Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 6 – Chứng Minh Hai Số Nguyên Tố Cùng Nhau

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 4:

ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Ước và Bội của một số nguyên

Với và Nếu có số nguyên q sao cho thì ta nói a chia hết cho b. Ta còn nói a là bội của b và b là ước của a.

2. Nhận xét

- Nếu thì ta nói a chia cho b được q và viết .

- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.

- Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên.

3. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ƯC(a, b, c).

4. Ước chung lớn nhất

- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

5. Các tính chất

-

- Nếu

- Nếu a, b nguyên tố cùng nhau

- ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) và BC(a ,b) = B(BCNN(a, b))

- Nếu

Ví dụ

- Nếu

Ví dụ

-

PHẦN II. BÀI TẬP:

Dạng 1: Tìm ƯCLN của các số:

I. Phương pháp giải

Bài toán: Tìm

Phương pháp giải thường dùng: Giả sử

II.Bài toán

Bài 1: Cho . Chứng minh rằng

a)

b)

Lời giải:

1. Gọi

Vậy .

b) Gọi

Vậy .

Bài 2: Cho là số tự nhiên lẻ, . Chứng minh rằng .

Lời giải:

Đặt và lẻ và lẻ

và lẻ và lẻ .

Vậy

Bài 3: Chứng tỏ rằng nếu thì .

Lời giải:

+) Theo đầu bài ta có: chẵn lẻ

+) Vì

(nếu ).

Bài 4: Cho hai số nguyên tố cùng nhau và . Chứng tỏ rằng và hoặc là số nguyên tố cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 19.

Lời giải

Gọi

Đặt đpcm

- Nếu

.

Bài 5: Chứng minh rằng: và a, b khác tính chẵn lẻ thì và .

Lời giải:

a) .

Vì a, b khác tính chẵn lẻ nên d lẻ

Giả sử có ít nhất một ước số là số nguyên tố, giả sử ước nguyên tố đó là

vô lý

Vậy đpcm.

Bài 6: Tìm ƯCLN của và với .

Lời giải:

Gọi

Khi đó ta có :

Do đó là ước của d, hay là ước của 1

Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp

Vậy .

Bài 7: Tìm ƯCLN của và .

Lời giải:

Gọi

Khi đó ta có:

Do mà không chia hết cho 3, nên (loại)

Do đó

- Để thì n phải chẵn

- Để thì n phải chia hết cho 4

- Để thì n là số lẻ

Vậy thì

thì

thì .

Bài 8: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của và

Lời giải:

a) Gọi

Khi đó ta có:

Vậy

Bài 9: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của và

Lời giải:

Gọi

Khi đó ta có:

Vậy

Bài 10: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của và

Lời giải:

Gọi

Khi đó ta có:

Vậy .

Bài 11: Biết . Tìm .

Lời giải:

Gọi

hoặc

và hoặc hoặc

mà nên hoặc

Vậy hoặc .

Bài 12: Cho là hai số tự nhiên. Gọi là tập hợp các ước số chung của và , là tập hợp các ước số chung của và . Chứng minh rằng

Lời giải:

Gọi

Khi đó ta có:

(1)

Tương tự ta có:

(2)

Từ (1) và (2) ta có :

và Vậy

Bài 13: Tìm ƯC của và với

Lời giải:

Gọi

Khi đó ta có :

Do đó là ước của , hay là ước của

Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp

Vậy

Bài 14: Cho hai số và là hai số không nguyên tố cùng nhau, tìm

Lời giải:

Gọi

Khi đó

Mà nên

Bài 15: Tìm với

Lời giải:

Gọi ,

Khi đó ta có :

Mà là các số dương nên ta có : hoặc

Vậy hoặc 17

Dạng 2: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau

I. Phương pháp giải

Bài toán: Chứng minh hai số a, b nguyên tố cùng nhau:

Phương pháp giải: Giả sử

Cách 1: Chỉ ra

Cách 2:

+) Giả sử (phương pháp phản chứng)

+) Gọi p là ước nguyên tố của d

+) Chỉ ra rằng (vô lý)

+) Kết luận

II. Bài toán

Bài 1: Chứng minh rằng hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Gọi , nên ta có:

Vậy hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau với .

Bài 2: Chứng minh rằng và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Gọi

Khi đó ta có:

Mà ta lại có mà là số lẻ nên (loại), do đó

Vậy hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 3: Chứng minh rằng và là hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

Gọi

Khi đó ta có:

Vậy hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 4: Cho m là số tự nhiên lẻ, n là số tự nhiên. Chứng minh rằng và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Giả sử và ( ) cùng chia hết cho số tự nhiên , khi đó ta có:

, do và m lẻ hoặc (loại)

Vậy

Khi đó và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 5: Cho . Chứng tỏ rằng và là nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Gọi

và

Vì nên hoặc .

Bài 6: Chứng minh rằng và là hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

Gọi

Khi đó ta có :

Do , mà lại là số lẻ nên loại, do đó

Vậy hai số 14n+3 và 21n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 7: Chứng minh rằng với mọi thì các số và ngyên tố cùng nhau

Lời giải:

Gọi Khi dó ta có :

Do đó

Vậy hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 8: Chứng minh rằng với mọi thì các số và ngyên tố cùng nhau

Lời giải:

Gọi Khi đó ta có:

Vì , mà là số lẻ nên (loại)

Khi đó

Vậy hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 9: Cho . Chứng minh rằng

Lời giải:

Ta có đặt

mà a d nên hay

Bài 10: CMR: với mọi số tự nhiên n

Lời giải:

Gọi , suy ra khi đó ta có :

Vì là một số không chia hết cho nên loại

Vậy , khi đó

Bài 11: Cho là hai số nguyên tố cùng nhau. CMR các số sau cũng nguyên tố cùng nhau :

a) và b) và

Lời giải:

a) Giả sử và cùng chia hết cho số nguyên tố

Khi đó , do đó cùng chia hết cho số nguyên tố , trái với giả thiết

Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau

b) Giả sử và cùng chia hết cho số nguyên tố

Suy ra tồn tại một trong hai số hoặc chia hết cho

Khi , hoặc

và cùng chia hết cho , trái với

Vậy và nguyên tố cùng nhau

Dạng 3: Tìm điều kiện để hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 1: Tìm để: và là hai số sau ngyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Gọi

Khi dó ta có:

Do đó

Vậy với mọi hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 2: Tìm để: và là hai số sau ngyên tố cùng nhau

Lời giải :

Gọi

Khi đó ta có:

Vì , mà là một số lẻ nên (loại)

Khi đó

Vậy với mọi hai số và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 3: Tìm để: và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Gọi

Khi đó ta có:

Do , mà không chia hết cho 3 nên hoặc

Để hai số và là hai số nguyên tố thì d khác 7, hay

Vậy với k là số tự nhiên thì và là hai số nguyên tố.

Bài 3: Tìm với . Khi nào thì hai số đó nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Gọi

Khi đó ta có:

hoặc .

Để thì hay

Hay ( là số tự nhiên)

Vậy để và là hai số nguyên tố cùng nhau thì ( là số tự nhiên)

Bài 4: Tìm để và là hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

Gọi

Nếu chẵn và, chẵn loại

Nếu Vô lý d=3(loại)

Nếu là số lẻ lẻ lẻ và lẻ lẻ

Vậy lẻ

Bài 5: Tìm số tự nhiên để và nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Gọi ƯCLN( 4n+3; 2n+3) =d, d N^*

Để và là hai số nguyên tố cùng nhau thì khác 3 hay

Vậy thì và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 6: Tìm số tự nhiên để và nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

b, Gọi ,

Để và là hai số nguyên tố cùng nhau thì khác 2 hay

chẵn

Vậy chẵn thì và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 7: Tìm số tự nhiên để các số và nguyên tố cùng nhau .

Lời giải:

Gọi

Nếu (Vô lý)

Nếu , để 2 số trên là nguyên tố thì

Vậy với thì hai số trên nguyên tố cùng nhau

Bài 8: Chứng minh rằng: có vô số số tự nhiên để và là 2 số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

Gọi , do ,

Nên tồn tại sao cho thì , với

Vậy có vô số

 HẾT