UBND TỈNH HẢI DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2020 – 2021

MÔN THI: TOÁN

Ngày thi: 27/01/2021

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1. (2,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức với x > y > 0.

2. Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn: . Tính .

Câu 2. (2,0 điểm)

1. Giải phương trình :

2. Giải hệ phương trình:

Câu 3. (2,0 điểm)

1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: 2x² + y² + 3xy + 3x + 2y + 3 = 0.

2. Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn : (a - b)(b - c)(c - a) = a + b + c.

Chứng minh a + b + c chia hết cho 27.

Câu 4. (3,0 điểm)

1. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Qua A lần lượt kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến với đường tròn (O; R) (B, C là các tiếp điểm). Lấy điểm D thuộc đường tròn (O; R) sao cho BD song song với AO, đường thẳng AD cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai là E. Gọi M là trung điểm của AC.

a) Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

b) Từ D kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O; R), tiếp tuyến này cắt ME tại T. Gọi r₁, r₂, r₃ lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp của ΔOME, ΔOTE, ΔOMT. Chứng minh khi A thay đổi thì r₁ + r₂ + r₃ luôn không đổi.

2. Cho tam giác ABC có ba góc nhon. Chứng minh sin²A + sin²B + sin²C > 2.

Câu 5. (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: 2xy + 5yz + 6zx = 18xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

…………………….. HẾT ………………………….

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – HẢI DƯƠNG (2020 – 2021)

Câu 1.

1) Ta có:

2) Có

Mà

Do đó:

Ta có:

Trong 3 số a, b, c có hai số đối nhau

Không làm mất tính tổng quát, giả sử

Vậy:

Câu 2.

1) Điều kiện xác định:

Cách 1:

Ta có:

KL: Vì (vô nghiệm) nên x=3 là nghiệm của phương trình.

Cách 2:

Đặt ( )

Với

KL: x=3

2) Điều kiện:

Hệ tương đương:

Lấy (1) trừ (2) ta được:

Với , thay vào (1) ta được:

Với , thay vào (1) ta được:

Vậy

Câu 3.

1)

Cách 1:

KL: (x;y)=(2;-4)=(-2;2)

Cách 2:

Để phương trình có nghiệm nguyên thi là số chính phương, ta đặt:

( )

Ta có bảng sau:

x + k	1	4	-4	-1	2	-2
x - k	4	1	-1	-4	2	-2
x	-5/2 (loại)	5/2 (loại)	-5/2 (loại)	5/2 (loại)	2	-2
y					-4	2

KL: (x;y)=(2;-4)=(-2;2)

2)

TH1: Nếu a, b, c có cùng số dư khi chia cho 3

TH2: Nếu a, b, c khác số dư khi chia cho 3

Mà không chia hết cho 3 (vô lí)

Trong 3 số a, b, c tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3

Tổng a+b+c không chia hết cho 3 (1)

(Mâu thuẫn với (1))

Loại

TH1 đúng

Vậy

Câu 4.

1)

a)Vì BD//AO (1)

Có (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (3)

Lại có: (4) (cung chắn cung AC)

Từ (3), (4) suy ra:

Mặt khác:

Suy ra tam giác CBD vuông tại B

Do đó CD là đường kính của (O)

vuông tại C

Có M là trung điểm của AC nên EM=MC

Dễ dàng chứng minh (c.g.c)

là tiếp tuyến của (O).

b) Đang cập nhật…..

2) Ta có:

Vì tam giác có ba góc nhọn nên cosA, cosB, cosC đều có giá trị dương nên > 0.

Do đó: đpcm

Câu 5.

Ta chứng minh:

Ấp dụng B.C.S:

Dấu “=” xảy ra

Áp dụng:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ KHÓA THI NGÀY 17.3.2021 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Bài 1. (3 điểm)

Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện a-b=1

Tính giá trị của biểu thức:

Bài 2. (3 điểm)

Giải phương trình:

Bài 3. (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BD ( ). Đường tròn (BCD) cắt cạnh AB tại E. Chứng minh AE+AB=BC.

Bài 4. (3 điểm)

Cho bốn số thực a, b, c, d thỏa điều kiện . Chứng minh bất đẳng thức:

Bài 5. (4 điểm)

Cho tứ giác ABCD (AB không song song với CD) nội tiếp đường tròn (O) và M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Các dây MC, MD cắt AB lần lượt tại các điểm F, E.

a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.

b) Gọi I là giao điểm của MC và MD. Gọi J là giao điểm của MD và AC.

Chứng minh: IJ song song với AB.

c) Đường thẳng IJ cắt AD, BC, CD lần lượt tại các điểm P, Q, K.

Chứng minh: KP.KQ=KI.KJ

Bài 6. (3 điểm)

Cho phương trình (1) với a, b là các tham số nguyên. Giả sử phương trình (1) có một nghiệm là .

a) Tìm a, b.

b) Chứng minh rằng là một số nguyên và A chia hết cho 4.

HẾT

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – HỒ CHÍ MINH (2020 – 2021)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. (4,0 điểm)

1. Tính giá trị của biểu thức khi

2. Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình

2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M, N là hai điểm phân biệt di động lần lượt trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I(1;2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Câu 3. (4,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình

2. Một nhóm học sinh được giao sắp xếp 810 quyển sách vào tủ ở thư viện trong một thời gian nhất định. Khi bắt đầu làm việc, nhóm được bổ sung thêm học sinh nên mỗi giờ nhóm sắp xếp nhiều hơn dự định 110 quyển sách. Vì vậy không những hoàn thành trước dự định 1 giờ 30 phút mà còn vượt mức được giao 60 quyển sách. Hỏi số quyển sách mỗi giờ nhóm dự định sắp xếp là bao nhiêu?

Câu 4. (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Chứng minh rằng:

Câu 5. (4,0 điểm)

Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy E là điểm bất kỳ nằm trên cung nhỏ AD (E không trùng với A và D). Đường thẳng EC cắt OA tại M, đường thẳng EB cắt OD tại N.

1. Chứng minh rằng: AM.ED= .OM.AE

2. Xác định vị trí của điểm E để tổng đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 6. (2,0 điểm)

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

…………HẾT…………

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – HƯNG YÊN (2020 – 2021)

Câu 1.

1. Ta có:

Lại có:

Suy ra: B=0

2. Ta có: (1)

Vì nên , do vậy:

Vì x, y là các số nguyên nên 4y và 2x-7 cũng là số nguyên.

Do vậy, từ (2) suy ra Ư(11)

Thay vào phương trình (1) ta được:

(thỏa mãn (x;y) nguyên)

Vậy .

Câu 2.

1. Điều kiện

Ta có:

Đặt (Điều kiện )

Suy ra . Giải ra ta được y=-1, y=3

Với y=-1 (loại)

Với y=3. Thay số ta có:

Kết luận: Phương trình có nghiệm x=2

b. Đặt , (1).

Gọi đường thẳng đi qua 3 điểm M, I, N có dạng ,

Đẳng thức xảy ra khi . Kết hợp (2) suy ra: m=5, n=2,5 (thỏa mãn (1))

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là .

Câu 3.

a) Hệ phương trình tương đương:

Suy ra:

Dễ dàng suy ra: xy=4

Suy ra: hoặc

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (4;1), (1;4)

b) Gọi số quyển sách mỗi giờ nhóm dự định sắp xếp là: x quyển ( )

Số quyển sách mỗi giờ thực tế sắp xếp là: x+110 (quyển)

Thời gian dự định để sắp xếp 810 quyển sách là: (h)

Tổng số quyển sách đã được sắp xếp trong thực tế là: 810+60=870 (quyển)

Thời gian thực tế để sắp xếp 870 quyển sách là: (h)

Do công việc hoàn thành trước dự định 1 giờ 30 phút nên ta có phương trình:

Suy ra: x=180 (thỏa mãn) hoặc x=-330 (loại).

Vậy số quyển sách mỗi giờ nhóm dự đinh sắp xếp là180 quyển.

A

Câu 4.

C

H

B

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Ta có:

Đặt (k>0)

Tương tự, suy ra:

Lại có:

Từ đó suy ra:

Câu 5.

a) Xét COM và CED, ta có: chung.

(1)

Do AB, CD là 2 đường kính vuông góc với nhau nên:

Xét và có: , chung.

.

Mà (Do vuông cân tại O)

Kết hợp với (1) suy ra:

(ĐPCM)

b) Tương tự câu a), ta có:

(2), (3)

Nhân theo về của (2) và (3), suy ra:

Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: , E là điểm chính giữa cung nhỏ AD.

GTNN của là , đạt khi E là điểm chính giữa cung nhỏ AD.

Vậy E là điểm chính giữa cung nhỏ AD (thỏa mãn bài toán).

Câu 6. Đặt .

Do đó:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: (*)

Mà:

Mặt khác:

Từ (*) suy ra:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

Vậy MinP=343, dấu “=” xảy ra khi .

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KHÁNH HÒA

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: Toán – Lớp: 9 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày: 3/12/2020 (Đề thi gồm: 01 trang)

1. (4,0 điểm)

a) Rút gọn .

b) Cho các số thực thỏa mãn và . Tính giá trị của biểu thức .

2. (4,0 điểm)

a) Cho đa thức biết rằng chia cho dư 3, chia cho dư 8.

Tìm .

b) Giải phương trình: .

3. (5,0 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số thực .

b) Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.

4. điểm)

Cho hình vuông . Điểm thay đổi trên đường chéo (điểm khác và ). Gọi theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ đến và .

a) Chứng minh rằng không đổi.

b) Đường thẳng đi qua và vuông góc với . Chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định.

c) Xác định vị trí điểm để tam giác có diện tích nhỏ nhất.

5. (3,5 diểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương sao cho: và là các số nguyên.

b) Trên bản đồ có đồng xu. Hai bạn An và Bình thực hiện một số trò chơi bằng cách đi lần lượt như sau: mỗi người, đến lượt của mình sẽ lấy đi một số các đồng xu sao cho nó là ước của số các đồng xu hiện có trên bàn. Người lấy đồng xu lượt cuối cùng là thua. Nếu An đi trước, Bình sẽ dùng chiến thuật như thế nào để chiến thắng?

-----HẾT------

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – KHÁNH HÒA (2020 – 2021)

a) Ta có =

b)

Mà nên do đó

a) Số dư của đa thức cho là ta có

Vậy

b) ĐKXĐ:

Ta có

Vậy

a) với mọi số thực

Xét đúng với mọi số thực (1)

đúng với mọi số thực (2)

Từ (1) và ( 2) ta có

b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có và

Suy ra và ta có

Tương tự ;

Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là , ta có

Đẵng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy giá trị lớn nhất của là khi

a) Kéo dài cắt tại ; Kéo dài cắt tại

Xét tứ giác có nên tứ giác là hình chữ nhật

Mà là đường phân giác nên hình chữ nhật là hình vuông

Tương tự tứ giác là hình vuông

Ta có (do tứ giác là hình chữ nhật)

( Do là hình vuông)

= ( không đổi)

b) Kéo dài cắt tại ta có

xét

Hay nên theo tiên đề ơ clit đường thẳng d và đường thẳng trùng nhau nên đường thẳng đi qua điểm cố định

c) (Do các tam giác đó cùng cạnh đáy và chiều cao)

Giá trị diện tích nhỏ nhất là khi hay điểm I là trung điểm cạnh BD

a) Từ giả thiết ta có:

Vì

TH1: vì

TH2: vì

Vậy

b) Ta có nhận xét: Các số lẻ chỉ có các ước lẻ nên với mọi cách trừ đi một ước của số đó luôn được một số chẵn (có thể bằng 0).

Vậy ta có chiến thuật của Bình như sau. Sau lần lấy đi đồng xu đầu tiên của An trên bàn còn lại một số chẵn đồng xu. Vậy Bình cần lấy đi một ước lẻ của số đồng xu ấy để đưa số xu còn lại về lẻ. Khi đó An chỉ có thể để lại số chẵn đồng xu trên bàn. Cứ làm như vậy An phải là người lấy đi các đồng xu cuối cùng (lấy hết số xu khi số đồng xu lớn hơn 1 hoặc lấy đồng xu cuối cùng).

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KON TUM ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20/3/202.

Bài 1.

a) Tính giá trị của biểu thức

b) Cho hàm số (m là tham số). Đồ thị của nó là đường thẳng . Xác định các giá trị của m để đường thẳng cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B (A và B khác O) sao cho OB=3OA.

Bài 2.

a) Cho a, b là các số nguyên thỏa mãn

Chứng minh rằng là một số nguyên.

b) Cho hình thang ABCD có ; AB=7cm; BC=10cm; DC=13cm. Gọi M là trung điểm của BC, đường trung trực của đoạn BC cắt đường thẳng AD tại N. Tính độ dài đoạn MN.

Bài 3:

Trên đường thẳng d lấy ba điểm A, B, C theo thứ tự đó thỏa mãn AB = 36 cm, AC = 60 cm. Đường tròn (O) đi qua điểm B và C có tâm O không nằm trên đường thẳng AC. Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Đường thẳng BC cắt MN tại K, đường thẳng AO cắt MN tại H và đường tròn (O) tại các điểm P, Q (P nằm giữa A và Q).

a) Tính độ dài đoạn AK.

b) Gọi D là trung điểm của HQ, qua H kẻ đường thẳng vuông góc MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh rẳng P là trung điểm của ME.

Bài 4.

a) Giải phương trình

b) Cho x, y là các số thực thỏa mãn và

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

------HẾT------

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – KON TUM (2020 – 2021)

Bài 1.

a)

b)

Vì

Vậy m=1; m=2

Câu 2.

a) Ta có:

Suy ra:

Vì a, b là số nguyên nên M cũng là số nguyên (đpcm)

b)

Bài 3.

a) Gọi I là trung điểm của BC suy ra

Dễ dàng chứng minh: đồng dạng với (g.g)

vuông tại N, đường cao NH nên

đồng dạng với (g.g) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

b) Ta có: (g.g)

(g.g)

P là trung điểm của ME.

Bài 4.

a) Điều kiện

Vậy x=9, x=14

b) Ta có:

(vì )

Vậy MinM=4. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=-8, y=-3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAI CHÂU ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 11/4/2021

Bài 1. Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức A

b) So sánh A với

Bài 2.

a) Chứng minh rằng chia hết cho 5.

b) Giải phương trình

Bài 3.

1) Cho phương trình

a) Tìm m để phương trình có nghiệm.

b) Giả sử phương trình có hai nghiệm x₁, x₂.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2) Giải hệ phương trình

Bài 4. Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC = R. Qua C kẻ đường thẳng d vuông góc với CA. Lấy điểm M bất kỳ trên đường tròn (O) không trùng với A, B. Tia BM cắt đường thẳng d tại P. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N, tia PA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là Q.

a) Chứng minh tứ giác ACPM nội tiếp.

b) Chứng minh rằng PC song song với NQ.

c) Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác CMB luôn nằm trên một đường tròn cố định khi M thay đổi trên đường tròn (O).

Bài 5. Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x+y+z=2.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

-----HẾT------

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – LAI CHÂU (2020 – 2021)

Bài 1.

a)

b) Ta có: (Vì >0, >0)

Suy ra:

Bài 2.

a) Ta có

Do 43³ có tận cùng là chữ số 7 nên 43⁴ có tận cùng là chữ số 1 hay 43⁴⁰ có tận cùng là chữ số 1

Mà 43³ có tận cùng là chữ số 7. Vậy 43⁴⁰.43³ có tận cùng là chữ số 7 hay 43³ có tận cùng là chữ số 7.

Ta có

Vì 17⁴ có tận cùng là 1 nên cũng có tận cùng là 1 hay 17¹⁶ có tận cùng là 1

Do đó: có tận cùng là 7

Hai số 43⁴³ và 17¹⁷ có chữ số tận cùng giống nhau nên có chữ số tận cùng là 0.

Do đó chia hết cho 5

Lúc đó chia hết cho 5.

b) Phương trình đã cho tương đương với:

(vì )

Bài 3.

1) Để phương trình có nghiệm:

2) Ta có:

KL: MinP=36, P nhỏ nhất khi

2) Hệ phương trình:

Từ (1) suy ra:

Với x = y, thay vào (2) ta được:

Khi đó: (x;y)=(-1; -1)= ( ; )

Với x = -2y, thay vào (2) ta được:

Khi đó: (x;y) = (2; -1) = (-6; 3)

Vậy hệ có 4 nghiệm: (x;y) = (-1; -1) = ( ; ) = (2; -1) = (-6; 3)

Bài 4.

a) AB là đường kính của (O) ( ) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Suy ra tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn.

b) Có AMNQ là tứ giác nội tiếp nên (góc trong tại một đỉnh và góc ngoài tại đỉnh đối diện) (1)

AMPC là tứ giác nội tiếp nên (hai góc nột tiếp cùng chắn cung PM) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Hai góc ở vị trí so le nhau nên PC//NQ

c) Gọi D là trung điểm BC, là điểm cố định. Qua G kẻ đường thẳng song song MO cắt AB tại I

G là trọng tâm tam giác BCM nên G đoạn MD và

Do nên theo định lí Ta – lét cho tam giác DMO ta có:

I đoạn MO và

Mà O, D là hai điểm cố định nên I cố định.

Do nên theo định lí Ta – lét ta có:

G luôn cách điểm I cố định một khoảng không đổi.

Khi M di động, điểm G luôn nằm trên đường tròn tâm I, bán kính

Bài 5. Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

Tương tự: ,

Do đó:

MinP = 1. Dấu “=” xảy ra khi:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 05/03/2021

Câu 1. (2,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử .

Câu 2. (2,0 điểm) Chứng minh không chia hết cho 8 với mọi n là số lẻ.

Câu 3. (2,0 điểm) Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có đường chéo vuông góc với cạnh bên.

Biết AB = 7cm, DC = 25cm. Tính chu vi của hình thang.

Câu 4. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình

Câu 5. (2,0 điểm) Cột ăng ten dài 12 mét được dựng trên mái của một

ngôi nhà và có các dây cáp neo từ ăng ten xuống mặt đất.

Dây cáp AD được neo từ đỉnh của ăng ten xuống cọc D

Dưới mặt đất như hình vẽ (A, B, C nằm trên một đường

thẳng vuông góc với CD). Một kỹ sư đã đặt máy và đo

được , . Tính độ dài dây neo AD.

Biết ; .

Câu 6. (1,5 điểm) Lấy điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB sao cho AC lớn hơn BC. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt tiếp tuyến tại A ở D và cắt AB ở E. Gọi H là hình chiếu của A trên DC. Chứng minh DC.CE = CH.DE.

Câu 7. (1,5 điểm) Cho một tam giác có độ dài ba cạnh là x, y, z thảo mãn:

. Chứng minh tam giác đó là tam giác cân.

Câu 8. (1,5 điểm) Trên quãng đường AB dài 6 km, cùng một thời điểm người thứ nhất đi từ A

đến B và người thứ hai đi từ B đến A. Sau khi gặp nhau người thứ nhất đi tiếp

nửa giờ thì đến B và người thứ hai đi tiếp hai giờ thì đến A. Biết vận tốc hai người không thay đổi trên suốt chặng đường. Tính vận tốc mỗi người.

Câu 9. (1,5 điểm) Lấy điểm B nằm trên nửa đường tròn đường kính AD (B khác A và D). Trên cung DB lấy điểm C (C khác B và D). Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD. Chứng minh

Câu 10. (1,5 điểm) Cho ba số thực x, y, z dương. Chứng minh:

Câu 11. (1,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có góc A là góc tù. Kẻ AM vuông góc với DC tại

M (M nằm giữa D và C) và AN vuông góc với BC tại N (N nằm giữa B và C).

Kẻ DI vuông góc với đường thẳng MN tại I và BK vuông góc với đường thẳng

MN tại K. Chứng minh MI bằng NK.

Câu 12. (1,5 điểm) Cho một dãy các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1. Người ta xóa đi một số thì trung bình cộng của các số còn lại bằng . Tìm số bị xóa

---HẾT---

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – LÂM ĐỒNG (2020 – 2021)

Câu 1.

Đặt a=x+1; b=1-2x; c=x-2. Thấy a+b+c=0. Ta có:

Suy ra:

Câu 2.

Với n=2k+1, ta có:

Biểu thức A(n) bằng tổng của ba hạng tử, trong đó hai hạng tử đầu chia hết cho 8, duy chỉcó hạng tử 2 không chia hết cho 8.

Vậy A(n) không chia hết cho 8

Câu 3.

Kẻ AH và BK lần lượt vuông góc với CD. Ta có: HK=AB=7cm, DH=DK

Trong vuông tại A có DH=9cm, HC=16cm

Suy ra:

Câu 4. Ta có:

Thay y

. Hệ có 2 nghiệm: (x;y)=(-3;-10)=(1;6)

Câu 5.

Có

Xét vuông tại C:

Câu 6. DC.CE = CH.DE.

Hai tiếp tuyến tại A và C cắt nhau tại H nên AD=DC.

Ta có:

đpcm

Câu 7.

Ta có:

Suy ra đpcm

Câu 8.

Gọi v₁, v₂ là vận tốc 2 người tương ứng xuất phát từ A, B; t là thời gian từ lúc xuất phát đến khi 2 người gặp nhau

Ta có: 6 = v₁(t + 0,5); 6= v₂(t + 2) (1)

6 = 0,5 v₁ + 2v₂ (2)

Từ (1) suy ra: t = (3)

Giải hệ gồm (2) và (3) suy ra: v₁ = 4, v₂ = 2

Kết luận: v₁ = 4 km/h, v₂ = 2 km/h

Câu 9. Đang cập nhật…..

Câu 10.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có:

(vì ) (1)

Tương tự: (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

Câu 11. Đang cập nhật…..

Câu 12.

Giả sử có n số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n:

- Nếu xóa số 1 thì trung bình cộng của các số còn lại là:

- Nếu xóa số n thì trung bình cộng của các số còn lại là:

Ta có:

Do n là số tự nhiên nên n = 69 hoặc n = 70

Nếu n = 70 thì tổng của 69 số còn lại là (loại)

Nếu n = 69 thì tổng của 69 số còn lại là (t/m)

Số bị xóa là (1+2+3+…+69)-2408=7

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LẠNG SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: Toán lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18/3/2021

Bài 1: (4 điểm)

Cho biểu thức:

với .

a) Rút gọn biểu thức .

b) Tính giá trị của với .

Bài 2: (4 điểm)

Cho phương trình ( là tham số).

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

b)Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:

.

Bài 3: (4 điểm)

a) Giải hệ phương trình

b) Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn phương trình

Bài điểm

Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn . Gọi là một điểm di động trên đoạn thẳng ( khác và ). Đường thẳng đi qua và vuông góc với cắt cung nhỏ tại . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên .

a) Chứng minh .

b) Các tiếp tuyến của tại và cắt tiếp tuyến tại của lần luợt tại và . cắt lần lượt tại và . Chứng minh rằng

c) Tìm vị trí điểm để chu vi tam giác đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5: (2 điểm)

a) Cho là các số thực dương thoả mãn .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

b) Cho mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu.

- - - - - - - - - - - - -HẾT - - - - - - - - - - - - -

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – LẠNG SƠN (2020 – 2021)

Bài 1.

a)

b) Với . Ta được:

Bài 2.

a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu là:

b) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì:

Áp dụng Viet ta có:

(thỏa mãn)

Bài 3.

a) Điều kiện:

Ta có:

(vì x+y 1)

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

(Vì )

Vậy (x;y)=(5;2)

b) Đặt (a,b>0)

Phương trình tương đương với:

Vì a, b, z nguyên dương nên:

Dấu “=” xảy ra khi:

Vậy (x;y;z)=(3;2;9)

Bài 4.

a) Gọi N là giao điểm của MK và (O).

là trung điển của MN

cân tại B

b) Ta có:

Mà

Xét và có chung, (g.g)

Bài 5.

a) Đặt , , , ta có:

Tương tự: ,

Ta được:

Và

Áp dụng bấy đẳng thức Cô – si, ta có:

Tương tự:

Suy ra:

Vậy , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

b) Lấy 5 điểm tùy ý sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng trên mặt phẳng.

Khi đó vì chỉ dùng có hai màu để tô các đỉnh nên theo nguyên lí Dirichlet phải tồn tại ba điểm cùng màu. Giả sử ba điểm đó là ba điểm A, B, C cùng có màu đỏ. Như vậy ta có tam giác ABC với ba đỉnh màu đỏ. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, chỉ có 2 trường hợp xảy ra:

- Nếu G là màu đỏ, khi đó A, B, C, G có cùng màu đỏ và bài toán được chứng minh.

- Nếu G có màu xanh. Kéo dài GA, GB, GC các đoạn AA^’=3GA, BB^’=3GB, CC^’=3GC. Khi đó nếu M, N, P tương ứng là các trung điểm của BC, CA, AB thì AA^’=3GA=6GM AA^’=2AM. Tương tự BB^’=2BN, CC^’=2CP. Do đó các tam giác A^’BC, B^’CA, C^’AB tương ứng nhận A, B, C là trọng tâm. Mặt khác, tam giác ABC và A^’B^’C^’ có cùng trọng tâm G. Có 2 trường hợp xảy ra:

TH1: Nếu A^’, B^’, C^’ cùng màu xanh. Khi đó, tam giác A^’B^’C^’ và trọng tâm G có cùng màu xanh

TH2: Nếu ít nhất một trong các điểm A^’, B^’, C^’ có màu điểm. Không mất tính tổng quát giả sử A^’ màu đỏ. Khi đó tam giác A^’BC và trọng tâm có màu đỏ. Vậy trong mọi khả năng luôn tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm màu đỏ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi 16/03/2021 (Đề thi gồm 01 trang, 05 câu)

Câu 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức ,

.

a) Rút gọn biểu thức P .

b) Tìm x sao cho P nhận giá trị là một số nguyên.

Câu 2 (6,0 điểm).

a) Cho phương trình , ( x là ẩn,m là tham số). Tìm m để

phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn .

b) Lúc 7 giờ sáng một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B với khoảng cách là

18 km . Sau khi đi được quãng đường do xe bị hỏng nên người đó phải dừng lại sửa mất 20 phút rồi đi tiếp trên đoạn đường còn lại với vận tốc kém vận tốc lúc đầu là 8 km/h . Khi đến B người đónghỉ lại 30 phút rồi trở về A với vận tốc bằng một nửa vận tốc đi trên quãng đường AB đầu tiên. Biết người đó trở về A lúc 10 giờ 20 phút sáng cùng ngày. Hỏi xe đạp hỏng lúc mấy giờ?

c) Giải hệ phương trình

Câu 3 (6,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC . Gọi D là trung điểm của BC . Hai

đường cao BE và CF cắt nhau tại H . Đường tròn tâm O ngoại tiếp BDF và đường tròn tâm O^’ ngoại tiếp CDE cắt nhau tại I ( I khác D ), EF cắt BC tại K . Chứng minh

a) Tứ giác AEIF nội tiếp.

b) Tam giác DCA đồng dạng với tam giác DIC .

c) Ba đường thẳng BE,CF,KI đồng quy.

Câu 4 (2 điểm). Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Câu 5 (2,0 điểm). Giải phương trình nghiệm nguyên:

-----------------------HẾT-----------------------

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay!

Chữ ký của giám thị số 1:………………........... Chữ ký của giám thị số 2:………………..

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – LÀO CAI (2020 – 2021)

Câu 1 (4,0 điểm).

a) Ta có:

b) Ta có:

P nhận giá trị là một số nguyên

(thỏa mãn)

(thỏa mãn)

Vậy thì P nhận giá trị là một số nguyên.

Câu 2 (6,0 điểm).

a) . Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lí Vi-et:

b) Đổi 20 phút = (h), 30 phút = (h), 10 giờ 20 phút = (h)

Gọi vận tốc xe đạp đi trên 1/3 quãng đường AB đầu tiên là

Vận tốc xe đạp đi trên 2/3 quãng đường còn lại là x - 8 (km/h)

Vận tốc xe đạp đi từ B về A là 0,5x (km/h)

Tổng thời gian xe đi từ A đến B rồi quay về A là:

.

Theo đề bài ta có phương trình:

Kết hợp với điều kiện được: x =24 (km/h)

Thời gian xe đi 1/3 quãng đường AB đầu tiên là (h)

Vậy xe đạp hỏng lúc 7 giờ 15 phút.

c) Hệ phương trình đã cho tương đương:

Nhân vế với vế của 2 phương trình ta được:

Thay vào phương trình đầu tiên ta được:

Với y=1, thay số suy ra x=0

Với y=-1, thay số suy ra x=-2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm:

Câu 3 (6,0 điểm).

a) (tứ giác CDIE nội tiếp)

(hai góc kề bù)

(tứ giác BDIF nội tiếp)

Tứ giác AEIF nội tiếp.

b) Ta có:

(tứ giác AEIF nội tiếp)

(tứ giác BCEF nội tiếp)

(tứ giác BDIF nội tiếp)

Ba điểm A,I,D thẳng hàng.

BEC vuông tại E,D là trung điểm của BC

( CDE cân tại D ).

Mà (tứ giác CDIE nội tiếp)

DCA và DIC có chung và nên DCA DIC (g.g)

c) Do DCA DIC (g.g) nên

Mặt khác: (tứ giác AEIF nội tiếp)

Nên tứ giác CIFK nội tiếp

Ta lại có: (tứ giác BCEF nội tiếp)

(1)

Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH

Tứ giác AEIF nội tiếp nên I thuộc đường tròn đường kính AH

(2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm K,H,I thẳng hàng

Vậy ba đường thẳng BE,CF,KI đồng quy tại H .

Câu 4 (2 điểm).

Ta có:

Đặt: thì: và

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:

Tương tự: ,

Suy ra:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: hay

Câu 5 (2,0 điểm).

Ta có:

(*)

Nếu x > 0 thì suy ra không là số chính phương nên không tồn tại số nguyên x,y thỏa mãn (*).

Nếu x <-1 thì suy ra không là số chính phương nên không tồn tại số nguyên x,y thỏa mãn (*).

Nếu x =-1 hoặc x = 0 thì từ (*) suy ra

Vậy phương trình có nghiệm nguyên:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: Toán – Lớp: 9 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm: 01 trang)

Câu 1: (3,0 điểm)

1) Cho với

Rút gọn biểu thức P.

2) Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện

Câu 2. (5,0 điểm)

1) Giải phương trình

2) Giải hệ phương trình

Câu 3. (3,0 điểm)

1) Tính tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn với a là số nguyên tố.

2) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình

Câu 4. (7,0 điểm) Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B,C sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC; đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại P . QuaD kẻ đường thẳng song song với đường thẳng EF cắt đường thẳng AC và AB lần lượt tại Q và R, M là trung điểm của BC .

1) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh hai tam giác EPM và DEM đồng dạng.

3) Giả sử BC là dây cung cố định không đi qua tâm O, A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O). Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5. (2,0 điểm)

1) Cho 2021 số tự nhiên từ 4 đến 2024 trên bảng, mỗi lần thay một hoặc một vài số bởi tổng các chữ số của nó cho đến khi trên bảng chỉ còn lại các số từ 1 đến 9. Hỏi cuối cùng, trên bảng có bao nhiêu số 3, bao nhiêu số 7?

2) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

------------Hết------------

Họ và tên thí sinh:.............................. Số báo danh:...........................Ký tên:...................................

Họ, tên và chữ ký của GT 1:.................................Họ, tên và chữ ký của GT 2:................................

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – NAM ĐỊNH (2020 – 2021)

Câu 1.

1) Ta có:

Suy ra:

2) Điều kiện: hay

(thỏa mãn)

Kết luận: x=4, y=8, z=17

Câu 2.

1) Điều kiện:

Đặt ( )

Phương trình đã cho trở thành:

TH1: . Ta có:

TH2: t=1/3 ta có

Vậy phương trình có 3 nghiệm: , ,

2) Nếu x = 0 tính được y = 0

Nếu y = 0 tính được x = 0

Do đó ta được (x; y) = (0;0) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Với x và y khác 0. Hệ tương đương:

Đặt: . Ta được:

Giải hệ trên suy ra:

TH1: với a =1; b = -1

TH 2: với a=-2/3; b=-6

Kết luận: vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm là (0;0), (-1;1),

Câu 3.

1) Từ giả thiết suy ra hay mà x và x+1 là hai số nguyên liên tiếp nên

là số chẵn, do đó a là số chẵn.

Mặt khác a là số nguyên tố nên a = 2

Khi đó ta được:

KL: tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là 1- 2 = -1

2) Ta có: (*)

Mà >0 với mọi x, y nguyên dương (1)

Ta lại có:

Nên (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Thay vào (*) ta được:

Khi đó z=2y+3

Vậy tất cả các nghiệm nguyên dương (x; y; z) của phương trình có dạng (k + 2;k;2k + 3)

với k là số nguyên dương.

Câu 4.

1) Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp.

Suy ra

Chỉ ra

Suy ra

Chỉ ra tứ giác BQCR nội tiếp

2) Chỉ ra tam giác ECM cân tại M

Chứng minh được

Tứ giác BCEF; ACDF nội tiếp nên

Suy ra

Chỉ ra tứ giác DMEF nội tiếp, suy ra

Mà nên . Suy ra tam giác EPM và DEM đồng dạng

3) Do tứ giác DMEF nội tiếp, suy ra

Mà nên tam giác PFD đồng dạng với tam giác EMD suy ra

Do nên tam giác FDR cân tại D suy ra FD=DR

Chứng minh tương tự tam giác DEQ cân tại D nên DE=DQ .

Ta có: FD=DR;DE=DQ suy ra

Chỉ ra hai tam giác PDR và QDM đồng dạng, suy ra

Chỉ ra tứ giác PRMQ nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua điểm M

cố định

Câu 5.

Một số chia cho 9 dư k thì tổng các chữ số của nó chia 9 cũng dư k

Do đó sau khi thay đủ số lần, mà mỗi lần thay một hoặc một vài số bởi tổng các chữ số của nó thì cuối cùng trên bảng chỉ còn lại các số dư k tương ứng của các số đã cho.

Các số chia 9 dư 3 trong dãy từ 4 đến 2024 là: 12; 21; 30; … ; 2019

Dãy số trên có (số), do đó trên bảng có 224 số 3

Các số chia 9 dư 7 trong dãy từ 4 đến 2024 là: 7; 16; 25; … ; 2023.

Dãy số trên có (số), do đó trên bảng có 225 số 7

Vậy cuối cùng trên bảng có 224 số 3, có 225 số 7.

Câu 6.

Ta có hay

Tương tự ,

Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta được

Có

Ta lại có:

Có:

Với

Khi đó

Kết luận: giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là 236/39 khi x = y = z = 2.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN – BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (3,0 điểm).

1. Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để là một số chính phương.

2. Cho đa thức P(xvới các hệ số nguyên thỏa mãn P(2019).P(2020)2021.

Chứng minh rằng đa thức P(x2022 không có nghiệm nguyên.

Câu 2 (6,5 điểm).

1. Giải phương trình

2. Giải hệ phương trình

Câu 3 (1,5 điểm). Cho ba số thực không âm a,b,c thỏa mãn ab bc ca 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có D,E,F lần lượt là chân các đường cao kẻ từ ba đỉnh A,B,C của tam giác. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và K là trung điểm của HC.

1. Chứng minh rằng 4 điểm E,K,D,F cùng thuộc một đường tròn.

2. Đường thẳng đi qua K song song với BC cắt DF tại M. Trên tia DE lấy điểm P sao cho . Chứng minh rằng (Trong đó S_AMF, S_AMP lần lượt là diện tích các tam giác AMF và AMP).

Câu 5 (3,0 điểm).

a) Cho hình thoi ABCD có ABa. Gọi R₁,R₂ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng .

b) Cho đa giác đều có 2021 đỉnh, sao cho mỗi đỉnh của đa giác đó chỉ được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 3 đỉnh của đa giác đã cho là các đỉnh của một tam giác cân mà các đỉnh đó được tô cùng một màu.

……………Hết……………

Họ và tên thí sinh………………………………… Số báo danh……………………

Chú ý: Thí sinh không được phép sử dụng máy tính bỏ túi.

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – NGHỆ AN BẢNG A (2020 – 2021)

Câu 1.

2017 y² a 2² y a 2y a 22017

a) Ta có a² 4a 2021y² a 2² 2 170y²

Do 2017 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau xảy ra

TH1:

TH2:

TH3:

TH4:

Vậy có 2 giá trị nguyên của a thỏa mãn yêu cầu bài toán là a 1010 và a 1006.

b) Giả sử đa thức P(x)-2022 có nghiệm nguyên x-a, khi đó:

(Với là đa thức hệ số nguyên)

Khi đó:

Mà:

(*)

Do 2019a2020a là hai số tự nhiên liên tiếp, suy ra vế trái của (*) là số chẵn.

Vậy không tồn tại a để đẳng thức (*) xảy ra. Hay đa thức P x2022 không có nghiệm nguyên

Câu 2.

a) Điều kiện:

Phương trình đã cho tương đương với

Do ,

Vậy: x=5

b) Ta có:

+ Với y=-1, thay vào phương trình thức 2 và giải ta được:

+ Với , thay vào phương trình thứ 2 ta được:

Khi đó, hệ có nghiệm: ,

Vậy hệ có nghiệm: , ,

Câu 3.

Ta có:

Khi đó suy ra:

Theo nguyên lí Dirichlet trong ba số thực a,b,c luôn tồn tại hai số hoặc

Giả sử hai số đó là a và b. Khi đó:

Lại có:

Từ đó suy ra:

Ta lại có:

Tương tự:

Từ đó ta có:

Đặt .

Khi đó:

Vậy minP 5/2 đạt được khi và chỉ khi a 1;b 1;c 0 và các hoán vị.

Câu 4.

a) +) Do EK là trung tuyến của tam giác vuông EHC

(1)

+) Do tứ giác nội tiếp HDCE

+) Do tứ giác nội tiếp FECB

+) Do tứ giác nội tiếp FBDH

Từ đó suy ra: (2)

Từ (1) và (2) suy ra . Do đó: tứ giác FDKE nội tiếp hay 4 điểm F,D,K,E cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi N là giao điểm của MK và DE

Ta có:

(3)

ABDE là tứ giác nội tiếp nên (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

Do đó: MNPA là tứ giác nội tiếp nên (5)

Lại có: (6)

Từ (5) và (6) suy ra:

Gọi h₁, h₂ lần lượt là độ cao kẻ từ đỉnh F, P của các tam giác AMF và AMP.

Ta có: . Tương tự:

Từ đó suy ra:

Câu 5.

a)

Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Đường trung trực của đoạn AB cắt các đường AC và BD lần lượt tại I, J. Khi đó I, J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABD và ABC.

Dễ thấy:

Khi đó:

Do đó:

Dấu “=” xảy ra khi R₁=R₂ hay tứ giác ABCD là hình vuông.

b)

Do đa giác đã cho là đa giác đều nên đa giác đó nội tiếp đường tròn tâm O.

Do 2021 là số lẻ nên tồn tại 2 đỉnh kề nhau tô cùng màu. Giả sử 2 đỉnh đó là A và B và cùng được tô màu đỏ.

Cũng do đa giác đã cho đều và có số đỉnh lẻ nên tồn tại đỉnh M của đa giác nằm trên trung trực đoạn AB

cân.

Ta xét hai khả năng xảy ra:

+) Khả năng 1: Nếu tô màu đỏ đpcm.

+) Khả năng 2: Nếu M tô màu xanh.

Gọi E,F là các đỉnh kề của A và B có: cân tại M. Khi đó:

Nếu E,F màu xanh thì cân và thỏa mãn bài toán

Nếu một trong hai đỉnh E,F màu đỏ, giả sử E màu đỏ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy luôn tồn tại 3 đỉnh của đa giác đều đã cho lập nên một tam giác cân có các đỉnh cùng màu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN – BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn .

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì chia hết cho 6.

Câu 2 (6,5 điểm).

a) Giải phương trình

b) Giải hệ phương trình

Câu 3 (1,5 điểm). Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng .

Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có D,E,F lần lượt là chân các đường cao kẻ từ ba đỉnh A,B,C của tam giác. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và K là trung điểm của HC.

a) Chứng minh rằng 4 điểm E, K, D, F cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng đi qua K song song với BC cắt DF tại M. Trên tia DE lấy điểm P sao cho . Chứng minh rằng MA là phân giác

Câu 5 (3,0 điểm).

a) Cho hình thoi ABCD có ABa. Gọi R₁,R₂ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng .

b) Cho đa giác đều có 2021 đỉnh, sao cho mỗi đỉnh của đa giác đó chỉ được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 3 đỉnh của đa giác đã cho là các đỉnh của một tam giác cân mà các đỉnh đó được tô cùng một màu.

……………Hết……………

Họ và tên thí sinh………………………………… Số báo danh……………………

Chú ý: Thí sinh không được phép sử dụng máy tính bỏ túi.

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – NGHỆ AN BẢNG B (2020 – 2021)

Câu 1.

a) Ta có

Do 17 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau:

TH1:

TH2:

TH3:

TH4:

Vậy các cặp số nguyên (x;y thỏa mãn yêu cầu bài toán là

b) Ta có:

Do là tích của ba số tự nhiên liên tiếp

Mà , từ đó suy ra:

Câu 2.

a) Điều kiện:

Phương trình đã cho tương đương với

Do

Vậy: x=5

b) Ta có:

Do

Với x=y, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

vì

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: ,

Câu 3.

Ta có:

Suy ra:

(1)

(2)

Từ (1) và (2) ta có:

Vậy

Câu 4.

a) +) Do EK là trung tuyến của tam giác vuông EHC

(1)

+) Do tứ giác nội tiếp HDCE

+) Do tứ giác nội tiếp FECB

+) Do tứ giác nội tiếp FBDH

Từ đó suy ra: (2)

Từ (1) và (2) suy ra . Do đó: tứ giác FDKE nội tiếp hay 4 điểm F,D,K,E cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi N là giao điểm của MK và DE

Ta có:

(3)

ABDE là tứ giác nội tiếp nên (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

Do đó: MNPA là tứ giác nội tiếp nên (5)

Lại có: (6)

Từ (5) và (6) suy ra:

Do đó MA là phân giác của

Câu 5.

a)

Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Đường trung trực của đoạn AB cắt các đường AC và BD lần lượt tại I, J. Khi đó I, J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABD và ABC.

Dễ thấy:

b)

Do đa giác đã cho là đa giác đều nên đa giác đó nội tiếp đường tròn tâm O.

Do 2021 là số lẻ nên tồn tại 2 đỉnh kề nhau tô cùng màu. Giả sử 2 đỉnh đó là A và B và cùng được tô màu đỏ.

Cũng do đa giác đã cho đều và có số đỉnh lẻ nên tồn tại đỉnh M của đa giác nằm trên trung trực đoạn AB

cân.

Ta xét hai khả năng xảy ra:

+) Khả năng 1: Nếu tô màu đỏ đpcm.

+) Khả năng 2: Nếu M tô màu xanh.

Gọi E,F là các đỉnh kề của A và B có: cân tại M. Khi đó:

Nếu E,F màu xanh thì cân và thỏa mãn bài toán

Nếu một trong hai đỉnh E,F màu đỏ, giả sử E màu đỏ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy luôn tồn tại 3 đỉnh của đa giác đều đã cho lập nên một tam giác cân có các đỉnh cùng màu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: TOÁN Ngày thi: 09/03/2021 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang

Họ và tên thí sinh……................................... Số báo danh:........................................................

Họ và tên, chữ ký: Giám thị thứ nhất:..........................................................................................

Giám thị thứ hai:..........................................................................................

Câu 1 (5,0 điểm)

1. Cho phương trình: x² −2(m+1)x + 4m − m² = 0 (1) (x là ẩn, m là tham số).

1. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt.

b) Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2. Giải hệ phương trình

Câu 2 (5,0 điểm)

1. Cho đa thức thỏa mãn f(1)=1 và f(0)>0

a) Chứng minh phương trình f (x)= x có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm số nghiệm của phương trình f(f(x))=x .

2. Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn xy =1. Chứng minh

Câu 3 (7,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R . Dây cung BC cố định, không đi qua tâm O.

Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A khác B ). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I,H lần lượt là trung điểm của BC và MN, BC cắt MN tại K .

1. Chứng minh bốn điểm O,M,N,I cùng thuộc một đường tròn và HK là tia phân giác của

2. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở E. Chứng minh M,N,E thẳng hàng.

3. Đường thẳng ∆ qua điểm M và vuông góc với đường thẳng ON, cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P . Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để tứ giác AMPN là hình bình hành.

Câu 4 (3,0 điểm)

1 . Tìm các số nguyên x,y thoả mãn: x² −5x + 7= 3^y

2. Cho một bảng ô vuông m×n (gồm m dòng và n cột). Cho quy tắc tô màu bảng ô vuông như sau: Mỗi ô vuông đơn vị được tô bằng màu đỏ hoặc màu xanh sao cho bất kì bảng ô vuông 2×3 hoặc 3×2 nào cũng có đúng hai ô được tô màu đỏ.

a) Hãy chỉ ra một cách tô màu theo quy tắc trên cho bảng ô vuông 4×6 (Điền chữ Đ vào ô được tô màu đỏ, chữ X vào ô được tô màu xanh).

b) Người ta đã tô bảng ô vuông 2021 2022× theo quy tắc trên. Hỏi bảng ô vuông này có bao nhiêu ô được tô màu đỏ?

………………HẾT………………

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – NINH BÌNH (2020 – 2021)

Câu 1.

1.

a. Ta có:

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với ∀m ∈

Do đó phương trình có hai nghiệm dương phân biệt:

b. Theo chứng minh trên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với

và

Ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m=1/2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng khi m=1/2

b. Điều kiện:

Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có

(1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có

(2)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Từ (1) và (2) suy ra x=y

Từ đó suy ra x=y=2021/2 (thỏa mãn)

Hệ phương trình đã cho có một nghiệm

Cách 2: Từ 2 phương trình của hệ ta có:

(*)

Xét phương trình (*):

+ Nếu x>y thì (mâu thuẫn)

+ Nếu x<y thì VT<VP (mâu thuẫn)

+ Nếu x = y . Hệ phương trình đã cho trở thành:

(thỏa mãn)

Hệ phương trình đã cho có một nghiệm

Cách 3: Từ 2 phương trình của hệ ta có:

(Vì không phải là nghiệm của hệ phương trình đã cho nên nếu hệ phương trình có nghiệm thì )

(Vì )

Hệ phương trình đã cho trở thành:

(thỏa mãn)

Hệ phương trình đã cho có một nghiệm

Câu 2.

1.

a)Vì nên ta có

(*)

Ta có nên phương trình (*) có 2 nghiệm

Mà b>3 nên

Do đó phương trình f (x)=x có hai nghiệm phân biệt

b)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt là 1 và b

Phương trình (2) có (vì b>3)

Nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt.

Ta lại có x =1; x = b không là nghiệm của phương trình (2)

Vậy phương trình f( (f x))=x có 4 nghiệm phân biệt.

2. Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: (1)

Tương tự áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

(2)

Từ (1) và (2) suy ra . Đẳng thức xảy ra khi x=y=1.

Câu 3.

1. Ta có: (tính chất tiếp tuyến) vuông tại M

⇒ Ba điểm A,M,O cùng thuộc đường tròn đường kính AO (1)

Chứng minh tương tự suy ra: ba điểm A,N,O cùng thuộc đường tròn đường kính AO (2)

Mặt khác ta có: I là trung điểm của BC (giả thiết)

⇒ OI ⊥ BC ( Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

⇒ ΔAIO vuông tại I ⇒ Ba điểm A,I,O cùng thuộc đường tròn đường kính AO (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 4 điểm O, M, N, I cùng thuộc 1 đường tròn.

*) Ta có: OM=ON (=R) ⇒ O∈ đường trung trực của MN (4)

AM = AN ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ A∈ đường trung trực của MN (5)

HM = HN(gt) ⇒ H∈ đường trung trực của MN (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra O,H,A thẳng hàng và OA là đường trung trực của MN

Xét Δ ANO vuông tại N có NH⊥AO (OA là đường trung trực của MN )

⇒ ( Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (*)

Chứng minh ) (**)

Từ (*) và (**) suy ra:

(7)

⇒Tứ giác BHOC nội tiếp

Mà nên (8)

Từ (7) và (8) suy ra: ( phụ với hai góc bằng nhau)

HK là tia phân giác của góc

2.

Cách 1: Tứ giác AMPN là hình bình hành thì suy ra

Suy ra O vừa là trực tâm vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP

là tam giác đều.

Do bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bằng R nên

Xét tam giác vuông ANO ta có

⇒ A là giao điểm của đường tròn (O;2R) với tia đối của tia BC

Khi A là giao điểm của đường tròn (O; 2R) với tia đối của tia BC, chứng minh tứ giác AMPN

là hình bình hành

Vậy A là giao điểm của đường tròn (O; 2R) với tia đối của tia BC thì tứ giác AMPN

là hình bình hành

Cách 2: Tứ giác AMPN là hình bình hành ⇒ AP đi qua trung điểm H của MN

⇒ Tứ giác AMPN là hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc)

⇒ A,H,O,P thẳng hàng và

Xét (O; R) có (hệ quả góc nội tiếp)

(ΔAMO vuông tại M )

( cạnh đối diện với góc 30⁰ trong tam giác vuông) ⇒ OA = 2R

Khi A là giao điểm của đường tròn với (O;2R) với tia đối của tia BC, ta chứng minh được tứ giác AMPN

là hình bình hành.

Vậy A là giao điểm của đường tròn với (O; 2R) với tia đối của tia BC thì tứ giác AMPN là hình bình hành.

Câu 4:

1. Tìm các số nguyên x,y thoả mãn: x² −5x + 7= 3^y (*)

Nếu ta có:

Do x nguyên nên ta có

Lần lượt thay giá trị của x vào phương trình (*) tìm được

+ Nếu y = 1 thì phương trình (*) trở thành:

thỏa mãn phương trình (*)

+ Nếu y≥2 thì

Cách 1: Ta xét VT (*) theo các trường hợp số dư của x khi chia cho 3

- Nếu x=3k ( ) thì không chia hết cho 3

- Nếu x=3k+1 ( ) thì không chia hết cho 9 nên phương trình (*) vô nghiệm

- Nếu x=3k+2 ( ) thì không chia hết cho 3 nên phương trình (*) vô nghiệm

Cách 2: Ta có (1)

Coi phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x, tham số y có:

Vì không chia hết cho 3 nên phải là số chính phương

Với y nguyên, y ≥ 2 phương trình (1) là phương trình bậc hai có hệ số nguyên mà Δ không phải là số chính phương nên phương trình (1) không có nghiệm nguyên

Vậy .

2.a).Chỉ ra 1 cách tô đúng.

b)

Chia bảng ô vuông ban đầu thành hai bảng ô vuông 2019×2022 và 2x2202 ( xem hình vẽ minh họa)

Bảng ô vuông 2019×2022 được chia thành bảng ô vuông 3×2

Trong bảng ô vuông 2019×2022 có 680403.2=1360806 ô được tô màu đỏ

Bảng ô vuông 2×2022 được chia thành bảng ô vuông 2×3.

Trong bảng ô vuông 2×2022 có 674.2=1348 ô được tô màu đỏ.

Bảng ô vuông ban đầu có: 1360806+1348 =1362154 ô được tô màu đỏ.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC PHÚ THỌ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: Toán – Lớp: 9 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm: 01 trang)

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

1. Cho biểu thức : , khẳng định nào dưới đây đúng ?

A. khi . B. khi .

C. khi . D. khi .

2. Cho , là các số thực thoả mãn đẳng thức: . Giá trị của biểu thức bằng:

A. . B. . C. . D. .

3. Có bao nhiêu giá trị của tham số để hai đường thẳng và song song với nhau?

A. . B. . C. . D. Vô số.

4. Trên mặt phẳng toạ độ cho với , thoả mãn hệ phương trình:

Tìm giá trị của để điểm .

A. . B. . C. . D. .

5. Có bao nhiêu giá trị của để hệ phương trình: có nghiệm duy nhất thoả mãn đẳng thức

A. . B. . C. . D. .

6. Cho Parabol và điểm . Biết đường thẳng qua với hệ số góc luôn cắt tại hai điểm phân biệt , . Độ dài nhỏ nhất của là :

A. . B. . C. . D. .

7. Cho phương trình: . Gọi là tích tất cả các nghiệm của phương trình. Giá trị của là :

A. . B. . C. . D. .

8. Có bao nhiêu giá trị của tham số khác để một trong các nghiệm của phương trình gấp đôi một trong các nghiệm của phương trình ?

A. . B. . C. . D. .

9. Cho tam giác , trung tuyến . Các tia phân giác của các góc , cắt các cạnh , theo thứ tự tại và . Biết , . Độ dài đoạn thẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

10. Cho tam giác đều cạnh . Gọi , , là các điểm di động trên các cạnh , , sao cho (như hình vẽ bên). Giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác là

A. . B. .

C. . D. .

11. Cho hình hộp chữ nhật có thể tích bằng . Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh , . Thể tích của lăng trụ bằng:

A. . B. . C. . D. .

12. Cho hình vuông . Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Giá trị của là:

A. . B. . C. . D. .

13. Cho hình vuông cạnh . Gọi là điểm nằm trong hình vuông sao cho . Giá trị của bằng:

A. . B. . C. . D. .

14. Cho tam giác vuông tại , gọi , lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác . Biết , . Tỉ số bằng:

A. . B. . C. . D. .

15. C ho tam giác nội tiếp đường tròn , các đường cao , , cắt đường tròn theo thứ tự ở , , . Tính . Ta được kết quả là:

A. . B. .

C. . D. .

16. Từ danh sách giới thiệu giáo viên tham gia làm đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn Toán, trong đó có 6 giáo viên nam và 4 giáo viên nữ, thầy Hồng phụ trách muốn chọn 3 giáo viên tham gia làm đề thi. Có bao nhiêu cách chọn nếu trong 3 giáo viên đó có ít nhất một giáo viên nữ?

A. . B. . C. . D. .

II. PHẦN TỰ LUẬN

1. (3,0 điểm).

a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

b) Có bao nhiêu số tự nhiên không vượt quá sao cho chia hết cho

2. (3,5 điểm).

a) Giả sử , , là ba nghiệm của phương trình: . Đặt

Chứng minh rằng là số nguyên với mọi nguyên dương.

b) Giải hệ phương trình:

3. (4,0 điểm). Cho đường tròn và một dây cung cố định không là đường kính. Xét điểm thay đổi trên sao cho không trùng với , . Gọi là trực tâm tam giác , là trung điểm .

a) Chứng minh rằng

b) Gọi là điểm đối xứng với qua , , , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên , , . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn đi qua một điểm cố định.

c) Tìm vị trí của điểm để lớn nhất.

4. (1,5 điểm). Cho , , là ba số nguyên dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

------HẾT------

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – PHÚ THỌ (2020 – 2021)

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

BẢNG ĐÁP ÁN PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1	Câu 2	Câu 3	Câu 4	Câu 5	Câu 6	Câu 7	Câu 8
B	C	A	D	B	A	D	C
Câu 9	Câu 10	Câu 11	Câu 12	Câu 13	Câu 14	Câu 15	Câu 16
D	C	B	A	D	B	B	A

🕮☞ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ☜🕮

II. PHẦN TỰ LUẬN

a) Phương trình:

Ta có:

Từ yêu cầu bài toán thì phương trình (*) phải có nghiệm hay

Vậy 0

Mà

Với

Với

Vậy phương trình có nghiệm: .

b) Có bao nhiêu số tự nhiên không vượt quá sao cho chia hết cho

Ta có:

Chứng minh được chia hết cho 6.

Chứng minh được chia hết cho 5

Từ đó ta có: chia hết cho 30

Do đó

Do là số tự nhiên không vượt quá nên

Như vậy ta có 67 số tự nhiên thoả mãn đề bài.

a) Giả sử , , là ba nghiệm của phương trình: . Đặt . Chứng minh rằng , là số nguyên với mọi nguyên dương.

Ta có:

Giải phương trình ta được ba nghiệm ; ;

.

Để chứng minh là số nguyên với mọi nguyên dương ta đi chứng minh là số nguyên với mọi nguyên dương.

Ta đi chứng minh , bằng quy nạp.

Ta có: ; tức là

Giả sử . Ta đi chứng minh , thật vậy:

Vì nên

Theo nguyên lý quy nap với mọi nguyên dương. Vậy là số nguyên với mọi nguyên dương.

b) Điều kiện:

Đặt ; ;

Phương trình thứ nhất trở thành

(vì )

Thay vào phương trình ta được

Kết hợp điều kiện ta được

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: .

a) Chứng minh rằng .

Kẻ đường kính của đường tròn , ta có , mà , suy ra

Tương tự, . Do đó tứ giác là hình bình hành.

Suy ra , cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, hay là trung điểm của .

Trong tam giác ta có là đường trung bình nên (điều phải chứng minh).

b) Gọi là điểm đối xứng với qua ; , , lần lượt là hình chiếu vuông góc cùn lên , , . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn đi qua một điểm cố định.

Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính nên

Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính nên .

Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính nên .

Từ đó ta có

Như vậy , suy ra tử giác nội tiếp được một đường tròn hay đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn đi qua một điểm cố định là trung điểm của (điều phải chứng minh).

c) Tìm vị trí điểm để lớn nhất.

Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho

Ta có:

T
rường hợp 1: thuộc cung lớn

Vì nên thuộc cung tròn cố định dựng trên đoạn thẳng , nằm khác phía với đối với đường thẳng .

Có không đổi, nên lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất lớn nhất khi và chỉ khi là đường kính của đường tròn chứa cung tròn đó.

Khi đó , tương ứng cũng có tức là là điểm chính giữa cung lớn . Gọi , lần lượt là điểm chính giữa cung lớn và cung nhỏ .

Ta có: khi là điểm chính giữa cung lớn .

Trường hợp 2: thuộc cung nhỏ

Chứng minh tương tự ta có lớn nhất khi và chỉ khi điểm là điểm chính giữa cung nhỏ .

Ta có: khi là điểm chính giữa cung lớn .

Ta có: nên khi là điểm chính giữa cung nhỏ thì lớn nhất.

Ta đi chứng minh với , ta được là giá trị nhỏ nhất của .

Vì chỉ có hữu hạn bộ số nguyên dương , , thỏa mãn nên tồn tại một bộ nguyên dương để là giá trị nhỏ nhất của không mất tính tổng quát.

Giả sử .

Ta đi chứng minh .

Thật vậy, giả sử

Xét bộ ; ; .

Khi đó ta có:

Ta có:

Điều này trái với cách trọn bộ

Như vậy .

Kết hợp với điều kiện ta được

Từ đó ta có giá trị nhỏ nhất của là đạt được khi một trong ba số , , bằng , hai số còn lại bằng .

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 30/3/2021 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) -----------

Câu 1.(5,00 điểm)

a) Chứng minh rằng:

b) Biết đa thức chia hết cho đa thức . Tính giá

trị biểu thức

Câu 2.( 3,50 điểm) Giải hệ phương trình:

Câu 3.(2,50 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Câu 4.(3,00 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau ở D. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của DA với (O) và DA với BC; H là giao điểm của OD với BC.

a) Chứng minh tam giác OAH đồng dạng với tam giác ODA.

b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt (O) tại K (khác A). Chứng minh rằng E, H, K

thẳng hàng

Câu 5.(3,00 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

với

Câu 6.( 3,00 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm, (I) là đường tròn nội tiếp. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (I) với BC, CA, AB. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên EF.

a) Chứng minh rằng .

b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của HB, HC với EF.

Chứng minh đẳng thức: EK.FP = FK .EQ.

c) Chứng minh rằng KD là phân giác của .

---------Hết---------

Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:………………………………………;Số báo danh:…………………….....…

Chữ kí giám thị 1:……….………………..;Chữ kí giám thị 2:………..………………………...

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – PHÚ YÊN (2020 – 2021)

Câu 1.

a) Ta thấy:

Vì nên suy ra

b) Giả sử:

Đồng nhất các hệ số cùng bậc hai vế, ta được:

Suy ra

Câu 2:

Điều kiện:

Đặt: ,

Hệ phương trình đã cho trở thành:

Từ phương trình suy ra: .

Suy ra:

Ta được hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: ,

Câu 3:

Ta có:

Do nên và

Đặt: và . Ta có:

Do đó:

Vậy:

Phương trình có các nghiệm nguyên:

Câu 4:

a)

Theo tính chất tiếp tuyến thì

Áp dụng HTL vào tam giác vuông OCD, với CH là đường cao ta có:

b) Từ câu a) ta có: (1)

nội tiếp

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: (3)

Dễ thấy (c.g.c) hay cân tại H (4)

Vì , AK//BC (5)

Từ (4) và (5) suy ra OH là phân giác của hay (6)

Kết hợp (3) và (6) suy ra

Suy ra hay 3 điểm E, H, K thẳng hàng

Câu 5:

Giả thiết: (Do )

Do đó:

Thấy và

Suy ra

Hay

Vậy Max P=16. Dấu “=” xảy ra khi x=y=2

Câu 6:

a) Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B, C lên EF.

Khi đó:

Mặt khác: nên theo định lí Thales ta có:

(c.g.c)

b) Dễ chứng minh được , (cùng phụ )

Do đó: (c.g.c) (1)

Theo a) . Kết hợp (g.g)

Suy ra (2)

Từ (1) và (2) suy ra (đpcm)

c) Theo b): (3)

Hơn nữa, do , , nên

Do đó (g.g) (4)

Từ (3) và (4) ta có (c.g.c)

Suy ra hay hay KD là phân giác của

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC SỐ BÁO DANH:……………

KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 Khóa ngày 08 tháng 12 năm 2020 Môn thi: TOÁN LỚP 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề gồm có 01 trang và 05 câu

Câu 1 (2,0 điểm).

a. Rút gọn biểu thức (với , )

b. Giải phương trình

Câu 2 (2,0 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): đi qua điểm A(1;4)

và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại B và C (khác O)

a. Viết phương trình đường thẳng (d) sao cho biểu thức OA+OB+OC đạt giá trị nhỏ nhất

b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 3 (3,0 điểm).

Trong mặt phẳng, cho hai điểm B, C cố định với BC=2a (a>0) và A thay đổi sao cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng đi qua A vuông góc với AM cắt các đường phân giác của các góc lần lượt tại P, Q. Gọi D là giao điểm của MP với AB và E là giao điểm của MQ với AC.

a. Giả sử AC=2AB, tính số đo góc

b. Chứng minh rằng

c. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACQ và ABP theo a

Câu 4 (1,0 điểm).

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

Chứng minh rằng

Câu 5 (2,0 điểm).

a. Số nguyên dương n được gọi là số điều hòa nếu tổng các bình phương của các ước dương của nó (kể cả 1 và n) bằng . Chứng minh rằng nếu pq (với p, q là các số nguyên tố khác nhau) là số điều hòa thì pq+2 là số chính phương.

b. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn

------------HẾT-----------

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – QUẢNG BÌNH (2020 – 2021)

Câu 1.

a. Đặt

Khi đó:

Vậy

b. Điều kiện

Ta có:

Nhận xét:

Đẳng thức xảy ra khi: (Do )

Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là

Câu 2.

a) Do (d) đi qua A nên a+b=4

Ta có: , theo bài ra thì

Ta có OA+OB+OC nhỏ nhất khi OB+OC nhỏ nhất (Vì OA không đổi)

OA+OB+OC nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi (Do a<0)

Vậy phương trình đường thẳng (d) là:

b)

Theo câu a), với a<0 đường thẳng (d) cắt tia Ox, Oy lần lượt tại B, C (khác O) và đi qua điểm A(1;4)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng (d), ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là

Câu 3:

a) Ta có: MA=MC và ME là phân giác của góc nên ME là đường trung trực của đoạn AC

Vì MQ là đường trung trực của đoạn AC và nên

Xét hai tam giác vuông ABC và ECQ có: (cùng phụ góc ) và AB=EC (Vì 2EC=AC=2AB)

hay tam giác BCQ vuông cân tại C, do đó

b) Ta có MP, MQ là các đường phân giác của các góc nên

Tương tự chứng minh câu a ta được

Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông, ta có:

Suy ra (1)

Tương tự: (2)

Từ (1), (2) ta được: (đpcm)

c) Vì MQ là trung trực của đoạn AC và MP là trung trực của đoạn AB suy ra:

CQ=QA, BP=AP và BCQP là hình thang vuông

Do đó: (*)

Kẻ AH vuông góc BC thì (**)

Từ (*) và (**) suy ra:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , khi đó khi tam giác ABC vuông cân tại A

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACQ và ABP là

Câu 4:

Ta có: (1)

Thật vậy, xét:

Ta chứng minh bất đẳng thức sau: Với x, ylà các số thực và a, b là các số dương ta có:

(*)

Thật vậy: (BĐT đúng)

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Câu 5:

a) Ta có pq có các ước dương là 1, p, q, pq

Vì pq là số điều hòa nên ta có

Vì 4 là số chính phương nên từ đẳng thức trên suy ra pq+2 cũng là số chính phương (đpcm)

b) Gọi d=(x,y) là ước chung lớn nhất của x và y

Suy ra: x=da, y=db với

Ta có:

Đặt c=da+db-1,

Ta viết lại:

Từ đó suy ra và và

Do đó:

TH1: , khi đó

Suy ra . Do vậy

TH2:

Do tính đối xứng của x, y. Giả sử

Do đó

Thay b=1 thì a=7 và d=1 suy ra (x,y)=(1,7),(7,1)

Thay b=2,3,4,5 thì không tồn tại số nguyên dương a thỏa mãn

Thay b=6 thì a=7 và d=43/13 (không thỏa mãn)

Thử lại, ta có các cặp giá trị cần tìm là (x,y)=(22,22),(1,7),(7,1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi : Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 10/4/2021

Câu 1. (4,0 điểm)

a) Rút gọn các biểu thức sau:

;

b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Giải phương trình:

b) Giải hệ phương trình:

Câu 3. (2,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 6cm, điểm M nằm trên cạnh BC.

a) Khi BM=2cm, hạ OK vuông góc với AM tại K. Tính độ dài đoạn thẳng OK.

b) Khi điểm M thay đổi trên cạnh BC (M không trùng với B và C), điểm N thay đổi trên cạnh CD sao cho , E là giao điểm của AN và BD. Chứng minh tam giác AEM vuông cân và đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Câu 4. (4,5 điểm)

Cho hai đường tròn (O;R) và (O^’;r) tiếp xúc ngoài tại A (R>r). Dựng lần lượt hai tiếp tuyến OB, O’C của hai đường tròn (O^’;r), (O;R) sao cho hai tiếp điểm B, C nằm cùng phía đối với đường thẳng OO^’. Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với OO^’ cắt O^’C tại K, từ C vẽ đường thẳng vuông góc với OO^’ căt OB tại H.

a) Gọi D là giao điểm của OB và O^’C. Chứng minh DO.BO^’=CO.DO^’ và DA là tia phân giác của góc .

b) Đường thẳng AH cắt đường tròn (O;R) tại E (E khác A). Chứng minh tứ giác OABE nội tiếp đường tròn.

c) Đường thẳng AK cắt đường tròn (O^’,r) tại F (F khác A), L là giao điểm của BC và EF. Chứng minh BF song song với CE và 3 điểm A, D, L thẳng hàng.

Câu 5. (5,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đẳng thức:

b) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

---------- HẾT ----------

Họ và tên thí sinh: ……………………………… Phòng thi: ……… Số báo danh: …….......

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – QUẢNG NAM (2020 – 2021)

Câu 1.

a) Ta có:

Đặt

Suy ra: ,

(Vì a>0, b>0)

Vậy B=2

b) Điều kiện:

Phương trình tương đương:

Với x=1 (t/m)

Với

Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi:

Câu 2.

a) Điều kiện:

Phương trình tương đương với: (*)

Do vô nghiệm nên (*) tương đương với phương trình:

Với (t/m)

Với (t/m)

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm

b) Hệ phương trình tương đương với: (*)

- Nhận xét y=0, hệ không thỏa mãn.

- Khi : Hệ phương trình (*) tương đương với hệ (**)

Đặt , khi đó hệ (**) có dạng:

+ Giải hệ trên ta được:

+

+

Vậy hệ có 4 nghiệm:

=

Câu 3.

a)

- Gọi Q là giao điểm của AM và BD, P là trung điểm của MC. Suy ra

- Trong tam giác OBP có MB=MP và . Suy ra Q là trung điểm của OB.

Ta có:

b)

+ . Suy ra tứ giác ABME nội tiếp

Mà nên . Vậy tam giác AEM vuông cân tại E

+ Gọi F là giao điểm của AM và BD. Tương tự suy ra

+ Gọi I là giao điểm của EM và FN, H là giao điểm của AI và MN. Suy ra AH vuông góc với MN

+ Xét hai tam giác vuông ABM và AHM có: AM chung

+ (vì tứ giác MNEF nội tiếp). Do đó

Suy ra hai tam giác vuông ABM và AHM bằng nhau.

Suy ra

Do đó MN luôn cách A một khoảng cách bằng 6 cm

Suy ra MN luôn tiếp xúc với đường tròn tâm A, bán kính bằng 6 cm

Câu 4.

a) Xét hai tam giác và ODC O^’DB có:

+ Tứ giác OO^’BC nội tiếp đường tròn đường kính OO^’ nên

Suy ra hai tam giác ODC và đồng dạng, do đó

Ta có: . Suy ra DA là tia phân giác của góc

b) + (Cùng phụ góc )

+ (Cùng chắn cung )

Suy ra . Suy ra hai tam giác OCH, OBC đồng dạng

hay

Vậy tứ giác OABE nội tiếp trong đường tròn.

c)

Mà nên . Tương tự . Suy ra

Lại có: Hai tam giác EOC và BO^’F là hai tam giác cân. Suy ra

Hơn nữa nên

Suy ra DL là tia phân giác của góc . Suy ra A, D, L thẳng hàng.

Câu 5.

a) Phương trình tương đương:

Đặt . Ta có:

Suy ra

+ Với (loại)

+ Với (loại)

+ Với

+ Với

+ Với

+ Với . Không tồn tại (x;y)

b) Ta có

Tương tự: ,

Suy ra:

Đặt ,

Suy ra . Dấu “=” xảy ra khi a=b=c hay x=y=z=1

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9

QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2020 - 2021

Ngày thi: 11/3/2021

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (4,0 điểm)­

a) (1,5 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn nhất để là số chính phương.

b) (1,5 điểm) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: .

c) (1,0 điểm) Số nhà bạn An là số có hai chữ số biết .

Tìm số nhà bạn An.

Bài 2: (4,0 điểm)

a) (2,0 điểm) Giải phương trình: .

b) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: .

Bài 3: (4,0 điểm)

a) (2,0 điểm) Cho các số dương a, b thỏa mãn: .

Chứng minh rằng: a² + b² = 2021.

b) (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của ; trong đó x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện: .

Bài 4: (7,0 điểm)

1. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Từ M kẻ tia MD song song với AB (với D thuộc BC), tia ME song song với BC (với E thuộc AC) và tia MF song song với AC (với F thuộc AB). Chứng minh rằng: . ( : diện tích tam giác ABC, : diện tích tam giác DEF).

b) (5,5 điểm) Từ điểm P kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O;R); A, B là tiếp điểm. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC của đường tròn.

i) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH.

ii) Cho OP = a. Tính độ dài AH theo R và a.

iii) Đường thẳng d đi qua P sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng R , đường thẳng vuông góc với PO tại O cắt tia PB tại M. Xác định vị trí của điểm P trên đường thẳng d để diện tích tam giác POM nhỏ nhất.

Bài 5: (1,0 điểm) Trên công trường có những thanh sắt dài 7,4 m. Người ta muốn cắt các thanh sắt đó thành các đoạn dài 0,7 m và 0,5 m để sử dụng.

a)(0,5 điểm) Em hãy nêu phương án cắt mà không phải hàn nối các đoạn sắt cần dùng.

b)(0,5 điểm) Muốn có 1000 đoạn sắt 0,7 m và 2000 đoạn sắt 0,5 m. Ta phải dùng ít nhất bao nhiêu thanh sắt 7,4 m nêu trên?

HẾT

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – QUẢNG NGÃI (2020 – 2021)

Bài 1.

a)

Vì A và là số chính phương nên là số chính phương

Ta có:

Mà là số chính phương nên ta có:

Vớ n = 4014 thì là số chính phương

Vậy n=4014

b) Ta có:

Vì , 10=1.10=2.5

Suy ra:

TH1: (loại)

TH2: (loại)

TH3:

TH4:

Vậy

c) Ta có:

Do nên ta có bảng sau:

a	1	2	3	4	5	6	7	8	9
b	Loại	6	Loại	Loại	Loại	Loại	Loại	Loại	Loại

Suy ra a=2, b=6.

Kết luận: Số nhà là 26

Bài 2.

a) Điều kiện:

Phương trình tương đương:

Phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1

b) Từ phương trình

Khi đó ta có:

Xét x=0 thế vào phương trình ta được: (vô nghiệm)

Xét , thế vào phương trình ta được:

Xét , thế vào phương trình ta được:

(vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm: (x;y)=(1;0)=(2;-1)

Bài 3.

a) Từ giả thiết

b) Từ giả thiết ta có:

+ Nếu

+ Nếu thì:

(*)

Đặt thì:

Có

Để phương trình có nghiệm thì

Nên giá trị nhỏ nhất của P là 0. Dấu “=” xảy ra khi xy=1

Bài 4.

a)

Từ D, E, F lần lượt vẽ các đường thẳng song song với MF, MD và ME cắt AB, BC và AC lần lượt tại P, Q, O.

Ta có nên

b)

Bài 5.

a) Phương án: cắt mỗi thanh thành 2 đoạn 0,7 m và 0,5 m

b)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2021 Môn thi: TOÁN – Bảng A Ngày thi: 20/03/2021 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi này có 01 trang)

Câu 1: (3,0 điểm). Cho biểu thức với và .

a. Rút gọn biểu thức A;

b. Tìm giá trị của x để nhận giá trị nguyên.

Câu 2: (5,0 điểm).

1. Giải hệ phương trình: .

2. Giải phương trình: .

Câu 3: (3,0 điểm). Cho các số nguyên dương x, y thỏa mãn: .

a. Chứng minh là phân số tối giản;

b. Tìm tất cả các cặp số .

Câu 4: (7,0 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ tia tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm C bất kì (C khác A), đường thẳng BC cắt nửa đường tròn (O) tại điểm D (D khác B). Gọi H là hình chiếu của A trên OC, đường thẳng DH cắt AB ở E.

a. Chứng minh tứ giác OBDH nội tiếp;

b. Chứng minh ;

c. Tính tỉ số .

Câu 5: (2,0 điểm). Cho các số thực dương x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

………………… Hết ………………..

• Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

• Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: ……………….

Chữ kí giám thị 1:……………………….…. Chữ kí giám thị 2:…………………………………

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – QUẢNG NINH (2020 – 2021)

Câu 1.

a)

b)

. Có vậy mà hoặc 2 hoặc 3

*) (thỏa mãn)

*) (thỏa mãn)

*) (thỏa mãn)

Câu 2.

1)

Giải được: hoặc .

2) ĐK:

Vì , dấu đẳng thức khi

, dấu đẳng thức khi

Vậy: (thỏa mãn đk).

Câu 3.

a)

Giả sử

hoặc 3 hoặc 9

hay nhưng không chia hết cho 3, cho 9 nên tối giản

b) Ta có là số chính phương, là số chính phương.

Giả sử

và là ước của 9

Vì

Với . KL:

Câu 4.

a) Chỉ ra tứ giác AHDC nội tiếp

AOC vuông tại A, AH OC

Tứ giác BDHO nội tiếp

b) EHO và EBD có: chung; EHO EBD

(1)

Tứ giác AHDC nội tiếp

AOC vuông tại A, AH OC

EAH và EDA có chung, EAH EDA (2)

Từ (1) và (2)

c) Tứ giác OBDH nội tiếp và

OBD cân tại O

HEB có HO là phân giác

Có: . Vậy

Câu 5.

. Đặt với

, dấu “=” khi

, dấu “=” khi , dấu “=” khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là tại

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2020 – 2021 Môn: Toán – Lớp 9 (Thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề) Đề thi này có 02 trang

Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trị của x để P=2021.

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Cho số tự nhiên (số n gồm có 2021 chữ số 1, 2022 chữ số 2 và 1 chữ số 5 ở hàng đơn vị). Chứng minh rằng n là một số chính phương.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Cho x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình: . Tìm m để biểu thức đạt giá trị lớn nhất.

b) Nhân dịp tết Nguyên đán Tân Sửu. Một nhà hàng phân phối bánh kẹo đã chuẩn bị một số giỏ quà để tặng cho các cửa hàng. Tất cả các giỏ quà được đưa vào kho chứa hàng và họ dự định sẽ gửi tất cả giỏ quà đi trong 4 ngày. Ngày thứ nhất, họ vào kho và lấy ra số giỏ quà, sau đó để lại 3 giỏ. Ngày thứ hai, họ tiếp tục vào kho và lấy ra số giỏ quà, đồng thời lấy thêm 4 giỏ nữa. Ngày thứ ba, họ lấy ra số giỏ quà từ kho hàng và lấy thêm 1 giỏ quà nữa. Cuối cùng còn 42 giỏ quà. Hỏi trong mỗi ngày, họ đã lấy ra bao nhiêu giỏ quà?

Bài 4: (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC. Dựng ba tam giác cân ABP, ACQ, BCR lần lượt có AB, AC, BC là cạnh đáy; ; hai tam giác ABP, ACQ nằm về phía ngoài tam giác ABC; tam giác BCR nằm trên cùng nửa mặt phẳng có bờ chứa cạnh BC với tam giác ABC.

a) Chứng minh ba tam giác sau đồng dạng với nhau:

b) Một đường thẳng đi qua điểm P và cắt AR, RQ, AQ theo thứ tự tại E, K, G.

Chứng minh

Bài 5: (4,0 điểm)

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R). Qua M lần lượt vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp điểm) và cát tuyến MDC (MD<MC) với đường tròn (O;R), sao cho ABC là tam giác nhọn.

a) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với OM, cắt các tia MA, MB lần lượt tại I, J. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MIJ theo R.

b) Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A và B của tam giác ABC. Qua M kẻ đường thẳng d song song với EF, d cắt các tia CA, CB lần lượt tại K, L. Chứng minh bốn điểm A, B, L, K cùng nằm trên một đường tròn và trung điểm N của EF nằm trên MC.

-----HẾT-----

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – SÓC TRĂNG (2020 – 2021)

Bài 1.

a) Điều kiện:

b)

Kết hợp điều kiện xác định:

Bài 2.

a)

Vì nên n là số chính phương.

b) Đang cập nhật……

Bài 3.

a) Thấy nên phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Đặt (với t>0) mang giá trị âm và A lớn nhất khi -A đạt giá trị nhỏ nhất.

MaxP=-2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t=1

b) Gọi số giỏ quà đãchuẩn bị là x (giỏ) ( )

Số giỏ quà lấy trong ngày 1 là (x/7-3) (giỏ)

Số giỏ quà còn lại là x-x/7+3=6x/7+3 (giỏ)

Số giỏ quà lấy trong ngày 2 là: (giỏ)

Số giỏ còn lại là 4x/7-2 (giỏ)

Số quả lấy trong ngày 3 là: (giỏ)

Số giỏ còn lại là 2x/7-2 (giỏ)

Theo đề bài: 2x/7-2=42 x=154 (giỏ)

Vậy ngày 1 lấy 19 giỏ, ngày 2 lấy 49 giỏ, ngày 3 lấy 44 giỏ

Bài 4.

a) Ta có:

Lại có: (c.g.c)

Chứng minh tương tự:

Suy ra điều phải chứng minh

b) Từ a) suy ra:

Do đó:

(Hệ quả định lí Ta let)

Chứng minh tương tự:

Bài 5.

a)

Vậy

b) Tứ giác ABEF nội tiếp nên

Mà (so le trong)

Do đó tứ giác ABLK nội tiếp

Dễ dàng chứng minh được M là trung điểm của KL

Gọi P là giao điểm của CM và EF. Khi đó P là trung điểm của È

Mà N là trung điểm của EF

đpcm

SỞ GD&ĐT SƠN LA ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: Toán Ngày thi: 14/3/2021 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (4,0 điểm). Cho hai biểu thức và

với ( )

a) Tính giá trị của B tại

b) Rút gọn A.

c) Tìm tất cả các số nguyên x để P = A.B nhận giá trị nguyên

Câu 2 (4,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): và Parabol (P): y = x² (m là tham số)

a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P) khi m = 2 .

b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3 (4,0 điểm).

a) Giải hệ phương trình

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác ABC có góc A tù. Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và

đường tròn (O^’) đường kính AC . Đường thẳng AB cắt đường tròn (O^’) tại điểm thứ hai là

D, đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E .

a) Chứng minh bốn điểm B,C,D,E cùng nằm trên một đường tròn.

b) Gọi F là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O) và (O^’) ( F khác A). Chứng

minh ba điểmB, F, C thẳng hàng và FA là phân giác của góc EFD.

c) Gọi H là giao điểm của AB và EF. Chứng minh

Câu 5 (2,0 điểm). Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

-------------Hết-------------

Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……………………………………………..Số báo danh: …………...

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – SƠN LA (2020 – 2021)

Câu 1.

a) Ta có:

Thay x = 9 vào biểu thức B ta được:

b) Ta có:

(với )

c) Ta có:

P là số nguyên là số nguyên

Hay Ư(3) =

Câu 2.

a) Khi m = 2 đường thẳng (d) có dạng: y = 5x + 4

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

Với ,

Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) là: (1;1) ; (4;16)

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

+ (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi:

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

Do đó:

Với mọi

Min E=3/4 khi m=1/4

Câu 3.

a) Ta có:

Cộng 2 vế của phương trình (1) với x² ta được:

+ Trường hợp 1: thế vào phương trình (2) ta được

Tìm được nghiệm (x;y) là

+ Trường hợp 2: thế vào phương trình (2) ta được

Tìm được nghiệm (x;y) là

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là:

b) Biến đổi phương trình:

Vì y nguyên nên

Suy ra các cặp (x; y) nguyên thỏa mãn phương trình là:

Câu 4.

a) Dễ dàng suy ra: và

Suy ra bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn đường kính BC.

b) Có (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra

Suy ra ba điểm B, F, C thẳng hàng

(Cùng chắn ) và (Cùng chắn )

Mà (cùng chắn của tứ giác BCDE nội tiếp)

Suy ra: , do đó FA là phân giác của góc

Dễ dàng chứng minh được EA là phân giác của tam giác DHE và suy ra (1)

Xét tam giác HED có EA là phân giác trong của tam giác. Mặt khác nên BE là phân giác ngoài của tam giác HED

EB là phân giác ngoài của tam giác DHE suy ra (2)

Từ (1) và (2) ta có:

Câu 5.

Ta có:

Đặt thì và

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:

Tương tự: ,

Suy ra:

Dấu “=” xảy ra khi:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là . Dấu “=” xảy ra khi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (3,0 điểm)

Cho

a) Chứng minh rằng:

b) Tính giá trị biểu thức:

Câu 2. (3,0 điểm)

Cho biểu thức thỏa mãn P(1)=5, P(3)=13, P(5)=29.

Tính giá trị của biểu thức T=P(-4) + 21.P(6)

Câu 3. (4,0 điểm)

a) Giải phương trình:

b) Giải hệ phương trình:

Câu 4. (2,0 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn:

Chứng minh rằng:

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là trung điểm của AB. Trên đoạn thẳng BC lấy điểm N (N khác B, NB<NC). Đường thẳng qua A song song với MN cắt DC tại H. Chứng minh và tính góc .

Câu 6. (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O;R) và điểm E cố định, biết OE=a (0<a<R). Qua E vẽ dây AB tùy ý không phải là đường kính của đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và tại B cắt nhau ở M. Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng OE.

a) Chứng minh rằng điểm K luôn cố định khi dây AB thay đổi.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác OAMB theo a và R.

Câu 7. (2,0 điểm)

Tìm các cặp số tự nhiên (m;n) thỏa mãn:

-----HẾT-----

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – THÁI BÌNH (2020 – 2021)

Câu 1.

a) Ta có:

Thay ta được:

b) Theo a) ta có:

Câu 2.

Xét đa thức thỏa mãn P(1)=5, P(3)=13, P(5)=29.

Thay các giá trị tương ứng f(1)=5, f(3)=13, f(5)=29 ta tìm được: A=1, B=0, C=4

là đa thức bậc 4 vớ hệ số cao nhất bằng 1 và nhận 1, 3, 5 làm nghiệm

Câu 3.

a)

Thay ngược lại phương trình ban đầu: x=0 (t/m), x = -3/4 (loại)

Vậy phương trình có nghiệm x=0

b)

Đặt

Với . Thay số và rút ra vô nghiệm

Với . Thay số và rút ra vô nghiệm

Vậy hệ đã cho vô nghiệm

Câu 4.

Từ giả thiết ta suy ra:

Câu 5.

Ta có: (g.g)

Lại có:

(g.g)

Mà

(c.g.c)

Mà

Suy ra:

Vậy

Câu 6.

a) Có Tứ giác OAKM nội tiếp

Mà

Dễ dàng chứng minh (g.g)

Suy ra K cố định vì OE, R cố định.

b)

min khi và chỉ khi AM min. Mà (vì )

Do đó AMmin OH max OH=OE

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. a) Cho biểu thức

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào x (với )

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = ax – 4 ( ) và hai điểm A(0;-2), B(6;0). Tìm các giá trị của a để đường thẳng (d) cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại hai điểm M, N sao cho

Bài 2. a) Tìm nghiệm nguyên dương x, y của phương trình

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì (2020n² + 2) không phải là lập phương của một số tự nhiên.

c) Tìm các cặp số nguyên tố (p;q) thỏa mãn:

Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ AC của đường tròn (O) lấy hai điểm M, N sao cho MN song song với AC và AM<AN. Gọi P là giao điểm của BM và AC. Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) lấy điểm Q sao cho PQ vuông góc với BC. Gọi R là giao điểm của AC và QN; F là giao điểm của AQ và BN.

a) Chứng minh rằng các điểm B, P, Q, R cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh rằng BR vuông góc với AQ.

c) Chứng minh rằng

Bài 4. Có n vận động viên tham gia một giải thi đấu cầu lông theo thể thức loại trực tiếp, nghĩa là vận động viên thua sẽ bị loại ngay (không có trận đấu hòa). Theo thể lệ cuộc thi, hai vận động viên chỉ có thể được thi đấu với nhau nếu chênh lệch giữa số trận đã thi đấu của họ không quá 1. Biết rẳng, cuối cùng chỉ có đúng một vận động viên vô địch, các vận động viên khác đều bị loại. Tìm n nhỏ nhất sao cho vận động viên vô địch thắng được đúng 10 trận đấu.

Bài 5. Cho các số tự nhiên a, b thỏa mãn chia hết cho 3.

Chứng minh rằng (a-b) chia hết cho 3.

------HẾT------

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – THÁI NGUYÊN (2020 – 2021)

Bài 1.

a) Ta có:

b) A(0;-2) nên AO=2, B(6;0) nên OB=6.

(d): y=ax-4

Bài 2.

a) Phương trình có dạng

Ta có bảng:

x-3	1	-1	-1	1	4	-4	4	-4
y+2	4	-4	4	-4	1	-1	-1	1
x	4	2	2	4	7	-1	7	-1
y	2	-6	2	-6	-1	-3	-3	-1

Các giá trị x, y ở bảng trên là giá trị của x, y

b) Đang cập nhật….

c)

Hai số p, q không thể cùng là số lẻ.

Nếu p=q

(loại)

Do đó trong 2 số p, q thì phải có 1 số lẻ, 1 số chẵn

và là số lẻ

Vậy (p;q)=(2;5)

Bài 3.

a) Tứ giác BMNQ nội tiếp nên

b) Gọi PQ giao BC tại D, AQ giao BR tại E, ta có:

c) Ta có:

Bài 4. Đang cập nhật…..

Bài 5. Ta có:

Vì

Suy ra:

Vậy:

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀCHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HSG MÔN VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 Môn thi: TOÁN – Lớp 9 THCS Ngày thi: 16 tháng 12 năm 2020 Thời gian: 150 phút (khô ng kể thời gian giao đề)

( Đề gồm có 05 câu, gồm 01 trang)

Câu I: (4,0 điểm)

1.Rút gọn biểu thức với

2. Cho a, b,c là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức:

Câu II: ( 4,0 điểm)

1. Giải phương trình:

2. Giải hệ phương trình:

Câu III: ( 4,0 điểm)

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn phương trình:

2. Cho x,y là hai số nguyên dương thỏa mãn chia hết cho xy.

Chứng minh: chia hết cho 12.

Câu IV: ( 6,0 điểm).

Cho đường tròn (I. r) có hai bán kính IE, IF vuông góc với nhau. Kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn(I) tại E và F, cắt nhau tại A. Trên tia đối của tia EA lấy điểm B sao cho EB > r, quaB kẻ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (I). D là tiếp điểm, BD cắt tia AF tại C. Gọi K là giao điểm của AI với FD.

1) Chứng minh hai tam giác IAB và FAK đồng dạng.

2) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt FD tại P. Gọi M là trung điểm của AB, MI cắt AC tại Q. Chứng minh tam giác APQ là tam giác cân.

3)Xác định vị trí của điểm B để chu vi tam giác AMQ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo r

Câu V: ( 2,0 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

Hết

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích thêm.

Họ và tên thí sinh:…………………………………………………………….

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – THANH HÓA (2020 – 2021)

Câu I.

1) Với điều kiện , ta có:

Vậy

2. Từ giả thiết , ta có:

Từ (1) và (2) suy ra:

Cộng (1); (2) ;(3) vế với vế ta có:

Vậy Q=6

Câu II.

1) Phương trình tương đương:

Vì với mọi

Suy ra x >0

Chia cả hai vế của phương trình cho x2 ta được:

Đặt , với x>0 suy ra

Phương trình:

TH1: t=3 (t/m )

(t/m)

TH2:

Vì Vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : x=1; x=2

2) Ta có:

Với y = 0, phương trình thứ nhất vô nghiệm nên hpt vô nghiệm.

Với , chia từng vế của mỗi phương trình cho y ta được.

Hệ phương trình

Đặt hệ phương trình trở thành:

Suy ra:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: và

Câu III.

1) Ta có:

+) Nếu x lẻ thì x=2k+1 ( )

. Mà

Mặt khác:

Vậy x không thể là số lẻ

+) Nếu x chẵn thì x=2k ( )

Ta có phương trình: (*)

Vì nên và nên

Do đó (*) hoặc

Trường hợp 1: (vô nghiệm)

Trường hợp 2:

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là (x;y)=(2;1)

2) Đặt . Ta chứng minh

+ Nếu trong hai số x,y có một số chí hết cho 3.

Do vai trò x, y bình đẳng , giả sử

Ta có:

Vô lí vì y² là số chính phương

Vì vậy cả x, y đều không chia hết cho 3 mà 3 là nguyên tố.

mà (1)

+ Nếu trong hai số x, y có một số chia hết cho 2.

Do vai trò x, y như nhau, không mất tính tổng quát giả sử

Ta có: mà

vô lí vì do mà 58 không chia hết cho 4.

Vì vây cả x, y đều không chia hết cho 2.

x, y đều lẻ x -1, x +1, y -1, y +1 đều chia hết cho 2.

và đều chia hết cho 4

Mà (xy,4) = 1 do x, y lẻ

Từ (1) và (2) kết hợp với (đpcm)

Câu IV.

1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: cân tại C

(1)

Tứ giác AEIF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật > Hình chữ nhật AEIF có IE= IF nên

là hình vuông. Suy ra

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: kết hợp (g.g)

2) Vì nên ( vì FA = EA). Đẳng thức này kết hợp

với điều kiện chung, suy ra (c.g.c)

vuông cân tại E nên vuông tại K. Suy ra đường trung tuyến KM cũng là

đường cao nên

Ta có:

Áp dụng định lí Talet và hệ quả Talet, kết hợp ID = IE.

cân tại A

3) Đặt ME = x, PQ = y với x>0, y>0

(g.g) (1)

Chu vi là:

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số thực dương x, y ta có:

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Dấu (=) xảy ra khi x = y = r hay EB = 3r.

Vậy khi EB = 3r thì chu vi tam giác AMQ nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất bằng

Câu V.

+ Ta có:

+ Từ giả thiết ta suy ra được:

+ Nhận thấy nên

+ Vì vậy:

+ Suy ra

Đặt: , ta có:

(*)

Khi đó ta có

Dấu “=” xảy ra khi (t/m (*))

Vậy khi và chỉ khi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS_NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (4,0 điểm)

a) Cho , với . Hãy tìm các giá trị của x để biểu thức P(x)=0. (Không sử dụng máy tính cầm tay).

b) Cho biểu thức ( ). Chứng tỏ rằng 0<Q<2.

Bài 2. (4,0 điểm)

a) Giải phương trình:

b) Tìm nghiệm nguyên (x nguyên, y nguyên) của hệ phương trình sau

Bài 3. (3,0 điểm) Cho phương trình: (1). (x là ẩn, m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m=0.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt.

c) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Tìm các giá trị của m để biểu thức:

đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) có nội tiếp đường trong (O;R). Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm hai đường thẳng EF và CB. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M.

a) Tính độ dài cạnh BC theo R.

b) Chứng minh tứ giác AMFE nội tiếp được trong một đường tròn.

c) Kéo dài MH cắt đường tròn (O) tại K. Tính AB.CK + AC.BK theo R.

Bài 5. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân (AB=AC) nội tiếp đường tròn (O). M là điểm bất kỳ trên dây BC. Vẽ đường tròn (D) qua M và tiếp xúc với AB tại B; vẽ đường tròn E qua M và tiếp xúc với AC tại C. Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (D) và (E).

a) Chứng minh tứ giác ABNC nội tiếp.

b) Chứng minh AM.AN=AC²

c) Khi điểm M thay đổi trên BC thì trung điểm I của đoạn DE chạy trên đường nào?

Bài 6. (2,0 điểm) Cho biểu thức: . Với giá trị nào của x, y thì E đạt giá trị nhỏ nhất? Tính giá trị nhỏ nhất đó?

-----HẾT-----

Họ và tên thí sinh:…………………………………Số báo danh:………………………………….

Họ và tên GT1:…………………………………….Họ và tên GT2:……………………………….

ĐÁP ÁN THAM KHẢO - THỪA THIÊN HUẾ (2020 – 2021)

Bài 1.

a) Với điều kiện của x đã cho, ta phân tích tử và mẫu thành nhân tử được:

(thỏa mãn)

b) Với điều kiện của x đã cho, ta có:

Do

Xét

Do nên

Vậy 0<Q<2 (đpcm)

Bài 2.

a) Đặt

Với

Với

Kết luận: x=2, x=7

b) Đặt thì phương trình thứ nhất của hệ có dạng:

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

Ta có: (không có nghiệm nguyên)

Vậy (x;y)=(0;-2)

Bài 3.

a) Khi m=0, phương trình có dạng:

b) Điều kiện để có 2 nghiệm âm phân biệt:

c) Điều kiện phương trình có nghiệm:

Teo Vi-et:

Điề kiện:

Suy ra . Dấu “=” xảy ra khi

Vậy

Bài 4.

a) Góc chắn cung BC nên (Mối liên hệ góc ở tâm và góc nội tiếp)

Mà tam giác BOC cân tại O, ON là đường trung tuyến đồng thời là đường cao, đường phân giác

b) Tứ giác BFCE là tứ giác nội tiếp vì

Ta dễ dàng chứng minh (g.g) (1)

Tứ giác BCAM nội tiếp (O) nên

Dễ dàng chứng minh (g.g) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Mà vì có chung,

Vậy tứ giác AMFE nội tiếp được trong một đường tròn.

c) Hướng dẫn: Chứng minh

Bài 5.

a) Ta có , (góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Suy ra

Do đó tứ giác ABNC nội tiếp

b) Ta có (vì tam giác ABC cân tại A)

Mà

Mặt khác: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó:

Nên hai tia NA, NM trung nhau hay M, A, N thẳng hàng.

Mà (g.g) vì có chung,

c) Vẽ đường kính AK của đường tròn.

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), (đường tròn (D) tiếp xúc AB tại B)

Suy ra B, D, K thẳng hàng.

Tương tự: C, E, K thẳng hàng. Do đó: AB = AC, OB = OC.

Suy ra A, O thuộc đường trung trực của BC

cân tại K (BK=CK)

cân tại D (DB=DM)

cân tại E (EC=EM)

Do đó

Mà I là trung điểm của DE nên I là trung điểm của MK. Gọi J là giao điểm của AK và BC.

vuông tại J có IJ là đường trung tuyến

JK cố định nên I thuộc đường thẳng cố định là đường trung trực của đoạn thẳng JK

Vậy I chạy trên đường trung trực của JK

Bài 6. Ta có

. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = 2, y = -1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC TỈNH TIỀN GIANG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRUNG HỌC CƠ SỞ, NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 26/02/2021 (Đề thi có 02 trang, gồm 5 bài)

Bài 1 (4 điểm)

1) Tính giá trị của biểu thức:

với

2) Tìm sáu số nguyên tố liên tiếp mà có tổng là một số nguyên tố.

Bài 2 (6 điểm)

1) Cho x, y là các số dương thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+y.

2) Giải phương trình

3) Cho hàm số y=f(x) với f(x) là một biểu thức đại số xác định với mọi . Biết rằng . Tính giá trị của biểu thức f(5).

Bài 3 (4 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): . Đường thẳng : y=m cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. M là điểm tùy ý trên trục Ox. Tìm m để tam giác MAB có diện tích bằng 2021.

2) Một cung thủ bắn hơn 11 lần vào bia và đều trúng vào các vòng 8 điểm, 9 điểm, 10 điểm. Biết tổng số điểm cung thủ đạt được sau các lần bắn là 100 điểm. Hỏi cung thủ đã bắn bao nhiêu lần và mỗi vòng trúng bao nhiêu mũi tên?

Bài 4 (2 điểm)

Cho a, b, c là ba số thực khác không thỏa mãn a+b+c=2021 và .

Chứng minh một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2021.

Bài 5 (4 điểm)

Cho tam giác ABC có nội tiếp đường tròn tâm O và . Các đường cao AN, BP và CQ của tam giác ABC cắt nhau tại H (P thuộc AC, Q thuộc AB và N thuộc BC).

a) Tính bán kính đường tròn (O) theo a và tính độ dài cạnh BC.

b) Chứng minh 5 điểm A, Q, C, O, N cùng thuộc một đường tròn và tính góc .

c) HB, HC cắt (O) tại E, F. Chứng minh tứ giác OEHF nội tiếp đường tròn (C) và tính bán kính đường tròn (C).

--------------------------------------------------HẾT---------------------------------------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………………………………………..Số báo danh:…………………...

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – TIỀN GIANG (2020 – 2021)

Bài 1.

1) Ta có:

Do đó:

2) Gọi p là số nguyên tố nhỏ nhất trong 6 số

Nếu p chẵn thì p=2. Do đó 6 số là: 2,3,5,7,11,13. Tổng bằng 41, là số nguyên tố (thỏa mãn)

Nếu p lẻ thì p=3. Do đó 6 số là: 3,5,7,11,13,17. Tổng bằng 56, không là số nguyên tố (loại)

Vậy 6 số cần tìm là: 2,3,5,7,11,13

Bài 2.

1) Ta có:

Vậy MinP=32. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

2) Điều kiện

(vì >1 do )

(t/m)

Vậy nghiệm phương trình là

3) (1)

Thay x=3 vào (1) ta được:

(2)

Thay x=-3 vào (1) ta được:

(3)

Từ (2) và (3) suy ra

Bài 3.

1) Ta dễ dàng suy ra tam giác MAB có , h=m

2) Gọi x, y, z lần lượt là số lần bắn đzúng vào các vòng 8, 9, 10 điểm ( )

Ta có:

Rõ ràng

Suy ra

Do đó:

Vậy

Bài 4.

Từ giả thiết suy ra:

Nếu

Nếu

Nếu

Suy ra đpcm

Bài 5.

a) Dễ dàng suy ra

Xét tam giác AOC vuông cân tại O có và

Dễ dàng suy ra

Xét tam giác BOC cân tại O và

b) Có . Suy ra 5 điểm 5 điểm A, Q, C, O, N cùng thuộc một đường tròn đường kính AC.

Xét đường tròn đường kính AC, dễ dàng nhận thấy (cùng chắn cung AN)

Xét đường tròn đường kính AC, dễ dàng nhận thấy (cùng chắn cung CO)

Suy ra

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRÀ VINH ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (4.0 điểm)

Cho biểu thức

1. Rút gọn M

2. Tìm x để .

Câu 2. (2.0 điểm)

Cho a+b+c=0. Tính giá trị của biểu thức

Câu 3. (3.0 điểm)

Giải hệ phương trình

Câu 4. (3.0 điểm)

Giải phương trình

Câu 5. (2.0 điểm)

Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=xyz.

Câu 6. (4.0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Đặt AB=c, AC=b.

1. Tính AH, AI, AK theo b, c.

2. Chứng minh

Câu 7. (2.0 điểm)

Từ một điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với B, C là các tiếp điểm. Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN=2ON. Đường trung trực của đoạn thẳng CN cắt OA tại M. Tính tỉ số .

.…..HẾT……

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – TRÀ VINH (2020 – 2021)

Câu 1.

1) Điều kiện

2)

Câu 2.

(vì )

Câu 3.

Suy ra:

(*)

Nếu thì:

Nếu thì:

Nếu thì:

Vậy Hệ có nghiệm

Câu 4.

Suy ra (thỏa mãn)

KL: x=2; x= -7

Câu 5.

Ta có:

Tương tự : ,

Nhân ba bất đẳng thức cùng chiều trên với nhau ta được:

Suy ra giá trị lớn nhất của P là . Dấy “=” xảy ra khi và chỉ khi

Câu 6.

Câu 7.

Gọi K là trung điểm của BN. Ta có OA là trung trực của đoạn BC.

Do M thuộc OA nên MB=MC

Do M thuộc trung trực của CN nên MC=MN. Suy ra MB=MN

Do đó M thuộc trung trực của BN, suy ra

Vì (tính chất tiếp tuyến)

Xét tam giác OBA, theo tính chất Ta-let ta có:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH TUYÊN QUANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2021 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi này có 01 trang)

Câu 1. (5.0 điểm )

a)Rút gọn biểu thức :

b)Cho thỏa mãn : .Chứng minh :

Câu 2. (5.0 điểm )Giải các phương trình và hệ phương trình sau :

a)

b)

Câu 3. (5 điểm )

Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I) .Gọi là tiếp điểm của với đường tròn ; cắt lại đường tròn tại điểm ; cắt lại đường tròn tại ; là đường kính của đường tròn .Chứng minh rằng

a) đồng dạng với tam giác

b)

c)Ba điểm thẳng hàng

Câu 4. (3,0 điểm )

a)Tìm tất cả các số nguyên thỏa

b)Chứng minh rằng : chia hết cho với mọi số nguyên tố

Câu 5. (2,0 điểm)

Có hai chiếc máy in thẻ đặc biệt A và B có thể in ra những tấm thẻ có chứa các bộ số có dạng trong đó a là mã số của thẻ; b là mã số của người dùng thẻ đó ( trên mỗi thẻ có đúng 1 bộ số .Khi đưa thẻ có chứa bộ số vào máy in máy sẽ in ra thẻ có bộ số và trả lại thẻ có bộ số ban đầu ; khi đưa hai thẻ có bộ số và vào máy in máy sẽ in ra thẻ có bộ số và trả lại 2 thẻ có bộ số và ban đầu .Hỏi từ thẻ có bộ số ban đầu ; hai máy in có thể in ra thẻ có bộ số hay không ?Vì sao .

-----HẾT-----

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – TUYÊN QUANG (2020 – 2021)

Câu 1:

a) Ta có công thức tổng quát :

Và nhận thấy

Áp dụng ta có : ; ; ,…….;

Vậy

b)Bất đẳng thức cần chứng minh

Theo bđt Cô Si ta được :

Và

Cộng lại ta có :

Câu 2:

a)Giải phương trình :

Đặt

Kết luận : là các nghiệm của phương trình

b)Giải hệ phương trình :

Xét phương trình

Xét ( thay vào (2)) ( vô nghiệm )

Xét thay vào (2) ta được :

Khi

Kết luận : là nghiệm của hệ phương trình

Câu 3:

a)Ta có là phân giác góc ( M là điểm chính giữa cung nhỏ )

Do đó ( 2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau )

Vậy đồng dạng

b)Ta chứng minh :

Ta có : và ( là phân giác )

Và vậy nên tam giác cân ở

Vậy nên

c)Ta có :

Lại có ( so le trong )

Và đồng dạng

Và cũng có :

Thay vào ta có (1)

Mặt khác là đường kính của đường tròn (2)

Từ (1) và (2) ta được ba điểm thẳng hàng ( đpcm )

Câu 4:

a)Tìm tất cả các số nguyên thỏa

Ta có : ( vì tử và mẫu đều là số nguyên )

( thử lại thấy thỏa mãn )

b)Ta chứng minh :

Ta có ( vì p nguyên tố ) nên (mod p ) ( đlý Ferrmat nhỏ )

Vậy

Và p lẻ nên ( vì p nguyên tố )

Nên

Mặt khác nên

Vậy ( )

Do đó ( đpcm )

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH LONG ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 14/3/2021

Bài 1. (4.0 điểm) a) Cho biểu thức với . Rút gọn biểu thức P

b) Rút gọn biểu thức

Bài 2. (4.0 điểm)

a) Giải hệ phương trình

b) Giải phương trình

Bài 3. (2.0 điểm)

Tìm m để phương trình (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm x₁, x₂ thảo mãn .

Bài 4. (2.5 điểm)

a) Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn chia hết cho 14. Chứng minh rằng tích abc cũng chia hết cho 14.

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình .

Bài 5. (3.0 điểm)

Cho đường tròn (O;R) và M là trung điểm của dây AB của đường tròn (AB<2R). Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=AM. Vẽ dây AC với C là điểm thuộc cung lớn AB. Trên đoạn thẳng AC lấy hai điểm G và Q sao cho AG=GQ=QC. Gọi N là giao điểm của BQ và CM.

a) Chứng minh rằng ba điểm D, G, N thẳng hàng.

b) Gọi P là giao điểm của MG và CD. Biết . Chứng minh tứ giác PGNQ là hình thoi.

Bài 6. (2.5 điểm)

Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B nằm trên đường tròn sao cho . Điểm C nằm trên cung lớn AB sao cho AC>BC và tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Các đường cao AI, BK của tam giác ABC cắt nhau ở H. BK cắt (O) ở N (N khác điểm B), AI cắt (O) ở M (M khác điểm A), hai đường thẳng NA và MB cắt nhau ở D. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AHBD nội tiếp được đường tròn.

b) OC song song với DH.

Bài 7. (2.0 điểm)

Cho bốn số thực dương a, b, x, y thỏa mãn a+b=4ab. Chứng minh rằng:

a) b)

---HẾT---

Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – VĨNH LONG (2020 – 2021)

Bài 1.

a) P tương đương:

b)

Bài 2.

a) Phương trình thứ hai tương đương: Với x=y, thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: x= -1 hoặc x=3/4

Với x = -2y, thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm:

b) Điều kiện:

Phương trình tương đương với:

Đặt =t, phương trình trở thành:

Với t=5, thay vào ta tìm được:

Với t=-1, thay vào ta tìm được: x=-2, x=1

Vậy phương trình có 4 nghiệm: , x=-2, x=1

Bài 3.

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: (luôn đúng). Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm x₁, x₂

Ta có:

TH1:

TH2: (Vô nghiệm)

Vậy m=1

Bài 4.

a) Nhận xét: Với x nguyên dương ta có và

Nếu cả ba số a, b, c đều không chia hết cho 2 thì

Điều này trái với giả thiết , do đó phải có một số chia hết cho 2 hay

Nếu cả ba số a, b, c đều không chia hết cho 7 thì

Điều này trái với giả thiết , do đó phải có một số chia hết cho 7 hay

Vậy abc chia hết cho 14

b) Ta có:

Vì 7 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau:

Kết luận:

Bài 5.

a) Hướng dẫn:

- Chứng minh G là trọng tâm của tam giác MCD.

- Chứng minh NC=NQ.

Suy ra DN là trung tuyến của tam giác MCD

Suy ra D, G, N thẳng hàng.

b) Hướng dẫn:

- Chứng minh tam giác MCD cân tại C.

- Chứng minh P là trung điểm của DC.

- Chứng minh 2 đường chéo của tứ giác PGNQ là đường trung trực của nhau.

Suy ra tứ giác PGNQ là hình thoi.

Bài 6.

a) Có

Tứ giác AHBD nội tiếp được đường tròn

b) Dễ dàng chứng minh được MN là đường kính của (O)

Do đó H là trực tâm hay

Do I, K cùng nhìn AB dưới góc 45⁰ nên tứ giác ABIK nội tiếp

Do đó C là điểm chính giữa của cung MN

Vì AC>BC nên tam giác ABC không cân tại C

Vậy CO//DH

Bài 7.

a) Ta có:

b) Ta có:

Áp dụng phần a) ta có:

Dấu “=” xảy ra khi:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện xác định của P

b) Chứng minh rằng khi P xác định thì giá trị của P không phụ thuộc vào x

Bài 2. a) Cho x, y, z là ba số thỏa mãn xyz = 1 và

Tính giá trị của biểu thức

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 và tổng OA + OB đạt giá trị nhỏ nhất. Viết phương trình đường thẳng (d).

Bài 3. a) Cho phương trình (m là tham số). Tìm m để phương trình vô nghiệm

b) Giải hệ phương trình

Bài 4. a) Cho tam giác ABC vuông tại A, có D là chân đường phân giác trong của góc A, H là chân đường vuông góc hạ từ A (D, H thuộc BC), BD = 6 cm, CD = 8 cm. Tính độ dài CH.

b) Tứ giác ABCD có đường tròn đường kính AD tiếp xúc với BC và đường tròn đường kính BC tiếp xúc với AD. Chứng minh rằng .

c) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Tia phân giác của cắt CH tại K, gọi M là trung điểm của AC, MK cắt AH tại N. Chứng minh rằng AK song song với BN.

Bài 5. a) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng .

b) Anh A vào làm ở công ty X với mức lương ban đầu là 10 triệu đồng/tháng. Nếu hoàn thành tốt nhiệm vụ thì cứ sau 6 tháng làm việc, lương của anh sẽ được tăng them 20% so với mức lương mà anh đang hưởng tại thời điểm đó. Hỏi bắt đầu từ tháng thứ mấy kể từ khi vào làm việc tại công ty X, tiền lương mỗi tháng của anh Anhiều hơn 20 triệu đồng (Biết rằng trong suốt thời gian làm ở công ty X, anh A luôn hoàn thành tốt nhiệm vụ).

------HẾT------

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – VĨNH PHÚC (2020 – 2021)

Bài 1.

a) Điều kiện xác định:

b) Ta có:

Suy ra điều phải chứng minh.

Bài 2.

a) Ta có:

Thấy:

Suy ra: x=y=z=1

Thay vào P ta được: P=0

b) Ta có:

Min(OA+OB)=4. Dấu “=” xảy ra khi OA=OB

Với

Vậy phương trình (d): y=x+2; y=x-2; y=-x+2; y=-x-2

Bài 3.

a) Phương trình tương đương với:

Để phương trình vô nghiệm thì:

Vậy

b) Điều kiện xác định:

Ta có:

x=y (t/m), (loại)

Với x=y, ta có:

Đặt:

Suy ra:

Bài 4.

a)

AD là đường phân giác của góc A

Mà

Áp dụng hệ thức lượng trong có:

b)

c)

Xét có phân giác AK, trung tuyến NM, đường cao AH đồng quy tại K đều

Lại có:

(1)

Xét vuông tại M có (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Bài 5.

a) Đặt: x=b+c, y=c+a, z=a+b (x,y,z>0). Ta được:

Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi: . Khi đó (vô lí vì c>0)

Vậy dấu “=” không xảy ra nên

b) Sử dụng công thức lãi kép với A là số tiền ban đầu, N là số kì hạn, r là lãi suất và T là số tiền có được sau N kì hạn.

Gọi N là số lần tăng lương của anh A đến khi lương nhiều hơn 20 triệu, khi đó:

Vậy sau 4 lần tăng lương hay sau 4.6=24 tháng thì đến tháng thứ 25 anh A sẽ có mức lương 20 triệu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH YÊN BÁI ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 12/03/2021

Câu 1. (4,0 điểm)

1) Tính giá trị của biểu thức , biết

2) Cho biểu thức

Với . Chứng minh rằng

Câu 2. (4,0 điểm)

1) Giải phương trình:

2) Giải hệ phương trình:

Câu 3. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại C, nội tiếp đường trong tâm (O) (CA>CB). Lấy M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC. Các đường thẳng AM và BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC và BM cắt nhau tại K.

1) Chứng minh cân và tứ giác MICK nội tiếp.

2) Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại N. Chứng minh đường thẳng NI là tiếp tuyến của (B;BA) và

3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK cắt đường tròn (B;BA) tại D (D không trùng với I). Chứng minh rằng 3 điểm A, C, D thẳng hàng.

Câu 4. (4,0 điểm)

1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn

2) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho hai số n+50 và n-11 đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó.

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

------HẾT------

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – YÊN BÁI (2020 – 2021)

Câu 1.

1) Biến đổi x ta được:

Suy ra:

2) Rút gọn B:

Từ đó thay B vào biểu thức của M dễ dàng suy ra điều phải chứng minh

Câu 2.

1) Điều kiện

Phương trình tương đương với:

Kêt hợp điều kiện thì cả 2 giá trị của x đều thỏa mãn

Kết luận: ;

2) Đáp số:

Câu 3.

1) M là chính giữa của (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét có BM là đường cao đồng thời là đường phân giác nên cân tại B

Xét tứ giác MICK ta có:

Mà và là hai góc nhọn đối nhau

Vậy tứ giác MICK nội tiếp

2) Ta có cân tại I (1)

Xét có NM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến cân tại N

Mà (Vì cân)

(Vì do NA là tiếp tuyến)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: NI là tiếp tuyến của (B;BA)

Ta lại có: , mà (dễ dàng chứng minh)

3) Xét đường tròn (B;BA) ta có (góc nội tiếp và góc ở tâm)

Mà (góc nội tiếp cùng chắn cung IK)

Hai tia DA và DK phải trùng nhau (mà A, K, C thẳng hàng) hay ba điểm A, C, D thẳng hàng

Câu 4.

1) Ta có:

Ta có bảng sau:

	-3	-1	1	3
	1	3	-3	-1
	-1	1	3	5
	-1	1	-5	-3
x	Vô nghiệm		Vô nghiệm
y	0	0	-4	-4

Vậy nghiệm: (x;y)=(1;0)=(-1;0)=(1;-4)=(-1;-4)

2) Gọi n+50=x³ ; n-11=y³ (x³ > y3 nên x>y>0), ta có:

    (n+50)-(n-11)= x³- y³

⇔ 61.1= x³- y³= (x-y)(x²+xy+y²)

⇒ x-y=1 và x²+xy+y²=61

Giải ra ta được: y=5, x=6

Suy ra: n=166.

Câu 5.

Ta có:

Đặt:

Theo AM - GM:

Tương tự:

Suy ra: hay MinP=

Dấu “=” xảy ra khi:

Kính thưa các thầy cô:

Trên đây là ĐÁP ÁN THAM KHẢO, do đó không tránh được những nhầm lẫn nên nếu có nhầm lẫn rất mong quý thầy cô thông cảm.

Quý thầy cô có thể chia sẻ tài liệu tới bạn bè, người thân nhưng kính mong các thầy cô không chia sẻ lên internet.

Chúc quý thầy cô may mắn trong công việc.

Trân trọng cảm ơn quý thầy cô.