Đề Thi HSG Toán 10 Tỉnh Hải Dương (Đề 1) Có Đáp Án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi: 03/4/2019

(Đề thi gồm 01 trang)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT – NĂM HỌC 2018 - 2019

MÔN: TOÁN

(Hướng dẫn chấm gồm 6 trang)

Câu

Nội dung

Điểm

Câu I.1

1,0đ

Cho hàm số có đồ thị . Tìm giá trị của tham số để đường thẳng cắt đồ thị ( ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn .

Phương trình hoành độ giao điểm (1)

0,25

Đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt .

0,25

Ta có

0,25

(thỏa mãn)

0,25

Câu I.2

1,0 đ

Cho hàm số ,( là tham số). Tìm để hàm số nghịch biến trên khoảng .

Với . Hàm số nghịch biến trên . Do đó thỏa mãn.

0,25

Với . Hàm số nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi

0,25

.

0,25

Vậy

0,25

CâuII.1

1,0 đ

Giải hệ phương trình

0,25

0,25

Thế vào phương trình (2) ta có .

0,25

. Hệ có nghiệm

0,25

CâuII.2

1,0 đ

Giải phương trình (1)

Điều kiện .

Phương trình

0,25

0,25

(Thỏa mãn điều kiện).

0,25

Với điều kiên ta có

. Dấu không xảy ra nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

0,25

CâuII.3

1,0 đ

Giải bất phương trình (1)

Điều kiện .

0,25

Xét , thay vào (2) thỏa mãn.

Xét . Chia hai vế của (2) cho ta được bất phương trình .

0,25

Đặt , ta có bất phương trình

0,25

Kết hợp là nghiệm, ta có tập nghiệm của bất phương trình .

0,25

Câu III.1

1,0 đ

Cho tam giác có trọng tâm và điểm thỏa mãn . Gọi là giao điểm của và , tính tỉ số .

G ọi M là trung điểm của cạnh BC. Đặt .

.

0,25

0,25

Ba điểm thẳng hàng nên hai vectơ cùng phương. Do đó

0,25

.

0,25

Câu

III.2

1,0 đ

Cho tam giác nhọn , gọi lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh . Gọi diện tích các tam giác và lần lượt là và . Biết rằng , chứng minh .

Đ ặt thì từ giả thiết suy ra

0,25

0,25

0,25

.

0,25

Câu

III.3

1,0 đ

Trong mặt phẳng tọa độ , cho cân tại . Đường thẳng có phương trình , đường thẳng có phương trình . Biết điểm thuộc cạnh , tìm tọa độ các đỉnh .

Toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình . Vậy .

0,25

Phương trình các đường phân giác của góc là 

0,25

Do tam giác cân tại nên đường phân giác trong kẻ từ cũng là đường cao.

Xét trường hợp là đường cao của tam giác kẻ từ .

Phương trình đường thẳng là .

Toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình .

Toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình .

nằm ngoài đoạn . Trường hợp này không thỏa mãn.

0,25

Nếu là đường cao của tam giác kẻ từ

Phương trình đường thẳng là .

Toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình .

Toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình .

thuộc đoạn .

Vậy .

0,25

Câu IV 1,0 đ

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất?

Giả sử sản xuất sản phẩm loại I và sản phẩm loại II.

Điều kiện  và

Tổng số giờ máy làm việc: 

Ta có

Số tiền lãi thu được là  (đồng).

0,25

Ta cần tìm thoả mãn:

(I)

sao cho đạt giá trị lớn nhất.

0,25

Trên mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng

Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm , cắt trục tung tại điểm .

Đ ường thẳng cắt trục hoành tại điểm , cắt trục tung tại điểm .

Đường thẳng và cắt nhau tại điểm .

Biểu diễn hình học tập nghiệm của

hệ bất phương trình (I) là miền đa giác .

0,25

; ; ;

Vậy để thu được tổng số tiền lãi nhiều nhất thì xưởng cần sản xuất sản phẩm loại I và sản phẩm loại II.

0,25

Câu V 1,0 đ

Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh bất đẳng thức

.

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

Tương tự, ta cũng có .

Từ đó suy ra:

. (1)

0,25

Chứng minh bổ đề: Cho và ta có:

Ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

Áp dụng bổ đề ta có

.

0,25

Đến đây, ta chỉ cần chứng minh:

Do

Nên

(4)

0,25

Mặt khác, do là các số dương nên ta có:

Nên bất đẳng thức (4) đúng.

Từ (1), (2), (3) và (4), ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

0,25