Hướng Dẫn Giải Bài Tập Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Vuông – Toán 9

ÔN TẬP CHƯƠNG I

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Xem lại phần kiến thức trọng tâm của các bài đã học

• Hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác.

• Tỉ số lượng giác của góc nhọn.

• Hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: So sánh các tỉ số lượng giác

Ví dụ 1. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần , , , , .

Lời giải

Ta có .

Vì nên

.

Ví dụ 2. So sánh

a) ; ; . b) ; ; .

Lời giải

So sánh tương tự Ví dụ 1.

a) ; b) .

Ví dụ 3. Cho . Chứng minh rằng

a) . b) .

Lời giải

a) Do nên suy ra . Do đó

.

b) Tương tự câu a) nên .

Ví dụ 4. Cho tam giác vuông tại có . Hãy sắp xếp theo thứ tự tăng dần , , , , , .

Lời giải

Ta có nên ; ;

Lại có nên .

Mà .

Vậy .

Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức lượng giác

Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức

a) . b) .

c) .

Lời giải

a) .

b)

.

c)

.

Ví dụ 6. Tính giá trị của biểu thức

a) . b) .

c) .

Lời giải

a) .

b) .

c) .

Ví dụ 7. Tính giá trị của biểu thức

a) .

b) .

Lời giải

a)

.

b)

Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc

Ví dụ 8. Cho tam giác cân tại , đường cao . Biết ; . Tính chu vi tam giác .

Lời giải

D o tam giác cân đỉnh , là đường cao nên cũng là đường phân giác, đường trung tuyến.

Do đó và .

Xét vuông tại , ta có

và .

Do đó chu vi tam giác là .

Ví dụ 9. Cho hình thang ( ), ; . Biết , . Tính chu vi hình thang.

Lời giải

Vẽ và , dễ thấy là hình chữ nhật.

Do đó và .

Xét vuông tại , ta có

.

Tương tự, xét vuông tại , ta có

và .

Ta có .

Do đó chu vi của hình thang là .

Ví dụ 10. Cho tam giác vuông tại , đường cao . Vẽ ; . Biết ; .

a) Tính độ dài .

b) Tính số đo các góc của tam giác .

c) Tính diện tích tứ giác .

Lời giải

a ) Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông , ta có

suy ra .

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông , ta có

suy ra .

Dễ thấy là hình chữ nhật nên nên .

b) Xét vuông tại , ta có .

Ta xét vuông tại , ta có . Do đó .

Mà .

c) Gọi là diện tích tứ giác .

Ta có .

Vậy diện tích tứ giác là .

Ví dụ 11. Cho tam giác vuông tại , . Vẽ đường cao ; vẽ , . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác .

Lời giải

Xét vuông tại , ta có suy ra .

Tương tự, ta xét vuông tại , ta có

suy ra .

Gọi là diện tích của tứ giác .

Do tứ giác là hình chữ nhật nên

Mặt khác theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có .

Khi đó .

Gọi là trung điểm của , ta có .

Mà nên .

Dấu đẳng thức xảy khi hay tam giác vuông cân tại .

Vậy khi là tam giác vuông cân đỉnh .

Dạng 4: Chứng minh hệ thức giữa các tỉ số lượng giác

Ví dụ 12. Chứng minh hệ thức

Lời giải

.

Ví dụ 13. Chứng minh các đẳng thức sau

a) ; b) ;

c) ; d) .

Lời giải

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

1. Cho tam giác vuông tại có cm, cm và cm. Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

2. Cho tam giác vuông tại . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .

3. Cho tam giác vuông tại . Hệ thức nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .

4. Khẳng định nào sau đây sai?

A. . B. .

C. . D. .

5. Cho tam giác vuông tại , đường cao . Hệ thức nào đây sai?

A. . B. .

C. . D. .

6. Cho vuông tại đường cao Biết thì độ đài bằng

A. cm. B. cm. C. cm. D. cm.

7. Cho tam giác vuông tại , , cạnh cm. Độ dài cạnh là

A. cm. B. cm. C. cm. D. cm.

8. Cho tam giác vuông tại Biết khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

9. Cho cân tại , , . Tính độ dài đường cao .

A. . B. . C. . D. .

10. C ho tam giác vuông tại , đường cao (hình bên). Đẳng thức nào sau đây là sai?

A. . B. .

C. . D. .

11. M ột cái thang dài đặt dựa vào tường, biết góc giữa thang và mặt đất là . Khoảng cách từ chân thang đến tường bằng bao nhiêu?

A. . B. .

C. . D. .

12. Cho tam giác vuông tại và , . Kẻ vuông góc với , với nằm trên cạnh . Tính theo .

A. . B. .

C. . D. .

13. C ho tam giác vuông tại , đường cao . Biết , . Đặt (hình bên). Tính .

A. . B. .

C. . D. .

14. Cho . Trên tia lấy hai điểm , sao cho cm. Tính độ dài hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng trên .

A. cm. B. cm. C. cm. D. cm.

15. Cho tam giác vuông tại , đường cao và đường trung tuyến ( ). Biết chu vi của tam giác là cm và cm. Tính diện tích của tam giác .

A. cm . B. cm . C. cm . D. cm .

II. PHẦN TỰ LUẬN

Bài 1. Cho biết .

a) Tính . b) Chứng minh rằng .

Lời giải

a) .

b) .

Bài 2. Xem hình bên và tính góc tạo bởi hai mái nhà và , biết rằng mỗi máy nhà dài 2,34m và cao 0,8m.

Lời giải

.

Bài 3. Tam giác có , , cm. Đường vuông góc kẻ từ đến cắt tại (hình vẽ bên). Hãy tìm

a) , ; b) .

Lời giải

a) Ta có .

Do đó ; .

b) .

B ài 4. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc nhọn của tam giác vuông tại trong hình bên

Lời giải

• .

• .

• .

• .

• .

• .

Bài 5. Cho hình thang cân ( ). Biết ; và .

a) Tính độ dài . b) Tính diện tích hình thang .

Lời giải

a) Kẻ các đường cao và .

D ễ thấy là hình chữ nhật nên .

Xét và , do giả thiết suy ra

và nên .

Do đó và .

Xét tam giác vuông ta có .

Suy ra .

b) Gọi là diện tích hình thang . Khi đó .

Xét tam giác vuông ta có .

Nên .

Bài 6. Cho tam giác vuông tại , cm, cm.

a) Tính , , ;

b) Phân giác của cắt tại . Tính , .

c) Từ kẻ và lần lượt vuông góc với , . Tứ giác là hình gì? Tính chu vi và diện tích của tứ giác ?

Lời giải

a) Theo định lý Py-ta-go, ta có

.

T heo tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác ABC vuông tại A

.

Do đó .

b) Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có

.

.

c) Tứ giác có nên là hình chữ nhật. Mặt khác (tính chất tia phân giác của một góc) nên là hình vuông.

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong vuông tại E, ta có

.

Chu vi của hình vuông : .

Diện tích hình vuông : .

Bài 8. Cho tam giác vuông tại . Chứng minh rằng .

Lời giải

V ẽ đường phân giác . Xét vuông tại , ta có .

Mặt khác suy ra .

Do đó hay .

--- HẾT ---