Đề Thi HSG Toán 12 Sở GD&ĐT Hưng Yên (Đề 1) Có Đáp Án Và Lời Giải

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu I (5,0 điểm)

1. Cho hàm số với m là tham số. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực tiểu.

2. Cho hàm số với m là tham số. Gọi là một điểm thuộc đồ thị có hoành độ bằng 1. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị tại cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

Câu II (4,0 điểm)

1. Giải phương trình

2. Tính tích phân

Câu III (5,0 điểm)

1. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh và . Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh , . Biết và mặt phẳng vuông góc với mặt bên , tính thể tích khối chóp theo .

2. Cho tứ diện có độ dài các cạnh , , và các góc , . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .

Câu IV. (2,0 điểm) Cho đa thức với là các số thực không âm. Biết rằng phương trình có nghiệm thực, chứng minh .

Câu V. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: .

Câu VI. (2,0 điểm) Cho dãy số được xác định như sau:

1. Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho.

2. Chứng minh rằng là số vô tỷ.

Giải chi tiết đề CHỌN HSG TỈNH

Câu I (5,0 điểm)

1. Cho hàm số với m là tham số. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực tiểu.

2. Cho hàm số với m là tham số. Gọi là một điểm thuộc đồ thị có hoành độ bằng 1. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị tại cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải

1. Xét

TXĐ:

.

+) Hàm số có cực tiểu thì trước hết phương trình có nghiệm.

Đặt

.

BBT:

Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có nghiệm .

+) .

Với : Hàm số không có cực tiểu.

Với : Hàm số có cực tiểu.

Vậy thì hàm số có cực tiểu.

2.

Ta có .

Gọi là tiếp tuyến của đồ thị tại . Phương trình đường thẳng d là:

.

Đường thẳng luôn đi qua điểm cố định nằm trong đường tròn.

Do đó luôn cắt đường tròn tại hai điểm . Gọi là trung điểm .

Ta có: .

Vậy với thì đạt giá trị nhỏ nhất bằng .

Câu II (4,0 điểm)

1. Giải phương trình

2. Tính tích phân

Lời giải

1. Ta có:

Vậy , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Lại có , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Do đó

Vậy phương trình có hai nghiệm là

2.

Câu III (5,0 điểm)

1. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh và . Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh , . Biết và mặt phẳng vuông góc với mặt bên , tính thể tích khối chóp theo .

2. Cho tứ diện có độ dài các cạnh , , và các góc , . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .

Lời giải

1.

Gọi là trung điểm của , là giao điểm của và , là giao điểm của và .

Có là hình thoi cạnh , nên đều cạnh .

Có nên hình chiếu của lên mặt phẳng trùng với hay .

Có theo giao tuyến

Mà (Do )

vuông tại .

+) Gọi là trung điểm của là đường trung bình của .

Xét vuông tại có nên

Vậy .

2.

Gọi là trung điểm của , là điểm trên cạnh sao cho .

Vì , , .

Lại có , nên .

vuông tại .

Gọi là trung điểm của thì là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Lại có

và .

Vì vuông tại nên .

Đặt hệ trục toạ độ như hình vẽ với:

, , , , .

+) Vì là trung điểm của nên .

+) Có .

.

Có

.

Áp dụng công thức

.

Câu IV. (2,0 điểm) Cho đa thức với là các số thực không âm. Biết rằng phương trình có nghiệm thực, chứng minh .

Lời giải

Nhận xét: Nếu là nghiệm của phương trình thì (vì nếu thì ).

Gọi nghiệm của phương trình là với .

Khi đó ; .

Ta có .

Dấu “=” xảy ra .

Câu V. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: .

Lời giải

Cộng vế và ta có:

(do nên )

Xét hàm số trên .

(phương trình vô nghiệm vì )

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có Hàm số đồng biến trên .

Ta có: .

Thay vào ta có:

Đặt . Phương trình trở thành:

.

Với thì , do đó tồn tại sao cho hay

Thay vào ta có:

Do nên suy ra

(Phương trình bậc ba có tối đa 3 nghiệm nên ta không cần xét trường hợp )

Câu VI. (2,0 điểm) Cho dãy số được xác định như sau:

1. Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho.

2. Chứng minh rằng là số vô tỷ.

Lời giải

1. Từ giả thiết dễ thấy .

Khi đó

Đặt (do ), khi đó

.

Ta thấy nên , từ đó ta tìm được công thức tổng quát của dãy số là: .

Vậy .

2. Từ giả thiết ta viết lại , nên nếu hữu tỷ thì hữu tỷ.

Do đó số hữu tỷ thì hữu tỷ….và hữu tỷ, vô lý.

Vậy vô tỷ.