DẠNG 1: CHIA HẾT

A.Bài toán

1. Chứng minh rằng: với

2. Chứng minh rằng: chia hết cho

3. a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9

b) Tìm các số nguyên n để chia hết cho

4. Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9

5. Chứng minh chia hết cho với mọi

6. Chứng minh rằng:

chia hết cho

7. Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì

8. Chứng minh rằng

a) chia hết cho 17

b) chia hết cho 44

9. Chứng minh rằng

10. Cho là hai số tự nhiên. Biết rằng chia cho 5 dư 3 và chia cho 5 dư 2. Hỏi tích chia cho 5 dư bao nhiêu ?

11. Cho các số nguyên . Đặt và . Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.

12. a) Chứng minh rằng: chia hết cho 45

b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta có: .

13. Chứng minh:

a) chia hết cho 7.

b) chia hết cho 2, với .

c) chia hết cho 30, với .

d)Nếu thì chia hết cho .

e) là bình phương của một số nguyên, với .

f) chia hết cho .

g) chia hết cho , với .

14. Chứng minh rằng: chia hết cho 6 (Câu 2b đề 10)

15. Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức:

chia hết cho

16. Chứng minh rằng chia hết cho 16, với

17. a) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9

b)Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì

18. Cho là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3

Chứng minh rằng: chia hết cho 3.

19. Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không ?

20. Chứng minh rằng chia hết cho

21. Chứng minh rằng:

chia hết cho 40

22. Chứng minh rằng chia hết cho

23. Chứng minh rằng chia hết cho

24. Chứng minh rằng:

1. chia hết cho 17

2. chia hết cho 44

25. a)Chứng minh rằng: với mọi số nguyên

b)Tìm số nguyên n sao cho:

26. . Cho số tự nhiên Chứng minh rằng nếu thì tích chia hết cho 6

27. Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225.

28. Chứng minh rằng chia hết cho 7

29. Chứng minh rằng chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n

30. Chứng minh rằng chia hết cho 1930

Chứng minh rằng: chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên .

31. Tìm các số có 3 chữ số chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 7

32. Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên thì phân số tối giản

33. Chứng minh rằng chia hết cho với mọi

34. Chứng minh rằng

0. Đặt Chứng minh rằng chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dương của

1. Nếu chia dư và b chia dư 3 thì chia hết cho 13

2. Tìm các số nguyên thỏa mãn

36. Chứng minh rằng: với

37. Hãy chứng minh :

chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n

0. Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9

1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì

39. Cho là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3

Chứng minh rằng: chia hết cho 3

40. Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không ?

41. Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9

42. Chứng minh rằng với mọi số nguyên ta có: chia hết cho 30.

43. Hãy viết thêm vào bên phải số 43 hai chữ số để nhận được một số có 4 chữ số chia hết cho 3 và 7.

44. Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên thì phân số tối giản.

a) Cho Tìm để là số nguyên.

b) Tìm số tự nhiên để chia hết cho _.

46. Chứng minh tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9.

47. Cho a, b, c thỏa mãn Chứng minh:

48. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thìA = 5ⁿ⁺² + 26.5ⁿ + 8²ⁿ⁺¹ 59

49. a. Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B

A = 3x^n-1y⁶ - 5xⁿ⁺¹y⁴ và B = 2x³yⁿ

b. Xác định các giá trị của a,b và c để đa thức P(x) = x⁴ + ax² + bx + c chia hết cho (x – 3)³

50. Chứng minh rằng số có dạng chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n.

51. Chứng minh rằng chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ.

52. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên thỏa mãn chia hết

53. Cho số tự nhiên n  3. Chứng minh răng nếu 2ⁿ  10a  b (a, b , 0  b  10) thì tích ab chia hết cho 6.

Chứng minh thì là hợp số

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì biểu thức luôn chia hết cho 30.

Chứng minh rằng:

3. chia hết cho 17

4. chia hết cho 44

57. Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh

58. Chứng minh chia hết cho với mọi

59. Cho là các số nguyên. Chứng minh rằng chia hết cho 30.

60. Cho 3 số tự nhiên Chứng minh rằng nếu chia hết cho 3 thì chia hết cho 6

0. Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9

1. Tìm các số nguyên n để chia hết cho

62. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương thì:

63. Chứng minh chia hết cho 100

64. Chứng minh rằng: chia hết cho

65. Cho là các số tự nhiên có tổng cộng bằng

Chứng minh rằng: chia hết cho 3.

66. Tìm sao cho chia hết cho đa thức

67. Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì chia hết cho 6

68. Chứng minh rằng: với mọi

B. HƯỚNG DẪN

1. Chứng minh rằng: với

Lời giải

Ta có:

Do đó là tích của số nguyên liên tiếp

2. Chứng minh rằng: chia hết cho

Lời giải

Ta có:

Vì chia hết cho 2010 (1)

Vì chia hết cho 2010 (2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

3. a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9

b) Tìm các số nguyên n để chia hết cho

Lời giải

0. Gọi 2 số phải tìm là và , ta có chia hết cho 3

Ta có:

Vì chia hết cho 3 nên chia hết cho 3.

Do vậy, chia hết cho 9

0. 

Hay

Xét hai trường hợp:

không có giá trị của n thỏa mãn

4. Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9

Lời giải

Gọi 2 số phải tìm là và b, ta có chia hết cho 3.

Vì chia hết cho nên chia hết cho 3

Do vậy chia hết cho 9

5. Chứng minh chia hết cho với mọi

Lời giải

Vì là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, nên chia hết cho 6

, suy ra điều phải chứng minh

6. Chứng minh rằng:

chia hết cho

Lời giải

Vậy

a) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì

Lời giải

a) Ta phải chứng minh với

Nhận thấy và Vậy

và

Vậy

8. Chứng minh rằng

a) chia hết cho 17

b) chia hết cho 44

Lời giải

a)Ta có: chia hết cho 17

b)Ta có:

chia hết cho 44

9. Chứng minh rằng

Lời giải

Do tích của số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong 5 số nguyên liên tiếp luôn có ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và

Suy ra và

Vậy

10. Cho là hai số tự nhiên. Biết rằng chia cho 5 dư 3 và chia cho 5 dư 2. Hỏi tích chia cho 5 dư bao nhiêu ?

Lời giải

chia cho 5 dư 3 nên tồn tại số tự nhiên m sao cho (1)

chia cho 5 dư 2 nên tồn tại số tự nhiên n sao cho (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Suy ra chia cho 5 dư 1.

11. Cho các số nguyên . Đặt và . Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.

Lời giải

HD: Xét hiệu:

Chứng minh: với mọi số nguyên .

Sau đó sử dụng tính chât chia hết của một tổng suy ra đpcm.

12. a) Chứng minh rằng: chia hết cho 45

b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta có: .

Lời giải

a) Chứng minh rằng: chia hết cho 45.

HD: Đặt

Nhận xét 45 = 5.9 mà 5 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau (1)

Vậy để c/m ta cần c/m và

Thật vậy, (2)

(Vì và )

Mặt khác, và . Do đó, (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm.

* Chú ý:

b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta có: .

Ta có:

( Vì ).

Suy ra đpcm.

13. Chứng minh:

a) chia hết cho 7.

b) chia hết cho 2, với .

c) chia hết cho 30, với .

d) Nếu thì chia hết cho .

e) là bình phương của một số nguyên, với .

f) chia hết cho .

g) chia hết cho , với .

Lời giải

Chứng minh:

a) chia hết cho 7

Ta có:

Vậy, chia hết cho 7 .

b) chia hết cho 2, với .

Ta có:

Vậy, chia hết cho 2, với

c) chia hết cho 30, với .

Ta có:

Vì và mà nên

Vậy, chia hết cho 30, với .

d) Nếu thì chia hết cho .

Ta có:

Vậy, chia hết cho

e) là bình phương của một số nguyên, với .

Ta có:

Vậy, là bình phương của một số nguyên, với

f) chia hết cho .

Ta có

Xét tại thì

Vậy, chia hết cho .

g) chia hết cho , với .

Ta có: (1)

Mặt khác,

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy, chia hết cho , với .

14. Chứng minh rằng: chia hết cho 6

Lời giải

Chứng minh rằng: chia hết cho 6

Ta có:

Vì và nên (đpcm)

15. Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức:

chia hết cho

Lời giải

Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức:

chia hết cho .

Ta có: và . Ta cần c/m: và .

Ta có

Mà hay

Và ( vì là số chẵn ) hay

Từ (1) và (2) suy ra .

Tương tự,

Mà hay

Và ( vì là số chẵn ) hay

Từ (3) và (4) suy ra .

Vì và mà suy ra (đpcm)

16. Chứng minh rằng chia hết cho 16, với

Lời giải

Chứng minh rằng chia hết cho 16, với

Ta có:

Vì là tích của hai số nguyên liên tiếp nên

Suy ra mà

Vậy, với .

17. a)Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì

Lời giải

1. Ta phải chứng minh với

Nhận thấy và

Vậy

và

Vậy

18. Cho là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3

Chứng minh rằng: chia hết cho 3.

Lời giải: Dễ thấy là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3

Xét hiệu:

Các hiệu trên chia hết cho 3 , do vậy A chia hết cho 3

19. Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không ?

Lời giải

Vì số thứ nhất chia cho 5 dư 1 nên có dạng , số thứ hai chia cho 5 dư 2 nên có dạng (

Ta có tổng bình phương hai số đó là:

Vậy tổng bình phương của hai số chia hết cho 5

20. Chứng minh rằng chia hết cho

Lời giải

Ta có:

Vì (1)

Từ (1) và (2) ta có dpcm.

21. Chứng minh rằng:

chia hết cho 40

Lời giải

Vậy

22. Chứng minh rằng chia hết cho

Lời giải

Vì

Và có chữ số tận cùng bằng 0

Nên chia hết cho 10

Vậy chia hết cho

23. Chứng minh rằng chia hết cho

Lời giải

Ta có:

Vì

chia hết cho 2010 (1)

Vì

chia hết cho

Từ (1) và (2) ta có đpcm.

24. Chứng minh rằng:

5. chia hết cho 17

6. chia hết cho 44

Lời giải

0. Ta có:

Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17

0. Áp dụng hằng đẳng thức

với mọi n lẻ

Ta có:

chia hết cho 44

25. a) Chứng minh rằng: với mọi số nguyên

Lời giải

Ta có:

Vì là số nguyên nên: là ba số nguyên liên tiếp

Do đó có ít nhất một số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3

hay với mọi số nguyên

b)Tìm số nguyên n sao cho:

Lời giải

Để thì hay là Ư

Vậy thì

26. Cho số tự nhiên Chứng minh rằng nếu thì tích chia hết cho 6

Lời giải

Ta có:

Ta chứng minh

Thật vậy , từ đẳng thức có chữ số tận cùng là

Đặt ta có:

Nếu thì tận cùng là

Suy ra

Từ và suy ra

27. Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225.

Lời giải

Với n = 1 ta có: 16 – 15 – 1 = 0 225

Giả sử bài toán đúng với n = k tức là ta có:

16^k – 15k – 1 225

Ta chứng minh bài toán đúng với n = k + 1

Thật vậy: 16^k+1 – 15(k+1) – 1 = 16.16^k – 15k – 15 – 1

= 16^k (15 + 1) – 15k – 15 – 1

= (16 ^k – 15k – 1) + 15(15^k – 1)

= (16 ^k – 15k – 1) + 225. A(k) 225

Vậy 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n là số nguyên dương.

28. Chứng minh rằng chia hết cho 7

Lời giải

29. Chứng minh rằng chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n

Lời giải

Ta có: chia hết cho 3 vì tích của 3 số nguyên liên tiếp

Ta cũng có chia hết cho 2 vì trong 3 số liên tiếp có 1 số chẵn

Mà . Vậy chia hết cho 6

30. . Chứng minh rằng chia hết cho 1930

Lời giải

Đặt . Ta có:

Mà nên suy ra đpcm.

Chứng minh rằng: chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên .

Lời giải

Chứng minh rằng: chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên .

Theo giả thiết là một số tự nhiên nên là ba số tự nhiên liên tiếp

Vì tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên

Mặt khác, nên .

Vậy, chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên .

31. Tìm các số có 3 chữ số chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 7

Lời giải

Gọi số có ba chữ số cần tìm là

Ta có:

Vì

Mặt khác, vì ết hợp với (3) suy ra

Do đó chỉ có thể nhận các giá trị

Với Kết hợp với (4) ta chọn được các số thỏa mãn.

Với Đổi vai trò và của trường hợp trên ta được các cặp số thỏa mãn Câu toán.

Với mà do (4) nên

Do nên chỉ có thể nhận các giá trị

Từ đó ta chọn được 12 số thỏa mãn là

Vậy có 18 số thỏa mãn Câu toán:

32. Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên thì phân số tối giản

Lời giải

Gọi là ƯCLN của và

là số tự nhiên lẻ

Mặt khác , mà lẻ nên

Vậy phân số trên tối giản

33. Chứng minh rằng chia hết cho với mọi

Lời giải

là tích 4 số nguyên liên tiếp trong đó phải có 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 4

Nên

Vậy

34. Chứng minh rằng

Lời giải

Do tích của số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong 5 số nguyên liên tiếp luôn có ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và

Suy ra và

Vậy

35. a) Đặt Chứng minh rằng chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dương của

b)Nếu chia dư và b chia dư 3 thì chia hết cho 13

c)Tìm các số nguyên thỏa mãn

Lời giải

Khi đó: ; là tích của 3 số nguyên dương liên tiếp nên chia hết cho 3

0. 

0. Thực hiện chia

1. 

Để nguyên với n nguyên khi

Khi đó

36. Chứng minh rằng: với

Lời giải

Ta có:

Do đó là tích của số nguyên liên tiếp

37. Hãy chứng minh :

chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n

Lời giải

Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên có một bộ của 2, 1 bội của 3, 1 bội của 5, 1 bội của 7

Mà nên

38. Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9

0. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì

1. Lời giải

2. Ta phải chứng minh với

Nhận thấy và

Vậy

và

Vậy

39. Cho là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3

Chứng minh rằng: chia hết cho 3.

Lời giải

Dễ thấy là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3

Xét hiệu:

Các hiệu trên chia hết cho 3 , do vậy A chia hết cho 3

40. Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không ?

Lời giải

Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không ?

41. Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9

Lời giải

Gọi 2 số phải tìm là và b, ta có chia hết cho 3.

Ta có: Vì chia hết cho nên chia hết cho 3

Do vậy chia hết cho 9

42. Chứng minh rằng với mọi số nguyên ta có: chia hết cho 30.

Lời giải

Ta có:

Ta có: chia hết cho 2, 3 và 5

_{Tương tự, ta có:}

43. Hãy viết thêm vào bên phải số 43 hai chữ số để nhận được một số có 4 chữ số chia hết cho 3 và 7.

Lời giải

Vì , theo bài toán ta có

Vì chia 21 dư 16 nên hay chia 21 dư 5.

Vậy

Cho , số mới là 4305

Cho , số mới là 4326

Cho số mới là 4347

Cho , số mới là

Cho số mới là 4389

44. Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên thì phân số tối giản.

Lời giải

Gọi là ƯCLN của và

là số tự nhiên lẻ

Mặt khác: , mà lẻ nên

Vậy phân số trên tối giản

45. a) Cho Tìm để là số nguyên.

b) Tìm số tự nhiên để chia hết cho

Lời giải

a) Rút gọn

_{Để A nguyên} nguyên

_b)

+) Nếu

+) Nếu thì nên không thể xảy ra

Vậy

46. Chứng minh tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9.

Lời giải

Ta có ba số tự nhiên liên tiếp là

Khi đó ta có:

Cho a, b, c thỏa mãn Chứng minh:

Lời giải

_{Ta có:}

Do là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, 3 và 5, do đó chia hết cho 30.

Lại có chia hết cho 6 nên chia hết cho 30.

Từ đó suy ra chia hết cho 30

Tương tự chia hết cho 30 và chia hết cho 30

Từ đó suy ra chia hết cho 30

Mà nên chia hết cho 30

48. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thìA = 5ⁿ⁺² + 26.5ⁿ + 8²ⁿ⁺¹ 59

Lời giải

5ⁿ⁺² + 26.5ⁿ + 8²ⁿ⁺¹ = 25.5ⁿ + 26.5ⁿ + 8.8²ⁿ = 5ⁿ(59 – 8) + 8.64ⁿ = 59.5ⁿ + 8(64ⁿ – 5ⁿ)

59.5ⁿ 59 vaø 8(64ⁿ – 5ⁿ) (64 – 5) = 59

Vaäy 5ⁿ⁺² + 26.5ⁿ + 8²ⁿ⁺¹ 59

49. a. Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B

A = 3x^n-1y⁶ - 5xⁿ⁺¹y⁴ và B = 2x³yⁿ

b. Xác định các giá trị của a,b và c để đa thức P(x) = x⁴ + ax² + bx + c chia hết cho (x – 3)³

Lời giải a) Điểu kiện để A chia hết cho B là

Vậy với n = 4 thì đa thức A chia hết cho đơn thức B

Khi đó A:B = (3x³y⁶ – 5x⁵y⁴)(2x³y⁴) =

b) Chia P(x) cho (x – 3)³ ta được thương là x + 9 và dư là

R(x) = (a + 54)x² + (b-216)x + 243 + c

P(x) (x - 3)³ R (x) 0 cho ta

a + 54 = 0 a = -54; b – 216 = 0 b = 216; c + 243 = 0 c = -243

50. Chứng minh rằng số có dạng chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n.

Lời giải

=

Vì là ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 3. Do đó

Vì là bốn số tự nhiên liên tiếp nên có 2 số chẵn liên tiếp, trong 2 số chẵn liên tiếp có 1 số chia hết cho 2, số kia chia hết cho 4.

Vậy

Vì ƯCLN(3;8) =1 nên chia hết cho 24.

51. Chứng minh rằng chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ.

Lời giải

Ta có với mọi x, y.

P = khi x = 10 và y = 10

Vậy Max P = khi x = 10 và y = 10.

52. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên thỏa mãn chia hết

Lời giải

Giả sử tồn tại số nguyên thỏa mãn chia hết

=

ta có là 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3 suy ra

Vì 12a chia hết cho 3 nên (1)

Mặt khác chia cho 3 dư 2 (2)

Từ (1) và (2) dẫn đến điều giả sử trên là sai, tức là không có số nguyên nào thỏa mãn điều kiện bài toán đã cho.

53. Cho số tự nhiên n  3. Chứng minh rằng nếu 2ⁿ  10a  b (a, b , 0  b  10) thì tích ab chia hết cho 6.

Lời giải

Ta có 2ⁿ  10a  b  b 2  ab 2 (1)

Ta chứng minh ab 3 (2)

Thật vậy, từ đẳng thức 2ⁿ  10a  b  2ⁿ có chữ số tận cùng là b.

Đặt n  4k  r (k, r N, 0  r  3) ta có: 2ⁿ  16^k2^r.

Nếu r  0 thì 2ⁿ  16^k tận cùng là 6  b  6  ab 6.

Nếu 1  r  3 thì 2ⁿ  2^r  2^r(16^k  1) 10  2ⁿ tận cùng là 2^r

suy ra b  2^r  10a  2ⁿ  2^r  2^r(16^k  1) 3  a 3  ab 3.

Từ (1) và (2) suy ra ab 6.

54. Chứng minh thì là hợp số

Lời giải

0. Ta có:

Do nên .Vậy là hợp số.

55. : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì biểu thức luôn chia hết cho 30.

Lời giải

Vì là tích ba số nguyên liên tiếp nên

+) Nếu

+)Nếu dư 1 thì

+)Nếu dư 4 thì

+)Nếu dư 2 hoặc 3 thì dư 4

Vậy với mọi x và (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Chứng minh rằng:

0. chia hết cho 17

1. chia hết cho 44

Lời giải

0. Ta có:

Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17

0. Áp dụng hằng đẳng thức

với mọi n lẻ

Ta có:

chia hết cho 44

Lời giải

Ta có:

Vì là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số đó chia hết cho 3 (1)

Do đó

(2)

Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với (1); (2) suy ra

58. 

Vì là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, nên chia hết cho 6

, suy ra điều phải chứng minh

59. Học sinh biến đổi được

Lập luận được , kết luận

là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6

0. Gọi 2 số phải tìm là và , ta có chia hết cho 3

Ta có:

Vì chia hết cho 3 nên chia hết cho 3.

Do vậy, chia hết cho 9

0. 

Hay

Xét hai trường hợp:

không có giá trị của n thỏa mãn

chia hết cho 7

chia hết cho 13

Do nên chia hết cho 91

62. 

Vì

Và có chữ số tận cùng (hàng đơn vị ) bằng 0

Nên chia hết cho 10

Vậy chia hết cho 10.

0. Ta có:

Vì chia hết cho 2010 (1)

Vì chia hết cho 2010 (2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

64. Dễ thấy là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3

Xét hiệu

chia hết cho 3

Mà là các số tự nhiên có tổng bằng

Do vậy chia hết cho 3.

65. Tìm sao cho chia hết cho đa thức

Lời giải

0. Thay vào ta có:

và và

Vậy

66. Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì chia hết cho 6

Lời giải

Vì là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 mà nên chia hết cho 6

chia hết cho 6 Nên chia hết cho 6

67. Chứng minh rằng: với mọi

Lời giải

Đặt

Ta thấy chia hết cho 3( vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp)

Và chia hết cho 3

Nên chia hết cho 9