BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN- DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO

I. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

Câu 1: [2D3-3] [ĐỀ SỞ BẮC GIANG 2018] Cho hàm số có đạo hàm trên đoạn thỏa mãn và Tính tích phân

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Xét tích phân

Đặt

Nên .

Do đó . Lại có (theo BĐT tích phân)

Dấu xảy ra khi .

Suy ra

Do đó .

Vậy .

Câu 2:Cho hàm số liên tục và thoả mãn với . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Đặt

Với , .

Đặt .

.

Câu 3: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Hà Tĩnh - Lần 1 - năm 2018] Cho . Tính tích phân

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Đặt

Đổi cận:

Câu 4: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Biết ( ) là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng Tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

. Đặt

Câu 5: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Biết Tính

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

với .

.

Suy ra .

Câu 6: [2D3-3] Cho là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn . Tính tích phân .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có .

Xét Đặt ; Đổi cận: ; .

Suy ra .

Theo giả thiết ta có:

.

Câu 7:[SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Hàm số liên tục trên và : . Tính .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn.D.

Đặt

Câu 8:[2D3-3] Hàm số liên tục trên và : . Tính .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn.D.

Đặt

Câu 9:[2D3-3] Hàm số liên tục trên và : ; Tính .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn.D.

Đặt

Câu 10: [2D3-3] [Chuyên ĐH Vinh lần 2 – 2018] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Tính giá trị .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Cách 1: + : .

.

Vậy .

+ Vì . Do đó .

Cách 2: Từ giả thiết
.

.

Nhận xét: Đặc điểm chung của các bài toán này là đi từ khai thác đạo hàm của một thương, tích các hàm hoặc đạo hàm của hàm hợp. Ta có thể nêu một số dạng tổng quát sau:

1) Cho trước các hàm có đạo hàm liên tục trên và hàm có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn: . Khi đó,

.

2) Cho trước các hàm có đạo hàm liên tục trên và hàm có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn: .

Khi đó, .

3) Cho trước các hàm có đạo hàm liên tục trên và hàm có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn: . Khi đó,

.

Câu 11: [2D3-3] Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc . Đi được , người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc . Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Vận tốc ô tô tại thời điểm bắt đầu phanh là: .

Vận tốc của chuyển động sau khi phanh là: . Do .

Khi xe dừng hẳn tức là .

Quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là:

.

Câu 12: [2D3-2] Giả sử , . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Đặt

nên , .

Vậy .

Câu 13: [2D3-3] [Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM - năm 2018]

Biết với là các số hữu tỉ , tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Xét :

.

Câu 14:[2D3-3] [SGD Thanh Hóa- KSCL 14/4- Mã đề 101] Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn . Tính tích phân

A. B. C. . D.

Lời giải

Chọn D.

Đặt

Đặt

Đặt

Phân tích:

Dạng bài này là dạng bài toán tìm tích phân của hàm nào đó không biết, nhưng sẽ cho thêm điều kiện, mỗi 1 điều kiện là 1 đoạn trong cận tích phân cần tìm, yêu cầu là đưa các tích phân đã biết về giống dạng chưa biết.

Câu 15: [2D3-3] Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn và . Tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Đặt

Đặt

Do đó

Câu 16: [2D3-3] (THPT Gang Thép Thái Nguyên Lần 3 – 2018) Tính tích phân ta được kết quả là với với . Khi đó nhận giá trị

A. 9. B. 8. C. 1. D. 0.

Lời giải

Chọn D

Đặt , ta có

Câu 17:Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và , , . Tính ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có .

Mặt khác ta tính được:

Vậy

Suy ra .

Do .

Vậy .

Câu 18: [2D3-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu, tỉnh Nghệ An, lần 3, năm 2018 - Câu 35]

Biết rằng . Trong đó , , là các số nguyên. Khi đó bằng bao nhiêu.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có

Đặt

Đổi cận: khi thì , khi thì .

Vậy

Vậy .

Hướng 2. Phân tích

Câu 19: Biết rằng . Trong đó , là các số nguyên.

Khi đó bằng bao nhiêu.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có

Đặt

Đổi cận: khi thì , khi thì .

Vậy

Vậy .

Câu 20:Biết rằng . Trong đó , , là các số nguyên. Khi đó bằng bao nhiêu.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải.

Chọn B

Ta có

Đặt

Đổi cận: khi thì , khi thì .

Vậy

Vậy .

Câu 21: [THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Tìm số nguyên dương lớn nhất sao cho với mọi hàm số thỏa đề bài.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Do giả thiết cho một bất đẳng thức liên quan đến nên ta sẽ lấy tích phân hai vế để được một bất đẳng thức liên quan đến .

Ta có

.

Suy ra

.

Vậy .

Câu 22:Cho các hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .

A. . B. . C. . D. .

Câu 23:[THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn và . Tích phân bằng

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn C.

Phân tích: Nhận thấy nên ý tưởng là quy đồng chuyển vế để tích phân 2 vế

Ta có:

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:

Mặt khác: nên

Tính: .

Câu 24: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Tích phân bằng

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có

mà nên .

Suy ra .

Vì nên . Vậy .

Câu 25: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Tích phân bằng

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có

Suy ra .

Mặt khác .

Do đó

.

, vì nên .

Ta được .

Câu 26: Xét hàm số liên tục trên và thỏa mãn điều kiện . Tích phân bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải:

Chọn A.

Vì liên tục trên và nên ta có

.

Mà

và

Đồng thời .

Do đó, hay .

Câu 27: Cho hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn và Tính biết rằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Nhận xét: Từ giả thiết bài toán ta biến đổi về công thức đạo hàm và sử dụng định nghĩa tích phân.

Phân tích: Từ giả thiết và suy ra:

.

Câu 28: Cho hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn và . Giá trị bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

Từ giả thiết

Suy ra , thay vào hai vế ta được

.

Khi đó . Vậy

Câu 29: Cho hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn và . Giá trị bằng:

A. B. . C. D.

Lời giải

Chọn C.

Từ

Suy ra . Thay vào hai vế ta được Suy ra . Vậy

Câu 30:Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn điều kiện và . Giá trị , .Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có .

Lấy tích phân từ đến hai vế ta được . Suy ra và .

Vậy .

Câu 31: Biết , với nguyên dương, tối giản và . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

Đặt nên .

Suy ra .

Câu 32:[Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Cho hàm số liên tục và có đạo hàm tại mọi đồng thời thỏa mãn điều kiện:

và . Khi đó, nằm trong khoảng nào?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết: (*).

Vì , ta chia vế của (*) cho ta được .

Mặt khác lại có .

Xét

.

Mà .

Ta có: .

Tổng quát:

Gặp những bài toán mà giả thiết cho dạng

Ta sẽ nhân một lượng thích hợp để đưa về dạng

Với , kết hợp với giả thiết ta tìm được suy ra biểu thức nhân thêm là .

Khi có ta sẽ tìm được .

Câu 33: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn và . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 34: Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn và . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 35:Biết với là các số hữu tỷ. Tính

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có

Vậy

Câu 36: Cho tích phân Tính giá trị của biểu thức

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Đặt

Suy ra

Do đó

Câu 37: Cho tích phân Tính giá trị của biểu thức

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có

Đặt

Suy ra

Do đó

Câu 38: Cho tích phân Tính giá trị của biểu thức

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có

Đặt

Đặt

Suy ra

Vậy

Câu 39: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn , . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 40: [THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ Lần 4 - Năm 2017 - 2018] Cho hàm số xác định trên thỏa mãn . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

+) Ta có .

+) Từ đó

.

Do nên .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

+) Vậy .

Nhận xét: để đảm bảo tính khả tích, ta cần thêm điều kiện “ liên tục trên ” ở đề bài. Khi đó điều kiện “xác định” không cần nữa.

Câu 41: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

+) Ta có

+) Vậy .

Câu 42: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

+) Ta có

+) Vậy .

Câu 43: Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn điều kiện

. Tích phân bằng.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Lấy tích phân hai vế ta có:

Câu 44: [ THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước, lần 4, năm 2018 - Câu 47]

Cho , với . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải.

Chọn A.

Phân tích: Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành 2 tích phân dạng thường gặp. Một là tích phân của hàm đa thức và hàm logarit ta dùng tích phân từng phần, một là tích phân của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất cơ bản.

Ta có

.

Ta có , , . Vậy .

Câu 45: Cho , với . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải.

Chọn C.

Ta có

.

Vậy .

Câu 46: Cho , với . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải.

Chọn A.

Ta có

Vậy .

Câu 47: Cho là hàm liên tục và . Giả sử rằng với mọi , ta có và . Tính được kết quả bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Ta có: .

Đặt: thì .

Đổi cận

Ta được: .

Do đó: + = = . Vậy: .

Câu 48: Cho hàm số liên tục trên và . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Thay

.

Câu 49: (Sở GD & ĐT Đồng Tháp 2018) Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên và thỏa mãn . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Đặt

Khi đó

Suy ra .

Câu 50: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên và thỏa mãn . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Đặt

Khi đó

Suy ra .

Câu 51: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn và . Tính

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Đặt

Khi đó

Suy ra .

Câu 52: Biết rằng hàm số liên tục trên thỏa mãn . Tính

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Đặt

Khi đó

Suy ra

Câu 53: Cho hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn và . Giá trị bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Từ giả thiết

Suy ra

.

Câu 54: Cho hàm số liên tục trên đoạn thỏa mãn điều kiện , . Tính tích phân .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Đặt , thì .

Ta có .

Xét hệ phương trình:

, .

Khi đó .

Suy ra .

Phân tích:

+ Bước 1: Từ ta giải phương trình hàm tìm hàm số .

+ Bước 2: Xác định trực tiếp hàm rồi tính .

Câu 55: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018]Cho hàm số liên tục với mọi thỏa mãn . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Đặt , suy ra hay

Ta có .

Câu 56: Cho hàm số liên tục với mọi thỏa mãn . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tương tự ta xác định được .

Suy ra .

Câu 57: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018] Cho và . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

+ Đặt: .

Với . Do đó: .

+ Đặt: hay .

Với . Do đó: .

Vậy .

Câu 58: Biết . Khi đó, giá trị

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Ta có

Đặt

Đổi cận

Khi đó

. .

Câu 59: Biết . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

.

Đặt . Với , với .

Suy ra

, , .

Câu 60: Biết với , , là các số nguyên dương. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Đặt .

Đặt .

Khi thì , khi thì .

, , .

Vậy .

Câu 61: Cho hai hàm và có đạo hàm trên đoạn và thỏa mãn hệ thức . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có .

Vì

.

Câu 62: [2D3-3] [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018] Biết , với Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

.

Do đó .

Câu 63: Biết , với Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 64: Cho biết , với Tính .

A. B. C. D.

Câu 65: Cho hàm số liên tục trên và , . Tính

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Đăt , ,

Suy ra

Câu 66: Cho , . Tính

A . . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Theo giả thiết ta có:

.

Do đó nên .

Câu 67: Cho hàm số xác định, có đạo hàm trên đoạn và thỏa mãn:

Tính

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

_{Ta có}

.

Câu 68: Cho hai hàm và có đạo hàm trên đoạn và thỏa mãn hệ thức hệ thức sau với mọi

. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Từ giả thiết ta có và , suy ra , hay .

Do đó . Lại có nên .

.

Câu 69: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho là một nguyên hàm của hàm số trên tập và thảo mãn . Tính tổng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có .

Hàm có nguyên hàm là .

Vì nên .

Hàm liên tục tại nên suy ra .

Hàm liên tục tại nên suy ra .

Vậy ta có .

Câu 70: Cho hàm số xác định trên và thỏa mãn , và . Tính giá trị của biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có hàm số xác định trên các khoảng .

Khi đó .

Dễ thấy ; ; .

Nên ; ; ; ; và .

Ta có .

Mặt khác .

Và .

.

Câu 71: Cho hàm số liên tục trên và . Tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có

Câu 72: [HSG,Bắc Giang, 2018] Tính tích phân với và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Do và .

Ta có .

Đặt . Đổi cận , .

Khi đó

.

Câu 73: Tính tích phân với .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Xét tích phân

Đặt

Đổi cận , . Khi đó

Ta có

.

Do

Câu 74: Tính tích phân với , và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Ta có

Do

Câu 75: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn và Tìm giá trị nhỏ nhất của

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Theo giả thiết nên lấy tích phân hai vế với cận từ đến ta được:

Mà nên

Suy ra

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Suy ra mà nên

Do đó

Vậy giá trị nhỏ nhất của khi

Câu 76: [Trường THPT Quỳnh Lưu 1, tỉnh Nghệ An, lần 2, năm 2018 ]

Cho hàm số thỏa mãn điều kiện và . Biết rằng tổng với và là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải.

Chọn D

Do nên ta chia cả hai vế của cho ta được . nguyên hàm hai vế ta được .

Mà .

Khi đó

. Vậy .

Câu 77: Cho hàm số dương có đạo hàm liên tục trên đoạn biết rằng và . Tính

A. _. B. _. C. _. D. _.

Lời giải

Chọn B

Ta có

Đặt

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được

Câu 78: [THPT QUỲNH LƯU 2, NGHỆ AN, lần 1, 2018] Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn và . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

.

Lấy tích phân cả hai vế ta được:

.

Câu 79: Cho hàm số thỏa mãn Biết Tính

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có

Suy ra

Câu 80: Cho hàm số thỏa mãn Biết Tính

A. B. C. D.

Câu 81: Cho hàm số thỏa mãn Biết Tính

A. B. C. D.

Câu 82: Chuyên Lào cai 2018) Cho hàm số liên tục trên và có ; . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

Tính

Đặt ; Đổi cận: ; .

.

Tính

Đặt ; Đổi cận: ; .

.

Vậy .

Câu 83: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên , có , . Biết rằng . Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có nghiệm thực phân biệt.

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

.

Ta có bảng biến thiên

Câu 84: Cho hàm số , với , là hai số hữu tỉ thỏa điều kiện . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có: = , suy ra . Vậy .

Câu 85: [SGD Quảng Nam - 2018] Cho hàm số chẵn liên tục trên và . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Vì là hàm số chẵn trên nên ta có .

Đặt . Ta có: .

Xét .

Đặt .

Do đó ta có .

Đặt . Ta có .

Kết hợp với giả thiết ta được .

Mở rộng: Làm tương tự ta có bài toán tổng quát:

Cho hàm số chẵn liên tục trên . Với là một số thực khác , là một số thực dương thì .

Câu 86: [SGD Quảng Nam - 2018] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn , và đều nhận giá trị dương trên đoạn và thỏa mãn , . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Vì và đều nhận giá trị dương trên đoạn nên từ suy ra .

Mà nên hay .

Vậy (*)

Trong (*) thay được , suy ra .

Vậy .

Câu 87: giá trị của tích phân bằng

A.0. B. 1. C. 100. D. Kết quả khác.

Lời giải

Chọn A.

Đặt

Đổi cận

Khi đó

Suy ra

Câu 88: Tính tích phân với và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Do và .

Ta có .

Đặt . Đổi cận , .

Khi đó

.

Câu 89: Tính tích phân với .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Xét tích phân

Đặt

Đổi cận , . Khi đó

Ta có

.

Do

Câu 90: Tính tích phân với , và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Ta có

Do

Câu 91: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Biết , trong đó là các số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó giá trị của bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

_{Ta có}

Vậy .

Câu 92: Biết , trong đó và là các cặp số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Khi đó giá trị của bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

_{Ta có}

Câu 93: Biết , trong đó là các số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó giá trị của bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

_{Ta có}

Câu 94: Nếu với thì hệ số bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Gọi là một nguyên hàm của , suy ra .

Ta có

(gt)

Vậy .

Câu 95: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn , và . Tích phân bằng?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Ta xét .

Đặt

Mà

Vì nên

.

Câu 96: Cho hàm số liên tục trên và có ; với mọi . Tìm GTLN mà có thể đạt được?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Vì với mọi nên:

Vậy GTLN mà có thể đạt được là 30.

Câu 97: Cho biểu thức , với số thực . Khẳng định đúng là.

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn. B.

Ta có .

Đặt

.

Vậy .

Cách 2:

Thay ta có , kiểm tra chỉ có đáp án thỏa mãn

Câu 98: [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Cho hàm số , liên tục trên và thỏa mãn và . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Đặt .

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần và giả thiết bài toán, ta được:

.

Câu 99: Cho hàm số liên tục trên và , . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

*) Đặt ; với .

*)

.

Câu 100: Biết là một nguyên hàm của , và là các hàm liên tục trên , thỏa mãn . Tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

*) Ta có : .

*) .

Câu 101: Cho hàm số liên tục trên và , . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

*) Đặt ; với .

*)

.

.

Câu 102: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn Tính

A. B. C. D.

Lời giải.

Chọn B

Theo giả thiết

suy ra .

Do đó

.

Câu 103: Cho hàm số xác định trên thỏa mãn ; và . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

_{Ta có}

_{Theo giả thiết:}

_Vậy .

Câu 104: Biết , . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Ta có:

Đặt .

Đổi cận: ;

Do đó: ; .

Vậy .

Câu 105: Cho hàm số có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn đồng thời thỏa mãn các điều kiện và . Đặt , hãy chọn khẳng định đúng?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết ta có

Mà nên

Câu 106: Biết rằng với là các số nguyên dương. Tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

= . Vậy .

Câu 107: Cho hàm số f(x) liên tục trên và ; . Giá trị của tích phân là:

A. 6. B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: nên

=

ta đổi biến

ta đổi biến

_Vậy

Câu 108 (SGD VĨNH PHÚC) Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường . Tìm .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Vì trên , nên ta có diện tích hình phẳng

.

Vì ,

Nên .

Câu 109: Cho hàm số , trong đó hàm số là hàm số chẵn trên . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Cách 1.

Đặt . Đổi cận ; .

Ta được: .

Do đó: .

Cách 2.

Chọn là hàm số chẵn. Ta có: . Do đó: .

Khi đó: .

Lời bình: Với cách làm này, chỉ cần học sinh nắm rõ nguyên tắc tìm một hàm số đại diện cho lớp hàm số thỏa mãn giả thiết bài toán là có thể dễ dàng tìm được kết quả bài toán bằng máy tính hoặc bằng phương pháp cơ bản với hàm số khá đơn giản. Đối với bài toán này ta có thể chọn hàm số cho đơn giản.

Câu 110: Cho hàm số thỏa mãn và .

Giá trị là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có .

Đặt

Ta có .

Suy ra . Mà .

Câu 111: Giá trị gần bằng số nào nhất trong các số sau đây:

A. . B. . C. D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

Câu 112: Biết , với là các số nguyên dương. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

.

Vậy .

Câu 113:Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn , . Tính tích phân .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Đặt . Đổi cận :

sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần ta được :

( Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên ).

Câu 114:Cho là số thực dương. Biết rằng là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn và . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải.

Chọn A.

Câu 115: Biết rằng là một nguyên hàm trên của hàm số thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải.

Chọn B.

Ta có .

Do nên .

Câu 116: Biết rằng , với Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Đặt .

.

Suy ra

Câu 117: Giả sử tích phân Lúc đó:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Xét

Đặt

Do đó

Câu 118: Cho hàm số . Tìm và biết rằng

và .

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn C

Ta có

Suy ra (1)

Ta có .

Theo bài ra (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ .

Câu 119: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn Tính

A. B. C. D.

Lời giải.

Chọn B

Theo giả thiết

suy ra .

Do đó

.

Câu 120: Biết rằng trên khoảng hàm số có một nguyên hàm ( trong đó là các số nguyên). Tổng bằng

A. B. C. D.

Lời giải.

Chọn B

Ta tính được . Do là một nguyên hàm của nên ta có thuộc khoảng suy ra .

Đồng nhất hệ số ta được

Câu 121: Biết rằng trên khoảng hàm số có một nguyên hàm (trong đó là các số nguyên). Tổng bằng

A. B. C. D.

Lời giải.

Chọn B

Ta tính được . Do là một nguyên hàm của nên ta có thuộc khoảng hay

Đồng nhất hệ số ta được .

Câu 122: Xét hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn . Tích phân bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có: .

Đặt , thay vào , ta được: hay .

Từ & , ta được: .

Do đó, ta có: .

Câu 123: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Số cực trị của hàm là

A. 2. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

. Ta có .

Bảng xét dấu:

Vậy hàm số có 3 cực trị

Câu 124: Cho hàm số là hàm lẻ và liên tục trên biết và Tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Vì là hàm lẻ nên ta có .

Ta có: .

.

Do đó:

Câu 125: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho với , , . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Ta có: . Suy ra , , .

Vậy, .

Câu 126: [2D3-3][Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018]Cho tích phân trong đó , là các số nguyên. Khi đó tỉ số bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

. Suy ra: .

Câu 127: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho tích phân , với , . Khi đó bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Ta có: .

Khi đó: .

Suy ra: , . Vậy, .

Câu 128: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số có đạo hàm trên và _, .Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

_Xét

Đặt

Vậy

Mà và vậy .

Câu 129: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số có đạo hàm trên và _, .Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

_Xét

Đặt

Vậy

Mà và vậy .

Câu 130: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số có đạo hàm trên và _, .Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

_Xét

Đặt

Vậy

Mà và vậy .

Câu 131: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số . Tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có

Câu 132: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số . Tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Ta có

Câu 133: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có

Câu 134: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho là một nguyên hàm của hàm số với , biết ; . Tính .

A. . B. . C. Không tồn tại . D. .

Lời giải

Chọn D.

Cách 1:

Ta có

Để .Vậy .

Khi đó

Cách 2:

_{Ta có}

.

Ta có nên

; .

Vậy .

Câu 135: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho là một nguyên hàm của hàm số xác định trên thỏa mãn và . Giá trị của biểu thức bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Ta có .

Do nên .

Vậy .

Câu 136: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số xác định trên và thỏa mãn , và . Giá trị của biểu thức bằng

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Có .

Khi đó .

Có .

Có .

Khi đó: .

Vậy .

Câu 137: Một vật chuyển động với vận tốc thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc.

_A. B. C. D.

Lời giải

Do

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc là

Câu 138: Một ô tô đang chạy với tốc độ thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với , trong đó là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét.

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Thời điểm đạp phanh ứng với .

Thời điểm xe dừng hẳn ứng với .

Quãng đường ô tô đi được từ lúc xe được phanh đến khi dừng hẳn bằng. .

Câu 139: Một vật chuyển động với vận tốc thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc.

_A. B. C. D.

Lời giải

Do

_{Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian} giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc là

Câu 140: Biết rằng trên khoảng hàm số có một nguyên hàm (trong đó là các số nguyên). Tổng bằng

A. B. C. D.

Lời giải.

Chọn B

Ta có:

Từ đó rút gọn tử thức ta được:

Do là một nguyên hàm của nên ta có: trên khoảng

Đồng nhất hệ số hai vế ta được hệ sau:

Suy ra .

Câu 141: Cho đa thức bậc bốn y = f (x) đạt cực trị tại x = 1 và x = 2. Biết . Tích phân

A. B. C. D. 1

Lời giải

Chọn B

Phương pháp:

Từ giả thiết biến đổi để có f'(0 ) = 0

Từ đó tìm được hàm f'(x) và tính tích phân.

Cách giải:

Ta có mà nên (vì nếu thì )

Từ đó x = 0; x = 1; x = 2 là ba cực trị của hàm số đã cho. Hay phương trình f'(x) = 0 có ba nghiệm x = 0; x = 1; x = 2

Vì f(x) là hàm đa thức bậc 4 nên ta giả sử hàm

Từ đề bài ta có

Nên

Từ đó

Chọn B.

II. DIỆN TÍCH THỂ TÍCH

Câu 142: Cho hình là hình phẳng giới hạn bởi các đường , và trục Ox. Diện tích của hình (H) bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Gọi là sình phẳng giới hạn bởi các đường (Tam giác cong ).

là sình phẳng giới hạn bởi các đường (Tam giác ).

Diện tích hình hình phẳng cần tính là:

Câu 143: Cho hình chữ nhật có , (như hình vẽ).

Gọi lần lượt là trung điểm của , , và . Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình tứ giác quanh trục .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho

Bài toán trở thành: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: quay quanh trục

Cách khác:

Gọi là trung điểm _.

Gọi là thể tích khối nón cụt tạo bởi quay quanh ,

có chiều cao là , bán kính đáy là và

Gọi là thể tích khối nón tạo bởi quay quanh ,

có chiều cao là và bán kính đáy là

.

_{Ta có thể tích cần tính}

Câu 144: Cho hình thang vuông có , , . Gọi là trung điểm , gọi lần lượt là trung điểm các cạnh . Biết , tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay tứ giác quanh trục .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có , vuông cân tại nên . Gọi là trung điểm của . Chọn hệ trục tọa độ sao cho

Bài toán trở thành: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: quay quanh trục

.

Câu 144: Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây.

Người ta đo được đường kính của miệng ly là và chiều cao là . Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích của vật thể đã cho.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Chọn hệ trục như hình vẽ.

Gọi phương trình của Parabol là . Do qua điểm nên .

Vậy suy ra .

Thể tích vật thể cần tính bằng .

Câu 145: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng chiều cao của bên đó (xem hình).

Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi / phút. Khi chiều cao của cát còn thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi cm (xem hình). Biết sau phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Chiều cao khối trụ bằng .

Xét thiết diện chứa trục theo phương thẳng đứng của đồng hồ cát là parabol . Gọi là đường Parabol phía trên. Chọn hệ trục như hình vẽ .

Đường tròn thiết diện có chu vi bằng suy ra bán kính của nó bằng .

Do có đỉnh là nên phương trình .

đi qua nên . Vậy phương trình .

Thể tích phần cát ban đầu chính bằng thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay nhánh phải của quay quanh trục và bằng lượng cát đã chảy trong thời gian .

Ta có .

Lượng cát chảy trong là .

Vậy .

Chiều cao hình trụ bên ngoài là

Chọn đáp án C.

Câu 146: Một thùng rượu có bán kính các đáy là , thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là , chiều cao thùng rượu là (hình vẽ).

Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu là bao nhiêu?

A. lít. B. lít. C. lít. D. lít.

Lời giải

Chọn D.

+ Đổi dữ liệu sang đơn vị dm :

+ Chọn hệ toạ độ như hình vẽ

Gọi phương trình

đi qua các điểm và nên ta có

Vậy phương trình của

Thể tích của thùng rượu là :

Suy ra đáp án D.

Câu 147: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá của rào sắt là đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn).

A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.

Lời giải

Chọn C.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Trong đó , , .

Giả sử đường cong trên là một Parabol có dạng , với .

Do Parabol đi qua các điểm , , nên ta có hệ phương trình

.

Khi đó phương trình Parabol là .

Diện tích của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số

, trục hoành và hai đường thẳng , .

Ta có .

Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là (đồng).

Câu 148: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng và , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là một tam giác đều có cạnh là .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Diện tích thiết diện là

Áp dụng công thức . Chọn D.

Câu 149: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng , trục nhỏ bằng . Người ta thiết kế một mảnh nhỏ hình thoi có bốn đỉnh là bốn đỉnh của eip trên để trồng hoa, phần còn lại trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là đồng mỗi trồng rau và đồng mỗi trồng hoa. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Diện tích phần hoa là:

Diện tích phần rau là:

Vậy thu nhập đến từ mảnh vườn là:

Câu 150: Ở quảng trường một thành phố A có một miếng đất hình tròn đường kính Trong lòng hình tròn đó người ta dự định trồng hoa hồng trên một miếng là hình elip có trục lớn bằng đường kính và trục bé bằng một phần ba đường kính đường tròn trên ( tâm của đường tròn và elip trùng nhau), phần còn lại làm hồ. Biết chi phí để trồng một hoa hồng là đồng, chi phí làm hồ là đồng. Hỏi thành phố đó phải bỏ ra chi phí là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Diện tích hình tròn là:

Diện tích elip hay diện tích trồng hoa là:

Diện tích phần làm hồ là:

Vậy chi phí để thành phố phải bỏ ra là:

Câu 151: Cho là hình phẳng giới hạn bởi parabol và nửa đường tròn có phương trình với (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Phương trình hoành độ giao điểm: , Đk:

.

Hình giới hạn bởi: có diện tích là:

.

* Ta có: .

* Xét :Đặt ; .

Khi và .

Ta có: (Do khi )

.

Vậy .

Cách khác:

- Giao điểm của và là .

- Có . Suy ra diện tích hình quạt là .

- Gọi là diện tích giới hạn bởi . Suy ra .

- Diện tích hình là: .

Câu 152: (Chuyên hạ long – Quảng Ninh – Lần 2 – 2018- mã 108) Cho các số thỏa mãn các điều kiện: và các số dương . Xét hàm số có đồ thị là . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành, đường thẳng ; là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các , trục tung, đường thẳng là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và hai đường thẳng . Khi so sánh và , ta nhận được bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có .

_{Ta lại có}: _.

_{Mặt khác: .}

_.

_Do .

Câu tương tự:

Câu 153: Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường , , , . Đường thẳng chia thành hai phần có diện tích là và như hình vẽ bên. Tìm để lớn nhất.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải:

Chọn D

Ta có và

_{Ta có}

Suy ra lớn nhất bằng khi .

Câu 154: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường Đường thẳng chia hình thành hai phần có diện tích (hình vẽ). Tìm để

A
. . B. . C. D.

Lời giải :

Chọn B

_{Phương trình hoành độ giao điểm:}

Ta có

●

●

Yêu cầu bài toán

Câu 155: Cho parabol , có đỉnh và là giao điểm khác của và trục hoành. là điểm di động trên ( không trùng với ) . Tiếp tuyến của tại cắt lần lượt tại và . là diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đường thẳng và trục , là diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đường thẳng và trục . Khi tổng nhỏ nhất, giá trị của bằng:

A. B. C. D.

Lời giải:

Chọn C

Tiếp tuyến tại có phương trình:

Ta có: với

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi và trục hoành: .

_Tathấy,

Khảo sát hàm ta được khi .

khi . Khi đó _.

Vậy .

Câu 156: [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , và quanh trục Ox. Đường thẳng cắt đồ thị hàm tại M. Gọi là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết . Tìm giá trị

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Gọi là thể tích khối tròn xoay do quay quanh

Gọi là thể tích khối tròn xoay do quay quanh

Khi quay quanh tạo ra 2 khối nón tròn xoay là khối nón đỉnh , trục , bán kính đáy và khối nón đỉnh , trục , bán kính đáy

.

Câu 157: [Chuyên KHTN, Hà Nội, lần 2, năm 2018 - Câu 9]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị và bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

+) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và là suy ra và .

+) Nhận xét rằng đồ thị chỉ cắt đồ thị trên (có thể dựa vào đồ thị vẽ ra). Bài toán đưa về tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và .

+) Ta có . Chọn C.

Câu 158: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và đồ thị hàm số

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

+) Đồ thị cắt đường thẳng tại và cắt đường thẳng tại

+) Diện tích hình phẳng cần tính

+)

+) Chọn A.

Câu 159: Cho hàm số có đồ thị , biết rằng đi qua điểm . Tiếp tuyến tại của cắt tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đồ thị và hai đường thẳng có diện tích bằng (phần gạch chéo trong hình vẽ).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng , đồ thị và hai đường thẳng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

+) Điểm thuộc đồ thị

+) Phương trình tiếp tuyến tại là .

+) Phương trình hoành độ giao điểm của và đồ thị là

+) Mà là nghiệm của (*) suy ra

+) Có

+) Từ ta được suy ra .

+) Vậy diện tích cần tính là . Chọn A.

Câu 160: Cho parabol và hai điểm thuộc sao cho . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và đường thẳng đạt giá trị lớn nhất bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

+) Gọi đường thẳng

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và là:

Đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt khi .

Gọi hai nghiệm của phương trình là . Khi đó ta có

Gọi giao điểm của và là .

Ta có:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và là:

.

Vì nên .

Câu 161: [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018] Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường quay quanh có giá trị là kết quả nào sau đây

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Ta có .

Phương trình hoành độ giao điểm là

Thể tích cần tìm là:

Câu 162: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng , trục nhỏ bằng được chia thành 2 phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là mỗi _trồng cây con và mỗi trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn ).

A. . B. . C. . D. .

_{Lời giải}

_{Chọn B}

Chứng minh: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip : (với ) là

Thật vậy, phần đường elip nằm trên trục hoành có phương trình . Do là trục đối xứng của elip nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip là .

Đặt với ta được .

Xét mảnh vườn:

Diện tích trồng cây con là:

Diện tích trồng rau là:

Thu nhập từ mảnh vườn là: .

Câu 163: Một quả đào hình cầu có đường kính . Hạt của nó là khối tròn xoay sinh ra bởi hình Elip khi quay quanh đường thẳng nối hai tiêu điểm , . Biết tâm của Elip trùng với tâm của khối cầu và độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là , . Thể tích phần cùi (phần ăn được) của quả đào bằng với là các số thực và tối giản, khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ sao cho tâm Elip trùng với gốc tọa độ , hai tiêu điểm nằm trên trục . Khi đó phương trình Elip là , xét .

Thể tích khối tròn xoay khi quay Elip trên quanh trục lớn là: .

Thể tích quả đào hình cầu .

Do đó thể tích phần cùi của quả đào là . Do đó .

Câu 164: Trong mặt phẳng cho đường Elip có độ dài trục lớn là , độ dài trục nhỏ là ; đường tròn tâm đường kính là như hình vẽ. Tính thể tích vật thể tròn xoay

_{có được bằng cách cho miền hình phẳng giới hạn bởi đường Elip và đường tròn (}phần hình phẳng được tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh trục .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gắn hệ trục toạ độ sao cho là tâm của đường tròn, , .

Phương trình elip là , xét .

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay Elip quanh trục là: .

Thể tích khối cầu là: .

Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là: .

Câu 165: Từ một tấm tôn hình chữ nhật với . Người ta cắt miếng tôn theo đường hình như hình vẽ bên để được hai miếng tôn nhỏ. Biết , , .Tính thể tích của lọ hoa được tạo thành bằng cách quay miếng tôn lớn quanh trục (kết quả làm tròn đến hàng trăm).

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Chọn hệ trục sao cho , , .

Ta có suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì .

Suy ra phương trình đồ thị hình cần tìm có dạng: .

Do đồ thị hình đi qua , nên ta có: .

Ta có phương trình đồ thị hình cần tìm là .

Thể tích cần tìm là: .

Câu 166: [THPT CHUYÊN LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Một vật chuyển động trong bốn giờ với vận tốc phụ thuộc vào thời gian có đồ thị vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại vật chuyển động chậm dần đều. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong giờ đó ( kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Với , gọi Ta có :

hoành độ đỉnh parabol bằng nên ta có hệ phương trình:

.

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ đến giờ bằng :

.

Với gọi Ta có hệ phương trình :

. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ đến giờ bằng :

Quãng đường mà vật di chuyển được trong giờ bằng : .

Câu 167: Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , với là hỏi số thuộc khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn B.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , là

.

Theo bài ra ta có:

.

.

Câu 168: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho một mảnh vườn hình chử nhật có chiều rộng là 2m, chiều dài gấp ba chiều rộng. Người ta chia mảnh vườn bằng cách dùng hai đường parabol, mỗi đường parabol có đỉnh là trung điểm mỗi cạnh dài và đi qua hai mút của canh dài đối diện. Tính tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần còn lại.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Ta lập được phương trình các parabol là và . Khi đó mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol là hình phẳng giới hạn bởi 2 đường và . Khi đó diện tích của mảnh vườn nằm trong hai parabol là: .

Diện tích hình chử nhật là:

Khi đó tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần còn lại là:

Câu 169: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường . Đường thẳng chia hình thành hai phần có diện tích như hình vẽ. Tìm để .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Xét phương trình .

Khi đó .

Theo giả thiết ta có

Câu 170: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P) của hàm số và trục hoành. Hai đường thẳng chia hình (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính

A. . B. . C. . D. .

Câu 171: C ho hình cong (H) giới hạn bởi các đường ; ; và . Đường thẳng với chia hình (H) thành 2 phần có diện tích là và . Để thì gần bằng

A. 1,37.

B. 1,63.

C. 0,97.

D. 1,24.

Câu 172: Cho khối trụ có chiều cao . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng ta được thiết diện là hình elip có độ dài trục lớn bằng . Thiết diện chia khối trụ ban đầu thành hai nửa, nửa trên có thể tích , nửa dưới có thể tích . Khoảng cách từ một điểm thuộc thiết diện gần đấy dưới nhất và điểm thuộc thiết diện xa đáy dưới nhất tới đáy dưới lần lượt là và . Tính tỉ số .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có công thức tính nhanh khối trụ cụt có bán kính là .

Theo bài ra ta có , thiết diện là hình elip có độ dài trục lớn bằng .

Ta dễ dàng tính được bán kính của khối trụ .

Khi đó ; . .

Câu 173: Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , cung tròn có phương trình và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng quanh trục

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Tọa độ giao điểm là nghiệm số phương trình

Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay quanh hình

Vậy đáp án D.

Câu 174: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho đường tròn có đường kính bằng và đường Elip lần lượt nhận đường kính vuông góc nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi Elip đều bằng . Diện tích phần hình phẳng bên trong đường tròn và bên ngoài Elip (phần gạch carô trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong kết quả dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Chọn hệ trục như hình vẽ.

Phương trình của Elip ( ) nằm ngang:

Cung của ( ) nằm trên trục Ox có phương trình :

Phương trình Elip ( ) đứng:

Cung của ( ) nằm trên trục Ox có phương trình :

Xét phương trình: có nghiệm .

Cung đường tròn nằm phía trên Ox có phương trình :

Diện tích cần tính là

Sử dụng máy tính ta được .

Câu 175: Trên cánh đồng cỏ có hai con bò được cột vào hai cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa hai cọc là mét còn hai sợi dây cột hai con bò dài mét và mét. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà hai con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất).

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Diện tích mặt cỏ ăn chung sẽ lớn nhất khi hai sợi dây được kéo căng và là phần giao của hai đường tròn.

Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ, gọi là vị trí của cọc. Bài toán đưa về tìm diện tích phần được tô màu.

Ta có phương trình đường tròn tâm và phương trình đường tròn tâm

Phương trình các đường cong của đường tròn nằm phía trên trục là: và

Phương trình hoành độ giao điểm:

Diện tích phần được tô màu là: .

Ta có thể giải tích phân này bằng phép thế lượng giác, tuy nhiên để tiết kiệm thời gian nên bấm máy.

Câu 176: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng và độ dài trục bé bằng . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là đồng/ . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Giả sử elip có phương trình , với .

Từ giả thiết ta có và

Vậy phương trình của elip là

Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường và diện tích của dải vườn là

Tính tích phân này bằng phép đổi biến , ta được

Khi đó số tiền là .

Câu 177: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục và đường thẳng bằng với là các số nguyên dương. Tính .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có .

Đặt suy ra . Khi đó,

Ta tính .

Đặt suy ra . Khi đó,

Vậy

Tức . Vậy .

Câu 178: [Chuyên ĐH Vinh lần 2 – 2018] Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao chiều rộng chân đế Người ta căng hai sợi dây trang trí , nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số bằng

_A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

_{Thiết lập hệ toạ độ} trong mặt phẳng như hình vẽ. Khi đó parabol có phương trình . Gọi phương trình các đường thẳng là , ,

, . Đường thẳng . Diện tích tam giác cong là: .

Từ giả thiết suy ra: diện tích tam giác cong

và . Từ đó giải được ; .

Câu 179: Cho hàm số có đồ thị . Biết rằng đồ thị tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số cho bởi hình vẽ dưới đây:

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành.

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Từ đồ thị suy ra .

.

Do tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ âm nên .

Suy ra

Xét phương trình .

Diện tích hình phẳng cần tìm là: .

Câu 180: (THPT Gang thép Thái Nguyên lần 3 – 2018) Gọi là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường và quay quanh trục . Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại (hình vẽ bên). Gọi là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác quanh trục . Biết rằng . Giá trị của thỏa mãn

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Ta có (đvdt) (đvdt).

Mặt khác là tổng thể tích hai khối nón tròn xoay và .

(vì ).

(vì ).

. Từ đó : .

Câu 181: (THPT Gang Thép Thái Nguyên Lần 3 – 2018) Kí hiệu lần lượt là diện tích hình vuông có cạnh là , hình tròn có bán kính bằng , hình phẳng giới hạn bởi hai đường . Tính tỉ số .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

+ Ta có ; .

+ Ta thấy phương trình . Khi đó:

Tính .

Đặt , khi đó .

_{Suy ra}

Khi đó:

Nhận xét: Trong đó là diện tích Elip

Câu 182: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII – 2018] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong: , , ta được:

A. (đvdt). B. (đvdt). C. (đvdt). D. (đvdt).

Lời giải

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong , là: .

Diện tích giới hạn:

(đvdt).

Câu 183: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII – 2018] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: , , , ta được:

A. (đvdt). B. (đvdt). C. (đvdt). D. (đvdt).

Lời giải

Chọn B.

Từ đồ thị ta có: .

Câu 184: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII – 2018] Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: quanh trục là:

A. B. . C. D.

Lời giải

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm:

; (Hình vẽ).

Khi đó thể tích cần tìm là:

. Chọn đáp án B.

Câu 185: [Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Trong mặt phẳng tọa độ , cho hình tròn và parabol chia hình tròn thành hai phần. Gọi là diện tích phần nhỏ, là diện tích phần lớn. Tính tỉ số ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Từ đồ thị trên ta có: .

Xét . Đặt .

Đổi cận:

Do vậy ta có:

.

Mặt khác: .

Do vậy ta có: .

Cách 2: Vì Parabol cắt đường tròn tại điểm chính giữa của cung thuộc góc phần tư thứ nhất có tọa độ là . Xét đường thẳng thì .

.

Khi đó .

Câu 186: [ THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước, lần 4, năm 2018 - Câu 42]

Cho là hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường Elip có phương trình (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

+) Phương pháp: Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , đồ thị và các đường thẳng ; là .

+) Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và Elip đã cho là

suy ra .

Phương trình . Bài toán đưa về tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol , đồ thị hàm số và các đường thẳng: ; .

Vì parabol và Elip đều đối xứng qua nên diện tích hình phẳng bằng ,

với ,

Đặt , suy ra ; ;

Do đó . Chọn A.

Câu 187: Cho là hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường tròn có phương trình (hình vẽ). Diện tích của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường đã cho là

suy ra .

Phương trình . Bài toán đưa về tính diện tích hình phẳng giới hạn

bởi các đường: . Vì đối xứng qua nên

. Chọn A.

Câu 188: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và tiếp tuyến với parabol kẻ từ điểm .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Phương trình tiếp tuyến với parabol đã cho kẻ từ điểm là và .

Chia hình phẳng thành hai hình lần lượt giới hạn bởi

và .

Suy ra

. Chọn A.

Câu 189: [Chuyên Lương Văn Chánh, Long An- L2- năm 2018] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ (hình bên). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Gọi lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS , trục từ trái sang phải.

Ta có:

+ +

+

Từ ta có

Phân tích: Ý tưởng của bài toán dựa trên sử dụng ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Câu 190: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ (hình bên). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Gọi lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS , trục từ trái sang phải.

Ta có:

+ +

Từ ta có

Câu 191: [Chuyên Thái Bình Lần 4, năm 2018] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Biết và . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Phương trình có đúng hai nghiệm thuộc .

B. Phương trình có đúng một nghiệm thuộc .

C. Phương trình không có nghiệm thuộc .

_D. Phương trình có đúng ba nghiệm thuộc .

Lời giải

Chọn B.

Ta thấy đường thẳng là đường thẳng đi qua các điểm

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS ,đường thẳng

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS , đường thẳng

Do

Ta có:

Từ đồ thị hàm số và đường thẳng cùng với các kết quả trên ta có bảng biến thiên sau:

	+	-

Từ bảng biến thiên ta có phương trình có đúng một nghiệm thuộc

Câu 192: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn và đường thẳng đi qua hai điểm và (phần tô đậm như hình vẽ )

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Cách 1:

Phương trình đường thẳng : .

Gọi là diện tích cần tính, ta có

.

+ Tính :

Đặt . Ta có .

Đổi cận

Suy ra

.

.

Vậy .

Cách 2: Sử dụng MTCT.

Phương trình đường thẳng : .

Gọi là diện tích cần tính, ta có .

Sử dụng MTCT, tính , gán giá trị vào biến . Lấy giá trị trừ đi các kết quả trong các đáp án, rồi chọn đáp án có kết quả phép trừ bằng . Đó là đáp án .

Câu 193: Cho là hình phẳng giới hạn bởi parabol và nửa đường elip có phương trình ( với ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Gọi là diện tích của, biết ( với , , ). Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và nửa đường elip là:

Vậy

Trong đó .

Đặt .

Đổi cận .

.

Vậy .

Suy ra .

Câu 194: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018] Cho hàm số xác định và liên tục trên đoạn . Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng lần lượt là .

Tính tích phân bằng :

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Chia diện tích hình phẳng là như trong hình vẽ mô tả dưới đây.

Gọi là hoành độ giao điểm của đồ thi hàm số với trục .

Ta có

. Vậy chọn D.

Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản dựa vào diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cho trước. Nếu xác định được và cho trước ta có thể tính được .

Câu 195: Cho hàm số xác định và liên tục trên đoạn . Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng lần lượt là . Tích phân bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Đồ thị hàm đi qua các điểm nên

.

.

Vậy .

Câu 196: Trong mặt phẳng _, cho hình chữ nhật có một cạnh nằm trên trục hoành và có hai đỉnh trên một đường chéo là và với . Biết rằng đồ thị hàm số chia hình thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tìm .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Phân tích: Ta cần tìm tọa độ điểm và tính được diện tích một phần mà đường chia hình .

Chọn D

Từ giả thiết suy ra .

.

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường . Suy ra

.

Theo giả thiết ta có .

Câu 197: Trong mặt phẳng _, cho hình thang vuông có và với . Biết rằng đồ thị hàm số chia hình thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tìm .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Phân tích:

Trước hết cần vẽ đúng hình và xác định đúng phần diện tích cần tính. Sau đó dùng tích phân để tính phần diện tích đó.

Chọn C

.

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường . Suy ra

.

Theo giả thiết ta có .

.

Câu 198: Trong mặt phẳng _, và với . Biết rằng đồ thị hàm số (C) chia tam giác thành hai phần. Tính diện tích của phần giới hạn bởi và đường thẳng theo .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Phân tích:

Trước hết cần vẽ đúng hình và xác định đúng phần diện tích cần tính. Chú ý phần diện tích cần tìm gồm hai phần và tam giác vuông và hình thang cong.

Chọn B

Ta có phương trình đường thẳng là: .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và :

(1) ( điều kiện ).

Với điều kiện trên phương trình (1) tương đương với:

Với .

Với .

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường . Suy ra

.

_{Câu 199}: Gọi là tập hợp điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ thỏa mãn và số phức có phần ảo không âm. Tính diện tích hình

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

_Mà không âm nên

Diện tích cần tìm

Đặt

Cận ;

Câu 200: Cho hình giới hạn bởi các đường và . Khi đó diện tích của hình là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là nghiệm của phương trình:

Khi đó diện tích của hình được xác định bởi:

(đvdt)