Đề Thi HSG Toán 10 (Olympic) Sở GD&ĐT Tỉnh Quảng Nam (Đề 3)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Q UẢNG NAM

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI OLYMPIC 24–3

LẦN THỨ NHẤT

Môn thi: TOÁN 10

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Q UẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24–3 QUẢNG NAM LẦN THỨ NHẤT

Môn thi: TOÁN 10

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

5,0

Giải phương trình: (1)

2,0

ĐK: x  4/3 (*).

Khi đó: (1) 



(2) 

 x² – 14x + 17 = 0 và x ≤ 3/2

 (thỏa (*)). Vậy (1) có 2 nghiệm: x = 3 và .

0,25

0,5

0,5

0.25

0,25

0,25

b) Giải hệ phương trình

3,0

(I)

Đặt t = 2y – 1 thì hệ (I) trở thành:

Nếu (x ; t) là nghiệm của hệ trên thì x > 0 và t > 0.

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:

(vì x > 0, t > 0 nên 3xt + x+t > 0)

Thay t = x vào (1) ta được: 3x³ = x² + 20.

 x = 2

khi đó x = 2  2y – 1 = 2 

Vậy, hệ đã cho có nghiệm

0.5

0.25

0.25

0.5

0,25

0,25

0.25

0,25

0.25

0.25

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 2

3,0

a) Tìm tập xác định của hàm số :

1,0

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi :

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = {–2}  [1 ; +)

0,25

0,25

0,25

0,25

b) Tìm m …

2,0

Gọi (P) là parabol và d là đường thẳng

PT hoành độ g/đ của (P) và d là:  (1)

(P) và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi:

PT (1) có hai nghiệm phân biệt

Gọi là 2 nghiệm của (1), I là trung điểm AB nên:

; .

Kết hợp với m > – 4 ta được m = –3.

0.25

0.5

0.5

0.25

0.25

0.25

Câu 3

3,0

Tìm GTLN

Ta có

Khi đó .

Tương tự cho hai hạng tử còn lại

0,5

0,25

0.25

Do . (bất đẳng thức Côsi) nên:

.

Tương tự cho hai hạng tử còn lại

0,5

0.25

0,25

0.5

. Suy ra . Vậy P_min = 162 khi x = y =z =1

0,5

Câu 4

2,0

Chia hình tròn thành 8 hình quạt bằng nhau. Mỗi hình quạt có diện tích là

Khi đó đường tròn được chia thành 8 cung tròn

Do 17 = 2.8 + 1 nên theo nguyên lý Dirichlet có 1 cung, (giả sử cung AB) chứa ít nhất 3 điểm, giả sử 3 điểm đó là M,N, P. ( với )

Ta có ( S_vp diện tích viên phân)

Mà

Vậy có ít nhất 3 điểm trong 17 điểm đã cho lập thành 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn .

0,5

0,5

0,25

0.25

0,5

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 5

40

a)

2,0

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Chứng minh M di động trên đường cố định

2,0

0.25

0.25

0.25

0.25

0.5

0.5

Câu 6

3,0

a)

+ Gọi H là trực tâm tam giác ABD, ta có AB  BC  DH qua E

+ Chứng minh được tứ giác BHDC là hình bình hành

+ C và H đối xứng qua M, tìm được H(2;0).

+ Viết được PT đường thẳng DH: x –y –2=0.

+ Viết được PT đường thẳng AB : x + y – 4 = 0.

+Gọi B(b; 4 – b ) thuộc AB. Vì M là trung điểm BD, suy ra D(6 – b; b – 6 ).

D nằm trên DH nên ta có (6 – b ) – (b – 6 ) – 2 = 0 hay b = 5.

Suy ra : D(1 ; – 1 ) và B(5 ; – 1 ).

+Đường cao (AH) đi qua H(2; 0) và vuông góc BD nên có PT : x – 2 =0.

+ A là giao điểm của AH và AB nên A(2;2).

0,25

0,5

0,25

0.5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25