Đề Thi HSG Toán 10 (Olympic) Sở GD&ĐT Tỉnh Quảng Nam (Đề 4)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Q UẢNG NAM

KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH

N ăm học 2016 – 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi : TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 25/3/2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Q UẢNG NAM

KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH

N ăm học 2016 – 2017

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Môn thi: TOÁN

(Đáp án – Thang điểm gồm trang)

Câu

Đáp án

Điểm

Câu 1

(5,0 điểm)

a) Giải phương trình

2,5

Điều kiện:

0,25

+ Đặt ( ). Suy ra

0,25

+ P hương trình đã cho trở thành :

0,5

0,25

- Với suy ra .

0,25

- Xét phương trình

0,25

(vì )

0,25

Với suy ra

0,25

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

0,25

b) Giải hệ phương trình

2,5

Điều kiện: và .

0,25

- Xét phương trình thứ nhất trong hệ:

0,25

(vì )

0,25

+ Với thay vào phương trình thứ hai ta được:

Điều kiện: . Khi đó, ta có:

0,25

0,5

0,25

* Với ta có (dấu bằng xảy ra khi x=0)

0,5

Do đó pt (*) có một nghiệm duy nhất .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: và .

0,25

Câu 2

(4,0 điểm)

a) Cho parabol (P) có phương trình , đường thẳng có phương trình và điểm M(3 ;3). Tìm tất cả các giá trị của tham số để đường thẳng cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác MAB vuông cân tại M.

2,0

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và là: (*)

0,25

+ Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt (vì ).

Suy ra luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của .

0,25

+ Gọi và

(với và là hai nghiệm của phương trình (*)).

0,25

+ và .

+ Tam giác MAB vuông tại M suy ra:

0,25

0,5

+ Với . Suy ra , .

Khi đó: , . Suy ra .

0,25

+ Với . Suy ra , .

Khi đó: , . Suy ra

(không thỏa)

0,25

Vậy với , tam giác MAB vuông cân tại M.

0,25

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có tập xác định là R.

2,0

Hàm số có tập xác định là D=R khi và chỉ khi

.

0,25

(vì )

0,25

0,25

0,25

0,75

Kết luận

0,25

Câu 3

(4,0 điểm)

Cho 3 số thực dương thỏa . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

4,0

+

Tương tự:

1,0

Suy ra

0,25

Ta chứng minh

Ta có :

(*)

0,5

Trước hết ta chứng minh được BĐT sau nhờ Bunhiacosky :

Với ta có :

Thật vậy:

(dấu bằng xảy ra khi : )

0,5

Khi đó:

Lại có:

(vì )

1,0

Suy ra

Suy ra .

0,5

Suy ra , dấu bằng xảy ra khi .

0,25

Vậy khi .

Câu 4

(4,0 điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho điểm và đường thẳng có phương trình . Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với tại và đi qua .

2,0

+ Tâm I của đường tròn (C) nằm trên đường thẳng d’ vuông góc với d tại B.

0,25

+ Viết được phương trình đường thẳng d’ là .

0,5

+ .

0,25

+ .

0,5

+ Bán kính của đường tròn (C) là .

0,25

Suy ra phương trình đường tròn (C) là:

0,25

b) Cho tam giác ABC vuông tại A, H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC; D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC; I là giao điểm của AH và DE. Điểm A nằm trên đường thẳng có phương trình , phương trình đường thẳng DE là ; là trung điểm của BC, I có hoành độ nhỏ hơn 1, E có hoành độ dương và tứ giác ADHE có diện tích bằng 4. Tìm tọa độ 4 điểm A, D, H, E.

2,0

+ Gọi K là giao điểm của DE và AM.

+ (cùng phụ với )

Mà . Suy ra .

Mà .Do đó

Lại có nên

Suy ra tam giác AKD vuông tại K.

0,5

+ Viết được phương trình đường thẳng (AM):x-3y-2=0. Suy ra được A(2;0).

0,25

+ , . Suy ra .

0,25

+ Gọi I(a;2-3a) nằm trên DE, với a<1.

.

0,25

+ I là trung điểm của AH suy ra H(-1;1).

0,25

+ Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp hình chữ nhật ADHE

0,25

+ D và E là hai giao điểm của đường tròn (C) với DE suy ra được: E(1;-1), D(0;2).

0,25

Câu 5

(3,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O; I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC.

3,0

a) Gọi M và N lần lượt nằm trên DJ và DC sao cho: và . Chứng minh rằng: B, M, N thẳng hàng.

1,5

+

0,5

+

0,5

Suy ra . Do đó và cùng phương.

Suy ra B, M, N thẳng hàng.

0,5

b) Gọi H và K lần lượt là trực tâm của OAB và OCD. Chứng minh HK vuông góc với IJ.

1,5

+Trước tiên, ta chứng minh:

0,5

Ta có :

0,5

0,5

.