Bài Tập Cách Để Rút Gọn Phân Số Tối Giản Có Lời Giải Chi Tiết

ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 9-PHÂN SỐ

CHỦ ĐỀ 2:PHÂN SỐ TỐI GIẢN

PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

-Phân số tối giản hay còn gọi là phân số không thể rút gọn được nữa là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và -1.

-Giả sử ta có phân số . Phân số được gọi là phân số tối giản khi và chỉ khi .

- Nếu phân số là phân số tối giản thì phân số cũng là phân số tối giản.

- Tổng (hiệu) của một số nguyên và một phân số tối giản là một phân số tối giản.

-Tính chất:

+

+

-Thuật toán Ơclit tìm ƯCLN(a;b):

Ta tìm UCLN(a ;b) bằng cách dùng thuật toán Euclide như sau :

a = bq₀ + r₁ với 0 < r₁ <

b = r₁ q₁ + r₂ với 0< r₂ < r₁

....

r_n-1 = r_nq_{n .}

Thuật toán phải kết thúc với một số dư bằng 0

Do đó ta có: (a; b) = (b; r₁) = (r₁; r₂) =...=(r_n-1; r_n) = r_n.

PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1:Chứng minh phân số với tham số là phân số tối giản.

I.Phương pháp giải

Chứng minh phân số là phân số tối giản, ta cần chứng minh , hoặc dùng thuật toán Euclide hoặc tổng (hiệu) của một số nguyên và một phân số tối giản là một phân số tối giản.

II.Bài toán

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 thì các phân số sau là phân số tối giản.

a. b. c.

Lời giải

a.

Vì nên là phân số tối giản.

b.

*Cách 1: Theo thuật toán Euclide:

do đó là phân số tối giản.

*Cách 2: Giả sử

Vậy là phân số tối giản.

*Cách 3: Ta có: mà là phân số tối giản nên phân số là phân số tối giản.

Bài 2: Chứng minh rằng với n Z các phân số sau tối giản.

a. b. c. d.

e. f. g. h.

Lời giải

a.

Giả sử

Vậy phân số là phân số tối giản.

b.

Vì nên là phân số tối giản.

c.

Giả sử

Vậy phân số là phân số tối giản.

d.

Giả sử

Vậy phân số là phân số tối giản.

e.

Giả sử

Vậy phân số là phân số tối giản.

f.

Giả sử

Vậy phân số là phân số tối giản.

g.

Giả sử

Vậy phân số là phân số tối giản.

h.

Giả sử

Vì là số lẻ, là số chẵn nên suy ra

Vậy phân số là phân số tối giản.

Bài 3: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản:

a. b. c. d. e.

Lời giải

a.

Ta có: Theo thuật toán Euclide: .

Do đó: phân số là phân số tối giản.

b.

Vì phân số là phân số tối giản nên phân số là phân số tối giản.

c.

Ta có: Theo thuật toán Euclide: .

Do đó: phân số là phân số tối giản.

Vì phân số là phân số tối giản nên phân số là phân số tối giản.

d.

Ta có: Theo thuật toán Euclide: .

Do đó: phân số là phân số tối giản.

Vì phân số là phân số tối giản nên phân số là phân số tối giản.

e.

Ta có: Theo thuật toán Euclide: .

Do đó: phân số là phân số tối giản.

Bài 4: Cho a là số tự nhiên chia 4 dư 3. Phân số có là phân số tối giản không?

Lời giải

Giả sử

Vì a là số tự nhiên chia 4 dư 3 nên a là số lẻ.

Suy ra:

Vậy phân số là phân số tối giản.

Bài 5: Chứng minh rằng nếu a là số nguyên khác -1 thì giá trị của biểu thức là phân số tối giản.

Lời giải

Ta có:

Gọi

Mà là số lẻ nên d lẻ

Vậy với a khác -1 thì giá trị của A là phân số tối giản.

Bài 6: Chứng minh với mọi số nguyên n khác không thì phân số là phân số tối giản.

Lời giải

Giả sử

Mà nên

Vậy phân số là phân số tối giản.

Dạng 2:Tìm tham số để phân số tối giản.

I.Phương pháp giải

- Bước 1: Giả sử d là ước chung của tử và mẫu Tử và mẫu cùng chia hết cho d.

-Bước 2: Vận dụng các tính chất quan hệ chia hết để tìm các giá trị của d.

- Bước 3: Xác định giá trị khác -1 và 1 của d tử hoặc mẫu không chia hết cho các giá trị đó từ đó tìm các điều kiện của ẩn.

Hoặc biến đổi phân số thành tổng hoặc hiệu của số nguyên với phân số tối giản.

II.Bài toán

Bài 1: Tìm số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản.

a. b. c.

Lời giải

a.

Giả sử

_Để phân số là phân số tối giản thì

Hay không chia hết cho 5.

Ta có:

Vậy: với thì phân số là phân số tối giản.

b.

Giả sử

_{Để phân số} là phân số tối giản thì

Hay không chia hết cho 11.

Ta có:

Vậy: với thì phân số là phân số tối giản.

c.

Giả sử

_{Để phân số} là phân số tối giản thì

Hay không chia hết cho 31.

Ta có:

Vậy: với thì phân số là phân số tối giản.

Bài 2 : Tìm tất cả các số nguyên n để các phân số sau là phân số tối giản.

a. b. c.

Lời giải

a.

Ta có: ( với )

Để là phân số tối giản thì là phân số tối giản.

_Mà là phân số tối giản ta phải có

Vì 7 là số nguyên tố do đó nếu thì hay do đó nên khi

Vậy: phân số là phân số tối giản khi

b.

Ta có: ( với )

Để là phân số tối giản thì là phân số tối giản.

_Mà là phân số tối giản ta phải có

Vì 7 là số nguyên tố do đó nếu thì hay do đó nên khi

Vậy: phân số là phân số tối giản khi

c.

Ta có: ( với )

Để là phân số tối giản thì là phân số tối giản.

_Mà là phân số tối giản ta phải có

Vì 7 là số nguyên tố do đó nếu thì hay do đó nên khi

Vậy: phân số là phân số tối giản khi

Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số là phân số tối giản.

Lời giải

Vì 3 là số nguyên tố nên là phân số tối giản khi không chia hết cho 3.

Do nên khi hay

Bài 4: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản.

a. b. c.

Lời giải

a.

Giả sử

_{Để phân số} là phân số tối giản thì

Hay không chia hết cho 3.

Ta có:

Vậy: với thì phân số là phân số tối giản.

b.

Giả sử d là ước chung nguyên tố của và

+ (vô lí)

+

Vậy: với thì phân số là phân số tối giản.

c.

Giả sử d là ước chung nguyên tố của và

+

+

Vậy: với thì phân số là phân số tối giản.

Bài 5: Tìm tất cả số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản.
a. b.

Lời giải

a.

Giả sử

_{Để phân số} là phân số tối giản thì

Hay không chia hết cho 11.

Ta có:

Vậy: với thì phân số là phân số tối giản.

b.

Giả sử

_{Để phân số} là phân số tối giản thì

Hay không chia hết cho 7.

Ta có:

Vậy: với thì phân số là phân số tối giản.

Bài 6: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số tối giản.

Lời giải

Giả sử

_{Để phân số} là phân số tối giản thì

Hay không chia hết cho 11.

Ta có:

Vậy: với thì phân số là phân số tối giản.

Dạng 3: Tìm tham số để phân số không tối giản.

I.Phương pháp giải

Để một phân số không tối giản thì tử số và mẫu số phải có ít nhất một ước chung là một số nguyên tố. II.Bài toán

Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên để là phân số chưa tối giản.

Lời giải

Để không là phân số tối giản ta phải có

Vì là số nguyên tố do đó nếu thì

hay , do đó

Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên để không là phân số tối giản.

Lời giải

Ta có nên không phải là phân số tối giản khi chia hết cho hoặc .

Vì không chia hết cho 3 nên phải chia hết cho 7 .

hay (vì )

do đó

Vậy để không là phân số tối giản.

Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên đểphân số không là phân số tối giản.

Lời giải

Gọi là ước nguyên tố chung (nếu có) của và

hay

Vì là ước nguyên tố nên

Khi đó vô lý

Vậy không có số tự nhiên để phân số không là phân số tối giản.

Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên để phân số không là phân số tối giản.

Lời giải

Gọi là ước nguyên tố chung (nếu có) của và

hay

Suy ra

Khi đó hay

Vậy với để phân số không là phân số tối giản.

Bài 5: Chứng minh rằng: là phân số chưa tối giản.

Lời giải

Ta có

Vậy là phân số chưa tối giản.

Bài 6: Phân số rút gọn cho những số nguyên dương nào?

Lời giải

Gọi là ước chung (nếu có) của và

Suy ra

Vậy phân số hoặc tối giản hoặc chỉ rút gọn được cho .

Dạng 4:Chứng minh phân số tối giản với điều kiện cho trước

I.Phương pháp giải

- Dùng phương pháp phản chứng.

- Dùng định nghĩa phân số tối giản.

II.Bài toán

Bài 1: Cho phân số tối giản.Chứng minh rằng phân số tối giản.

Lời giải

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử không tối giản tức là tử và mẫu có một ước chung .

_{suy ra}

như vậy và có một ước chung .

Điều này trái với đề bài đã có tối giản

Vậy là phân số tối giản.

Bài 2: Cho phân số là phân số chưa tối giản.Chứng minh rằng phân số cũng chưa tối giản.

Lời giải

Vì phân số là phân số chưa tối giản nên

mà

Do đó phân số cũng chưa tối giản.

Bài 3: Cho phân số tối giản xét xem phân số có là phân số tối giản không?

Lời giải

Gọi thì

hoặc .

+ Nếu ta có

mà nên

Mặt khác do tối giản nên

+ Nếu thì hoặc

Từ (1) và (2) suy ra hoặc tối giản hoặc rút gọn được cho .

Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác để các phân số đều tối giản.

Lời giải

Xét phân số , có

Nên phân số tối giản khi

Xét phân số , có

Nên phân số tối giản khi

Vậy các phân số cùng tối giản khi

Mặt khác, là số tự nhiên nhỏ nhất khác nên ta chọn .

Vậy thì các phân số đều tối giản.

Bài 5: Tìm các số nguyên sao cho các phân số đều là phân số tối giản.

Lời giải

Ta có nên để các phân số đều là phân số tối giản thì

Vì nên ta chọn .

Vậy thì các phân số đều là phân số tối giản.

Bài 6: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để các phân số đều tối giản.

Lời giải

Ta có

.........................

Các phân số trên có dạng

Để các phân số trên tối giản thì và là hai số nguyên tố cùng nhau( vì nếu chúng không là hai số nguyên tố cùng nhau thì chúng cùng chia hết cho số suy ra phân số rút gọn được cho )

Ta cần tìm số tự nhiên sao cho nhỏ nhất và nguyên tố cùng nhau với các số

Như vậy phải là số nguyên tố nhỏ nhất mà lớn hơn đó là số

Vậy với thì các phân số đều tối giản.

Bài 7: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để các phân số đều tối giản.

Lời giải

Ta có

.........................

Các phân số trên có dạng

Để các phân số trên tối giản thì và là hai số nguyên tố cùng nhau( vì nếu chúng không là hai số nguyên tố cùng nhau thì chúng cùng chia hết cho số suy ra phân số rút gọn được cho )

Ta cần tìm số tự nhiên sao cho nhỏ nhất và nguyên tố cùng nhau với các số

Như vậy phải là số nguyên tố nhỏ nhất mà lớn hơn đó là số

Vậy với thì các phân số đều tối giản.

Bài 8: Tìm để phân số tối giản.

Lời giải

_{Ta có} phân số tối giản nên

Mà nên

Do đó

Đặt

Vậy

Bài 9: Chứng minh rằng , với thì là các phân số tối giản.

Lời giải

Vì với mọi thì lẻ lẻ và không chia hết cho

Vậy là các phân số tối giản.

Bài 10: Chứng tỏ rằng nếu là phân số tối giản thì:

a) Phân số cũng là phân số tối giản, suy ra là tối giản.

b) Phân số hoặc cũng là phân số tối giản.

Lời giải

a) Vì phân số là phân số tối giản nên

_mà

Do đó phân số là phân số tối giản.

Suy ra

Mà là phân số tối giản

Vậy là phân số tối giản.

b) Ta có phân số là phân số tối giản nên

mà

nên phân số hoặc là phân số tối giản.

Bài 11: CMR nếu thì là phân số tối giản.

Lời giải

Gọi

Và

Từ và

Mà

Vậy nếu thì là phân số tối giản.

Dạng 5:Tìm phân số tối giản thỏa mãn điều kiện cho trước

I.Phương pháp giải

Dùng định nghĩa hai phân số bằng nhau .

II.Bài toán

Bài 1: Tìm phân số tối giản ( mà giá trị của nó không đổi khi cộng thêm tử với , mẫu với .

Lời giải

Với ta có:

Khi cộng thêm tử với , mẫu với vào phân số ta được phân số

Lúc này ta có: =

Từ tính chất hai phân số bằng nhau đã học ta có

Suy ra nên .

Vậy phân số cần tìm là .

Bài 2: Tìm phân số tối giản biết rằng khi cộng mẫu vào tử và cộng mẫu vào mẫu thì giá trị của phân số đó tăng lên gấp 2 lần.

Lời giải

Gọi phân số cần tìm là , theo đề bài ta có: hay

suy ra hay

suy ra hay (vì )

Vậy phân số cần tìm là .

Bài 3: Tìm phân số dương tối giản nhỏ nhất sao cho khi nhân phân số này với các phân số thì kết quả là các số nguyên dương.

Lời giải

Ta có

Mà nên là bội của và là ước của

Lại có

Mà nên là bội của và là ước của

Từ và suy ra

Vậy phân số cần tìm là .

Bài 4: Tìm phân số tối giản biết rằng lấy tử cộng với , lấy mẫu cộng với thì được một phân số bằng .

Lời giải

Ta có

Suy ra

.

Vậy phân số cần tìm là .

Bài 5: Tìm phân số tối giản biết rằng lấy tử cộng với , lấy mẫu cộng với thì giá trị của phân số không đổi.

Lời giải

Ta có

Suy ra

.

Vậy phân số cần tìm là .

Bài 6: Tìm một phân số tối giản biết rằng khi cộng mẫu vào tử để có tử mới và lấy mẫu trừ tử để có mẫu mới thì được một số chính phương chẵn bé nhất.

Lời giải

Gọi phân số cần tìm là , theo đề bài ta có:

suy ra hay

suy ra

Vậy phân số cần tìm là .

Bài 7: Tìm phân số tối giản có mẫu là , biết rằng khi cộng tử với , nhân mẫu với thì được một phân số bằng phân số ban đầu.

Lời giải

Gọi phân số cần tìm là . Theo đề bài ta có:

Vậy phân số cần tìm là .

Bài 8: Tìm một phân số khi chưa tối giản có tổng của tử và mẫu là , sau khi rút gọn được . Tìm phân số ban đầu.

Lời giải

Phân số ban đầu cần tìm và

Hay

Vậy phân số ban đầu là .

Bài 9: a) Với là một số nguyên tố nào thì phân số là phân số tối giản.

b) Với là một số nguyên tố nào thì phân số là phân số tối giản.

Lời giải

a) Ta có là phân số tối giản khi là số nguyên tố khác và .

b) Ta có là phân số tối giản khi là số nguyên tố khác và .

Bài 10: Tìm để .

Lời giải

_Gọi suy ra

Hay

Do đó hay

Ta có

tối giản và

Vì dạng tối giản của phân số là duy nhất nên

(vì )

Vậy với thì

PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.

Bài 1: (HUYỆN HOA LƯ NĂM 2020-2021)

Cho . Chứng tỏ là phân số tối giản.

Lời giải

ĐK:

Gọi

Vậy là phân số tối giản

Bài 2: (HUYỆN PHÙ CÁT NĂM 2020-2021)

Tìm để phân số là phân số tối giản.

Lời giải

Gọi

Để là phân số tối giản thì

Vậy thì phân số là phân số tối giản

Bài 3: (HUYỆN THANH BA NĂM 2020-2021)

Chứng minh phân số sau là phân số tối giản với mọi số tự nhiên : .

Lời giải

Gọi

_{Vậy phân số} là phân số tối giản với mọi số tự nhiên .

Bài 4: (HUYỆN CHƯƠNG MỸ NĂM 2020-2021)

Cho phân số

a) Chứng tỏ rằng phân số P tối giản.

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của biểu thức P.

Lời giải

Cho phân số

a) Gọi

và

Suy ra phân số tối giản.

b) Ta có:

Để đạt giá trị lớn nhất thì đạt giá trị âm nhỏ nhất, mà nên đạt giá trị nguyên âm lớn nhất khi .

Khi đó giá trị lớn nhất của là: .

Để đạt giá trị nhỏ nhất thì đạt giá trị dương lớn nhất; mà nên đạt giá trị nguyên dương nhỏ nhất khi .

Khi đó giá trị nhỏ nhất của là: .

Vậy giá trị lớp nhất của bằng , đạt tại

Giá trị nhỏ nhất của bằng , đạt tại .

Bài 5: (HSG SƠN TỊNH NĂM 2020-2021)

Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên , phân số là phân số tối giản.

Lời giải

Gọi

Vậy phân số là phân số tối giản.

Bài 6: (HUYỆN NHO QUAN NĂM 2020-2021)

Chứng tỏ rằng với là số nguyên dương thì là phân số tối giản.

Lời giải

Gọi

Vậy: phân số phân số là phân số tối giản với

Bài 7: (HUYỆN TRIỆU SƠN NĂM 2020-2021)

Tìm các số tự nhiên để phân số là phân số tối giản.

Lời giải

Gọi

Để phân số là phân số tối giản thì

Hay không chia hết cho 7

Vậy: với phân số là phân số tối giản.

Bài 8: (THỊ XÃ THÁI HÒA NĂM 2020-2021)

Chứng minh rằng phân số là phân số tối giản với mọi số tự nhiên .

Lời giải

Gọi

Vậy phân số phân số là phân số tối giản với

Bài 9: (HUYỆN ANH SƠN NĂM 2020-2021)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì là phân số tối giản.

Lời giải

Gọi

Vậy phân số phân số là phân số tối giản với

Bài 10: (HUYỆN PHÚ LƯƠNG NĂM 2020-2021)

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều là phân số tối giản:

Lời giải

Ta có các phân số đã cho đều có dạng với

Do đó để các phân số đều tối giản thì và phải nguyên tố cùng nhau.

Suy ra phải nhỏ nhất và nguyên tố cùng nhau với các số

là số nguyên tố nhỏ nhất và lớn hơn 100

HẾT