Đề Thi HSG Toán 10 Cấp Trường – Olympic Tỉnh Quảng Nam (Đề 1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Q UẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH

N ăm học 2017 – 2018

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi : TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 29/3/2018

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Q UẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH

N ăm học 2017 – 2018

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Môn thi: TOÁN

(Đáp án – Thang điểm gồm trang)

Câu

Đáp án

Điểm

Câu 1

(5,0 điểm)

a) Giải bất phương trình

2,0

Điều kiện:

0,25

+ Bpt đã cho tương đương với

0,25

+ Bình phương 2 vế và thu gọn ta được bpt:

0,5

0,25

.

0,25

0,25

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là .

0,25

b) Giải hệ phương trình

3,0

Điều kiện: và .

0,25

+ Đặt , pt (1) trở thành:

0,25

_{so với điều kiện loại t= -4}

0,25

+ Với thì , thay vào phương trình (2) ta được:

0,25

Điều kiện: . Khi đó, ta có:

0,5

(vì )

0,5

+ Đặt , pt trên trở thành: _. Giải được u = 1.

0,25

+ Với u = 1, ta được

0,25

0,25

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: và .

0,25

Câu 2

(4,0 điểm)

a) Vẽ đồ thị và suy ra bảng biến thiên của hàm số

1,5

Ta có

0,25

+ Vẽ được đồ thị của hàm số y = 2x² + 3x với x ≥ -1

( đúng dạng 0.25 ;phải qua 3 điểm đặc biệt 0.25)

0,5

+ Vẽ được đồ thị của hàm số y = x với x < - 1.

0,25

+ Lập được bảng biến thiên ( phải đầy đủ dấu , chiều biến thiên và điểm đặc biết)

0,5

b) Cho parabol (P) có phương trình và đường thẳng d có phương trình . Tìm các hệ số a, b, c biết đỉnh A của (P) thuộc đường thẳng , đồng thời (P) cắt đường thẳng d tại điểm thứ hai là B sao cho và OA = OB (O là gốc tọa độ).

2,5

+ Với nên .

0,25

+ A là đỉnh của (P) nên phương trình của (P) được viết lại :

0,25

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là

0,25

0,25

0,25

+ Hai giao điểm của (P) và d là

0,25

0,25

0,25

0,25

+ Với ta có phương trình của (P) :

Kết luận

0,25

Câu 3

(4,0 điểm)

a)Cho ba số thực dương x;y;z, chứng minh: .

1,0

+a) Đặt u = x+y+1; v = x + z +1, BĐT cần chứng minh tương đương với: . (0.25)

Ta có

_{luôn đúng. Vậy BĐT đã cho đúng (0.5)}

1,0

b)Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3.0

+ Áp dụng BĐT: . Ta có

(0.25)

Tương tự cho hai biểu thức còn lại

Suy ra: _(0.25)

0,5

Mặt khác ta có: nên _(0.25)

_(0.25)

_(0.25)

Tương tư: , _(0.25)

1.0

Do đó:

0,5

( vì abc = 1)

0,5

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

0,25

Vậy maxP =

0,25

Câu 4

(3,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, G là trọng tâm tam giác ABM, là điểm nằm trên đoạn thẳng MC sao cho GA = GD. Biết phương trình đường thẳng AG là .

a) Tìm tọa độ điểm A biết hoành độ của nó nhỏ hơn 4.

b) Viết phương trình đường thẳng AB.

3.0

0,25

a) + Gọi N là trung điểm của AB.

Ta có MN là đường trung trực của đoạn AB nên GA = GB

+ Lại có GA = GD, nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. (0.25)

Vì góc , do đó tam giác AGD vuông cân tại G (0.25)

0,5

+ Ta có GD = d(D, AG) = , suy ra AD = .

0,25

+ nên

0,25

Giải tìm được x = 3. ( do x < 4) Suy ra .

0,25

b) + NG = .

0,25

+ Gọi vtpt của đường thẳng AB là .

Đường thẳng AG có vtpt

Góc là góc giữa 2 đt AB và AG nên : _(0.25)

_(0.25)

0,5

+ b = 0, chọn a = 1, đt có vtpt và qua có pt : x – 3 = 0

+ Tìm được , kiểm tra thấy G và D nằm về cùng một phía đối với đường thẳng này nên x – 3 = 0 chính là pt của đt AB.

0,25

0.25

+ 3a = - 4b, chọn a = 4, b = - 3, đt có vtpt và qua có pt

4x – 3y – 24 = 0

Kiểm tra thấy G và D nằm về 2 phía khác nhau đối với đường thẳng này nên

4x – 3y – 24 = 0 không phải là pt của đt AB.

0,25

Câu 5

(4,0 điểm)

a) Cho góc xOy có số đo bằng , trên các tia Ox, Oy lần lượt lấy các điểm A và B sao cho diên tích tam giác OAB không đổi và bằng S. Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn AB theo và S.

b) Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

i) Chứng minh rằng: .

ii) Đặt BC = a, CA = b, AB = c. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c sao cho OH vuông góc với trung tuyến vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC.

4,0

1. Ta có

0.25

Lại có

0.25

Do đó ta được

0.25

Suy ra AB nhỏ nhất khi OA =OB ( tam giác OAB cân tại O) khi đó

0.25

b) i) Chứng minh rằng: .

1,5

Gọi AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

+ Chứng minh được tứ giác BHCD là hình bình hành.

0,25

Nên

0,25

Ta có O là trung điểm của đoạn AD nên

0,25

Suy ra

0,25

Ta có: ; tương tự

0,25

(đpcm)

0.25

b) Đặt BC = a, CA = b, AB = c. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c sao cho OH vuông góc với trung tuyến vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC.

1,5

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB.

0,25

0,25

0,25

0,25

Lại có:

0,25

Suy ra: .

0,25