Đề Thi HSG Toán 11 Cấp Trường Năm 2022 Có Đáp Án

Câu

Lời giải sơ lược

Điểm

1(4,0 điểm)

Ta có

Theo giả thiết ta có (C), phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại là:

2,0

Gọi ;

Diện tích tam giác OAB: =

Theo giả thiết:

Vậy

2,0

2.1 (2 điểm) . (1)

(1)

0,5

1,0

0,5

2.2 (2 điểm).

Ta có

Lấy đạo hàm 2 vế ta được:

1,0

Cho

Vì lẻ nên ta có:

Vậy

1,0

2.3 (2 điểm)

+

1,0

Vậy

1,0

3.1 (2 điểm)

ĐKXĐ:

Đặt , đk:

PT trở thành:

1,0

Với

Vậy phương trình có nghiệm là

1,0

3.2 (2 điểm) Giải hệ phương trình:

Điều kiện

0,5

Phương trình (1) tương đương với (*)

Vì nên

0,5

Thay vào phương trình (2) của hệ ta được

Nhận xét: Với ,vế trái của phương trình (**) luôn âm , nên (**) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 2;3)

1,0

4.1 (2 điểm)

Gọi H và K là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AD; Gọi N là giao điểm của KM và BC, gọi I là giao điểm của CM và HK. Ta có vuông tại K và KM = KD=NC.

Lại có (do MHBN là hình vuông) suy ra . Mà

nên .

1,0

Đường thẳng CI qua M(1;1) và vuông góc với đường thẳng d nên có phương trình: . Do điểm C thuộc đường thẳng CI và đường thẳng nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ pt

Vậy C(2;2).

1,0

4.2 (2 điểm)

Gọi I, H là trung điểm của BC và SD.

Ta có SO là trục hình vuông và SA=SB=SC=SD=CB=a và BC//mp(SCD) nên

Ta lại có theo giao tuyến SH. Trong mặt phẳng (SIH) dựng

1,0

Tam giác SIH có:

Vậy

1,0

5 (2 điểm) Cho là các số thực thoả mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .

Từ tồn tại hai góc sao cho

Khi đó biểu thức có dạng hay , nên do đó . Vậy

1,0

Ta có

Vậy giá trị lớn nhất của P là

1,0