Toán 9 Bài 1 Hình Học – Sự Xác Định Của Đường Tròn Chi Tiết

Bài 1. SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN.

TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Khái niệm

• Đường tròn tâm O bán kính R là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R.

2. Vị trí tương đối giữa điểm và đường tròn

• Điểm nằm trong đường tròn khi .

• Điểm nằm trên đường tròn khi .

• Điểm nằm ngoài đường tròn khi .

3. Cách xác định đường tròn

Một đường tròn được xác định khi

• Biết tâm và bán kính đường tròn.

• Biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn.

• Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.

• Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Khi đó tam giác được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn.

• Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác.

• Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

• Nến tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

4. Tâm đối xứng

• Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm đối xứng của đường tròn là tầm đối xứng của hình tròn đó.

5. Trục đối xứng

• Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn đi qua nhiều điểm

Dựa vào định nghĩa đường tròn: Nếu một điểm cách đều các điểm còn lại thì điểm đó chính là tâm của đường tròn.

Ví dụ 1. Cho hình vuông có cạnh bằng cm. Chứng minh rằng bốn điểm , , , cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Lời giải

Gọi , suy ra , , , với cm.

Ví dụ 2. Cho tam giác đều có cạnh bằng cm. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp .

L ời giải

Gọi là giao điểm của các đường trung trực của . Suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp .

.

Dạng 2: Xác định vị trí của điểm và đường tròn

Muốn xác định vị trí của điểm M và đường tròn (O), ta làm như sau Bước 1: Xác định khoảng cách từ M đến tâm O của đường tròn. Bước 2: Dựa vào kết quả so sánh của OM và bán kính R của đường tròn mà kết luận.

Ví dụ 4. Trên mặt phẳng tọa độ , hãy xác định vị trí tương đối của điểm , , đối với .

Lời giải

nên nằm trong đường tròn ;

;

nên nằm ngoài đường tròn .

V í dụ 5. Cho hình vuông , là giao điểm của hai đường chéo, cm. Vẽ đường tròn ( ; cm). Xác định vị trí tương đối của các điểm , , , với đường tròn cm).

Lời giải

cm, suy ra , .

Ta có nên nằm trong đường tròn .

nên nằm ngoài đường tròn .

Dạng 3: Dựng đường tròn thỏa mãn yêu cầu cho trước

Xem phần kiến thức trọng tâm.

Ví dụ 6. Cho góc nhọn và hai điểm , thuộc tia . Dựng đường tròn tâm đi qua hai điểm , sao cho nằm trên tia .

Lời giải

C ách dựng:

Dựng đường trung trực của đoạn thẳng cắt tại .

Dựng đường tròn .

Chứng minh: Vì thuộc trung trực của đoạn thẳng nên .

Vậy là tâm đường tròn đi qua hai điểm , .

V í dụ 7. Một tấm bìa hình tròn không còn dấu vết của tâm. Hãy xác định lại tâm và bán kính của hình tròn đó.

Lời giải

Lấy ba điểm , , bất kì thuộc viền hình tròn. Dựng các đường trung trực của đoạn và , chúng cắt nhau tại . Vậy chính là tâm của hình tròn và là bán kính của hình tròn.

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

B ài 1. Cho hình chữ nhật có cm, cm. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đi qua điểm , , , .

Lời giải

Gọi

suy ra , , , .

Tính được cm cm.

Bài 2. Cho vuông tại , cm, cm. Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Lời giải

Gọi là trung điểm của , suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Vậy cm.

Bài 3. Cho nửa đường tròn có đường kính . là điểm nằm bên ngoài đường tròn sao cho , cắt nửa đường tròn lần lượt tại , .

a) Chứng minh , ;

b ) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh .

Lời giải

a) có đường trung tuyến ứng với cạnh và bằng nửa cạnh , suy ra vuông tại .

Làm tương tự, ta có .

b) Từ câu trên, ta có là trực tâm tam giác .

Bài 4. Cho cân tại , nội tiếp đường tròn . Đường cao cắt đường tròn tại .

a) Chứng minh là đường kính của ;

b) Tính số đo ;

c ) Biết cm, cm. Tính và bán kính của đường tròn .

Lời giải

a) cân tại , suy ra là đường cao đồng thời là đường trung trực của , mà thuộc đường trung trực của là đường kính của đường tròn .

b) nội tiếp đường tròn đường kính .

c) Ta có cm.

Áp dụng định lí Py-ta-go vào vuông tại cm.

Áp dụng hệ thức lượng vào vuông tại , ta tính được cm.

Vậy bán kính của là cm.

Bài 5. Cho cân tại , có cm, đường cao cm. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp .

Lời giải

G ọi .

Vì cân tại nên vừa là đường cao vừa là đường trung trực của , mà thuộc trung trực của nên là đường kính của .

Vì nội tiếp có là đường kính nên vuông tại .

Theo Py-ta-go ta tính được cm. Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ta có cm, suy ra cm nên cm.

Bài 6. Cho hình chữ nhật có , . Chứng minh rằng bốn điểm , , , cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó.

Lời giải

G ọi là giao điểm của hai đường chéo và . Theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có

Vậy bốn điểm , , , cùng thuộc .

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông , ta có

Do đó .

Bài 7. Cho tam giác , các đường cao và . Trên cạnh lấy điểm . Kẻ tia vuông góc với tia tại . Chứng minh rằng năm điểm , , , , cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải

G ọi là trung điểm của . Ta có là đường cao nên , hay tam giác vuông tại .

Trong tam giác vuông có là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

. (1)

Tương tự, ta có .

và .

Từ , và suy ra . Do đó năm điểm , , , , cùng thuộc đường tròn với .

Bài 8. Chứng minh rằng bốn trung điểm của bốn cạnh hình thoi cùng thuộc một đường tròn.

L ời giải

Gọi , , , lần lượt là trung điểm của bốn cạnh , , và của hình thoi .

Gọi là giao điểm của và . Ta có . Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta được ; ; ; .

Mặt khác nên . Do đó bốn điểm , , , cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 9. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều, cạnh cm.

Lời giải

G ọi là tâm đường tròn ngoại tiếp . là trung điểm của . Vì tam giác đều nên cũng là trực tâm, trọng tâm của .

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông có

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Nhận xét: Ta có cách giải khác như sau. Trong tam giác vuông có

Do đó .

Bài 10. Trong hệ trục tọa độ cho các điểm , và . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Lời giải

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm , ta có

ta tính được , , .

Do đó vuông tại (định lí Py-ta-go đảo).

Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp là (do trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền).

Bài 11. Cho tam giác có và . Gọi là tâm và là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác . Tính tỉ số với .

Lời giải

V ẽ thì (vì cân tại ). Trên tia lấy điểm sao cho .

Xét tam giác có ;

nên tam giác đều, suy ra .

Tương tự, ta có tam giác đều và . Do đó là tâm đường tròn ngoại tiếp và bán kính của đường tròn này bằng ( ). Ta có

Bài 12. Cho đường tròn và hai điểm , sao cho nằm trong và nằm ngoài . Hãy so sánh và .

L ời giải

Ta có nằm trong nên , nằm ngoài nên .

Trong tam giác , có (vì

, ) nên (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn).

D. BÀI TẬP VỀ NHÀ

B ài 13. Cho tam giác , đường cao . Lấy một điểm trên cạnh ( , ). Qua kẻ tia vuông góc với tia tại . So sánh và .

Lời giải

Gọi là trung điểm của . Vì tam giác vuông tại , tam giác vuông tại , nên bốn điểm , , , cùng thuộc đường tròn tâm đường kính . Do đó .

Bài 14. Cho tam giác vuông tại , . Trên cạnh lấy điểm ( , ). Qua trung điểm của vẽ tia vuông góc với . Tia cắt đường thẳng tại . Xác định vị trí của điểm để độ dài đoạn nhỏ nhất.

Lời giải

T am giác vuông có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

Ta có , do dó bốn điểm , , , cùng thuộc đường tròn đường kính . Suy ra hay .

Vì vậy là đường kính là trung điểm của (vì là trung điểm của ). Vậy khi là trung điểm của thì .

Bài 15. Bốn đỉnh của một hình chữ nhật kích thước cùng nằm trên một đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

Lời giải

Ta có nên .

Bài 16. Cho hình thoi . Đường trung trực của cạnh cắt đường thẳng tại và cắt đường thẳng tại . Chứng minh rằng và lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác và .

Lời giải

T rong hình thoi, mỗi đường chéo là đường trung trực của đường chéo kia.

Điểm là giao điểm hai đường trung trực của tam giác nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Điểm là giao điểm hai đường trung trực của tam giác nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

--- HẾT ---