Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 6 – Chứng Minh Một Số Không Phải Là Chính Phương
>>> Mọi người cũng quan tâm:
Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 6 – Chứng Minh Một Số Không Phải Là Chính Phương – Toán 6 là tài liệu học tập được Trang Tài Liệu biên soạn và sưu tầm từ những nguồn dữ liệu mới nhất hiện nay. Tài liệu này sẽ giúp các em luyện tập, củng cố kiến thức từ đó nâng cao điểm số cho môn học. Ngoài ra, cũng giúp các thầy cô giáo có nguồn tài nguyên phong phú để giảng dạy.
Dưới đây là bản đọc trực tuyến giúp thầy cô và các em học sinh có thể nghiên cứu Online hoặc bạn có thể tải miễn phí với phiên bản word để dễ dàng in ấn cũng như học tập Offline.
ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 6-SỐ CHÍNH PHƯƠNG
CHỦ ĐỀ 2: DÙNG CÁC TÍNH CHẤT CHIA HẾT VÀ SỐ DƯ ĐỂ CHỨNG MINH
MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Số chính phương chia hết cho
thì chia hết cho
.Số chính phương chia hết cho
thì chia hết cho
Số chính phương chia hết cho
thì chia hết cho
Số chính phương chia hết cho
thì chia hết cho
.
Tổng quát: Số chính phương chia hết cho
thì chia hết cho
(
là số nguyên tố,
)
* Phương pháp chứng minh một số không là số nguyên tố bằng quan hệ chia hết:
Ta có:
và
là số nguyên tố mà
không phải là số chính phương.
* Để chứng minh 
không
phải một số chính phương ta có thể:
Chứng minh
có
tận cùng
hoặc
tận cùng là
chữ số
.
Chứng minh
chứa
số nguyên tố với số mũ lẻ.Xét số dư khi
chia
cho
hoặc
hoặc
hoặc
,...
Chẳng hạn 
chia
dư
hoặc chia
dư
;
hoặc chia
dư
thì
không là số chính phương.Chứng minh
nằm
giữa hai số chính phương liên tiếp.
Các dạng bài chứng minh một số không phải là số chính phương
DẠNG
1:
chia hết cho số nguyên tố
nhưng
không chia hết
Bài 1: Chứng
minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là
thì số đó không là số chính phương?
Lời giải
Số có tổng các chữ số là
thì số đó chia hết cho
nhưng không chia hết cho
,
do đó số có tỏng các chữ số là
không thể là số chính phương.
Bài 2: Tổng
các chữ số của một số chính phương có thể là
không?
Lời giải
Tổng các chữ số của một số là
thì số đó chia hết cho
nhưng không chia hết cho
,
nên không tồn tại
số chính phương có tổng các
chữ số là
.
Bài 3: Cho các số tự nhiên:
.
Lập được tất cả các số tự nhiên
có
chữ số bao gồm tất cả các chữ số trên. Trong các số
đã lập có số nào là số chính phương không?
Lời giải
Tổng các chữ số của các số là
chia hết cho
nhưng không chia hết cho
.
Bài 4: Cho một số tự nhiên
gồm
chữ số
.
Có cách nào viết thêm các chữ số
vào vị trí tùy ý để số mới tạo thành là một số
chính phương hay không?
Lời giải
nhưng không chia hết cho
.
Bài 5: Chứng minh rằng số
không phải là số chính phương.
Lời giải
Cách 1: Ta thấy số
chia hết cho
(vì chữ số tân cùng là
)
nhưng không chia hết cho
(vì hai chữ số tận cùng là
).
Do đó: số
không là số chính phương.
Cách 2: Ta thấy số
chia hết cho
(vì chữ số tân cùng là
)
nhưng không chia hết cho
(vì hai chữ số tận cùng là
).
Do đó: số
không là số chính phương.
Cách 3: Số
tận cùng có lẻ chữ số 0.
Bài 6: Các tổng sau có phải là số chính phương không?
a)
b)
Lời giải
a, Ta có:
chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho
nên không là số chính phương.
b, Ta có:
có tổng các chữ số là 3 nên chia hết cho
mà không chia hết cho
nên
không là số chính phương.
Bài 7: Cho
.
Chứng minh S không phải là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
Với mọi số tự nhiên
thì
Suy ra:
Do đó:
chia
dư
Hay
Mặt khác
Vậy S không là số chính phương.
Bài 8: Chứng minh tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.
Lời giải
Gọi bốn số tự nhiên lên tiếp lần lượt là
Khi đó ta xét:
Ta có:
(1)
(2)
Từ (1) và (2)
S không là số chính phương
Vậy tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.
Bài 9: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ
đến
thành một số
.
Chứng minh
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
Ta có tổng các chữ số của A là:
Ta thấy:
Do đó
không là số chính phương.
Bài 10: Số
có phải là số chính phương không?
Lời giải:
Ta có:
Suy ra:
Ta thấy:
không là số chính phương
Bài 11: Viết liên tiếp từ
đến
được số
.
Số
có thể có
ước được không?
Lời giải
Giả sử số
có
ước.
Vì số lượng các ước của
là
(là số lẻ) nên
là số chính phương
mặt khác, tổng của các chữ số của
là:
.Vì
;
nên
chia hết cho
nhưng không chia hết cho
,
do đó
không là số chính phương
mâu thuẫn với
.
Vậy
không thể có
ước.
Bài 12: Một số tự nhiên gồm một chữ số
và sáu chữ số 6 có thể là một số chính phương không?
Lời giải
Gọi
là số gồm một chữ số
và sáu chữ số
.
- Nếu
có chữ số tận cùng là
thì
có hai chữ số tận cùng là
.
chia hết cho 5 nhưng
không chia hết cho
(vì
)
- Nếu
có chữ số tận cùng là
có hai chữ số tận cùng là 06 hoặc
chia hết cho
nhưng không chia hết cho
.
không là số chính phương.
Vậy
không phải là số chính phương.
DẠNG 2: Chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ
Bài 1: Chứng
minh rằng
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
chứa thừa số nguyên tố
có số mũ lẻ
Do đó:
không là số chính phương
Bài 2: Chứng minh rằng số
không là số chính phương.
Lời giải
Ta
có
nhưng
không chia hết cho
mà
là số nguyên tố từ đó suy ra
không là số chính phương.
DẠNG
3:
và
(
:
nguyên tố)
không là số chính
phương
Bài 1: Chứng
minh rằng
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
(Vô
lý)
Do đó
không là số chính phương.
Bài 2: Chứng
minh rằng
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
Vì
đồng thời
mà
là số nguyên tố.
Do đó
không là số chính phương.
Bài 3: Chứng
minh rằng
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
Vì
là số nguyên tố nên
(Vô lý).
Do đó
không là số chính phương.
DẠNG 4: Chứng minh
chia
dư
,
chia
dư
;
;
chia
dư
,
;
chia
dư
;
;
;
Bài 1:
a. Chứng minh rằng với
thì
không là số chính phương
b. Chứng minh rằng với
thì
không là số chính phương
Lời giải
a.
chia 4 dư 3 nên không là số chính phương
b.
-
không là số chính phương
-
không là số chính phương
-
không là số chính phương
Bài 2: Chứng
minh rằng một số có tổng các chữ số của nó là
không phải là một số chính phương
Số chính phương khi chia cho
chỉ có thể dư
hoặc
.
Số trên có tổng các chữ số là
nên chia
dư
,
vậy không phải là số chính phương.
Bài 3:
Một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng
thì có thể là số chính phương được không? Tại sao?
Lời giải
Gọi số tự nhiên có tổng các chữ số
bằng
là
.
Ta có:
,
nên số tự nhiên
chia
dư
,
do đó số
có dạng
với
là số tự nhiên. Mặt khác số chính phương không có
dạng
suy ra số tự nhiên
không là số chính phương.
Bài 4: Chứng minh rằng
không phải là số chính phương với mọi số nguyên dương
.
Lời giải
Ta có:
;
;
;
Do đó:
.
Ta lại có:
Do
Do
Do đó
nghĩa là
chia cho
dư
.
Ta có
là số nguyên tố. Vậy
không là số chính phương.
Bài 5: Cho
.
Chứng minh rằng
;
không là số chính phương.
Lời giải
+) Ta có:
Suy ra:
chia cho
dư
Do đó:
không là số chính phương.
+) Ta có:
và
Suy ra:
nhưng
Do đó:
không là số chính phương.
Bài 6: Gọi
là tích của
số nguyên tố đầu tiên
.
Chứng minh rằng các số
;
;
không là số chính phương.
Lời giải
+) Ta thấy:
nhưng
không là số chính phương.
+) Giả sử
hay
Ta có:
lẻ suy ra
lẻ nên
(mâu thuẫn)
Do đó điều giả sử là sai.
Vậy
không là số chính phương.
+) Ta có:
Vậy
không là số chính phương.
Bài 7: Giả sử
.
Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp
;
;
không có số nào là số chính phương.
Lời giải
+) Ta có:
Ta thấy:
Do đó:
không là số chính phương.
+) Ta có:
chẵn
Do đó:
lẻ
và
nhưng
Ta thấy
chẵn nên
không chia cho
dư
hoặc dư
Vậy
không là số chính phương
+) Ta có:
Ta thấy
lẻ nên
nên
không
chia cho
dư
Do đó:
không là số chính phương.
Bài 8: Chứng minh số
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
chia
dư
nên
chia
dư
chia
dư
chia
dư
Suy ra:
chia
dư
Vậy
không là số chính phương.
Bài 9: Chứng minh
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
chia hết cho
nên
chia hết cho
chia hết cho
nên
chia hết cho
chia hết cho
nên
chia hết cho
chia hết cho
nên
chia hết cho
Suy ra:
chia hết cho
Mà:
chia
dư
Do đó:
chia
dư
Vậy C không là số chính phương.
Bài 10: Chứng minh
không là số chính phương.
Lời giải
Ta thấy:
Tương tự
,
Mà
chia
dư
nên
Mà ta biết số chính phương không có dạng
Do đó D không là số chính phương.
Bài 11: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kì không phải là một số chính phương.
Lời giải
Gọi
và
là số lẻ.
Giả sử:
,
với
Ta có:
với
Không có số chính phương nào có dạng
vì vậy
không phải là một số chính phương.
Bài 12: Chứng minh rằng tổng các số tự nhiên liên
tiếp từ
đến
không phải là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
có dạng
Do đó
không là số chính phương.
Bài 13: Cho
là tổng các bình phương của
số tự nhiên liên tiếp nào đó. Chứng minh rằng
không phải là số chính phương.
Lời giải
Xét tổng các bình phương của
số tự nhiên liên tiếp:
Chia
thành
nhóm,
mỗi nhóm là tổng các bình phương của
số tự nhiên liên tiếp
Do đó
không là số chính phương.
Bài 14: Cho
là tổng các bình phương của
số tự nhiên liên tiếp nào đó. Chứng minh rằng
không là số chính phương.
Lời giải
Xét tổng các bình phương của
số tự nhiên liên tiếp:
Chia
thành
nhóm,
mỗi nhóm gồm
số
tự nhiên liên tiếp.
Suy ra:
Do đó
không là số chính phương.
Bài 15: Chứng minh
không
phải là số chính phương với
Lời giải:
Xét
lẻ. Đặt
Ta có:
không là số chính phương
Xét
chẵn. Đặt
Vì
nên ta đặt
Khi đó, ta có:
(trái với giả thiết đề bài)
Vậy:
không phải là số chính phương với
Bài 16: Chứng minh
không là số chính phương.
Lời giải:
Bổ đề:
Theo định lí Fermat, ta có:
Giả sử
Suy ra:
(vô lý)
Do đó:
không là số chính phương.
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số
thì số
không là số chính phương.
Lời giải:
Bất kì số chính phương nào cũng có dạng
hoặc
,
với
Ta có:
có dạng
Do đó
không là số chính phương.
DẠNG 5: Chứng minh
có chữ số tận cùng là
hoặc
Bài 1: Chứng minh rằng các tổng sau có phải là số chính phương không?
a)
b)
Lời giải:
b)
Tổng
có chữ số tận cùng là
nên không là số chính phương
c)
Ta có:
có chữ số tận cùng là
.
Nên
có chữ số tận cùng là
Vậy
không là số chính phương.
Bài 2: Cho
.
Chứng minh rằng
không phải là số chính phương.
Lời giải:
Ta có các số
;
;
;
đều có chữ số tận cùng là
.
Nên
có chữ số tận cùng là
.
Vậy
không là số chính phương vì số chính
phương là những số có tận cùng là
.
Bài 3: Chứng minh rằng tổng các bình phương của năm số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương.
Lời giải
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là:
trong đó
và
Xét tổng bình phương:
.
Vì
không thể có tận cùng là
hoặc
,
nên
không thể có tận cùng là
hoặc
,
không thể chia hết cho
không thể chia hết cho
Vậy
không là số chính phương
DẠNG
6: Chứng minh
kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp
Bài tập: Chứng minh rằng số
không là số chính phương.
Nhận xét:
Số này có hai chữ số tận cùng là
nên chia cho
dư
và chia cho
cũng dư
,
nên không thể áp dụng bằng cách trên.
Lời giải:
Cách 1:
Ta thấy:
;
.
Nên
. Chứng tỏ số
không phải là số chính phương.
Cách 2:
Ta có:
Muốn
là
số chính phương thì
phải là số chính phương
Ta lại có:
Mà:
không là số chính phương.
Do đó số
không là số chính phương
PHẦN III. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Chứng minh rằng với
mọi số
thì số
không là số chính phương.
Lời giải
Bất kì số chính phương nào cũng có dạng
hoặc
,
.
Ta có:
có dạng
,
Suy ra: A không là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng bình phương của hai số lẻ bất kì không phải là số chính phương.
Lời giải
Gọi hai số lẻ bất kì là
và
.
Vì
và
lẻ
nên
;
;
Suy ra:
Do đó:
không là số chính phương.
Bài 3: Chứng minh rằng
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
Ta thấy: A chia cho
dư
Do đó: A không là số chính phương.
Bài 4: Chứng minh rằng
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
Vì:
Mà một số chính phương chia
dư
hoặc
Do đó:
không
là số chính phương.
Bài 5: Chứng minh rằng
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
Ta có số chính phương chia
có thể dư
hoặc
nên có 5 trường hợp xảy ra
* TH1: Nếu
thì
;
mà
chia
dư
chia
dư
A chia
dư
A không là số chính phương
* TH2: Nếu
chia
dư
thì
chia
dư
,
chia
dư
mà
chia
dư
chia
dư
A chia
dư
A không là số chính phương
* TH3: Nếu
chia
dư
thì
chia
dư
;
chia
dư
chia
dư
,
chia
dư
chia
dư
A chia
dư
A không là số chính phương
* TH4: Nếu
chia
dư
thì
chia
dư
;
chia
dư
chia
dư
,
chia
dư
;
chia
dư
chia
dư
chia
dư
A chia
dư
A không là số chính phương
* TH5: Nếu
chia
dư
thì
chia
dư
;
chia
dư
chia
dư
,
chia
dư
;
chia
dư
chia
dư
chia
dư
A chia
dư
A không là số chính phương
Vậy A không là số chính phương với mọi
.
Bài
6: Cho
là
tích của
số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng
và
không là số nguyên tố. (Đề HSG Hương Sơn năm học
2015 - 2016)
Lời giải:
Vì
là tích của
số nguyên tố đầu tiên nên
chia hết cho
và không chia hết cho
Ta
chứng minh
là số chính phương
Giả
sử
là số chính phương.
Đặt
.
Vì
chẵn nên
lẻ
lẻ
lẻ
Đặt
.
Ta có:
chia hết cho
Ta
chứng minh
là số chính phương
Ta
có:
chia hết cho
Vì
không có số chính phương nào có dạng
nên
không phải số chính phương
Vậy
nếu
là
tích của
số nguyên tố đầu tiên thì
và
không phải số chính phương.
Bài 7: Cho
.
Chứng minh B không là số chính phương. (Đề HSG Vĩnh
Tường năm học 2019 - 2020)
Lời giải:
Ta có:
Ta thấy:
Suy ra:
Mà:
Do đó:
Hay:
Vậy B không là số chính phương.
Bài 8: Cho biểu thức
.
Chứng minh
không phải là số chính phương.
(Đề HSG Quỳnh Lưu năm học 2018 - 2019)
Lời giải
Ta thấy:
Mặt khác:
(vì tất cả các số đều chia hết cho
)
(do
)
Do đó
chia hết cho
nhưng không chia hết cho
Vậy
không là số chính phương.
Ngoài Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 6 – Chứng Minh Một Số Không Phải Là Chính Phương – Toán 6 thì các tài liệu học tập trong chương trình 6 sẽ được cập nhật liên tục và nhanh nhất có thể sau khi kỳ thi diễn ra trên Danh mục Tài Liệu Học Tập nhằm giúp các bạn đọc thuận tiện trong việc nghiên cứu tài liệu. Quý thày cô và các bạn đọc có thể chia sẻ thêm những tài liệu học tập hữu ích đến địa chỉ email của chúng tôi, nhằm xây dựng nên kho đề thi phong phú, đa dạng cho các em học sinh tham khảo và rèn luyện.
Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ tìm hiểu về số chính phương và cách chứng minh rằng một số không phải là số chính phương. Số chính phương là một số mà căn bậc hai của nó là một số tự nhiên. Chúng ta sẽ học cách áp dụng phương pháp phản chứng để chứng minh rằng một số không phải là số chính phương.
Chuyên đề này tập trung vào các phương pháp chứng minh một số không phải là số chính phương. Chúng ta sẽ đi qua các bước cụ thể để chứng minh. Đầu tiên, chọn một số nguyên dương không phải là số chính phương mà chúng ta muốn chứng minh. Sau đó, tính căn bậc hai của số đó bằng cách sử dụng máy tính hoặc phương pháp ước lượng. Tiếp theo, kiểm tra xem kết quả có phải là một số tự nhiên không. Nếu kết quả không phải là một số tự nhiên, ta có thể kết luận rằng số ban đầu không phải là số chính phương.
Chuyên đề cung cấp các ví dụ và bài tập để học sinh rèn kỹ năng trong việc chứng minh một số không phải là số chính phương. Học sinh sẽ được thử thách và phát triển khả năng tư duy logic, suy luận và giải quyết vấn đề. Đồng thời, chuyên đề cũng khuyến khích sự sáng tạo và tư duy sâu sắc của học sinh trong việc áp dụng kiến thức vào các bài toán thực tế.
>>> Bài viết có liên quan