Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 6 – Định Nghĩa Và Tính Chất Của Số Chính Phương

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 6 – SỐ CHÍNH PHƯƠNG

CHỦ ĐỀ 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. ĐỊNH NGHĨA:

Số chính phương là bình phương đúng của một số nguyên.

Ví dụ : và là hai số chính phương vì

II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG:

1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là , không thể có chữ số tận cùng là

Để chứng minh một số không phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là

2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với mũ chẵn, không chứa TSNT với mũ lẻ.

Từ tính chất 2 ta có các hệ quả:

1. Số chính phương chia hết cho thì phải chia hết cho .

2. Số chính phương chia hết cho thì phải chia hết cho .

3. Số chính phương chia hết cho phải chia hết cho .

4. Số chính phương chia hết cho thì phải chia hết cho .

5. Tích của các số chính phương là một số chính phương.

6. Với là số chính phương và , nếu a là số chính phương thì b cũng là số chính phương.

Để chứng minh một số không phải SCP ta chỉ ra số đó khi phân tích ra TSNT thì có số mũ lẻ.

3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng hoặc ( , ), không có SCP nào có dạng .

4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng hoặc ( , ) không có SCP nào có dang hoặc

5. Số các ước số của một số chính phương là số lẻ, ngược lại một số có số lượng các ước là lẻ thì đó là số chính phương.

6. Nếu số một số chính phương, chia hết cho và là một số nguyên tố thì chia hết cho .

7. Nếu chia hết cho và là một số nguyên tố thì chia hết cho .

8. Hai số chính phương và được gọi là hai số chính phương liên tiếp. Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào.

Nghĩa là: nếu thì không là số chính phương.

9. Nếu tích là một số chính phương và thì hai số và đều là các số chính phương

10. Số chính phương biểu diễn được thành tổng các số lẻ :

Chứng minh:

Giả sử: với

Ta có từ đến có = số hạng

(đpcm)

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Bài 1: Cho các số . Hãy tìm các số chính phương .

Lời giải:

Ta có:

Tổng quát:

Bài 2: Các biểu thức số sau có phải số chính phương hay không?

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Lời giải

1. Ta có: với mọi nên

Suy ra chia cho dư .

Vì chia hết cho nhưng không chia hết cho nên không phải là số chính phương.

2. Ta có:

có chữ số tận cùng là 3 nên không phải là số chính phương.

3. Ta có có chữ số tận cùng là nên không phải là số chính phương.

4. Ta có có chữ số tận cùng là nên không phải là số chính phương.

5. Ta có có cặp chữ số tận cùng là chia hết cho nhưng không chia hết cho nên không phải là số chính phương.

6. Ta có có tổng các chữ số là chia hết cho nhưng không chia hết cho 9 nên không phải là số chính phương.

7. Ta có số có tận cùng là chữ số

không tận cùng là chẵn lần chữ số

không là số chính phương.

8. Ta có:

là số chính phương, ta xét số :

Vì có tổng các chữ số là nên số chia hết cho mà không chia hết cho .

số không là số chính phương.

Vậy không là số chính phương.

Bài 3: Chứng minh rằng:

a) Một số chính phương khi chia cho chỉ có thể có số dư là hoặc .

b) Một số chính phương khi chia cho chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1.

c) Một số chính phương khi chia cho chỉ có thể có số dư là hoặc hoặc .

d) Một số chính phương lẻ khi chia cho chỉ có số dư là .

Lời giải:

a) Ta xét các trường hợp của khi chia cho :

+ Nếu

+ Nếu chia dư

+ Nếu chia dư

Vậy một số chính phương khi chia cho chỉ có thể có số dư là hoặc .

b) Ta xét các trường hợp của khi chia cho :

+ Nếu chia dư

+ Nếu chia dư

Vậy một số chính phương khi chia cho chỉ có thể có số dư là hoặc hoặc .

c) Ta xét các trường hợp của khi chia cho :

+ Nếu chia dư

+ Nếu chia dư

+ Nếu chia dư

d) Ta có:

Vì là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho .

chia hết cho .

chia dư .

Vậy một số chính phương lẻ khi chia cho chỉ có số dư là .

Bài 4: a) Cho . Chứng minh rằng không là số chính phương.

b) Cho . Chứng minh rằng không là số chính phương.

Lời giải:

a) Ta có:

Lấy trừ ta được:

Mà trong tích ta có số không là số chính phương

không là số chính phương

b) Ta có:

Lấy trừ ta được:

Ta có không là số chính phương do không là số chính phương.

Vậy không là số chính phương.

• Lưu ý: _{, cũng có thể kết luận ngay chúng không là số chính phương ( Chứ thừa số nguyên tố với số mũ lẻ )}

Bài 5: Cho hai số chính phương có tổng là một số chia hết cho . Chứng minh rằng cả hai số chính phương đó đều chia hết cho .

Lời giải

Gọi hai số chính phương là: . Theo đầu bài ta có:

Ta xét các trường hợp:

+ Giả sử chia dư (theo tính chất )

mâu thuẫn giả thiết

+ Giả sử hoặc hoặc không chia hết cho 3, số còn lại chia hết cho 3 (mâu thuẫn giả thiết)

, mà là số nguyên tố.

(đpcm)

Bài 6: Cho là số chính phương gồm bốn chữ số, nếu ta thêm vào mỗi chữ số của số một đơn vị thì ta được số chính phương . Tìm và .

Lời giải

Đặt

Vì thêm vào mỗi chữ số của số một đơn vị thì ta được số nên dễ thấy:

Mà: và

Vậy hai số cần tìm là .

Bài 7: Tìm số nguyên tố , sao cho là số chính phương.

Lời giải

Ta có: là số chính phương;

Mà là số chính phương.

là số chính phương

+) Với

+) Với

Vậy các số nguyên tố thỏa yêu cầu đề bài là:

Bài 8: Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau.

Lời giải

Gọi số chính phương cần tìm là :

Ta có :

Lại có :

mà

Mà :

Thay vào , ta được :

phải là số chính phương (do là số chính phương)

Ta có bảng sau:

Ta có :

Vậy số cần tìm là : .

Cách 2:

Gọi số chính phương cần tìm là :

Ta có: =

Do đó:

Ta có:

Ta có bảng:

Mà

chọn

Bài 9: Tìm số tự nhiên để là số chính phương.

Lời giải

Đặt

+) Với vô lí

+) Với

Bài 10: Viết liên tiếp từ đến được số .

Hỏi: số có thể có 81 ước được không?

Lời giải

Giả sử có ước.

Vì số lượng các ước của là (là số lẻ) nên là số chính phương (1)

Mặt khác, tổng của các chữ số của là

Vì nên chia hết cho nhưng không chia hết cho , do đó không là số chính phương mâu thuẫn với (1).

Vậy không thể có ước.

Bài 11: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với thì ta được một số chính phương.

Lời giải

Gọi số phải tìm là

Ta có: hay

Vì số chính phương chỉ có các thừa số nguyên tố với mũ chẵn nên

+) Với (không thỏa mãn)

+) Với

+) Với

+) Với

+) Với (loại vì n có nhiều hơn hai chữ số)

Vậy số cần tìm là

Bài 12: Chứng minh rằng: một số tự nhiên viết toàn bằng chữ số thì không phải số chính phương.

Lời giải

Gọi là số tự nhiên được ghi bởi chữ số ( )

Ta có:

là số tự nhiên chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4

không là số chính phương.

Bài 13: Một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng thì có thể là số chính phương được không? Vì sao?

Lời giải

Gọi là số tự nhiên có tổng các chữ số bằng

Ta có:

Vì tổng các chữ số của chia dư nên số khi chia cho cũng có số dư là

có dạng

Mà một số chính phương không có dạng nên số tự nhiên n không là số chính phương.

Vậy một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng thì không là số chính phương.

_{Bài 14}: Cho . Hỏi có là số chính phương không? Vì sao?

Lời giải

Ta có:

có chữ số tận cùng là 3

không là số chính phương.

PHẦN III. CÁC BÀI TRONG ĐỀ THI

Bài 1: Chứng minh rằng không phải là số chính phương với mọi số nguyên dương .

_{(Đề thi vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 – 2016)}

Lời giải

Ta có

chia cho dư

chia cho dư

Do đó chia cho dư

_{Ta có} nhưng không chia hết cho , mà là số nguyên tố nên không là số chính phương.

Vậy không là số chính phương.

Bài 2: Chứng minh rằng không phải là số chính phương.

₍Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi 2017 - 2018)

Lời giải

Ta có

Ta thấy

Nên chia dư , mà không có số chính phương nào chia dư .

Vậy không là số chính phương.

Bài 3: Chứng minh rằng tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.

_(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Nguyễn Huy Tưởng năm học 2004-2005)

Lời giải

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là

Ta xét

Vì và nên

Mặt khác và không chia hết cho 4 nên không chia hết cho 4.

Vậy chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không là số chính phương.

Bài 4: Cho với . Chứng minh rằng không là số chính phương.

₍Trích đề thi HSG Bắc Ninh 2018-2019)

Lời giải

Ta có

Ta có:

Suy ra

Vậy không là số chính phương.

Bài 5: Chứng tỏ tổng sau không là số chính phương không là số chính phương.

_(Trích đề thi Olympic lớp 6 THCS Cầu Giấy năm học 2011-2012)

Lời giải

_{Ta có:}

Để là số chính phương thì

_{Điều này vô lí vì}

Vậy không là số chính phương.

_{Bài 6:} Cho

_{a) Chứng minh} chia hết cho 6.

_{b) Chứng minh} không là số chính phương.

(Trích đề thi HSG lớp 6 Đa Phúc 2010-2011)

Lời giải

_{a) Ta có:}

_{b) Ta có:}

_{Mặt khác:}

không chia hết cho

không chia hết cho 25.

Ta có nhưng không chia hết cho nên không là số chính phương.

Bài 7: Cho Chứng minh là một số chính phương.

(Trích đề thi Olympic lớp 6 Nghĩa Đô 2010-2011)

Lời giải

_{Ta có:}

Nên

Nên là số chính phương.

_{Bài 8:} Cho

_{a) Chứng minh} chia hết cho .

_{b) Chứng minh} không là số chính phương.

(Trích đề thi HSG lớp 6 huyện Anh Sơn 2011-2012)

Lời giải

a) Ta có:

Ta lại có có tổng các chữ số bằng 1 nên khi chia cho 3 đều dư .

Ta có chia dư .

_Vậy chia có số dư là dư của phép chia

_{Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0)}

Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố nguyên cùng nhau, , nên

b) Ta có có chữ số tận cùng là 0 nên:

có chữ số tận cùng là

Vậy không là số chính phương vì số chính phương có tận cùng là

Bài 9: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số:

(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Sơn Đông 2011-2012)

Lời giải

Gọi số chính phương phải tìm là

- Vì số chính phương không có chữ số tận cùng là 3; 8 do đó phải có tận cùng là 6.

- Số có tận cùng bằng 86 thì chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không là số chính phương.

có tận cùng là 36.

Vậy số chính phương đó là 8836 (với ).

Bài 10: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với thì ta được một số chính phương?

(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Sơn Đông 2013-2014)

Lời giải

Gọi số phải tìm là ( )

Ta có: hay

Vì số chính phương chỉ có các thừa số nguyên tố với mũ chẵn nên

+) Với

+) Với

+) Với (loại vì n có nhiều hơn hai chữ số)

Vậy số cần tìm là .

Bài 11: Cho tổng . Chứng tỏ là một số chính phương.

(Trích đề HSG toán 6 THCS Hồng Hà năm 2013 – 2014)

Lời giải

Ta có:

Vậy là một số chính phương.

Bài 12: Cho tổng (với )

Chứng tỏ là một số chính phương.

(Trích đề thi HSG huyện Lương Tài năm học 2015 – 2016)

Lời giải

Xét dãy số trong tổng , từ đến có (số số hạng).

Vì nên là một số chính phương.

Bài 13: Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên khác và có số lượng các ước tự nhiên là một số lẻ thì số tự nhiên đó là số chính phương.

(Trích đề thi HSG lớp 6 huyện Vũ Thư, năm học 2018 – 2019)

Lời giải

Gọi số tự nhiên đó là

Nếu là số chính phương.

Nếu . Phân tích ra thừa số nguyên tố ta có: (với là các số nguyên tố).

Khi đó số lượng các ước của là .

Theo đề ta có: là số lẻ

đề là các số lẻ

đều là các số chẵn

Đặt

Ta được

Vậy là số chính phương.

Bài 14: Tìm để là một số chính phương.

(Trích đề thi HSG lớp 6 trường THCS Sơn Tây, năm học 2015 – 2016)

Lời giải

Giả sử là số chính phương

Đặt

+) Nếu khác tính chẵn lẻ thì vế trái của là số lẻ nên không thỏa mãn

+) Nếu cùng tính chẵn lẻ

Mà vế phải của là không chia hết cho 4

vô lý

Vậy không tồn tại để là một số chính phương.

Bài 15: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng số gồm 2 số đầu lớn hơn số gồm 2 số sau 1 đơn vị.

(Trích đề thi HSG lớp 6 trường THCS Liên Hòa năm học 2008 – 2009)

Lời giải

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần tìm là

Theo đề bài ta có:

, ,

Ta có:

hoặc

Mà nên

Mà

Vậy số cần tìm là .

 HẾT 