Đề Thi HSG Toán 12 Tỉnh Phú Thọ 2019-2020 Có Lời Giải Chi Tiết

ĐỀ HỌC SINH GIỎI PHÚ THỌ

NĂM HỌC 2019 - 2020

THỜI GIAN : 180 PHÚT – ĐỀ SỐ 1

I. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Bài 1. a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b) Tìm tất cả các giá trị thực của để đồng biến trên khoảng .

Bài 2. Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh và Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng .

a) Gọi là trọng tâm tam giác Chứng minh vuông góc với mặt phẳng

b) Tính thể tích của khối lăng trụ

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt phẳng .

a) Tìm tọa độ giao điểm của và .

b) Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng , vuông góc với và khoảng cách từ đến bằng .

Bài 4.

a) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển thành đa thức .

b) Một hộp có 60 quả cầu được đánh số từ 1 đến 60. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu là một số chia hết cho 8.

II. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (12,0 điểm)

Câu 1. Nguyên hàm của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Câu 2. Một hộp có viên bi trắng, viên bi vàng và viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt viên bi trong hộp, số cách lấy ra được đúng một viên bi vàng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 3. Cho hình chóp tam giác có đôi một vuông góc và . Gọi là trung điểm của . Góc giữa hai đường thẳng và bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 4. Tập xác định của hàm số là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 5. Trong không gian , cho điểm và . Mặt cầu tâm và tiếp xúc với có phương trình:

A. . B. .

C. . D. .

Câu 6. Một cấp số cộng hữu hạn có số hạng thứ nhất bằng 2; số hạng cuối bằng 28 và tổng tất cả các số hạng bằng 450. Hỏi cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng?

A. . B. . C. . D. .

Câu 7. Trong không gian cho mặt phẳng và đường thẳng . Đường thẳng nằm trong và vuông góc với có một véctơ chỉ phương . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 8. Cho cấp số nhân tăng thỏa mãn . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 9. Gọi là giá trị lớn nhất, là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Khi đó tổng thuộc khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng ?

A. . \B. . C. . D. .

Câu 11. Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Câu 12. Cho . Tích phân bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 13. Đặt và . Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 14. Cắt hình nón bởi một măt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền . Thể tích khối nón bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 15. Cho hình phẳng giới hạn bởi trục tung, đồ thị của hàm số và tiếp tuyến của tại điểm Diện tích của bằng

A. B. C. D.

Câu 16. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân,

tạo với đáy góc Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

A. B. C. D.

Câu 17. Cho hàm số .   Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. .      B. .   

_C. . D. .

Câu 18. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa và mặt đáy bằng . Khoảng cách từ đến bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 19. Tổng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 20. Chọn ngẫu nhiên hai số phân biệt và từ tập hợp . Xác suất để là số nguyên bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 21. Cho hình chóp có tam giác đều _{có thể tích bằng mặt bên tạo với đáy một góc} . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 22. Một người mua xe máy trả góp với giá tiền là triệu đồng, mức lãi suất tháng với hợp đồng là trả triệu đồng/tháng (cả gốc và lãi). Sau một năm lãi suất lại tăng lên là tháng và hợp đồng thay đổi là trả 2 triệu đồng/1 tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng người đó trả hết nợ? (tháng cuối có thể trả không quá 2 triệu đồng).

A. . B. . C. . D. .

Câu 23. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số dạng và thỏa mãn ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 24. Cho và Giá trị của bằng

A. B. C. D.

Câu 25. Trong không gian cho hai đường thẳng , và điểm . Đường thẳng đi qua , vuông góc với và cắt có một vectơ chỉ phương là Tổng bằng

A. B. C. D.

Câu 26. Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ và hai cạnh bên đều bằng (mét). Khi đó hình thang đã cho có diện tích lớn nhất bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 27. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và cạnh bên và vuông góc với mặt phẳng đáy. Sin của góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số nghịch biến trên khoảng

A. . B. . C. . D. .

Câu 29. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Tam giác đều, tam giác vuông tại . Điểm thuộc đường thẳng sao cho vuông góc với . Độ dài đoạn thẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 30. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường . Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục hoành bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 31. Trong không gian cho bốn điểm Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm trên ?

A. mặt phẳng B. mặt phẳng. C. mặt phẳng. D. mặt phẳng.

Câu 32. Cho tứ diện có và Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng Thể tích khối tứ diện bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 33. Cho hàm số . Đồ thị hàm số như hình vẽ bên.

Bất phương trình đúng với khi và chỉ khi:

A. . B. . C. D. .

_{Câu 34.} Cho cấp số cộng có số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba mươi lần lượt bằng và . Tổng bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 35. Cho hai số thực dương thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 36. Cho hàm số có đồ thị của hàm số như hình vẽ bên.

Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 37. Cho hàm số có đạo hàm và Đặt

Mệnh đề nào sau đây đúng ?

_A. B. C. D.

Câu 38. Cho hình lăng trụ khoảng cách từ đến và lần lượt bằng và

góc giữa hai mặt phẳng và bằng Hình chiếu vuông góc của lên mặt

phẳng là trung điểm của và Thể tích của khối lăng trụ

bằng

A. B. C. D.

Câu 39. Trong không gian , cho hình chóp có , , đường thẳng

có phương trình và góc giữa và mặt phẳng đáy bằng . Khi ba

điểm cùng với ba trung điểm của ba cạnh bên của hình chóp nằm trên một mặt

cầu thì mặt phẳng có phương trình là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 40. Cho hàm số bậc ba có đồ thị (C) như hình vẽ bên.

Biết đồ thị hàm số đã cho cắt trục tại ba điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục là , diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và bằng

A. B. C. D.

HƯỚNG DẪN GIẢI

I. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Bài 1. a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b) Tìm tất cả các giá trị thực của để đồng biến trên khoảng .

Lời giải

Tác giả: Trần Quang; Fb:Quang Trần

a) Cách 1 : Xét hàm số , . + Vận dụng bất đẳng thức cơ bản vào bài toán ta có ngay: , hay . Dấu đẳng thức xảy ra tại . Như vậy giá trị lớn nhất của là . + Vì và với mọi nên . Dấu bằng xảy ra tại , Do đó giá trị nhỏ nhất của là . Kết luận: GTNN của là và GTLN của là . Cách 2 : Điều kiện xác định Ta có

Trên khoảng thì có nghiệm duy nhất Ta có . Suy ra: b) Từ giả thiết ta có . Như vậy ta cần tìm tất cả các giá trị của để , . Đầu tiên ta thấy không thỏa mãn. Do đó chúng ta giải bài toán trong trường hợp . Ta có . Khi đó , khi và chỉ khi hoặc . Giải ta được . Giải ta được . Như vậy tập tất cả các giá trị cần tìm là . Cách 2: Từ giả thiết ta có Ta cần tìm các giá trị của để Đặt Bảng biến thiên. 0 0 0 1 0 Vậy tập các giá trị của thỏa mãn là

Bài 2. Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh và Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng .

a) Gọi là trọng tâm tam giác Chứng minh vuông góc với mặt phẳng

b) Tính thể tích của khối lăng trụ

Lời giải

Tác giả: Trần Quang; Fb: Quang Trần

a) Gọi là giao điểm của và . Ta có tam giác đều nên . Mặt khác ta cũng có tam giác cân tại nên . Từ đó suy ra . Do đó . Tương tự ta cũng chứng minh được . Nên ta có thể kết luận được .

b) Gọi là chân đường vuông góc hạ từ đến . Ta đã chứng minh được , từ đây suy ra . Như vậy chính là đường vuông góc chung của và . Tức bằng khoảng cách giữa và . Theo giả thiết ta có . Ta nhận thấy tam giác và tam giác đồng dạng với nhau. Do đó , hay . Từ đó dễ dàng tính như sau: . Như vậy thể tích của hình lăng trụ là: .

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt phẳng .

a) Tìm tọa độ giao điểm của và .

b) Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng , vuông góc với và khoảng cách từ đến bằng .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Uyên; Fb:Uyen Nguyen

a) Ta có .

. Có .

.

Vậy .

b) có vectơ pháp tuyến ; đường thẳng có vectơ chỉ phương .

Do đường thẳng nằm trong mặt phẳng , vuông góc với nên có véc tơ chỉ phương .

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên , khi đó: .

Giải hệ ta tìm được và .

Với , ta có .

Với , ta có .

Bài 4.

a) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển thành đa thức .

b) Một hộp có 60 quả cầu được đánh số từ 1 đến 60. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu là một số chia hết cho 8.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Uyên; Fb: Uyen Nguyen

a) Ta có .

Để tìm hệ số của ta tìm sao cho .

Vậy hệ số của là: .

b) Một hộp có 60 quả cầu được đánh số từ 1 đến 60. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó.

Vậy .

Gọi là biến cố: “Tích 3 số ghi trên 3 quả cầu là một số chia hết cho 8”.

Từ 1 đến 60 có:

+ 7 số chia hết cho 8;

+ 8 số chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 8;

+15 số chẵn nhưng không chia hết cho 4.

+ 30 số chẵn và 30 số lẻ.

Để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu là một số chia hết cho 8 có các trường hợp xảy ra là:

TH1. Chọn 3 số chẵn từ 30 số chẵn. Khi đó tích của 3 số đó là một số chia hết cho 8 ta có số cách chọn là .

TH2. Chọn số chẵn và số lẻ. Ta xét hai khả năng sau:

+ Chọn được số chia hết cho và số lẻ. Khi đó số cách chọn là .

+ Chọn được số chia hết cho , số chẵn không chia hết cho và số lẻ. Khi đó số cách chọn là

TH3. Chọn được số chẵn và số lẻ. Chọn số chia hết cho 8 và số lẻ. Khi đó số cách chọn là

Suy ra .

Vậy .

II. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (12,0 điểm)

Câu 1. Nguyên hàm của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Minh Thành ; Fb: Nguyễn Minh Thành

Chọn B

Ta có

Câu 2. Một hộp có viên bi trắng, viên bi vàng và viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt viên bi trong hộp, số cách lấy ra được đúng một viên bi vàng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Minh Thành ; Fb: Nguyễn Minh Thành

Chọn A

Số cách để trong viên lấy ra được đúng một viên bi vàng là

Câu 3. Cho hình chóp tam giác có đôi một vuông góc và . Gọi là trung điểm của . Góc giữa hai đường thẳng và bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Lan Anh; Fb: Nguyễn Thị Lan Anh

Chọn B

Gọi là trung điểm của . Ta có . Nên góc giữa hai đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và .

Theo giả thiết, trong tam giác có: . Suy ra tam giác đều.

Vậy suy ragóc giữa hai đường thẳng và bằng . Hay góc giữa hai đường thẳng và bằng .

Câu 4. Tập xác định của hàm số là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Lan Anh; Fb: Nguyễn Thị Lan Anh

Chọn D

Điều kiện để hàm số xác định là: .

Vậy: Hàm số có tập xác định là .

Câu 5. Trong không gian , cho điểm và . Mặt cầu tâm và tiếp xúc với có phương trình:

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Tác giả:Fb: giaonguyen

Chọn C

Bán kính của mặt cầu cần tìm là: .

Phương trình mặt cầu cần tìm là: .

Câu 6. Một cấp số cộng hữu hạn có số hạng thứ nhất bằng 2; số hạng cuối bằng 28 và tổng tất cả các số hạng bằng 450. Hỏi cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Giả sử cấp số cộng đó có số hạngvới là số nguyên dương .

Theo bài ra ta có: .

Câu 7. Trong không gian cho mặt phẳng và đường thẳng . Đường thẳng nằm trong và vuông góc với có một véctơ chỉ phương . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả:Trần Mạnh Trung; Fb: Trung Tran

Phản biện:Trần Đức Biên

Chọn C

Ta có .

Ta có .

Do đường thẳng nằm trong có giá vuông góc với đường thằng .

Do vuông góc với nên có giá vuông góc với đường thằng .

Vậy ta có

Vậy có một véc tơ chỉ phương là .

Mà theo bài toán ta có có một véc tơ chỉ phương là .

Suy ra .

Câu 8. Cho cấp số nhân tăng thỏa mãn . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả:Trần Mạnh Trung ; Fb: Trung Tran

Phản biện:Trần Đức Biên

Chọn C

Gọi là cấp số nhân tăng có số hạng dầu là và công bội

Ta có

Chia (1) và (2) cho nhau ta có (3)

Hướng 1:

Đặt

ta có .

Suy ra .

_{Hướng 2:}

Câu 9. Gọi là giá trị lớn nhất, là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Khi đó tổng thuộc khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Cao Tùng; Fb: Cao Tung

Chọn D

.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có suy ra .

Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Cao Tùng; Fb: Cao Tung

Chọn B

Để thỏa mãn bài toán ta có do .

Xét hàm số , nên hàm số đồng biến trên từ đó .

Từ đó ta có , do nguyên dương nên . Có 18 giá trị .

Câu 11. Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Phạm Cao Thế; Fb:Cao Thế Phạm

Chọn A

+ TXĐ: .

+ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang và đứng.

Câu 12. Cho . Tích phân bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Phạm Cao Thế; Fb:Cao Thế Phạm

Chọn A

Xét tích phân .

Đặt .

Đổi cận: .

Khi đó .

Do đó .

Câu 13. Đặt và . Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Ngọc Thị Phi Nga FB: Ngọc Thị Phi Nga

Chọn C

Ta có

Câu 14. Cắt hình nón bởi một măt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền . Thể tích khối nón bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Ngọc Thị Phi Nga FB: Ngọc Thị Phi Nga

Chọn A

Giả sử hình nón có chiều cao , bán kính .

Cắt hình nón bởi một măt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền nên ta có .

Vậy thể tích khối nón bằng .

Câu 15. Cho hình phẳng giới hạn bởi trục tung, đồ thị của hàm số và tiếp tuyến của tại điểm Diện tích của bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Huệ ; Fb:Nguyễn Huệ

Chọn C

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là

.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và là

Diện tích hình giới hạn bởi trục tung, đố thị hàm số và phương trình tiếp tuyến là:

Câu 16. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân,

tạo với đáy góc Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Tác giả: Hà Quang Trung; Fb: Ha Quang Trung

Chọn A

Ta có . Trong tam giác vuông :

Suy ra

Câu 17. Cho hàm số .   Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. .      B. .   

_C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Hà Quang Trung; Fb: Ha Quang Trung

Chọn C

Ta có .

Kiểm tra từng đáp án: .

Câu 18. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa và mặt đáy bằng . Khoảng cách từ đến bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Lê Thanh Hùng; Fb: Thanh Hung Le

Chọn D

nên góc giữa và mặt đáy là

Từ đó: .

Do nên , ta được :

Mặt khác: (Do ) nên .

Ta dựng , thì: nên .

Vậy:

Câu 19. Tổng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Lê Thanh Hùng; Fb: Thanh Hung Le

Chọn D

Xét khai triển

(*).

Mặt khác, từ tính chất: , với , ta có:

Do vậy:

Từ (*), ta được:

Vậy:

Câu 20. Chọn ngẫu nhiên hai số phân biệt và từ tập hợp . Xác suất để là số nguyên bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Loan; Fb: Nguyễn Loan

Chọn B

Ta có:

. Do đó .

Nếu có 4 cách chọn .

Nếu có cách chọn .

Nếu có cách chọn .

Nếu có cách chọn .

Nếu có cách chọn .

Nếu có cách chọn .

Nếu có cách chọn

Nếu có 2 cách chọn n.

Nếu có cách chọn .

Nếu có cách chọn .

Nếu có cách chọn .

Nếu có cách chọn .

Vậy có: cách chọn hay có 62 cách chọn

Câu 21. Cho hình chóp có tam giác đều _{có thể tích bằng mặt bên tạo với đáy một góc} . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Loan; Fb: Nguyễn Loan

Chọn B

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng . Khi đó, theo giả thiết ta có:

là trọng tâm tam giác đều . Gọi là giao của và là trung điểm của

góc giữa mặt phẳng và đáy là , giả sử độ dài cạnh tam giác đều là

Do đó thể tích của tứ diện là: .

Mặt khác: .

Cách khác để tìm khoảng cách từ đến mặt phẳng ngoài cách dùng thể tích

Ta thấy:

Câu 22. Một người mua xe máy trả góp với giá tiền là triệu đồng, mức lãi suất tháng với hợp đồng là trả triệu đồng/tháng (cả gốc và lãi). Sau một năm lãi suất lại tăng lên là tháng và hợp đồng thay đổi là trả 2 triệu đồng/1 tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng người đó trả hết nợ? (tháng cuối có thể trả không quá 2 triệu đồng).

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Chúc; Fb: Chuc Nguyen

Chọn C

Đặt .

Sau tháng thứ nhất, người đó còn nợ lại .

Sau tháng thứ hai, người đó còn nợ lại

.

Sau tháng thứ ba, người đó còn nợ lại

Tương tự ta có: sau tháng thứ , người đó còn lại .

Vậy sau năm đầu tiên, người đó còn nợ lại .

Từ tháng đầu tiên của năm thứ hai, ta coi đó là tháng thứ nhất.

Làm tương tự như trên ta có, sau tháng, người đó còn nợ lại .

Ta có .

Do đó, sau tháng, người đó sẽ trả hết nợ.

Câu 23. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số dạng và thỏa mãn ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Chúc; Fb: Chuc Nguyen

Chọn D

Đặt ; .

Mà ta có nên .

Vậy ta có .

Chọn 5 số trong 11 số từ 1 đến 11 ta có cách chọn.

Từ 5 số vừa chọn, ta có duy nhất 1 cách xếp theo thứ tự tăng dần.

Suy ra ta có duy nhất 1 cách chọn cho bộ .

Hay ta có duy nhất 1 cách chọn cho bộ .

Vậy có số cần lập.

Câu 24. Cho và Giá trị của bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Hưng; Fb: Nguyễn Hưng

Chọn A

Từ giả thiết .

Khi đó

Ta có . Vậy chọn A

Câu 25. Trong không gian cho hai đường thẳng , và điểm . Đường thẳng đi qua , vuông góc với và cắt có một vectơ chỉ phương là Tổng bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Hưng; Fb: Nguyễn Hưng

Chọn B

Gọi giao điểm của và là

Ta có: . Do vuông góc với nên ta có .

suy ra .

Câu 26. Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ và hai cạnh bên đều bằng (mét). Khi đó hình thang đã cho có diện tích lớn nhất bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Hưng; Fb: Nguyễn Hưng

Chọn C

+ Gọi hình thang cân đã cho là như hình vẽ, Đặt

Ta có: .

Vậy

+ ,

Từ bảng biến thiên, chọn đáp án C

Câu 27. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và cạnh bên và vuông góc với mặt phẳng đáy. Sin của góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hào Kiệt; FB: Nguyễn Hào Kiệt

Chọn A

Theo định lý cô sin ta có: .

. Ta có suy ra _.

Gọi

Ta có: .

Theo Pytago ta có . Kẻ .

.

Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số nghịch biến trên khoảng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hào Kiệt; FB: Nguyễn Hào Kiệt

Chọn C

Đặt . Ta có với . Khi đó ta có .

Ta có . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng .

Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi

. mà nên .

Vậy có 5 giá trị của thỏa mãn.

Câu 29. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Tam giác đều, tam giác vuông tại . Điểm thuộc đường thẳng sao cho vuông góc với . Độ dài đoạn thẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy

Chọn B

Gọi là trung điểm của đoạn và là hình chiếu vuông góc của lên .

Ta có

là trung điểm của đoạn Tam giác vuông cân tại .

.

Suy ra

; ; ; .

Mặt khác .

Mà

Ta có .

.

Vậy .

Câu 30. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường . Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục hoành bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và :

Dựa trên đồ thị của các hàm số, ta có thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục hoành

.

Câu 31. Trong không gian cho bốn điểm Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm trên ?

A. mặt phẳng B. mặt phẳng. C. mặt phẳng. D. mặt phẳng.

Lời giải

Tác giả:Lê Phong; FB: Lê Phong

Chọn D

Ta có: .

Phương trình mặt phẳng là:

Thay tọa độ điểm vào phương trình thấy không thỏa mãn, suy ra: .

Vậy 4 điểm là bốn đỉnh của một hình tứ diện.

Gọi lần lượt là trung điểm của .

Ta dễ chứng minh được các mặt phẳng , , , , , , là các mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy có mặt phẳng cách đều điểm đã cho.

Câu 32. Cho tứ diện có và Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng Thể tích khối tứ diện bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả:Lê Phong; FB: Lê Phong

Chọn C

Ta có: .

Suy ra:

Dựng hình bình hành , ta có: .

Dựng vuông góc với tại và dựng vuông góc với tại , Ta có:

. Lại có: .

Từ và suy ra: .

Trong vuông tại ta có: .

Diện tích tam giác là .

Vậy thể tích tứ diện là: .

Câu 33. Cho hàm số . Đồ thị hàm số như hình vẽ bên.

Bất phương trình đúng với khi và chỉ khi:

A. . B. . C. D. .

Lời giải

Tác giả:Hoàng Thị Thúy; FB: Hoangthuy

Chọn B.

Ta có: .

Xét hàm số trên khoảng .

.

.

Vì , nên .

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy bất phương trình , đúng với khi : _.

_{Câu 34.} Cho cấp số cộng có số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba mươi lần lượt bằng và . Tổng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả:Hoàng Thị Thúy FB: Hoangthuy

Chọn A

Ta có : .

Đặt .

Câu 35. Cho hai số thực dương thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Thu Hà; Fb: Phạm Thị Thu Hà

Chọn D

Điều kiện

Ta có

Xét hàm số trên khoảng

Ta có

đồng biến trên khoảng .

Do đó ta có

Ta có

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có

Từ và ta có

Dấu xảy ra khi và chỉ khi

Câu 36. Cho hàm số có đồ thị của hàm số như hình vẽ bên.

Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Thu Hà ; Fb: Phạm Thị Thu Hà

Chọn A

Cách 1 Ta tịnh tiến đồ thị lên trên một đơn vị ta được đồ thị hàm số . Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số sang phải 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số . Từ đó ta có đồ thị hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên

hàm số đồng biến trên khoảng

Cách 2

Đồ thị hàm số đã cho là đồ thị của hàm số

Từ đồ thị hàm số ta có có điểm cực đại, điểm cực tiểu lần lượt là và

Khi đó

Do đó

Đặt

Khi đó trở thành

Từ đó ta có

Do đó hàm số đồng biến trên

hàm số đồng biến trên khoảng

Câu 37. Cho hàm số có đạo hàm và Đặt

Mệnh đề nào sau đây đúng ?

_A. B. C. D.

Lời giải

Tác giả: Đào Thị Hương; FB: Hương Đào

Chọn D

_{Ta có:}

Do .

Hàm số có: nên hàm số liên tục tại .

Do đó .

_{Suy ra}

.

Câu 38. Cho hình lăng trụ khoảng cách từ đến và lần lượt bằng và

góc giữa hai mặt phẳng và bằng Hình chiếu vuông góc của lên mặt

phẳng là trung điểm của và Thể tích của khối lăng trụ

bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Tác giả: Đào Thị Hương; FB: Hương Đào

Chọn A

Kẻ

Do .

Áp dụng định lý hàm số cosin ta có:

Khi đó ta có: . Suy ra tam giác vuông tại

Gọi là trung điểm và là giao điểm của và . Suy ra

Do hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trung điểm của nên.

Lại có: .

Do đó tam giác vuông tại và là đường cao. Suy ra

Câu 39. Trong không gian , cho hình chóp có , , đường thẳng

có phương trình và góc giữa và mặt phẳng đáy bằng . Khi ba

điểm cùng với ba trung điểm của ba cạnh bên của hình chóp nằm trên một mặt

cầu thì mặt phẳng có phương trình là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Minh Thư ; Fb:nguyenminhthu

Chọn C

Do 6 điểm A, B, C, A’, B’, C’ cùng thuộc một mặt cầu nên các tứ giác ABB’A’, BCC’B’C, CAA’C’ là các hình thang nội tiếp, vì vậy chúng là các hình thang cân

Suy ra

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì SI vuông góc với (ABC)

Suy ra

Gọi D là trung điểm của AB thì

Ta có

Mặt khác Suy ra

Mặt phẳng (ABC) đi qua và nhận làm vtpt nên có phương trình

Lời bàn:

Nếu bỏ giả thiết thì ta vẫn viết được phương trình (ABC) bằng các giả thiết đi qua D, chứa đường thẳng AB và .

Câu 40. Cho hàm số bậc ba có đồ thị (C) như hình vẽ bên.

Biết đồ thị hàm số đã cho cắt trục tại ba điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục là , diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Minh Thư ; Fb:nguyenminhthu

Chọn D

Ta có

Vì theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng nên điểm là tâm đối xứng của đồ thị.

Do đó

Suy ra