta có: là tiếp tuyến của

là trung điểm của (đường kính – dây cung)

Xét tứ giác có: mà hai góc này đối diện nên là tứ giác nội tiếp (đpcm)

2. Chứng minh và

Ta có: (hai góc so le trong)

Vì là tứ giác nội tiếp (cm câu a) (cùng chắn

Hay

Xét và ta có: chung; (cùng chắn

3. Chứng minh

Gọi là giao điểm của và Kéo dài cắt BC tại

Xét tứ giác có (câu b)

là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau) (góc nội tiếp cùng chắn

Mà (cùng chắn nên

Hai góc này ở vị trí đồng vị nên

Trong tam giác là trung điểm CD nên K là trung điểm

. Lại có:

Mà

_{Xét tứ giác} có hai đường chéo và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành

_{BÌNH DƯƠNG}

Bài 5. (3,5 điểm)

Cho đường tròn có đường kính và tiếp tuyến Trên lấy điểm sao cho cắt đường tròn tại Đường phân giác của góc cắt đường tròn tại M và cắt tại

1. Tính độ dài đoạn thẳng

2. Gọi là giao điểm của và Chứng minh tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.

3. Chứng minh tam giác là tam giác cân

4. Kẻ vuông góc Chứng minh thẳng hàng.

ĐÁP ÁN

Bài 5.

1. Tính độ dài đoạn thẳng

Vì nội tiếp nửa đường tròn (O) nên hay

Ta có: là tiếp tuyến của tại nên hay

là đường kính của nên
Do đó vuông tại A có đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Vậy

2. Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có :

Tương tự ta có là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên

hay

Xét tứ giác có

Vậy tứ giác là tứ giác nội tiếp .

3. Chứng minh là tam giác cân

Ta có: (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn

(hai góc nội tiếp cùng chắn

Mà do đó là tia phân giác của

Xét có là đường cao đồng thời là đường phân giác nên tam giác cân tại

4. Chứng minh thẳng hàng

Xét có
là trực tâm của tam giác

Do đó là đường cao thứ ba của tam giác nên
Lại có :

Qua điểm nằm ngoài đường thẳng kẻ được hai đường thẳng cùng vuông góc với (Tiên đề Ơ clit)

Vậy thẳng hàng (đpcm)

BÌNH PHƯỚC

Câu 5. (2,5 điểm)

Từ một điểm ở bên ngoài đường tròn Vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn là hai tiếp điểm). Tia cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt và D ( nằm giữa T và O) và cắt đoạn thẳng tại điểm

1. Chứng minh : Tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh:

3. Vẽ đường kính của đường tròn Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ điểm đến là giao điểm của và Chứng minh là trung diểm của

ĐÁP ÁN

Câu 5.

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Ta có: là hai tiếp tuyến của tại A, B (gt)

Xét tứ giác ta có: , mà hai góc này là hai góc đối diện nên là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh:

Ta có: thuộc đường trung trực của

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) thuộc đường trung trực của

là đường trung trực của

Áp dụng hệ thức lượng cho vuông tại có đường cao ta có:

Xét và ta có:

chung; (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn

Từ (1) và (2)

3. Chứng minh là trung điểm của

Gọi

Ta có: (so le trong)

Mà (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên cân tại T

là phân giác của

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay

Do đó là phân giác ngoài của

Áp dụng định lý đường phân giác ta có:

Lại có (định lý Ta – lét )

Do đó

Vậy là trung điểm của

BÌNH THUẬN

Bài 5. (4,0 điểm)

Cho nửa đường tròn đường kính Trên đoạn thẳng lấy điểm (M khác và Đường thẳng vuông góc với tại cắt các tiếp tuyến của nửa đường tròn lần lượt ở và và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh

3. Gọi là giao điểm của và Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tại Chứng minh thẳng hàng

4. Khi tính theo diện tích của phần nửa hình tròn tâm O bán kính nằm ngoài

ĐÁP ÁN

Bài 5.

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Vì là tiếp tuyến của tại nên

Vì tại nên

Xét tứ giác có:

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng

2. Chứng minh

Vì là tiếp tuyến của tại B nên

Xét tứ giác có:

là tứ giác nội tiếp (cùng chắn cung

Vì là tứ giác nội tiếp (câu a) (cùng chắn cung

Xét và có:

3. Chứng minh thẳng hàng.

Gọi ta chứng minh

Vì nên mà (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác có

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

Vì vuông tại B nên (hai góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau)

Mà

Từ (1) và (2) suy ra mà hai góc này ở vị trí so le trong nên . Lại có

Vậy đường thẳng qua vuông góc với cắt tại

4. Khi , tính theo R diện tích …..

Xét tam giác vuông vuông tại N có ta có:

Diện tích nửa hình tròn tâm là

Vậy diện tích của phần nửa hình tròn tâm O, bán kính R nằm ngoài là:

CÀ MAU

Bài 6.

Câu 1.Cho tam giác có các góc đều nhọn. Vẽ các đường cao của tam giác Gọi là giao điểm của

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp được đường tròn

2. Chứng minh rằng:

3. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh rằng

ĐÁP ÁN

Bài 6.

Câu 1.

1. Theo giả thiết, ta có: tứu giác nội tiếp đường tròn

2. Vì và cùng nhìn cạnh BC nên là tứ giác nội tiếp

Xét và có: chung;

3. Gọi

Ta có:

Xét có cân tại O

Lại có: (do

Từ (1), (2), (3)

CAO BẰNG

Câu 4. (2.0 điểm)

Qua điểm nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến và của đường tròn là các tiếp điểm)

1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp

2. Kẻ đường thẳng qua diểm cắt đường tròn tại hai điểm và sao cho nằm giữa A và F. Chứng minh

ĐÁP ÁN

Bài 4.

1. là tiếp tuyến với nên

là tiếp tuyến với nên

Tứ giác có

Do đó là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng

2. Xét và có: chung ; (cùng chắn cung

(các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

và

Xét và có:

chung; (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn

(các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

. Ta có:

Mà

ĐẮK LẮK

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho hai đường tròn bằng nhau và cắt nhau tại hai điểm và B sao cho Kẻ đường kính của đường tròn Gọi là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ , và lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai là và

1. Chứng minh

2. Chứng minh

3. Gọi P là giao điểm của và Gọi là giao điểm của và Chứng minh là đường trung trực của

4. Tính tỉ số

ĐÁP ÁN

Câu 4.

1. Chứng minh

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

(hai góc kề bù)

Mà là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên là đường kính

Lại có : là góc nội tiếp chắn cung

2. Chứng minh

Ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung của hay

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung của

Hay

Ta có: cân tại

Từ (1), (2), (3) là tam giác cân

3. Chứng minh là đường trung trực của

Ta có: thuộc đường trung trực của

Xét và ta có:

chung (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

thuộc đường trung trực của

Từ (4) và (5) suy ra là đường trung trực của

4. Tính tỉ số

Ta có: là đường trung trực của

Áp dụng hệ thức lượng cho vuông tại F có đường cao ta có:

Xét vuông tại ta có:

. Vậy

ĐẮK NÔNG

Bài 4. (3,0 điểm)

Cho tam giác có ba góc nhọn. Hai đường cao của tam giác là cắt nhau tại

1. Chứng minh: là tứ giác nội tiếp một đường tròn

2. Chứng minh:

3. Gọi điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

ĐÁP ÁN

Bài 4.

1. Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp

Ta có: là hai đường cao của

Xét tứ giác ta có: là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh

Xét và ta có:

(đối đỉnh);

3. Chứng minh là tiếp tuyến ……….

Xét tứ giác ta có: , mà hai đỉnh là hai đỉnh liên tiếp của tứ giác là tứ giác nội tiếp

Lại có: vuông tại cùng thuộc đường tròn tâm O đường kính

Ta có: là tứ giác nội tiếp (cmt) (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện ) (1)

Ta có: là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác là trung điểm của

vuông tại E có đường trung tuyến (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)

cân tại (tính chất tam giác cân) hay

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (cmt) (cùng chắn

Từ (1), (2), (3) suy ra

cân tại O (tính chất tam giác cân)

Hay mà

• là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

ĐIỆN BIÊN

Câu 4. (3 điểm) Trên nửa đường tròn đường kính bán kính Lấy hai điểm sao cho thuộc cung Gọi C là giao điểm của hai tia là giao điểm của hai dây và Chứng minh rằng:

1. Tứ giác là tứ giác nội tiếp

2. 

3. luôn không đổi.

ĐÁP ÁN

Bài 4.

1. Tứ giác nội tiếp

Vì là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên

Xét tứ giác có: nên là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh

Xét và có: (cùng chắn cung

(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

3. Chứng minh luôn không đổi

Ta có:

Xét và có:

chung;

Vậy luôn không đổi (đpcm)

ĐỒNG THÁP

Câu 6. (2,0 điểm)

Cho đường tròn và một điểm nằm ngoài . Vẽ các tiếp tuyến với là các tiếp điểm)

1. Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp

2. Biết rằng Tính phần diện tích của tứ giác nằm bên ngoài đường tròn

ĐÁP ÁN

Câu 6.

1. Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp

Ta có: là các tiếp tuyến tại của

Xét tứ giác ta có: là tứ giác nội tiếp

2. Tính phần diện tích …………..

Ta có: là hai tiếp tuyến cắt nhau tại

là phân giác của (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét vuông tại M ta có:

Ta có: là tứ giác nội tiếp (cmt)

(tính chất tứ giác nội tiếp)

Mà là góc ở tâm chắn cung

Nên diện tích phần cần tìm là

Vậy diện tích cần tìm là

GIA LAI

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường kính Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng OA, qua C kẻ dây cung vuông góc với Gọi là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM (K không trùng với B và là giao điểm của AK và MN

1. Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh

3. Trên đoạn thẳng lấy điểm I sao cho Chứng minh

ĐÁP ÁN

Câu 5.

1. Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn);
   Do đó Vậy tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh

Ta có: là đường trung trực của nên và nên dều,

Xét và có: chung

Mặt khác tam giác vuông tại M có là đường cao ứng với cạnh huyền nên (hệ thức lượng) . Vậy

3. Ta có:Tứ giác có hai đường chéo và vuông góc nhau tại trung điểm C mỗi đường nên là hình thoi. Do đó

Từ đó góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung MN)

Mặt khác đều

Ta có: là trung trực của MN nên và (góc nội tiếp cùng chắn cung BM), do đó đều, suy ra

Ta có:

Ta lại có:

Từ (1), (2) suy ra vì nên

Vậy

HÀ GIANG

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn và điểm nằm bên ngoài đường tròn Qua điểm dựng hai tiếp tuyến đến đường tròn với là các tiếp điểm. Một đường thẳng đi qua cắt đường tròn tại hai điểm và đường thẳng không đi qua tâm

1. Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh

3. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại K. Chứng minh rằng điểm luôn thuộc một đường thẳng cố định khi đường thẳng thay đổi và đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề bài

ĐÁP ÁN

Câu 4.

1. Vì là tiếp tuyến tại M, N của Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính

2. Dễ chứng mnh (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Xét và ta có:

(tính chất góc tạo bởi tiêp tuyến dây cung)

Suy ra

3. Gọi cắt (O) tại

Vì tứ giác nội tiếp

Gọi cắt tại

Dễ thấy điểm cùng thuộc một đường tròn (1)

Áp dụng hệ thức lượng trong vuôn tại B, đường cao ta có:

Tứ giác nội tiếp hay 5 điểm cùng thuộc một đường tròn, kết hợp với (1) suy ra hay cố định

CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM (HÀ NỘI)

Bài 4. (3,0 điểm)

Cho đường tròn và một điểm nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (B là tiếp điểm) và đường kính Trên đoạn thẳng lấy điểm ( khác C và O). Đường thẳng cắt tại hai điểm và ( nằm giữa A và E). Gọi là trung điểm của đoạn thẳng

1. Chứng minh

2. Đường thẳng đi qua điểm song song với cắt tại điểm Chứng minh

3. Tia cắt tại điểm tia cắt tại điểm Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật

ĐÁP ÁN

Bài 4.

1. Chứng minh

Xét và có: chung; (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn

(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ )

2. Chứng minh

Vì là trung điểm của nên (tính chất đường kính và dây cung)

Xét tứ giác có : (do là tiếp tuyến của

là tứ giác nội tiếp

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung OH)

Mà (so le trong do

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn (hai góc nội tiếp cùng chắn cung . Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị bằng nhau

3. Chứng minh là hình chữ nhật

Kẻ tiếp tuyến với đường tròn

Xét tứ giác có: là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Lại có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện) (hai góc nội tiếp cùng chắn

Mà (đối đỉnh) (hai góc nội tiếp cùng chắn

Xét và có: (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);

( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

(hai góc tương ứng)

Từ (1) và (2)

là góc nội tiếp chắn nửa đườn tròn (O) nên là đường kính của

là trung điểm của

Xét tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành. Lại có: nên là hình chữ nhật

HÀ TĨNH

Câu 5. (2,0 điểm) Cho đường tròn tâm đường kính điểm I thay đổi trên đoạn

( khác M). Đường thẳng qua vuông góc với cắt tại và Trên tia đối của tia lấy điểm cố định. Đoạn cắt tại gọi H là giao điểm của và

1. Chứng minh tam giác và tam giác đồng dạng

2. Chứng minh độ dài đoạn không phụ thuộc vào vị trí của điểm I.

ĐÁP ÁN

Câu 5.

1. Chứng minh

Ta có : bốn điểm cùng thuộc (O) nên tứ giác nội tiếp

(góc nội tiếp cùng chắn cung

Xét và có :

2. Chứng minh độ dài đoạn không phụ thuộc vào I

Từ câu (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Ta có:

Xét và có: chung

(Hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Từ (1) và (2) suy ra

Mà cố định nên không đổi không đổi

không đổi

Vậy độ dài không phụ thuộc vào vị trí điểm

HẢI PHÒNG

Bài 4. (3,5 điểm)

1. Qua điểm nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến và của đường tròn và là các tiếp điểm). Gọi là trung điểm của đoạn thẳng là giao điểm thứ hai của đường thẳng với đường tròn là giao điểm thứ hai của đường thẳng với đường tròn . Chứng minh

1. Tứ giác là tứ giác nội tiếp và tam giác đồng dạng với tam giác

2. 

3. và là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

ĐÁP ÁN

Bài 4.

1. Tứ giác là tứ giác nội tiếp và

Ta có: là hai tiếp tuyến của tại

Xét tứ giác ta có: mà hai góc này đối nhau nên là tứ giác nội tiếp

Xét và ta có: chung; (cùng chắn

2. Chứng minh

Ta có: (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ )

Xét và có: chung; (cùng chắn

(các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Mà (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

3. Chứng minh EA là tiếp tuyến……

Ta có: (góc nội tiếp và góc tiếp tuyến dây cung cùng chắn

Lại có: là tứ giác nội tiếp đường tròn

(góc ngoài tại 1 điểm bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét và ta có: chung;

Vì

Xét và ta có: chung;

(hai góc tương ứng)

Mà là góc nội tiếp chắn cung của đường tròn ngoại tiếp

được tạo bởi dây cung và ( nằm ngoài đường tròn)

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

HẬU GIANG

Câu IV. (2,0 điểm) Cho đường tròn có bán kính và điểm nằm ngoài đường tròn Kẻ đến hai tiếp tuyến (với là các tiếp điểm.

1) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm và bán kính của đường tròn

2) Tính diện tích của tứ giác theo biết rằng

3) Gọi là điểm đối xứng với qua O và là giao điểm của đường thẳng và nằm bên ngoài đoạn Tính

ĐÁP ÁN

Câu IV.

1. Xác định tâm và bán kính

Gọi là trung điểm của

Ta có: là tiếp tuyến với vuông tại M

Có là trung tuyến

là tiếp tuyến của vuông tại N

Có là trung tuyến nên

Từ (1) và (2) suy ra nên 4 điểm cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính

2. Tính diện tích S……..

Gọi là giao điểm của và

Ta có: và (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

là đường trung trực của tại trung điểm của
Tam giác vuông tại M, theo định lý ta có:

Tam giác vuông tại có là đường cao nên:

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc nên:

Vậy

3. Tính sin MPN

Nối với N ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn

Tam giác có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên là tam giác vuông tại

Vậy

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Bài 8.

Cho đường tròn tâm bán kính và điểm nằm ngoài đường tròn sao cho Từ kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn là hai tiếp điểm) Lấy điểm nằm trên cung nhỏ sao cho Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt lần lượt tại Đường thẳng cắt tại

1. Chứng minh là đường trung trực của đoạn thẳng và

2. Chứng minh tứ giác nội tiếp và 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn

3. Chứng minh và

ĐÁP ÁN

Bài 8.

1. Chứng minh là đường trung trực đoạn thẳng và

Ta có: là các tiếp tuyến của đường tròn tại

Mà nên tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có: nên là đường trung trực của đoạn

Xét và có: chung; (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);

(hai góc tương ứng ) (đpcm)

2. Chứng minh là tứ giác nội tiếp và cùng nằm trên một đường tròn

Vì là tiếp tuyến với tại D nên

là tiếp tuyến với tại B nên

Tứ giác có: nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng . Vậy tứ giác là tứ giác nội tiếp

Theo câu a,

(góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn)

Nên

Xét tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau),

do đó các điểm cùng thuộc một đường tròn

Mà tứ giác nội tiếp (cmt) nên các điểm cùng thuộc một đường tròn. Vậy 5 điểm cùng thuộc một đường tròn

3. Chứng minh ……..

Xét và có: chung; (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2 góc tương ứng)

Tứ giác nội tiếp (cmt) (tính chất tứ giác nội tiếp)

Mà nên

Lại có

Xét tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng

(hai góc nội tiếp cùng chắn

Mà (theo câu b) nên

Xét và có:

(hai góc tương ứng)

Tứ giác nội tiếp (cmt) (góc ngoại tại 1đỉnh và góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét tam giác và có:

chung;

(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ )

Từ (1) và (2) suy ra

PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU (THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MÌNH)

Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác nội tiếp đường tròn có tâm O, có và Gọi là trung điểm của đoạn thẳng Tia cắt đường tròn tại điểm Đường thẳng lần lượt cắt các đường thẳng và tại các điểm

1. Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp và

2. Tia phân giác của cắt đường thẳng tại điểm Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm Chứng minh rằng và

3. Chứng minh rằng tam giác cân. Tính tỉ số

ĐÁP ÁN

Câu 5.

1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp và

*) Ta có : thuộc đường trung trực của

(cùng bằng bán kính) thuộc trung trực của

Khi đó ta có là trung trực của

Vì là trung điểm của (gt) nên (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Xét tứ giác có suy ra là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối dưới các góc bằng nhau)

*)Xét có là đường cao đồng thời là đường trung tuyến suy ra cân tại D nên cũng là đường phân giác của

Ta có : nên (trong một đường tròn hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau) (trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau)

là phân giác của

Từ (1) và (2) suy ra

2. Phân giác góc cắt BC tại E, cắt AB tại F. Chứng minh và ME vuông góc với

Ta có :

Lại có : (góc nội tiếp chắn cung )

(góc có đỉnh nằm phía trong đường tròn chắn cung

Suy ra cân tại C (tam giác có hai góc bằng nhau)

Ta có : (hai góc đối đỉnh )

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Mà (do tam giác cân tại C) (cmt)

cân tại D, do đó phân giác đồng thời là đường cao nên

Xét tứ giác có Tứ giác là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Mà (đối đỉnh)

Ta có: (do tam giác vuông tại M)

(do tam giác vuông tại D)

Mà nên

Từ (3) và (4)

Gọi . Ta có:

vuông tại I hay

3. Chứng minh tam giác cân. Tính

Ta có: lớn (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)

là tia phân giác của

cân tại B (phân giác đồng thời là đường cao)

(góc ở đáy tam giác cân)

Ta có: (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp mà nên , hai góc này lại ở vị trí so le trong

(hai góc so le trong ) (6)

Từ (5) và (6) suy ra

Suy ra cân tại

Vì cân tại B(cmt) nên

Xét và có: chung; (theo

(hai cạnh tương ứng)

Vậy .

HÒA BÌNH

Câu IV. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn có các đường cao cắt nhau tại

1. Chứng minh rằng: Tứ giác là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh rằng

3. Chứng minh rằng: Đường tròn ngoại tiếp tam giác đi qua trung điểm của cạnh

ĐÁP ÁN

Câu IV.

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác có: là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh

Xét tứ giác có:

là tứ giác nội tiếp (cùng chắn cung HF)

Tương tự xét tứ giác có:

là tứ giác nội tiếp (cùng chắn

Ta lại có:

vuông tại E)

vuông tại

(cùng phụ với

Từ (1), (2), (3)

3. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp đi qua trung điểm M của cạnh BC

Gọi là trung điểm của sẽ chứng minh tứ giác nội tiếp

Xét tam giác vuông tại E có trung tuyến ứng với cạnh huyền

(định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông)

cân tại M

(góc ngoài của tam giác)

Vì là tứ giác nội tiếp (cmt) (cùng chắn

Vì là tứ giác nội tiếp (cùng chắn

Mà vuông tại E)

vuông tại D)

(cùng phụ với

Từ (3) và (4)

Từ (5) và (6)

Từ và

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác đi qua trung điểm M của

HÒA BÌNH (CHUYÊN)

Câu III. (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm và dây cố định, gọi là điểm chính giữa của cung và là một điểm bất kỳ trên dây (N khác A, N khác B). Tia cắt đường tròn (O) tại E.

1. Chứng minh rằng : Tam giác đồng dạng với tam giác

2. Chứng minh rằng:

3. Chứng minh rằng: là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

4. Chứng minh rằng : Khi di động trên AB thì tổng bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác và đường tròn ngoại tiếp tam giác không đổi

ĐÁP ÁN

Câu III.

1. Vì là điểm chính giữa (góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

Xét và có: chung;

2) Xét và có:

chung; (cùng chắn hai cung

(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

3) Ta có: (chứng minh câu 2)

Mà xét đường tròn ngoại tiếp thì là góc nội tiếp là góc tạo bởi tiếp tuyến – dây cung là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp

4. Vẽ đường kính cắt AB tại

Áp dụng định lý Ta let và tam giác đồng dạng ta có:

mà (tính chất đường kính – dây cung)

là đường kính, M chính giữa)

(không đổi)

HÒA BÌNH (CHUYÊN 2)

Câu IV. (2,0 điểm)

Cho đường tròn và dây cung Gọi là điểm chính giữa của cung nhỏ là điểm tùy ý trên cung lớn Qua kẻ tiếp tuyến tới Đường thẳng cắt và lần lượt tại và Các đường thẳng và cắt nhau tại

1. Chứng minh : là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh rằng: song song với

3. Tiếp tuyến tại của cắt tại Chứng minh rằng :

4. Xác định vị trí của sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp lớn nhất

Câu IV.

Ý 1. là tứ giác nội tiếp

Ta có là điểm chính giữa cung

(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Mà 2 góc này cùng nhìn là tứ giác nội tiếp

Ý 2. song song với

Ta có: là tứ giác nội tiếp ) (1)

(góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau )

Từ (1) và (2) suy ra

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên

Ý 3.

Dễ chứng minh : và

Ta có: (hệ quả Ta let)

Ý 4.

Ta có : (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

là tiếp tuyến của đường tròn

Kẻ đường kính của . Gọi là giao điểm đường trung trực của đoạn và

là tâm đường tròn

Tương tự dựng là tâm

Dễ dàng chứng minh được cân
là hình bình hành (không đổi)

Ta có: mà

Dấu xảy ra khi là điểm chính giữa của cung lớn

HƯNG YÊN (KHÔNG CÓ)

KIÊN GIANG

Bài 4. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn có nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ hai đường cao

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp trong một đường tròn

2. Chứng minh

3. Tính diện tích tam giác biết diện tích tam giác là

ĐÁP ÁN

Bài 4

1. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp

Vì là hai đường cao của

Xét tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau)

2. Chứng minh

Xét và có: chung; (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp

(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Vậy

3. Tính

Ta có: theo tỉ số

Xét tam giác vuông tại E ta có:

Do đó ta có:

Vậy

KON TUM

Câu 5. (2,5 điểm) Từ điểm ở ngoài đường tròn (O),, kẻ hai tiếp tuyến tới đường tròn là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua cắt đường tròn (O) tại hai điểm và và không đi qua tâm O)

1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp

2. Gọi là giao điểm của và Chứng minh

3. Gọi là giao điểm của và M là trung điểm

Chứng minh

ĐÁP ÁN

Câu 5.

1. Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp

Ta có: là các tiếp tuyến của (O) nên

Xét tứ giác ta có: mà hai góc này ở vị trí đối diện nên là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh

Ta có: đường trung trực của

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà , Áp dụng hệ thức lượng cho vuông tại B có đường cao ta có:

Xét và ta có:

(cùng chắn cung

Mà

3. Chứng minh

Xét và có:

(phương tích)

Xét và có: (cùng chắn

Chứng minh tương tự :

Cộng (1), (2) vế theo vế:

Vậy

LÂM ĐỒNG

Câu 10. Cho tam giác nhọn có là ba đường cao Chứng minh là tia phân giác của góc

Câu 12. Cho đường tròn cố định đi qua hai điểm và cố định khác đường kính). Điểm di chuyển trên đường tròn ( không trùng với và là trọng tâm Chứng minh rằng điểm chuyển động trên một đường tròn cố định.

ĐÁP ÁN

Câu 10.

Ta gọi I là giao điểm của và BK, CQ

Vì là tứ giác nội tiếp

(cùng chắn

Xét tứ giác có cùng nhìn là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác có là tứ giác nội tiếp

Từ (1) , (2), là tia phân giác của

Câu 12.

Gọi là trung điểm từ G kẻ

Xét có nên theo hệ quả Ta let

(do là trọng tâm)

và

Mà cố định (do cố định), O cố định cố định

Vậy di động trên đường tròn tâm bán kính

LẠNG SƠN

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho nửa đường tròn đường kính Trên nửa đường tròn lấy điểm C sao cho Trên đoạn thẳng lấy điểm sao cho nằm giữa và Đường thẳng đi qua vuông góc với cắt tia tại N, cắt tại

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp trong một đường tròn

2. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt đường thẳng tại Chứng minh cân

3. Gọi là giao điểm của với nửa đường tròn Chứng minh là tiếp tuyến của nửa đường tròn

ĐÁP ÁN

Câu 4.

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn);

Tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng

2. Chứng minh cân

là tiếp tuyến của nên

Tam giác vuông tại M nên mà (đối đỉnh)

Nên

Tam giác cân tại O nên

Từ (1), (2), (3) suy ra cân tại

3. Chứng minh là tiếp tuyến

Tứ giác nội tiếp nên

Tứ giác nội tiếp nên (tính chất)

Nên

Tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau)

vuông tại H

Theo câu b, cân tại F nên

Ta có:

Mà cân tại F

Từ (4) và (5) suy ra hay F là trung điểm

Tam giác vuông tại H có là trung tuyến nên

Xét và có: chung;

mà nên

là tiếp tuyến của O

LÀO CAI

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm Kẻ đường thẳng là tiếp tuyến tại của đường tròn Gọi là đường thẳng qua B và song song với cắt các đường thẳng lần lượt tại Kẻ là đường cao của tam giác

1. Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh rằng

3. Gọi lần lượt là trung điểm của Chứng minh rằng

ĐÁP ÁN

Câu 5.

1. Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp

Ta có:

Tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kể nhau cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau)

2. Chứng minh rằng

Ta có: (so le trong)

Mà (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn

Xét và có: chung;

(các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

3. Chứng minh

Gọi là giao điểm của với

Ta có: (đối đỉnh)

Tứ giác nội tiếp nên (góc nội tiếp cùng chắn cung

Lại có (góc tương ứng)

Mà là đường trung bình của nên

Từ (1) và (2) suy ra

LONG AN

Câu 5. (2,5 điểm) Cho tam giác cân tại , các đường cao và cắt nhau tại Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

1. Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn

2. Chứng minh

3. Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn

ĐÁP ÁN

Câu 5.

1. Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn

Ta có: là các đường cao của

hay

Xét tứ giác ta có: mà hai góc này ở vị trí đối diện nên là tứ giác nội tiếp hay 4 điểm cùng thuộc một đường tròn

2. Chứng minh

Ta có: là đường cao của cân tại A nên cũng là đường trung tuyến của

(tính chất tam giác cân) là trung điểm của

Xét vuông tại E có đường trung tuyến

3. Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn

Ta có: vuông tại E (gt) Tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền là trung điểm của

là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của vuông tại

cân tại O

Ta có: cân tại D (tính chất tam giác cân)

Ta có: vuông tại mà (hai góc đối đỉnh)

là tiếp tuyến của tại

NAM ĐỊNH

Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn nôi tiếp đường tròn . Hai đường cao của tam giác cắt nhau tại Các tia cắt đường tròn lần lượt tại điểm thứ hai la

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp và cung bằng cung

2. Chứng minh là trung điểm của và

3. Cho góc bằng Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

ĐÁP ÁN

Bài 4.

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp và cung cung

Ta có: là các đường cao của

Xét tứ giác ta có: mà hai đỉnh là hai đỉnh kề nhau

Nên là tứ giác nội tiếp

Vì là tứ giác nội tiếp nên (hai góc nội tiếp cùng chắn ED)

Lại có: lần lượt là tứ giác nội tiếp chắn các cung

2. Chứng minh E là trung điểm HQ…..

Xét tứ giác ta có: , mà hai góc này ở vị trí đối diện nên là tứ giác nội tiếp (cùng chắn cung )

Vì là tứ giác nội tiếp (cmt) (cùng chắn cung

Lại có : (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QB)

là tia phân giác của

Xét ta có: vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên cân tại A. cũng là đường trung tuyến là trung điểm

Kéo dài cắt đường tròn (O) tại F

Khi đó ta có: (cùng chắn cung AC)

Vì là tứ giác nội tiếp (cmt) (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện )

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

hay

3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AED

Theo chứng minh b, ta có: là tứ giác nội tiếp

Nên Đường tròn ngoại tiếp là đường tròn ngoại tiếp tứ giác

Ta có: và là góc nội tiếp chắn cung AH nên là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của Gọi M là trung điểm của

Ta có: hay

hay

là hình bình hành nên cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Mà là trung điểm của cũng là trung điểm của

Xét ta có: lần lượt là trung điểm của

là đường trung bình của

Ta có : là góc ở tâm chắn cung BC là góc ở tâm chắn cung

là góc nội tiếp chắc cung BC

cân tại O có đường trung tuyến cũng là phân giác của

Xét ta có:

Vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp là :

NGHỆ AN

Câu 4. (3,0 điểm) Cho tứ giác nội tiếp đường tròn tâm đường kính Hai đường chéo và cắt nhau tại Gọi H là hình chiếu của trên

1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp

2. Tia cắt đường tròn tại điểm thứ hai là Gọi là giao điểm của và Chứng minh

3. Khi tam giác không cân, gọi là trung điểm của cắt tia tại N. Tia cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm thứ hai là Chứng minh thuộc đường tròn (O)

ĐÁP ÁN

Câu 4.

1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có: (góc nôi tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác có: nên là tứ giác nội tiếp (đpcm)

2. Chứng minh

Tứ giác nội tiếp nên (hai góc nội tiếp cùng chắn

Xét tứ giác có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Từ (1) và (2) suy ra

Lại có nên hay

nên DI là đường cao trong tam giác vuông

(theo hệ thức lượng) (

3. Chứng minh F thuộc đường tròn (O)

Theo câu b, tại I nên là đường trung trực của

là tia phân giác của góc

Tam giác vuông tại H có là trung điểm nên là đường trung tuyến

cân tại M

Tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp

Suy ra

Từ (3), (4), (5) suy ra là tứ giác nội tiếp

(tính chất)

Xét và có:

(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Tứ giác nội tiếp nên (tính chất )

Xét và có:

(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Từ suy ra

Xét và có:

(các góc tương ứng)

Mà (kề bù) nên

Do đó tứ giác nội tiếp nên nằm trên đường tròn

NINH BÌNH

Câu 4. (3,5 điểm)

1. Cho nhọn nội tiếp đường tròn tâm Hai đường cao của cắt nhau tại

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

2. Chứng minh rằng

3. Kẻ đường kính của đường tròn tâm Chứng minh tứ giác là hình bình hành

ĐÁP ÁN

Câu 4.

1. Ta có: là đường cao nên

là đường cao nên

Xét tứ giác có: nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau)

Vậy tứ giác nội tiếp

2. Theo câu a, là tứ giác nội tiếp nên (tính chất)

Mà (kề bù) nên

Xét và có: chung;

(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

3. Chứng minh là hình bình hành

là đường kính nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có:

Tứ giác có nên là hình bình hành (đpcm)

NINH THUẬN

Bài 4. (4,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O đường kính Vẽ dây cung vuông góc với tại nằm giữa A và O). Lấy điểm trên cung nhỏ khác và C), cắt tại .

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.

2. Tính độ dài cạnh theo và .

3. Chứng minh khi điểm chạy trên cung nhỏ thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn thuộc một đường thẳng cố định.

ĐÁP ÁN

Bài 4.

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Lại có: tại

Xét tứ giác có là tứ giác nội tiếp

2. Tính độ dài cạnh AC theo R

Xét đường tròn (O) có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tam giác vuông tại C ta có:

Ta có:

Xét đường tròn có tại I nên I là trung điểm của dây (tính chất đường kính – dây cung) hay là đường trung trực đoạn suy ra

Do đó cung

Xét đường tròn (O) có (hai góc nội tiếp chắn hai cung AC và AD bằng nhau) nên

Vậy

3. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp thuộc đường thẳng cố định

Xét đường tròn có (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác có

Mà là góc nội tiếp chắn cung là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tại C (do là tiếp tuyến)

Lại có hay

Hay tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn thuộc đường thẳng cố định.

PHÚ THỌ

Câu 3. (3,0 điểm) Cho có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn Tia phân giác cắt cạnh tại D và cắt đường tròn tại Gọi là hình chiếu của trên là hình chiếu của trên AC. Chứng minh rằng:

1. là tứ giác nội tiếp

2. 

3. Khi đường tròn và cố định, điểm thay đổi trên cung lớn thì tổng có giá trị không đổi.

ĐÁP ÁN

Câu 3.

1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có:

Xét tứ giác có: là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh

Xét ta có:

là góc nội tiếp chắn cung ; là góc nội tiếp chắn cung

Lại có: là tia phân giác của (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau)

Ta có :

là góc nội tiếp chắn

là góc nội tiếp chắn cung

(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét và ta có:

chung ;

Lại có: (hai cung bằng nhau chắn hai dây bằng nhau)

Vậy

3. Khi đường tròn (O) và B, C cố định………

Đặt . Xét và có:

(cạnh huyền – góc nhọn)

(hai cạnh tương ứng)

Giả sử, khi đó ta có:

Xét và có:

(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

(hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác vuông tại K có:

Xét tam giác vuông vuông tại T có:

Vì đường tròn (O) và BC cố định nên số đo cung không đổi

số đo cung BC không đổi (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn) không đổi không đổi

Vậy không đổi, với số đo cung BC không đổi.

PHÚ YÊN

Câu 16. (2,00 điểm) Cho đường tròn đường kính Trên (O) lấy điểm sao cho .Trên đoạn thẳng lấy điểm cố định (I khác O, B). Đường thẳng qua

vuông góc với cắt tại E, cắt tại F

1. Chứng minh rằng: là tứ giác nội tiếp

2. Gọi là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác với (M khác A). Chứng minh rằng tam giác cân

3. Chứng minh rằng khi di chuyển trên thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác chạy trên một đường thẳng cố định

ĐÁP ÁN

Câu 16.

1. Chứng minh rằng tứ giác là tứ giác nội tiếp

Vì là góc nôi tiếp chắn nửa đường tròn nên

Xét tứ giác có: Tứ giác là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh rằng cân

Vì tứ giác là tứ giác nội tiếp (các điểm cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp). Ta lại có:

vuông tại

vuông tại C)

(cùng phụ với

Từ và cân tại E

3. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF chạy trên một đường thẳng cố định

Ta có: cân tại E (cmt), mà nên là trung điểm của đường cao đồng thời là đường trung tuyến) là điểm đối xứng với B qua I và

Mà cố định không đổi nên không đổi.

Lại có cố định nên M cố định

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đi qua điểm nên tâm đường tròn nội tiếp thuộc đường trung trực của

Vì cố định nên trung trực của là cố định

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc trung trực của AM cố định, với là điểm đối xứng với B qua I

QUẢNG BÌNH

Câu 5. (3,5 điểm) Cho tam giác vuông ở có đường cao Trên nửa mặt phẳng bờ chứa điểm vẽ nửa đường tròn đường kính cắt tại ( khác và nửa đường tròn đường kính cắt tại K khác C). Chứng minh rằng:

1. Tứ giác là hình chữ nhật

2. Tứ giác là tứ giác nội tiếp

3. là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn và

ĐÁP ÁN

Câu 5.

1. Xét tứ giác có

Và theo giả thiết: nên là hình chữ nhật

2. Vì là hình chữ nhật nên

Hơn nữa, ta có: (cùng chắn cung của nửa đường tròn

Do đó tứ giác là tứ giác nội tiếp

3. Ta có:

Tương tự ta cũng có:

Từ đó ta có: là tiếp tuyến chung của hai đường tròn và

QUẢNG NAM

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ đường thẳng vuông góc với tại lấy điểm tùy ý trên d ( khác A). Vẽ hai tiếp tuyến của đường tròn là hai tiếp điểm; và khác phía với đường thẳng

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp trong đường tròn

2. Hạ vuông góc với tại gọi là giao điểm của và Chứng minh

3. Chứng minh rằng khi thay đổi trên thì đường thẳng luôn đi qua điểm cố định

ĐÁP ÁN

Câu 4.

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Vì là hai tiếp tuyến nên

Tứ giác có là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh

Ta có: là hai tiếp tuyến của (O) (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)

đường trung trực của

Có thuộc trung trực của BC (2)

Từ (1) và (2) là đường trung trực của tại H

Vì tứ giác nội tiếp trong đường tròn (câu a)

(cùng chắn cung OB)

Mà cân tại O (vì (tính chất tam giác cân)

Ta có: tại A)

là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác có hai đỉnh A và B kề nhau cùng nhìn dưới một góc

là tứ giác nội tiếp (cùng chắn cung OB ) (5)

Từ

Xét và có:

;

3. Chứng minh rằng khi thay đổi trên thì đường thẳng luôn đi qua điểm cố định

Gọi giao điểm của và là I

Xét và có: chung;

(hệ thức lượng)

. Do (O), điểm cố định suy ra là khoảng cách từ O đến d không đổi, R không đổi nên không đổi, I thuộc cố định, do đó là điểm cố định.

_{QUẢNG NGÃI}

Bài 4. (3,5 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm đường kính và điểm bất kỳ trên nửa đường tròn đó . Trên nửa mặt phẳng bờ chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Tia cắt tại I, tia phân giác của góc cắt nửa đường tròn tại và cắt tia tại F. Tia cắt tại và cắt tại H

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

2. Chứng minh là tam giác cân

3. Chứng minh tứ giác là hình thoi

4. Xác định vị trí của điểm để tứ giác nội tiếp được đường tròn.

ĐÁP ÁN

Bài 4.

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Xét đường tròn ta có:

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng

Vậy tứ giác nội tiếp đường tròn (đpcm)

2. Chứng minh là tam giác cân

Tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn

Mà là tia phân giác của nên

Mà

Nên

Tam giác có nên cân tại B

3. Chứng minh tứ giác là hình thoi

Tam giác cân tại B (cmt) nên vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

Nên là trung điểm

Tam giác có vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên cân tại A cũng là đường trung tuyến là trung điểm HK

Tứ giác có hai đường chéo, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành, mà nên tứ giác là hình thoi

4. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác nội tiếp được đường tròn

là hình thoi nên nên tứ giác là hình thang

Để tứ giác là tứ giác nội tiếp thì

Mà (kề bù) nên hay

Do đó tam giác vuông cân nên

là điểm chính giữa của cung

_{QUẢNG NINH}

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn và là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ điểm kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn là hai tiếp điểm). Gọi là giao điểm của và Kẻ đường kính của đường tròn cắt đường tròn tại điểm thứ hai là

1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp

2. Tính độ dài biết

3. Chứng minh

4. Tia cắt tại F. Chứng tỏ là trung điểm của

ĐÁP ÁN

Câu 4.

1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn có là các tiếp tuyến

Xét tứ giác có là tứ giác nội tiếp

2. Tính độ dài biết

Xét đường tròn có là hai tiếp tuyến cắt nhau tại

Suy ra (tính chất) mà là đường trung trực của đoạn thẳng

Do đó tại

Xét tam giác vuông tại theo định lý Pytago ta có:

Xét vuông tại B có là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: Vậy

3. Xét vuông tại B có là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

Xét và có: chung; (cùng chắn

Từ (1) và (2) suy ra :

d) Chứng tỏ là trung điểm của

Xét đường tròn (O) có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Lại có: (so le trong)

Xét có (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn

Suy ra

Xét và có: chung;

Theo câu ta có:

Suy ra tứ giác là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện) (cùng phụ với

Xét đường tròn có (hai góc nội tiếp cùng chắn

Lại có: (do vuông tại

Nên hay

Xét tam giác vuông tại có là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Từ (*) và (**) suy ra là trung điểm

QUẢNG TRỊ

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn Các đường cao và của tam giác cắt nhau tại H. Gọi là giao điểm thứ hai của và đường tròn Chứng minh rằng:

1. là tứ giác nội tiếp

2. 

3. 

ĐÁP ÁN

Câu 5.

1. Ta có: tứ giác nội tiếp

2. Ta có : (tứ giác nội tiếp cùng chắn cung AC)

là tứ giác nội tiếp

(góc trong tại 1 đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)

Mặt khác (do tứ giác nội tiếp)

Tương tự ta có: là tứ giác nội tiếp)

là tứ giác nội tiếp); (đối đỉnh)

Nên

Từ (1) và (2) suy ra

3. Kẻ đường kính chứng minh được là hình bình hành nên đi qua trung điểm M của BC mà vuông tại I - tính chất đường kính dây cung)

Áp dụng định lý Pytago và các biến đổi ta có:

Mà

SÓC TRĂNG

Bài 5. (3,0 điểm) Cho tam giác vuông tại A. Gọi là trung điểm và O là trung điểm của Vẽ đường tròn tâm bán kính Kẻ cắt tại D, đường thẳng cắt tại

1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh và tính tích theo

3. Gọi là giao điểm của với và là giao điểm của với

Chứng minh

ĐÁP ÁN

Bài 5.

1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau)

2. Chứng minh và tính tích theo AC

Xét và có:

(đối đỉnh);

(hai cạnh tương ứng)

Mà là trung điểm nên

Vậy

3. Chứng minh

Kẻ và (định lý Ta – let )

Nhân hai vế của và ta được:

SƠN LA

Câu 6. (3,0 điểm) Từ điểm A bên ngoài đường tròn tâm vẽ các cát tuyến (B, C là các tiếp điểm). Gọi là giao điểm của và

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp được đường tròn .

2. Tính diện tích tam giác trong trường hợp bán kính đường tròn (O) bằng và

3. Dây cung thay đổi nhưng luôn đi qua Chứng minh là tia phân giác của góc

ĐÁP ÁN

Câu 6.

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp được đường tròn

Ta có: là các tiếp tuyến của đường tròn (O)

Xét tứ giác có: là tứ giác nội tiếp

2. Tính diện tích tam giác ABC

Ta có: thuộc đường trung trực của

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) thuộc đường trung trực của

là đường trung trực của

là trung điểm của (tính chất đường kính dây cung)

Áp dụng định lý Pytago vào vuông tại B ta có:

Áp dụng hệ thức lượng cho vuông tại B, đường cao BH ta có:

Vậy khi thì

3. Chứng minh AO là tia phân giác của

Ta có : là tứ giác nội tiếp (theo câu a)

điểm cùng thuộc đường tròn đường kính

Ta có 4 điểm cùng thuộc một đường tròn (phương tích ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Xét và có:

(đối đỉnh)

(hai góc tương ứng)

là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh liên tiếp A, E cùng nhìn cạnh OF dưới các góc bằng nhau)

Xét đường tròn ngoại tiếp có (vì

là tia phân giác của

TÂY NINH

Câu 5.(1,0 điểm) Cho tam giác cân Biết Gọi M là trung điểm tính theo độ đoạn thẳng

Câu 9.(1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng Gọi là trung điểm của và N là điểm trên cạnh AD sao cho Hai đoạn CM và BN cắt nhau tại K. Tính diện tích của tam giác

Câu 10.(1,0 điểm) Cho tam giác vuông tại A có và đường cao thuộc cạnh BC). Trên cạnh lấy D sao cho Gọi là trung điểm đường thẳng cắt tại E. Tính

ĐÁP ÁN

Câu 5.

cân mà

Xét vuông tại M, áp dụng định lý Pytago ta có:

Câu 9.

Kẻ

Có:

Mà

Câu 10.

Xét vuông tại A mà vuông cân tại A

Lại có: là trung điểm của

có là đường trung tuyến, đồng thười cũng là đường cao

mà là đường cao)

Xét tứ giác có 2 đỉnh H và I kề nhau cùng nhìn cạnh dưới 1 góc vuông

Nên tứ giác là tứ giác nội tiếp (cùng chắn cung AI)

Mà

vuông tại (hai góc phụ nhau)

hay (2)

Ta có: là góc ngoài của

Từ

THỪA THIÊN HUẾ

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm Gọi là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ sao cho nhọn không trùng A và C). Gọi và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ đến và Gọi là trung điểm của là trung điểm của Chứng minh rằng :

1. Tứ giác nội tiếp

2. Tam giác và tam giác đồng dạng

3. và

ĐÁP ÁN

Câu 5.

1. Tứ giác là tứ giác nội tiếp

Ta có:

Tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau).

2. Tam giác và tam giác đồng dạng

Theo câu tứ giác nội tiếp nên

Tứ giác nội tiếp nên

Từ (1) và (2) suy ra (cùng bù với

(hai góc nội tiếp cùng chắn

(cùng chắn

Từ (3) và (4) suy ra

Xét và có:

3. và

Từ câu b ta có: (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Xét và có:

(2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Lại có: (hai góc tương ứng)

Xét và có:

(hai góc tương ứng) mà nên

TIỀN GIANG

Bài V. (3 điểm)

1. Cho tam giác vuông tại biết Tính giá trị của biểu thức

2. Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại với Kẻ là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn với tiếp tuyến chung trong tại của hai đường tròn cắt tại

1. Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn

2. Gọi là giao điểm của và là giao điểm của và Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật

3. Chứng minh rằng tam giác đồng dạng với tam giác

4. Cho biết và Tính diện tích tứ giác

ĐÁP ÁN

Bài V.

Áp dụng định lý ta có:

Vậy

1. Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn

Gọi là trung điểm của ta có:

là tiếp tuyến với tại B) vuông tại

(trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền)

là tiếp tuyến với tại vuông tại A

(trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền)

Từ và

Vậy bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm đường kính

2. Chứng minh là hình chữ nhật

Ta có:

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) là đường trung trực của đoạn

Tương tự

cân tại

cân tại

Từ (1) và (2) suy ra

Mà (tổng 3 góc trong tam giác)

Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

3. Chứng minh

Theo câu b, tứ giác là hình chữ nhật nên

Mà tứ giác nội tiếp (câu a) nên cùng chắn cung BM) (4)

Từ và suy ra

Xét và có: chung;

4. Tính diện tích tứ giác

Tứ giác là hình chữ nhật nên vuông tại M

là đường cao trong tam giác vuông nên:

Ta có:

Tứ giác có và nên là hình thang vuông

Vậy

TRÀ VINH

Đề 1.

Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Các đường cao cắt nhau tại H

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

2. và cắt đường tròn lần lượt tại Chứng minh

3. Chứng minh là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác

Đề 2

Từ một điểm ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến đến đường tròn là hai tiếp điểm). Qua vẽ đường thẳng song song với cắt đường tròn tại đoạn thẳng cắt đường tròn tại Hai đường thẳng và cắt nhau tại I. Chứng minh

1. Tứ giác nội tiếp đường tròn

2. 

3. 

ĐÁP ÁN

Đề 1.

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Ta có:

Xét tứ giác có

Tứ giác là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh

Xét tứ giác có:

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau) (hai góc nội tiếp cùng chắn

Lại có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên

3. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp

Xét tứ giác có:

là tứ giác nội tiếp

(hai góc nội tiếp cùng chắn

Lại có là tia phân giác của

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có là phân giác của

Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Đề 2.

1. Tứ giác nội tiếp đường tròn

Ta có là các tiếp tuyến tại của

Xét tứ giác có mà hai góc này đối diện nên là tứ giác nôi tiếp

2. 

Xét và có: chung

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn

3. Chứng minh

Ta có: (hai góc so le trong)

Hay

Lại có: (cùng chắn

Xét và có: chung;

TUYÊN QUANG

Câu 32.(1,0 điểm) Cho hình chữ nhật có Gọi H là chân đường cao kẻ từ xuống đường thẳng Tính độ dài đoạn thẳng và diện tích tam giác

ĐÁP ÁN

Câu 32.

Xét tam giác vuông có:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại A, ta có:

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ta có:

Vậy

VĨNH LONG

Bài 6. (2,5 diểm)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính Vẽ đường thẳng vuông góc với tại Trên lấy điểm sao cho nằm bên ngoài nửa đường tròn Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn là tiếp điểm, và nằm cùng một phía đối với đường thẳng

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp được đường tròn

2. Nối cắt nửa đường tròn tại C. Chứng minh

3. Gọi là giao điểm của và là giao điểm của tia và nửa đường tròn

Chứng minh

ĐÁP ÁN

Bài 6.

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Ta có:

là tiếp tuyến của tại E nên

Tứ giác có nên tứ giác là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề cùng 1 cạnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau.(đpcm)

2. Chứng minh

Nối với C, với B

Xét và có: chung; (cùng chắn

(các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Vậy

3. Chứng minh

Xét và có:

chung; (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) mà

Xét và có: (góc tương ứng ) (1)

Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn (O)

Do (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét và có: chung;

(các góc tương ứng) (2)

Lại có tứ giác nội tiếp (câu a) nên 4 điểm cùng thuộc một đường tròn(3)

Tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp,do đó 4 điểm cùng thuộc một đường tròn (4)

Từ (3) và (4) suy ra 5 điểm cùng thuộc một dường tròn suy ra tứ giác nội tiếp nên

Từ (1), (2), (5) suy ra

thẳng hàng hay là giao điểm của với nửa đường tròn (O)

Tứ giác nội tiếp

(cùng chắn cung

VĨNH PHÚC

Câu 7. (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn .Từ điểm kẻ hai tiếp tuyến và đến là các tiếp điểm). Kẻ đường kính của đường tròn Đường thẳng đi qua O vuông góc với đường thẳng và cắt lần lượt tại Gọi là giao điểm của và BC.

1. Chứng minh rằng các tứ giác nội tiếp đường tròn

2. Chứng minh rằng

3. Biết đường tròn có bán kính Tính độ dài đoạn thẳng

ĐÁP ÁN

Câu 7.

1. Chứng minh rằng các tứ giác nội tiếp đường tròn

Vì là các tiếp tuyến của nên

là tứ giác nội tiếp

Vì (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

là trung trực của tại

Xét tứ giác có :

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau)

2. Chứng minh

Vì là tứ giác nội tiếp (góc và góc trong tại đỉnh đối diện). Xét và có:

3. Tính độ dài đoạn thẳng

_{Vì là trung trực của}

_{Xét vuông tại B, đường cao BI ta có:}

_{(hệ thức lượng trong tam giác vuông)}

_{(Định lý Pytago)}

_{Ta có là đường kính của nên}

_{Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ta có:}

_{Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ta có:}

_{Xét và có: chung;}

_{Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :}

_{Xét và có: chung;}

_{(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)}

_Vậy

YÊN BÁI (KHÔNG CÓ)

-----------------------------------------END----------------------------------------

-NGUYỄN ĐÌNH PHÚC (TP.HCM)-