Chuyên đề phương trình lượng giác lớp 11 luyện thi THPT Quốc gia

CHUYÊN ĐỀ: LƯỢNG GIÁC

CHỦ ĐỀ 1

CUNG LƯỢNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

(3 Tiết)

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

1. Định nghĩa các giá trị lượng giác

Cho . Giả sử .

Nhận xét:



 tan xác định khi  cot xác định khi

 

2. Dấu của các giá trị lượng giác

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

4. Hệ thức cơ bản:

; ;

5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

II. Công thức lượng giác

1. Công thức cộng

2. Công thức nhân đôi

3. Công thức biến đổi tổng thành tích

4. Công thức biến đổi tích thành tổng

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

1. Dạng 1: Xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung:

+ Xác định điểm cuối của cung xem điểm đó thuộc cung phần tư nào, từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác tương ứng.

+ Phải nắm rõ các cung phần tư từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác; để xác định dấu của các giá trị lượng giác ta cần nắm rõ định nghĩa giá trị lượng giác của cung và thực hiện như sau: Vẽ đường tròn lượng giác, trục đứng(Oy) là trục sin, trục nằm (Ox) là trục cosin; khi thuộc cung phần tư nào ta cho một điểm M bất kì nằm trên cung phần tư đó, sau đó chiếu điểm M vuông góc xuống trục sin và trục cos từ đó xác định được sin dương hay âm, cos dương hay âm; tan=sin/cos; cot=cos/sin; dựa vào dấu của sin và cos ta xác định được dấu của tan và cot theo nguyên tắc chia dấu: -/-=+; -/+= -

2. Dạng 2: Tính các giá trị lượng giác của một cung:

+ Nếu biết trước thì dùng công thức: để tìm , lưu ý:xác định dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại. ; hoặc

+ Nếu biết trước thì tương tự như trên.

+ Nếu biết trước thì dùng công thức: để tìm , lưu ý: xác định dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại. ,

3. Dạng 3: Chứng minh các đẳng thức lượng giác:

Sử dụng các hằng đẳng thức đại số (7 hằng đẳng thức đáng nhớ) và các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản để biến đổi một vế thành vế kia.

biến đổi một vế thành vế kia)

;

4. Dạng 4: Đơn giản các biểu thức lượng giác:

+ Dùng các hệ thức cơ bản và giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Giá trị lg của các góc có liên quan đặc biệt:“sin bù,cos đối,phụ chéo,hơn kém tan sai ”

+ Chú ý: Với ta có:

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Dạng 1:

Bài tập 1.1: Cho . Xác định dấu của các giá trị lượng giác:

a) b) c) d)

Giải

a) vậy

Dạng 2:

Bài tập 2.1: Tính các giá trị lượng giác của góc biết:

với với

Giải

a) Do nên

;

c) Do nên

;

Các bài tập còn lại làm tương tự.

Bài tập 2.2: Biết và . Hãy tính các giá trị lượng giác của góc:

a) Do nên

b)

Bài tập 2.3: Tính biết:

a) ; ;

b)

c) và

Hướng dẫn:

a) tính sina, sau đó áp dụng các công thức nhân đôi.

; ; hoặc ;

c)

;

Bài tập 2.4: Cho và . Tính sina, cosa

+ Vì nên

+ nên cos2a có thể dương và có thể âm

TH1:

;

TH2:

;

Dạng 3:

Bài tập 3.1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác:

a) Biến đổi:

b) Biến đổi: , chia tử và mẫu cho

c) Biến đổi:

d) Biến đổi:

e)

f)

Sử dụng và

g)

h)

i)

Sử dụng

j) ( nếu )

k)

l)

m)

n)

o)

p)

Bài tập 3.2: Chứng minh các đẳng thức sau:

a)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

b)

Hướng dẫn: sau đó áp dụng

c)

d)

Sử dụng sau đó sử dụng

e)

f)

Hướng dẫn:

g) phân tích như trên

h) Hướng dẫn:

i) Hướng dẫn:

j)

Hướng dẫn: Tương tự như câu c

k) Sử dụng hằng đẳng thức

l)

Hướng dẫn: Quy đồng mẫu

m)

Hướng dẫn: sin2a=2sinacosa; đặt nhân tử chung sau đó áp dụng

n)

0)

Hướng dẫn:

p)

Hướng dẫn:

q)

r)

HD: sau đó sử dụng

s)

t)

Sử dụng công thức hạ bậc

Bài tập 3.3: Chứng minh các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc vào a

a)

Sử dụng

b)

Sử dụng và

c)

Sử dụng

Dạng 4:

Bài tập 4.1: Đơn giản các biểu thức sau:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i) I=

j) J=

k) K=

Bài tập 4.2: Đơn giản các biểu thức:

a) A=1

b) B=

Hướng dẫn:

c) C=-2cosx

Hướng dẫn: ;

d) D=-2sinx

Hướng dẫn:

e) E=-2sina

Hướng dẫn:

Bài tập 4.3: Tính:

a) ( 8 số hạng)

b) (18 số hạng)

c)

d)

e)

( ; tương tự những phần còn lại nên )

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

1. Nhận biết:

Câu 1: Góc có số đo 120⁰ được đổi sang số đo rad là :

A. B. C. D.

Câu 2: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A. B. C. D.

Câu 3: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai: Với mọi Với mọi ta có:

A. C.

B. . D. tan ( _- ) =

Câu 4: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai: Với mọi Với mọi ta có:

A. C.

B. D. Câu 5: là:

_A. B. C. _D.

2. Thông hiểu:

Câu 6: Biểu thức có biểu thức rút gọn là:

A. . B. C. . D. .

Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:

A. (sinx + cosx)² = 1 + 2sinxcosx B. (sinx – cosx)² = 1 – 2sinxcosx

C. sin⁴x + cos⁴x = 1 – 2sin²xcos²x D. sin⁶x + cos⁶x = 1 – sin²xcos²x

Câu 8: Tính giá trị của biểu thức nếu cho

A. B. C. D. 1

Câu 9: Cho thì có giá trị bằng :

A. . B. . C. . D. .

Câu 10: Biết Hãy tính .

A. 0 B. C. D.

Câu 11: Với mọi số nguyên k, khẳng định nào sau đây là sai?

A. B.

C. D.

Câu 12: Giá trị bằng :

A. B. C. D.

Câu 13: Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút,biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng (lấy )

A. B. C. D.

Câu 14: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài và kim phút dài .Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 15: Cho . Khi đó có giá trị bằng :

A. B. C. D.

3. Vận dụng thấp:

Câu 16: Đơn giản biểu thức ta được

A. B. cosx C. sinx D.

Câu 17: Cho .Tính

A. B. C. D.

Câu 18: Đơn giản biểu thức

A. B. C.cosx D. sinx

Câu 19: Đơn giản biểu thức

A. B. C.cosx D. sin²x

Câu 20: Tính

A. B. C. D.

4. Vận dụng cao:

Câu 21:Cho và gọi Giá trị của M là:

A. B. C. D.

Câu 22: Cho . Khi đó có giá trị bằng :

A. . B. . C. . D. .

Câu 23: Cho Tính giá trị biểu thức .

A. B. C. D.

Câu 24: Với giá trị nào của n thì đẳng thức sau luôn đúng

A. 4. B. 2. C. 8. D. 6.

Câu 25: Biết . Khi đó giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

CHỦ ĐỀ 2:

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

( 2 tiết)

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Hµm sè y = sin x.

*/ TËp x¸c ®Þnh: D = ;

*/ ta lu«n cã: ;

*/ Hµm sè y = sin x lµ mét hµm sè lÎ trªn vµ lµ mét hµm tuÇn hoµn víi chu kú .

*/ §å thÞ:

2. Hµm sè y = cos x.

*/ TËp x¸c ®Þnh: D = ;

*/ ta lu«n cã: ;

*/ Hµm sè y = cos x lµ mét hµm sè ch½n trªn vµ lµ mét hµm tuÇn hoµn víi chu kú .

*/ §å thÞ:

3. Hµm sè y = tan x.

*/ TËp x¸c ®Þnh: ;

*/ Hµm sè y = tan x lµ mét hµm sè lÎ vµ lµ mét hµm tuÇn hoµn víi chu kú ;

*/ §å thÞ:

4. Hµm sè y = cot x.

*/ TËp x¸c ®Þnh: ;

*/ Hµm sè y = cot x lµ mét hµm sè lÎ vµ lµ mét hµm tuÇn hoµn víi chu kú ;

*/ §å thÞ:

B. CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

1.1 Kĩ năng cơ bản

a. D được gọi là TXĐ của hs { có nghĩa}

b. có nghĩa khi B ; có nghĩa khi A ; có nghĩa khi B

c.

d. Các giá trị đặc biệt :

e. Hàm số y = tanx xác định khi

f. Hàm số y = cotx xác định khi

1.2 Bài tập luyện tập

Bài 1: T×m tËp x¸c ®Þnh cña c¸c hµm sè:

1/ 2/

3/ 4/

Gi¶i.

1/ Do nªn hµm sè ®· cho cã tËp x¸c ®Þnh lµ .

2/ Hµm sè x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi . VËy tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ .

3/ Hµm sè x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi VËy tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ .

4/ Hµm sè x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi . VËy tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ .

Bài 2: T×m tËp x¸c ®Þnh cña c¸c hµm sè:

1/ ; 2/ ;

3/ ; 4/ .

Gi¶i.

1/ Hµm sè x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi . VËy tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ .

2/ Hµm sè x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi . Mµ . VËy hµm sè ®· cho cã tËp x¸c ®Þnh lµ .

3/ Hµm sè x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi

. VËy tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ .

4/ Hµm sè x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi VËy tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho lµ .

Dạng 2: Xác định tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

2.1. Kĩ năng cơ bản

Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx

Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ: D ; Kiểm tra x D  xD, x

Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng

+) Nếu f(-x) = f(x) thì f(x) là hàm số chẵn.

+) Nếu f(-x) = - f(x) thì f(x) là hàm số lẻ.

+) Nếu f(-x)  - f(x)  f(x) thì f(x) là hàm số không chẵn không lẻ.

Lưu ý: Một số nhận xét nhanh để xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

+ Tổng hoặc hiệu của hai hàm chẵn là hàm chẵn

+ Tích của hai hàm chẳn là hàm chẵn, tích của hai hàm lẻ là hàm chẵn

+ Tích của một hàm chẵn và hàm lẻ là hàm lẻ

+ Bình phương hoặc trị tuyệt đối của hàm lẻ là hàm chẵn (Áp dụng điều này chúng ta có thể xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác một cách nhanh chóng để làm trắc nghiệm nhanh chóng hơn nhiều).

2.2 Bài tập luyện tập

Bài tập: X¸c ®Þnh tÝnh ch½n, lÎ cña c¸c hµm sè:

1/ y = x²sin 3x 2/ y = cosx + sin²x

3/ y = tanx.cos2x 4/ y = 2cosx – 3sinx.

Gi¶i.

1/ TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) = x²sin 3x lµ .

ta cã:

*/ ;

*/ f(-x) = (-x)²sin(-3x) = - x²sin3x = - f(x).

VËy hµm sè ®· cho lµ hµm sè lÎ trªn .

2/ TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) = cosx + sin²x lµ .

ta cã:

*/ ;

*/ f(-x) = cos(- x) + sin²(- x) = cosx + sin²x = f(x).

VËy hµm sè ®· cho lµ hµm sè ch½n trªn .

3/ TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) = tanx.cos2x lµ .

ta cã:

*/ ;

*/ f(-x) = tan(-x).cos(-2x) =- tanx.cos2x = - f(x).

VËy hµm sè ®· cho lµ hµm sè lÎ trªn D.

4/ TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) = 2cosx – 3sinx lµ .

Ta cã , mÆt kh¸c nªn .

VËy hµm sè ®· cho kh«ng ph¶i lµ hµm sè ch½n vµ còng kh«ng ph¶i lµ hµm sè lÎ.

Dạng 3: Tìm tập giá trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

3.1 Kĩ năng cơ bản

Sử dụng các t/c sau :

• ; 0 sin² x 1 ; A² + B B

• 

• Hàm số y = f(x) luôn đồng biến trên đoạn thì

• Hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên đoạn thì

• 

3.2 Bài tập luyện tập

Bài tập: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c hµm sè:

1/ 2/

Gi¶i:

1/ Ta cã . VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè lµ 1, x¶y ra khi

Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y lµ -3 ®¹t ®­îc khi

2/ Ta cã

VËy, gi¸ trÞ lín nhÊt cña y lµ , khi ; gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y lµ -3, khi sin x = -1

Dạng 4.Tìm chu kỳ của hàm sốlượng giác

Phương pháp giải: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần biến đổi biểu thức của hàm số đã cho về một biểu thức tối giản và lưu ý rằng:

1) Hàm số y  sinx , y  cosx có chu kỳ T  2 .

2) Hàm số y  tanx , y  cotx có chu kỳ T   .

3) Hàm số y  sin(ax+b) , y  cos(ax+b), với có chu kỳ .

4) Hàm số y  tan(ax+b) , y  cot(ax+b), với có chu kỳ .

5) Hàm số có chu kỳ là , hàm số có chu kỳ là thì hàm số có chu kỳ .

Bài tập:

Bài 1. Tìm chu kỳ của hàm số

Giải: Chu kỳ

Bài 2. Tìm chu kỳ của hàm số

Giải: Chu kỳ

Bài 3. Tìm chu kỳ của hàm số

Giải: ta có:

Vậy chu kỳ của hàm số là:

Bài 4. Tìm chu kỳ của hàm số

Giải:

Ta có :

+) Hàm số có chu kỳ

+) Hàm số có chu kỳ

Vậy chu kỳ của hàm số là:

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

1. Nhận biết

Câu 1. Tập xác định của hàm số là?

A. B. . C. D.

Câu 2. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. . B. C. D.

Câu 3. Khẳng định nào sau đây là SAI?

A. Hàm số có tập giá trị là .

B. Hàm số có tập giá trị là .

C. Hàm số có tập giá trị là .

D. Hàm số có tập giá trị là _.

Câu 4. Giá trị lớn nhất của hàm số là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 5. Hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kỳ

A. . B. . C. . A. .

2. Thông hiểu

Câu 6. Tập xác định của hàm số là

A. B. C. D.

Câu 7. Tập xác định của hàm số là

A. B.

C. D.

Câu 8. Tập xác định của hàm số là?

A. . B. C. D.

Câu 9. Biết rằng y = f(x) là một hàm số lẻ trên tập xác định D. Khẳng định nào sai?

A. f[sin(– x)] = – f(sinx). B. f[cos(– x)] = f(cosx).

C. sin[ f(– x)] = sin[ f(x) ]. D. cos[ f(– x)] = cos[ f(x) ].

Câu 10. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ trên tập xác định của nó?

A. . B. . C. y = . D. .

Câu 11. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số lần lượt là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 12. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 13. Giá trị lớn nhất của hàm số là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 14. Tập giá trị của hàm sô là

A. B. C. D.

Câu 15. Hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kỳ

A. . B. . C. . A. .

3. Vân dụng

Câu 16. Tập xác định của hàm số là:

A. B. C. D.

Câu17. Tập xác định của hàm số là?

A. . B. C. D.

Câu 18. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn trên R?

A. y = x.cos2x. B. y = (x² + 1).sinx. C. y = . D. .

Câu 19. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số lần lượt là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 20. Hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kỳ

A. . B. . C. . A. .

Câu 21. Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số bằng:

A. . B. . C. . D. .

4. Vân dụng cao

Câu 22. Tất cả các giá trị của m để hàm số _{xác định trên R là}

A. . B. C. D.

Câu 23. Gọi S là tập giá trị của hàm số . Khi đó tổng các giá trị nguyên của S là:

A. 3. B. 4. C. 6 . D. 7.

Câu 24. Với các giá trị nào của m thì hàm số là hàm số lẻ?

A. . B. C. D.

Câu 25. Hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kỳ thì giá trị của m bằng

A. 1. B. 3. C. 6 . A. 2 .

CHỦ ĐỀ 3:

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

( 5 tiết)

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh (1)

B­íc1: NÕu |m|>1 ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm

B­íc 2: NÕu |m| 1 ,ta xÐt 2 kh¶ n¨ng

- Kh¶ n¨ng 1: NÕu m ®­îc biÓu diÔn qua sin cña gãc ®Æc biÖt ,gi¶ sö khi ®ã ph­¬ng tr×nh sÏ cã d¹ng ®Æc biÖt.

- Kh¶ n¨ng 2: NÕu m kh«ng biÓu diÔn ®­îc qua sin cña gãc ®Æc biÖt khi ®ã ta cã:

- Các trường hợp đặc biệt:

+) ;

+) ;

+) ;

2. Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c

B­íc 1: NÕu ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm .

B­íc 2: NÕu ta xÐt 2 kh¶ n¨ng:

- Kh¶ n¨ng 1: NÕu ®­îc biÓu diÔn qua cña gãc ®Æc biÖt, gi¶ sö gãc . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã d¹ng

- Kh¶ n¨ng 2: NÕu kh«ng biÓu diÔn ®­îc qua cña gãc ®Æc biÖt khi ®ã

Ta cã:

- Các trường hợp đặc biệt:

+) ;

+) ;

+) ;

3. Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c

B­íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn

B­íc 2: XÐt 2 kh¶ n¨ng

- Kh¶ n¨ng 1: NÕu ®­îc biÓu diÔn qua tan cña gãc ®Æc biÖt , gi¶ sö khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã d¹ng

- Kh¶ n¨ng 2: NÕu kh«ng biÓu diÔn ®­îc qua tan cña gãc ®Æc biÖt , khi ®ã ta ®­îc

NhËn xÐt: Nh­ vËy víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm

4. Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c

B­íc1: §Æt ®iÒu kiÖn

B­íc 2: XÐt 2 kh¶ n¨ng

-Kh¶ n¨ng 1: NÕu ®­îc biÓu diÔn qua cot cña gãc ®Æc biÖt , gi¶ sö khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã d¹ng

-Kh¶ n¨ng 2: NÕu kh«ng biÓu diÔn ®­îc qua cot cña gãc ®Æc biÖt , khi ®ã ta ®­îc

NhËn xÐt: Nh­ vËy víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè ph­¬ng tr×nh (d) lu«n cã nghiÖm.

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

I. C¸c ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c c¬ b¶n.

Bài 1: Giải các phương trình sau:

Giải

Bài tập 2:Giải các phương trình sau:

;

Giải

Bài 3: Giải các phương trình sau:

Giải

Bài 4: Giải các phương trình sau:

Giải

II. Mét sè ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c th­êng gÆp.

2.1- Ph­¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi mét hµm sè l­îng gi¸c

D¹ng 1: (1)

C¸ch gi¶i: §Æt , ®iÒu kiÖn

§­a ph­¬ng tr×nh (1) vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai theo , gi¶i t×m chó ý kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn råi gi¶i t×m

D¹ng 2: (2)

C¸ch gi¶i: §Æt ®iÒu kiÖn ta còng ®­a ph­¬ng tr×nh (2) vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai theo , gi¶i t×m råi t×m

D¹ng 3: (3)

C¸ch gi¶i: §iÒu kiÖn

§Æt ta ®­a ph­¬ng tr×nh (3) vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai theo , chó ý khi t×m ®­îc nghiÖm cÇn thay vµo ®iÒu kiÖn xem tho¶ m·n hay kh«ng

D¹ng 4: (4)

C¸ch gi¶i: §iÒu kiÖn

§Æt . Ta còng ®­a ph­¬ng tr×nh (4) vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai theo Èn t.

Bài tập minh họa:

Bài tập 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1)

Gi¶i: Ph­¬ng tr×nh (1)

VËy ph­¬ng tr×nh cã 3 hä nghiÖm.

VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (2)

Gi¶i: §iÒu kiÖn

Ta cã:

Ta thÊy kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. Do ®ã (*) VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 hä nghiÖm.

2.2- Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi

a) §Þnh nghÜa: Ph­¬ng tr×nh trong ®ã a, b, c vµ ®­îc gäi lµ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi

b) C¸ch gi¶i. Ta cã thÓ lùa chän 1 trong 2 c¸ch sau:

C¸ch 1: Thùc hiÖn theo c¸c b­íc

B­íc 1: KiÓm tra

-NÕu < ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm

-NÕu khi ®ã ®Ó t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ta thùc hiÖn tiÕp b­íc 2

B­íc 2: Chia c¶ 2 vÕ ph­¬ng tr×nh (1) cho , ta ®­îc

V× nªn tån t¹i gãc sao cho

Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (1) cã d¹ng

§©y lµ ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n cña sin mµ ta ®· biÕt c¸ch gi¶i

C¸ch 2: Thùc hiÖn theo c¸c b­íc

B­íc 1: Víi thö vµo ph­¬ng tr×nh (1) xem cã lµ nghiÖm hay kh«ng?

B­íc 2: Víi

§Æt suy ra

Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (1) cã d¹ng

B­íc 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (2) theo t , sau ®ã gi¶i t×m x.

* D¹ng ®Æc biÖt:

.

. .

Chó ý: Tõ c¸ch 1 ta cã kÕt qu¶ sau

tõ kÕt qu¶ ®ã ta cã thÓ ¸p dông t×m GTLN vµ GTNN cña c¸c hµm sè cã d¹ng , vµ ph­¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ cho mét sè ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c .

VÝ Dô minh ho¹:

VÝ Dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (1)

Gi¶i :C¸ch 1: Chia c¶ hai vÕ ph­¬ng tr×nh (1) cho ta ®­îc

§Æt . Lóc ®ã ph­¬ng tr×nh (1) viÕt ®­îc d­íi d¹ng

VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm

C¸ch 2:-Ta nhËn thÊy lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh

-Víi . §Æt ,lóc ®ã

Ph­¬ng tr×nh (1) sÏ cã d¹ng

Hay

VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 hä nghiÖm

C¸ch 3: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng

VËy ph­¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm

Chó ý: Khi lµm bµi to¸n d¹ng nµy chóng ta nªn kiÓm tra ®iÒu kiÖn tr­íc khi b¾t tay vµo gi¶i ph­¬ng tr×nh bëi cã mét sè bµi to¸n ®· cè t×nh t¹o ra nh÷ng ph­¬ng tr×nh kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. Ta xÐt vÝ dô sau:

VÝ Dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh

Gi¶i:

Ta biÕn ®æi ph­¬ng tr×nh (2)

Suy ra < VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm .

Ngoµi ra chóng ta cÇn l­u ý r»ng viÖc biÕn ®æi l­îng gi¸c cho phï hîp víi tõng bµi to¸n sÏ biÓu diÔn ch½n c¸c hä nghiÖm . Ta xÐt vÝ dô sau

VÝ Dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

Gi¶i:

(4)

VËy ph­¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm.

2.3- Ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt bËc hai ®èi víi vµ .

a) §Þnh nghÜa: Ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt bËc hai ®èi víi , lµ ph­¬ng tr×nh.

(1) trong ®ã a, b, c, d

b) C¸ch gi¶i :

Chia tõng vÕ cña ph­¬ng tr×nh (1) cho mét trong ba h¹ng tö hoÆc . Ch¼ng h¹n nÕu chia cho ta lµm theo c¸c b­íc sau:

B­íc 1: KiÓm tra:

xem nã cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh(1) hay kh«ng?

B­íc 2: Víi chia c¶ hai vÕ cho lóc ®ã ph­¬ng tr×nh (1) trë thµnh

§©y lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai theo tan ta ®· biÕt c¸ch gi¶i.

C¸ch 2: Dïng c«ng thøc h¹ bËc

®­a ph­¬ng tr×nh ®· cho vÒ ph­¬ng tr×nh

§©y lµ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sin vµ cos ta ®· biÕt c¸ch gi¶i

*Chó ý: §èi víi ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc n (n 3) víi d¹ng tæng qu¸t

trong ®ã

Khi ®ã ta còng lµm theo 2 b­íc :

B­íc 1: KiÓm tra xem cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh hay kh«ng?

B­íc 2: NÕu .Chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh trªn cho ta sÏ ®­îc ph­¬ng tr×nh bËc n theo . Gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy ta ®­îc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ban ®Çu.

VÝ Dô Minh Ho¹:

VÝ Dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh : (1)

Gi¶i: C¸ch 1: Ph­¬ng tr×nh (1)

VËy ph­¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm.

C¸ch 2: +) Thö víi vµo ph­¬ng tr×nh (1) ta cã v« lÝ.VËy kh«ng lµ nghiÖm cña ph­¬ngtr×nh.

+)Víi Chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh cho ta ®­îc

VËy ph­¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm

* Chó ý: Kh«ng ph¶i ph­¬ng tr×nh nµo còng ë d¹ng thuÇn nhÊt ta ph¶i thùc hiÖn

mét sè phÐp biÕn ®æi thÝch hîp

VÝ Dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (2)

Gi¶i :Ta nhËn thÊy cã thÓ biÓu diÔn ®­îc qua . Luü thõa bËc ba biÓu thøc

ta sÏ ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng thuÇn nhÊt ®· biÕt c¸ch gi¶i

Ph­¬ng tr×nh (2)

+) XÐt víi . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã d¹ng

m©u thuÉn VËy ph­¬ng tr×nh kh«ng nhËn lµm nghiÖm

+) Víi . Chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh (2) cho ta ®­îc :

.

§Æt ph­¬ng tr×nh cã ®­îc ®­a vÒ d¹ng:

Hä nghiÖm trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ph­¬ng tr×nh .VËy ph­¬ng tr×nh cã duy nhÊt 1 hä nghiÖm

*Chó ý: Ngoµi ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt ®· nªu ë trªn cã nh÷ng ph­¬ng tr×nh cã thÓ gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p kh¸c tuú thuéc vµo tõng bµi to¸n ®Ó gi¶i sao cho c¸ch gi¶i nhanh nhÊt ,khoa häc nhÊt.

VÝ Dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (3)

Gi¶i :

§iÒu kiÖn

C¸ch 1: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng :

Chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh (3) cho ta ®­îc :

(do v« nghiÖm) nªn:

Ph­¬ng tr×nh (*) VËy ph­¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm

C¸ch 2: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng

§Æt ta ®­îc :

VËy ph­¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm

2.4-Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi vµ .

a) §Þnh nghÜa: Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi vµ lµ ph­¬ng tr×nh d¹ng

trong ®ã (1)

b) C¸ch gi¶i:

C¸ch 1: Do nªn ta ®Æt

. §iÒu kiÖn

Suy ra vµ ph­¬ng tr×nh (1) ®­îc viÕt l¹i:

§ã lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai ®· biÕt c¸ch gi¶i

C¸ch 2: §Æt th×

nªn ph­¬ng tr×nh (1) trë thµnh

. §©y lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai ®· biÕt c¸ch gi¶i

*Chó ý: Hai c¸ch gi¶i trªn cã thÓ ¸p dông cho ph­¬ng tr×nh b»ng c¸ch ®Æt

VÝ Dô Minh Ho¹ :

VÝ Dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh

Gi¶i:

C¸ch 1: §Æt ®iÒu kiÖn . Lóc ®ã

Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (1) sÏ cã d¹ng

Víi kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nªn

(*)

C¸ch 2: §Æt . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã d¹ng

(*’)

Ta thÊy kh«ng tho¶ m·n

Do ®ã (*’)

VËy ph­¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm

VÝ Dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh ­(3)

Gi¶i:§iÒu kiÖn

(3)

Gi¶i (4)

Gi¶i (5): §Æt (*)Suy ra .

Ph­¬ng tr×nh (5) trë thµnh

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) th× bÞ lo¹i

Víi ta cã

C¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (4) vµ (5) ®Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ph­¬ng tr×nh

VÝ Dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (2)

Gi¶i: §iÒu kiÖn: . Ph­¬ng tr×nh (2)

(lo¹i)

C¸c nghiÖm ®Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

D. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1. là tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. B. C. D.

Câu 2. Phương trình có các nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 3: Phương trình: có nhghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 4: Nghiệm của phương trình: sin x + cos x = 1 là:

A. B. C. D.

Câu 5: Giải phương trình lượng giác: có nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 6: Điều kiện để phương trình vô nghiệm là

A. B. C. D.

Câu7: Phương trình lượng giác: có nghiệm là:

A. B. Vô nghiệm C. D.

Câu 8: Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 9. Nghiệm của phương trình là:

A. B. C. D.

Câu 10. Nghiệm của phương trình là:

A. B. C. D.

Câu 11. Các nghiệm của phương trình là:

A. B. C. D.

Câu 12. Nghiệm của phương trình trên khoảng là:

A. B. C. D.

Câu 11. Phương trình là:

A. B. C. D.

Câu 12. Các nghiệm của phương trình là:

A. B. C. D.

Câu 13: Nghiệm dương bé nhất của phương trình: là:

A. B. C. D.

Câu 14: Nghiệm của phương trình lượng giác: thõa điều kiện là:

A. B. C. D.

Câu 15: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A. B.

C. D.

Câu 16. Số nghiệm của phương trình thuộc đoạn là:

A. B. C. D.

Câu 17: Số nghiệm của phương trình: với là:

A. 1 B. 0 C. 2 D. 3

Câu 18: Số nghiệm của phương trình: với là:

A. 0 B. 2 C. 1 D. 3

Câu 19: Nghiệm của phương trình lượng giác: thỏa điều kiện là:

A. B. x = 0 C. D.

Câu 20: Phương trình: tương đương với phương trình nào sau đây:

A. B. C. D.

Câu 21: Tìm m để pt sin2x + cos²x = có nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 22: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin²x là:

A. B. C. D.

Câu 23: Tìm m để pt 2sin²x + m.sin2x = 2m vô nghiệm:

A. 0 < m < B. C. D. m < 0 ;

Câu 24. Số nghiệm của phương trình thuộc đoạn là:

A. B. C. D.

Câu 25: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của pt sin4x + cos5x = 0 theo thứ tự là:

A. B.

C. D.

KIỂM TRA CUỐI CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

CHỦ ĐỀ		Mức độ nhận thức				TỔNG
		Nhận biết	Thông hiểu	Vận dụng thấp	Vận dụng cao
Cung và góc lượng giác. Giá trị lượng giác của một cung. Công thức lượng giác (3)	Số câu	2	3	2	1	8
	Số điểm	0.8	1.2	0.8	0.4	3.2
Hàm số lượng giác (2)	Số câu	2	1	1	1	5
	Số điểm	0.8	0.4	0.4	0.4	2
Phương trình lượng giác cơ bản và thường gặp (4)	Số câu	4	3	3	2	12
	Số điểm	1.6	1.2	1.2	0.8	4.8
CỘNG	Số câu	8	7	6	4	25
	Số điểm	3.2	2.8	2.4	1.6	10

Câu 1: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác nào trong các cung lượng giác có số đo dưới đây có cùng ngọn cung với cung lượng giác có số đo

A. B. C. D.

Câu 2: Biểu thức không phụ thuộc vào và có giá trị bằng :

A. 6. B. 5. C. 3. D. 4.

Câu 3: Trên đường tròn định hướng góc có bao nhiêu điểm thỏa mãn sđ ?

A. 6 B. 4 C. 8 D. 10

Câu 4: Kết quả rút gọn của biểu thức bằng:

A. 2 B. 1 + tan C. D.

Câu 5: Giả sử được rút gọn thành . Khi đó n bằng :

A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.

Câu 6: Tính , biết .

A. B. C. D.

Câu 7: Ta có với . Khi đó tổng bằng :

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.

Câu 8: Nếu tan và tan là hai nghiệm của phương trình x²–px+q=0 và cot và cot là hai nghiệm của phương trình x²–rx+s=0 thì rs bằng:

A. B. C. D.

Câu 9. Tập xác định của hàm số là?

A. B. . C. D.

Câu 10. Khẳng định nào sau đây là SAI?

A. Hàm số có tập giá trị là .

B. Hàm số có tập giá trị là .

C. Hàm số có tập giá trị là .

D. Hàm số có tập giá trị là _.

Câu 11. Tập xác định của hàm số là

A. B.

C. D.

Câu 12. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn trên R?

A. y = x.cos2x. B. y = (x² + 1).sinx. C. y = . D. .

Câu 13. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số lần lượt là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 14. Gọi S là tập giá trị của hàm số . Khi đó tổng các giá trị nguyên của S là:

A. 3. B. 4. C. 6 . D. 7.

Câu 15. Cho biết là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?

A) B)

C) D)

Câu 16. Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm

A. 3sinx – 5 = 0 B. 2cos3x – 1 = 0 C. 2cosx + 5 = 0 D . sin3x + 2 = 0

Câu 17. Nghiệm dương bé nhất của phương trình : là :

A. B. C. D.

Câu 18. Phương trình có nghiệm là:

a. b. c. d.

Câu 19. Phương trình có nghiệm là:

a. b.

c. d. Đáp án khác.

Câu 20. Phương trình có nghiệm là:

A. B.

C. D.

Câu 21. Phương trình cos2x – 7cosx - 3 = 0 có nghiệm là

A). B).

C). D).

Câu 22. Phương trình có các nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 23. Phương trình sin⁴x + cos⁴x = 2cos2x - 1.

A) B) C) D)

Câu 24. Phương trình có các họ nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 25. Cho phương trình . Các nghiệm thuộc khoảng của phương trình là:

A. B. C. D.

-------------------------------