Đề Thi HSG Toán 10 Tỉnh Vĩnh Phúc Năm (Đề 1) | Kèm Hướng Dẫn Giải

Câu

Nội dung trình bày

Điểm

1

(1,5 điểm)

Hàm số có tập xác định khi và chỉ khi

0,25

Với ta có Do đó thỏa mãn.

0,25

Với

0,5

0,25

Vậy

0,25

2

a (1,5 điểm)

Điều kiện xác định:

0,25

Bất phương trình tương đương:

0,25

0,25

0,5

Vậy nghiệm của bất phương trình là hoặc

0,25

b (1,0 điểm)

Điều kiện xác định: hoặc

PT đã cho tương đương

0,25

Đặt , ta được PT:

hoặc

0,25

Với thì

0,25

Với thì Vậy các nghiệm của PT là

0,25

3

(1,0 điểm)

PT

0,25

Yêu cầu bài toán tương đương: Tìm m để có hai nghiệm phân biệt khác thỏa mãn

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác khi

0,25

Theo định lí Viet ta có . Khi đó

Do đó

0,25

hoặc . Kết hợp với điều kiện ta được ,

0,25

4

(3,0 điểm)

a (1,0 điểm)

Gọi là độ dài cạnh hình vuông ABCD. Đặt thì và Giả sử thì

0,25

Suy ra và

0,25

Ta có

0,25

. Vậy, điểm nằm trên thỏa mãn

0,25

b (1,0 điểm)

Gọi , do nên , suy ra

0,25

CN có véc tơ pháp tuyến nên phương trình

Tọa độ C thỏa mãn hệ , suy ra

0,25

Do và nên C là trung điểm DE, suy ra . Do đó D đối xứng với N qua AC.

0,25

Phương trình , từ đó suy ra Do nên

Vậy

0,25

c (1,0 điểm)

Vẽ đường cao BM và CN của tam giác ABC ( ). Gọi K là trung điểm của BC, qua K kẻ đường thẳng song song với CN và BM cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Khi đó E là trung điểm BN và F là trung điểm CM.

0,25

Bốn điểm nằm trên đường tròn đường kính , theo định lý sin trong tam giác EKF ta được .

0,25

Áp dụng định lý cosin trong tam giác EKF ta được :

0,25

(vì ).

0,25

5

(1,0 điểm). Giải hệ

Cộng tương ứng hai vế của (1) và (2) ta được

0,25

0,25

Thế vào ta được:

0,25

Vậy hệ có nghiệm là:

0,25

6

(1,0 điểm).

Ta có (1), mà , suy ra

Đặt ta được .

0,25

Ta có (theo (1))

0,25

Mặt khác

0,25

Do đó . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy .

0,25