ĐỀ 1	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút

Bài 1:( 3 điểm) a) Thực hiện phép tính:

b) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì : chia hết cho 10

Bài 2:(2 điểm) Tìm x biết:

Bài 3: (2 điểm) Cho . Chứng minh rằng:

Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE

b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . C.minh ba điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ . Biết . Tính và

ĐỀ 2	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút

Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: a) ; b) 27 < 3ⁿ < 243

Bài 2. Thực hiện phép tính:

Bài 3. a) Tìm x biết:

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = Khi x thay đổi

Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng.

Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC.

ĐỀ 3	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút

Câu 1: Tìm các cặp số (x; y) biết:

Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : A = +5 ; B =

Câu 3: Cho tam giác ABC có Â < 90⁰. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. a, Chứng minh: DC = BE và DC BE

b, Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. C/minh: AB = ME và ABC= EMA

Chứng minh: MA BC

ĐỀ 4	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút

Câu 1 ( 2 điểm) Thực hiện phép tính : a- ; b-

Câu 2 ( 2 điểm) a, Tìm số nguyên a để là số nguyên; b, Tìm số nguyên x,y sao cho x-2xy+y=0

Câu 3 ( 2 điểm) a, Chứng minh rằng nếu a+c=2b và 2bd = c (b+d) thì với b,d khác 0

b, Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+… để được một số có ba chữ số giống nhau .

Câu 4 ( 3 điểm) Cho tam giác ABC có góc B bằng 45⁰ , góc C bằng 120⁰. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD=2CB . Tính góc ADE

Câu 5 ( 1điểm) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x²-2y²=1

ĐỀ 5	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút

Bài 1: a) So sánh hợp lý: và  ; b) Tính A =

c) Cho x, y, z là các số khác 0 và x² = yz , y² = xz , z ² = xy. Chứng minh rằng: x = y = z

Bài 2: Tìm x biết: a) (2x-1)⁴ = 16 b) (2x+1)⁴ = (2x+1)⁶

c) d)

Bài 3: Tìm các số x, y, z biết : a) (3x - 5)²⁰⁰⁶ +(y² - 1)²⁰⁰⁸ + (x - z) ²¹⁰⁰ = 0

b) và x² + y² + z² = 116

Bài 4 : a) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y ; x­₁­, x_{­ 2}­ là hai giá trị bất kì của x; y_­1­, y_­2­ là hai giá trị tương ứng của y.Tính y_­1­, y_­2­ biết y_­1­²+ y_­2­² = 52 và x­₁­=2 , x_{­ 2}­= 3.

b) Cho hàm số : f(x) = a.x² + b.x + c với a, b, c, d Z

Biết .Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3

c) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : chia hết cho 10

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) BH = AI. b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi.

c) Đường thẳng Dn vuông góc với AC. d) IM là phân giác của góc HIC.

ĐỀ 6	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút

Câu 1. Tìm x biết: a) b) 3x +x² = 0 c) (x-1)(x-3) < 0

Câu 2. a) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: và

b) Cho (a, b, c, d > 0)

Tính A =

Câu 3. a) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = (với x nguyên)

Câu 4. a) Cho đa thức f(x) = ax² + bx + c. Chứng minh rằng nếu f(x) nhận 1 và -1 là nghiệm thì a và c là 2 số đối nhau.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Câu 5. Cho ABC vuông tại A. M là trung điểm BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD. Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống AD, N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AC.

a) Chứng minh rằng BK = CI và BK//CI. b) Chứng minh KN < MC.

c) ABC thỏa mãn thêm điều kiện gì để AI = IM = MK = KD.

d) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống BC. Chứng minh rằng các đường thẳng BI, DH, MN đồng quy.

ĐỀ 7	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút

Câu 1: Tìm các số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b

Câu 2: Tìm số nguyên x thoả mãn:

a,5x-3 < 2 b,3x+1 >4 c, 4- x +2x =3

Câu3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =x +8 -x

Câu 4: Biết rằng :1²+2²+3³+...+10²= 385. Tính tổng : S= 2²+ 4²+...+20²

Câu 5 :

Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC tại D.

a. Chứng minh AC=3 AD

b. Chứng minh ID =1/4BD

ĐỀ 8	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút

Câu 1 . ( 2đ) Cho: . Chứng minh: .

Câu 2. (1đ). Tìm A biết rằng: A = .

Câu 3. (2đ). Tìm để A Z và tìm giá trị đó.

a). A = . b). A = .

Câu 4. (2đ). Tìm x, biết:

a) = 5 . b). ( x+ 2) ² = 81. c). 5 ^x + 5 ^{x+ 2} = 650

Câu 5. (3đ). Cho  ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM . E  BC, BH AE, CK  AE, (H,K  AE). Chứng minh  MHK vuông cân

ĐỀ 9	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút

Bài 1: (1,5 điểm) Tính biết ; y là số nguyên âm lớn nhất

Bài 2: (2 điểm) Cho và .Tìm x+y+z

Bài 3: (1,5 điểm) Tìm biết 2xy+3x = 4 ; 16 - 72 + 90.

Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x³ + 4x² - 8x+1

a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức. b/ Tính giá trị của P biết x²+x-3 = 0

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vuông tại A(AB<AC) trên cạnh Aclấy điểm Esao cho AE = AB. Tia phân giác của góc BAC cắt đường trung trực của CE tại F. a/ Chứng minh tam giác BFC

b/ Biết góc ACB bằng 30⁰.Chứng minh tam giác BFE đều.

ĐỀ 10

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút

Bài 1: (1 điểm) Tìm số biết: = = , và x – y + z = 4

Bài 2: (1 điểm) Biết + ab + = 25 ; + = 9 ; + ac + = 16 và a 0; c ≠ 0; a ≠ -c.

Chứng minh rằng: = .

Bài 3: (2,5 điểm0 a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x:

f (x) = ( - 25) + (20 + 4m) + 7 - 9

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 - 72 + 90.

Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5.

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI.

b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng.

ĐỀ 11

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút

Bài 1:(2 đ)a. Tìm x, y biết: = và x+ y = 22; b. Cho và . Tính M =

Bài 2: ( 2,0 điểm) a. Cho H = . Tính 2010^H

b. Thực hiện tính M =

Bài 3: ( 2,5 điểm) Tìm x biết:a.

b. ; c. - = 7

Bài 4: ( 3,5đ) Cho tam giác ABC có B < 90⁰ và B = 2C. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D. a. Chứng minh BEH = ACB.

b. Chứng minh DH = DC = DA. d. Chứng minh AE = HC.

c. Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Chứng minh tam giác AB’C cân.

ĐỀ 12

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút

Bài 1:(4 điểm)a) Thực hiện phép tính:

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : chia hết cho 10

Bài 2:(4 điểm)Tìm x biết: a. ; b.

Bài 3: (4 điểm) a, Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. b, Cho . Chứng minh rằng:

Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE

b) Gọi I là một điểm trên AC; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. C/m ba điểm I, M, K thẳng hàng

c) Từ E kẻ . Biết = 50^o ; =25^o . Tính và

Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:

a, Tia AD là phân giác của góc BAC ; b, AM = BC

ĐỀ 13

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút

Câu 1. (3 điểm) Rút gọn biểu thức

Câu 2. (4 điểm) Chứng minh:

Câu 3. (4 điểm) Cho hai hàm số

a. Vẽ đồ thị 2 h/số trên trên cùng hệ trục tọa độ Oxy. b. CMR:đồ thị của hai h/số trên vuông góc với nhau.

Câu 4. (4,5điểm). Cho ∆ABC cân, . Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho Trên tia đối của AC lấy điểm E sao cho CE = CB. a. Chứng minh: ∆BME đều. b. Tính

Câu 5. (4,5điểm). Cho ∆ABC, trung tuyến BM. Trên tia BM lấy I và K sao cho và M là trung điểm của IK. Gọi N là trung điểm của KC. IN cắt AC tại O. Chứng minh:

a. O là trọng tâm của ∆IKC. b. .

ĐỀ 14

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút

Câu1: (2 điểm) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

Tìm giá trị biểu thức: M=

Câu2: (1 điểm) . Cho S = . Chứng minh rằng S không phải là số chính phương.

Câu3: (2 điểm) Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, cùng lúc đó một xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40 km/h. Biết khoảng cách AB là 540 km và M là trung điểm của AB. Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ôtô cách M một khoảng bằng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M.

Câu4: (2 điểm) Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác.

a. Chứng minh rằng:

b. Biết và tia BO là tia phân giác của góc B. CMR: Tia CO là tia phân giác của góc C.

Câu 5: (1,5điểm). Cho 9 đường thẳng trong đó không có 2 đường thẳng nào song song. CMR ít nhất cũng có 2 đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 20⁰.

Câu 6: (1,5điểm). Khi chơi cá ngựa, thay vì gieo 1 con súc sắc, ta gieo cả hai con súc sắc cùng một lúc thì điểm thấp nhất là 2, cao nhất là 12. các điểm khác là 3; 4; 5 ;6… 11. Hãy lập bảng tần số về khả năng xuất hiện mỗi loại điểm nói trên? Tính tần xuất của mỗi loại điểm đó.

ĐỀ 15

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút

Bài 1: Tính giá trị biểu thức:

A = . Với a = ; b = -2 ; x = ; y = 1

Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu 0 < a₁ < a₂ < ….. < a₉ thì:

Bài 3: Có 3 mảnh đất hình chữ nhật: A; B và C. Các diện tích của A và B tỉ lệ với 4 và 5, các diện tích của B và C tỉ lệ với 7 và 8; A và B có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27m. B và C có cùng chiều rộng. Chiều dài của mảnh đất C là 24m. Hãy tính diện tích của mỗi mảnh đất đó.

Bài 4: Cho 2 biểu thức: A = ; B =

a) Tìm giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức có giá trị nguyên

b) Tìm giá trị nguyên của x để cả hai biểu thức cùng có giá trị nguyên.

Bài 5: Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD = CE. a) Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE

c) Từ B và C vẽ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE. Chứng minh BH = CK

d) Chứng minh 3 đường thẳng AM; BH; CK gặp nhau tại 1 điểm.

ĐÁP ÁN

ĐÁP ÁN ĐỀ 1 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Bài 1:(3 điểm): a) (1.5 điểm)

b) (1.5 điểm) = =

= = 10( 3ⁿ -2ⁿ)

Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương.

Bài 2:(2 điểm)

Bài 3: (2 điểm) Từ suy ra khi đó =

B ài 4: (3 điểm) a/ (1điểm) Xét và có :

AM = EM (gt )

(đối đỉnh )

BM = MC (gt )

Nên : = (c.g.c ) AC = EB

Vì = (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )

Suy ra AC // BE .

b/ (1 điểm ) Xét và có :

AM = EM (gt )

( vì )

AI = EK (gt )

Nên ( c.g.c ) Suy ra:

Mà ( tính chất hai góc kề bù )

Ba điểm I;M;K thẳng hàng

c/ (1 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( có

BME là góc ngoài tại đỉnh M của

Nên

( định lý góc ngoài của tam giác )

( Học sinh giải theo cách khác đúng kết quả vẫn cho điểm tối đa)

ĐÁP ÁN ĐỀ 2 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm mỗi câu 2 điểm)

a) ; => 2^4n-3 = 2ⁿ => 4n – 3 = n => n = 1

b) 27 < 3ⁿ < 243 => 3³ < 3ⁿ < 3⁵ => n = 4

Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm)

=

=

Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm)

a) Tìm x biết:

Ta có: x + 2 0 => x - 2.

+ Nếu x - thì => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)

+ Nếu - 2 x < - Thì => - 2x - 3 = x + 2 => x = - (Thoả mãn)

+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = Khi x thay đổi

+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013

Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1

+ Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1

+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013

Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1.

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007

Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng. (4 điểm mỗi)

Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đường thẳng, ta có:

x – y = (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ)

và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)

Do đó:

=> x = (giờ)

Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đường thẳng là giờ

Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi)

Đường thẳng AB cắt EI tại F

ABM = DCM vì:

AM = DM (gt), MB = MC (gt),

= DMC (đđ) => BAM = CDM

=>FB // ID => ID AC

Và FAI = CIA (so le trong) (1)

IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung)

=> IC = AC = AF (3)

và E FA = 1v (4)

Mặt khác EAF = BAH (đđ),

BAH = ACB ( cùng phụ ABC)

=> EAF = ACB (5)

Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB

=>AE = BC

ĐÁP ÁN ĐỀ 3 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

ĐÁP ÁN ĐỀ 3 TOÁN 7

Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết ; 0 => = 0; 1; 2; 3 ; 4

* = 0 => a = 0; * = 1 => a = 1 hoặc a = - 1 ; * = 2 => a = 2 hoặc a = - 2

* = 3 => a = 3 hoặc a = - 3; * = 4 => a = 4 hoặc a = - 4

Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn và nhỏ hơn

Gọi mẫu phân số cần tìm là x. Ta có: =>

=> -77 < 9x < -70. Vì 9x 9 => 9x = -72 => x = 8 . Vậy phân số cần tìm là

Câu 3. Cho 2 đa thức: P = x + 2mx + m và Q = x + (2m+1)x + m . Tìm m biết P (1) = Q (-1)

P(1) = 1² + 2m.1 + m² = m² + 2m + 1; Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m² = m² – 2m

Để P(1) = Q(-1) thì m² + 2m + 1 = m² – 2m 4m = -1 m = -1/4

Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết: =>

=> x² = 4.49 = 196 => x = 14 => y² = 4.4 = 16 => x = 4

Do x,y cùng dấu nên: x = 6; y = 14 ; x = - 6; y = -14

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

=> => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được:

=>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = . Vậy x = 2, y = thoả mãn đề bài

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : A = +5

Ta có : 0. Dấu = xảy ra x= -1. A 5.

Dấu = xảy ra x= -1. Vậy: Min A = 5 x= -1.

• B = = = 1 +

Ta có: x 0. Dấu = xảy ra x = 0 x + 3 3 ( 2 vế dương )

4 1+ 1+ 4 B 5

Dấu = xảy ra x = 0 . Vậy : Max B = 5 x = 0.

ĐA:ĐỀ 3- Câu 6:

a/ Xét ADC và BAF ta có:

DA = BA(gt); AE = AC (gt); DAC = BAE ( cùng bằng 90⁰ + BAC )

=> DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE

Xét AIE và TIC

I₁ = I₂ ( đđ)

E₁ = C₁( do DAC = BAE)

=> EAI = CTI

=> CTI = 90⁰ => DC BE

b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c)

=> D₁ = MEN, AD = ME

mà AD = AB ( gt)

=> AB = ME (đpcm) (1)

Vì D₁ = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 180⁰ ( trong cùng phía )

mà BAC + DAE = 180⁰

=> BAC = AEM ( 2 )

Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm)

c/ Kéo dài MA cắt BC tại H. Từ E hạ EP MH

Xét AHC và EPA có:

CAH = AEP ( do cùng phụ với gPAE )

AE = CA ( gt)

PAE = HCA ( do ABC = EMA câu b)

=> AHC = EPA

=> EPA = AHC

=> AHC = 90⁰

=> MA BC (đpcm)

ĐÁP ÁN ĐỀ 4 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

CÂU	HƯỚNG DẪN CHẤM	ĐIỂM
1.a	Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa	1Điểm
1.b	Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa	1Điểm
2.a	Ta có : = vì a là số nguyên nên là số nguyên khi là số nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau : a+1 -3 -1 1 3 a -4 -2 0 2 Vậy với a thì là số nguyên	0,25 0,25 0,25 0,25
2.b	Từ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau : Hoặc Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài	0,25 0,25 0,25 0,25
3.a	Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d) Hay ad=bc Suy ra ( ĐPCM)	0,5 0,5
3.b	Giả sử số có 3 chữ số là =111.a ( a là chữ số khác 0) Gọi số số hạng của tổng là n , ta có : Hay n(n+1) =2.3.37.a Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn ) Do đó n=37 hoặc n+1 = 37 Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó không thoả mãn Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó thoả mãn Vậy số số hạng của tổng là 36	0,25 0,25 0,5
4	ĐA:ĐỀ 4 CAU 4:Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 do đó CDH = 300 Nên CH = CH = BC Tam giác BCH cân tại C CBH = 300 ABH = 150 Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 450+300=750	0,5 0,5 1,0 1,0
5	Từ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2 Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= 2 nguyên tố thoả mãn Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2 chia hết cho 3 Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho 3 khi đó x2=19 không thoả mãn Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3)	0,25 0,25 0,25 0,25

ĐÁP ÁN ĐỀ 5 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Bài 1: (1,5 điểm):

a) Cách 1: = >

Cách 2: > =

c) Vì x, y, z là các số khác 0 và x² = yz , y² = xz , z ² = xy  .áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau 

Bài 2: (1,5 điểm):

a) (2x-1)⁴ = 16 .Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5 (0,25điểm)

b) (2x+1)⁴ = (2x+1)⁶. Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm)

c)

; x = 25; x = - 31

: vô nghiệm

d)

Bài 3:

a) (3x - 5)²⁰⁰⁶ +(y² - 1)²⁰⁰⁸ + (x - z) ²¹⁰⁰ = 0 (3x - 5)²⁰⁰⁶ = 0; (y² - 1)²⁰⁰⁸ = 0; (x - z) ²¹⁰⁰ = 0

3x - 5 = 0; y² - 1 = 0 ; x - z = 0 x = z = ;y = -1;y = 1

b) và x² + y² + z² = 116

Từ giả thiết

Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 )

Bài 4: a) Vì x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên:

Với y_­1­­= - 6 thì y_­2­ = - 4 ;

Với y_­1­ = 6 thì y_­2­= 4 .

b)Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c

Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b) vì ( 2; 3) = 1

Vậy a , b , c đều chia hết cho 3

c) =

= = = 10( 3ⁿ -2^n-1)

Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương.

Bài 5:

1. AIC = BHA  BH = AI (0,5điểm)

2. BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0,75điểm)

3. AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N  N là trực tâm  DN AC (0,75điểm)

4. BHM = AIM  HM = MI và BMH = IMA (0,25điểm)

mà :  IMA + BMI = 900  BMH + BMI = 900 (0,25điểm)

 HMI vuông cân  HIM = 450 (0,25điểm)

mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450  IM là phân giác HIC (0,25điểm)

*) Ghi chú:

Nếu học sinh có cách giải khác đúng, vẫn được điểm tối đa

ĐÁP ÁN ĐỀ 6 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM

CÂU	NỘI DUNG	ĐIỂM
Câu 1 (4,5 đ)	a) (1,5đ) (1+5) = 162  = 27 => x-1= 3 => x = 4	0,75 0,75
	b) (1,5đ) 3x +x2 = 0  x(3 + x) = 0 x=0 hoặc x= -3	0,75 0,75
	c) (1,5đ) (x-1)(x-3) < 0 vì x-1 > x-3 nên (x-1)(x-3) < 0	0,5 1,0
Câu 2 (3,0 đ)	a) (1,5đ) Từ ta có: ( Vì x, y, z cùng dấu)	0,75 0,75
	b) (1,5 đ) Ta có (do a,b,c,d > 0 => a+b+c+d >0) suy ra a = b = c= d Thay vào tính được P =	0,5 0,5 0,5
Câu 3 (3,0 đ)	a) (1,5đ) Ta có x + y + xy =2  x + 1 + y(x + 1) = 3  (x+1)(y+1)=3 Do x, y nguyên nên x + 1 và y + 1 phải là ước của 3. Lập bảng ta có:	0,75
	x+1 1 3 -1 -3 y+1 3 1 -3 -1 x 0 2 -2 -4 y 2 0 -4 -2 Vậy các cặp (x,y) là: (0,2); (2,0); (-2,-4); (-4,-2)	0,5 0,25
	b) (1,5 đ) Q = = 2+ A lớn nhất khi lớn nhất * Xét x > 12 thì < 0 * Xét x < 12 thì > 0. Vì phân số có tử và mẫu là các số dương, tử không đổi nên phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. nhỏ nhất Vậy để lớn nhất thì  x = 11 A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11	0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 4 (4,0 đ)	a) (2,0 đ) Ta có: 1 là nghiệm của f(x) => f(1) = 0 hay a + b + c = 0 (1) -1 là nghiệm của f(x) => f(-1) = 0 hay a - b + c = 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra 2a + 2c = 0 => a + c = 0 => a = -c Vậy a và c là hai số đối nhau.	0,75 0,75 0,5
	b) (2,0 đ) Ta có , => . Dấu "=" xảy ra  x = 3 , . Dấu "=" xảy ra  y = -3 Vậy P = 4 + 2007 = 2011. Dấu "=" xảy ra  x = 3 và y = -3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 2011  x = 3 và y = -3	0,5 0,5 0,5 0,5
Câu 5 (5,5 đ)
	a) (2,0 đ) - Chứng minh IBM = KCM => IM= MK - Chứng minh IMC = KMB => CI = BK và góc MKB = góc MIC => BK//CI	0,5 1,0 0,5
	b) (1,5 đ) Chỉ ra được AM = MC => AMC cân tại M => đường cao MN đồng thời là đường trung tuyến của AMC => N là trung điểm AC AKC vuông tại K có KN là trung tuyến => KN = AC Mặt khác MC = BC Lại có ABC vuông tại A => BC > AC => BC > AC hay MC > KN Vậy MC > KN (ĐPCM)	0,5 0,25 0,25 0,5
	c) (1,0 đ) Theo CM ý a IM = MK mà AM = MD (gt) => AI = KD Vậy để AI = IM = MK = KD thì cần AI = IM Mặt khác BI AM => khi đó BI vừa là trung tuyến, vừa là đường cao ABM => ABM cân tại B (1) Mà ABC vuông tại A, trung tuyến AM nên ta có ABM cân tại M (2) Từ (1) và (2) ruy ra ABM đều => góc ABM = 600 Vậy vuông ABC cần thêm điều kiện góc ABM = 600	0,5 0,5
	d) (1,0 đ) Xảy ra 2 trường hợp: Trường hợp 1: Nếu I thuộc đoạn AM => H thuộc đoạn MC => BI và DH cắt tia MN. Gọi O là giao điểm của BI và tia MN, O’ là giao điểm của DH và tia MN Dễ dàng chứng minh AIO = MHO’ => MO = MO’ => O O’ Suy ra BI, DH, MN đồng quy. Trường hợp 2: Nếu I thuộc đoạn MD => H thuộc đoạn MB => BI và BH cắt tia đối của tia MN. Chứng minh tương tự trường hợp 1 Vậy BI, DH, MN đồng quy. (Học sinh có thể sử dụng các cách khác để CM: VD sử dụng tính chất đồng quy của 3 đường cao...)	0,5 0,5

Lưu ý:

- Lời giải chỉ trình bày tóm tắt, học sinh trình bày hoàn chỉnh, lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa.

- Học sinh có thể trình bày nhiều cách giải khác nhau nếu đúng thì cho điểm tương ứng.

ĐÁP ÁN ĐỀ 7 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Câu1: Nhân từng vế bất đẳng thức ta được : (abc)²=36abc

+, Nếu một trong các số a,b,c bằng 0 thì 2 số còn lại cũng bằng 0

+,Nếu cả 3số a,b,c khác 0 thì chia 2 vế cho abc ta được abc=36

+, Từ abc =36 và ab=c ta được c²=36 nên c=6;c=-6

+, Từ abc =36 và bc=4a ta được 4a²=36 nên a=3; a=-3

+, Từ abc =36 và ab=9b ta được 9b²=36 nên b=2; b=-2

-, Nếu c = 6 thì avà b cùng dấu nên a=3, b=2 hoặc a=-3 , b=-2

-, Nếu c = -6 thì avà b trái dấu nên a=3 b=-2 hoặc a=-3 b=2

Tóm lại có 5 bộ số (a,b,c) thoã mãn bài toán

(0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6)

Câu 2. (3đ)

a.(1đ) 5x-3<2=> -2<5x-3<2 (0,5đ)

… 1/5<x<1 (0,5đ)

b.(1đ) 3x+1>4=> 3x+1>4hoặc 3x+1<-4 (0,5đ)

*Nếu 3x+1>4=> x>1

*Nếu 3x+1<-4 => x<-5/3

Vậy x>1 hoặc x<-5/3 (0,5đ)

c. (1đ) 4-x+2x=3 (1)

* 4-x0 => x4 (0,25đ)

(1)<=>4-x+2x=3 => x=-1( thoả mãn đk) (0,25đ)

*4-x<0 => x>4 (0,25đ)

(1)<=> x-4+2x=3 <=> x=7/3 (loại) (0,25đ)

Câu3. (1đ) Áp dụng a+b a+bTa có

A=x+8-xx+8-x=8

MinA =8 <=> x(8-x) 0 (0,25đ)

* =>0x8 (0,25đ)

* => không thoã mãn(0,25đ)

Vậy minA=8 khi 0x8(0,25đ)

Câu4. Ta có S=(2.1)²+(2.2)²+...+ (2.10)²(0,5đ) =2².1²+2².2²+...+2².10²

=2²(1²+2²+...+10²) =2².385=1540(0,5đ)

Câu5.(3đ)

Chứng minh: a (1,5đ)

Gọi E là trung điểm CD trong tam giác BCD có ME là đường trung bình => ME//BD(0,25đ)

Trong tam giác MAE có I là trung điểm của cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt)

Nên D là trung điểm của AE => AD=DE (1)(0,5đ)

Vì E là trung điểm của DC => DE=EC (2) (0,5đ)

So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25đ)

b.(1đ)

Trong tam giác MAE ,ID là đường trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ)

Trong tam giác BCD; ME là Đường trung bình => ME=1/2BD (2)(0,5đ)

So sánh (1) và (2) => ID =1/4 BD (0,25đ)

ĐÁP ÁN ĐỀ 8 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Câu 1. Ta có (1) Ta lại có (2)

Từ (1) và(2) => .

Câu 2. A = .= .

Nếu a+b+c  0 => A = .

Nếu a+b+c = 0 => A = -1.

Câu 3. a). A = 1 + để A  Z thì x- 2 là ước của 5.

=> x – 2 = ( 1; 5)

* x = 3 => A = 6 * x = 7 => A = 2

* x = 1 => A = - 4 * x = -3 => A = 0

b) A = - 2 để A  Z thì x+ 3 là ước của 7.

=> x + 3 = ( 1; 7)

* x = -2 => A = 5 * x = 4 => A = -1

* x = -4 => A = - 9 * x = -10 => A = -3 .

Câu 4. a). x = 8 hoặc - 2

b). x = 7 hoặc - 11

c). x = 2.

Câu 5. ( Tự vẽ hình)

 MHK là  cân tại M .

Thật vậy:  ACK =  BAH. (gcg) => AK = BH .

 AMK =  BMH (g.c.g) => MK = MH.

Vậy:  MHK cân tại M .

ĐÁP ÁN ĐỀ 9 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Bài1: (1,5 điểm)

+ Tìm được: x = ; y = -1 (0,5đ)

+ Với x = - ; y = -1 Þ A = - (0,5đ)

+ Với x = ; y = -1 Þ A= - (0,5đ)

Bài 2: (2 điểm)

+ Từ + = 2 Û (2 – x)( + ) = 0 Û x = 2 (0,75đ)

+ Thay x = 2 Þ = = = = = 2. (1đ)

+ Þ x + y + z = 100 (0,25đ)

Bài 3: (2 điểm)

+ Biến đổi được: x(2y + 3) = 4 (0,5đ)

+ Chỉ ra được x, y Z Þ x Ư(4) và 2y + 3 lẻ (0,5đ)

+ Lập bảng. (1đ)

x	-4	-2	-1	1	2	4
2y + 3	-1	-2	-4	4	2	1
y	-2	loại	loại	loại	loại	-1

Bài 4: (2 điểm).

a) Chỉ được; a + b + c + d = 0 Þ đpcm. (0,5đ)

(hoặc tính được P(1) = 0 Þ đpcm).

b) + Rút được: + x = 3 (1) (0,25đ)

+ Biến đổi được P = (3 + 3 ) + ( + x) – 9x + 1

= 3x( + x) + ( + x) – 9x + 1 (1đ)

+ Thay (1) vào: P = 9x + 3 – 9x + 1 = 4(0,25đ)

(Học sinh có thể giải đúng bằng cách khác vẫn cho điểm)

Bài 5: (2,5 điểm)

+ Hình vẽ (phục vụ được câu 1): (0,25đ)

a) Chỉ ra được F là giao điểm 2 trung trực của D BEC (0,5đ)

Þ F trung trực BC Þ DBFC cân (0,5đ)

(học sinh có thể chứng minh: FC = FE; FB = FE đpcm).

K F

b) + Tính được EBC = 15 . (0,5đ)

+ Hạ FK AB Þ DFKB = DFHC (ch + cgv) B (0,75đ)

ÞDBFC vuông cân Þ FBC = 45 . (0,25đ)

+ Kết luận DBFE đều. (0,25đ)

A F H C

ĐÁP ÁN ĐỀ 10 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Bài 1: (1điểm) = = và x, y, z N, x ≠ 0 Þ = = Þ = = = = = 1 x = 2; y = 3; z = 5. Vậy = 235	0,5đ 0,25đ 0,25đ
Bài 2: (1,5 điểm) Ta có: + + + ac + = + ab + (vì 9 + 16 = 25) Suy ra: 2 = a(b – c) Þ = (vì a ≠ 0; c ≠ 0) Þ = = = (vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0)	0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ
Bài 3: (2,5điểm) a/ (1 điểm) f(x) = ( - 25) + (20 + 4m) + 7 - 9 là đa thức bậc 3 biến x khi: - 25 = 0 và 20 + 4m ≠ 0 Þ m = 5 và m ≠ -5 Vậy m = 5 thì f(x) là đa thức bậc 3 biến x.	0,5đ 0,25đ 0,25đ
b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 - 72 + 90 = - 2.4 .9 + + 9 g(x) = + 9 Với mọi giá trị của x ta có: ≥ 0 Þ g(x) = + 9 ≥ 9. Giá trị nhỏ nhất của g(x) là 9 Khi và chỉ khi = 0 Þ - 9 = 0 Þ = 9 Þ = Þ x = .	0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ
Bài 4: (2 điểm) Gọi số chia là a và số dư là r (a, r N*; a > r) Ta có: * 112 = 5a + r Þ 5a < 112 Þ a 22 (1) *a > r Þ 5a + r < 5a + a 112 < 6a a > 112 : 6 a ≥ 19 (2) Từ (1) và (2) Þ a = 19; 20; 21; 22 lập bảng số: a 19 20 21 22 r = 112 – 5a 17 12 7 2	0,5đ 0,5đ 0,5đ
Bài 5: (3 điểm) a/ (1,5 điểm) - Chứng minh DCHO = D CFO (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra: CH = CF. Kết luận D FCH cân tại C. -Vẽ IG //AC (G FH). Chứng minh D FIG cân tại I. - Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK. - Chứng minh D AHK = D IGK (g-c-g). - Suy ra AK = KI..	0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
b/ (1,5 điểm) Vẽ OE ^ AB tại E. Tương tự câu a ta có: D AEH, D BEF thứ tự cân tại A, B. Suy ra: BE = BF và AE = AH. BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI. Suy ra: D ABI cân tại B. Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến của D ABI nên: B, O, K là ba điểm thẳng hàng. A E H K O G B F I C	0,5đ 0,5đ 0,5đ

ĐÁP ÁN ĐỀ 11 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Bài 1: (2,0 điểm)

 =	0,25
	0,25
 	0,25
; (1)	0,25
(1)	0,25
(1)	0,25
 : = :	0,25
	0,25

Bài 2: ( 2,0 điểm)

Ta có 2H =	0,25
2H-H =	0,25
H =	0,25
H 2010H = 2010	0,25
Thực hiện tính: M =	0,25
	0,25
	0,25
	0,25

Bài 3: ( 2,5 điểm)

	0,25
	0,25
	0,25
	0,25
	0,25
	0,25
	0,25
x < - -(4x +3) – (1-x) =7 x = - ( Thỏa mãn)	0,25
- x < 1 4x+3 – (1-x) = 7 x = 1 ( Loại)	0,25
x 1 4x+ 3 – (x -1) = 7 x= 1 ( Thỏa mãn)	0,25

Bài 4: ( 3,5 điểm)

Câu a: 0,75 điểm		Hình vẽ:
BEH cân tại B nên E = H1	0,25
ABC = E + H1 = 2 E	0,25
ABC = 2 C  BEH = ACB	0,25
Câu b: 1,0 điểm
Chứng tỏ được DHC cân tại D nên DC = DH.	0,25
DAH có: DAH = 900 - C	0,25
DHA = 900 - H2 =900 - C	0,25
 DAH cân tại D nên DA = DH.	0,25
Câu c: 0,75 điểm
ABB’ cân tại A nên B’ = B = 2C	0,25
B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C	0,25
 C = A1 AB’C cân tại B’	0,25
Câu d: 0,75 điểm
AB = AB’ = CB’	0,25
BE = BH = B’H	0,25
Có: AE = AB + BE HC = CB’ + B’H  AE = HC	0,25

ĐÁP ÁN ĐỀ 12 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Bài 1:(4 điểm):

a) (2 điểm) b) (2 điểm) = = = = 10( 3n -2n) Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương.

Bài 2:(4 điểm)

a) (2 điểm) b) (2 điểm)

Bài 3: (4 điểm)

a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. Theo đề bài ta có: a : b : c = (1) và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) Từ (1) = k Do đó (2) k = 180 và k = + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = , ta được: a = ; b = ; c = Khi đó ta có só A = +( ) + ( ) = . b) (1,5 điểm) Từ suy ra khi đó =

Bài 4: (4 điểm)

a/ (1điểm) Xét và có :

AM = EM (gt )

= (đối đỉnh )

BM = MC (gt )

Nên : = (c.g.c )

AC = EB

Vì = =

(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )

Suy ra AC // BE .

b/ (1 điểm )

Xét và có :

AM = EM (gt )

= ( vì )

AI = EK (gt )

Nên ( c.g.c )

Suy ra =

Mà + = 180^o ( tính chất hai góc kề bù )

+ = 180^o

Ba điểm I;M;K thẳng hàng

c/ (1,5 điểm )

Trong tam giác vuông BHE ( = 90^o ) có = 50^o

= 90^o - = 90^o - 50^o =40^o

= - = 40^o - 25^o = 15^o

là góc ngoài tại đỉnh M của

Nên = + = 15^o + 90^o = 105^o

( định lý góc ngoài của tam giác )

Bài 5: (4 điểm)

a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c)

suy ra

Do đó

b) ABC cân tại A, mà (gt) nên

ABC đều nên

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra .

Tia BM là phân giác của góc ABD

nên

Xét tam giác ABM và BAD có:

AB cạnh chung ;

Vậy: ABM = BAD (g.c.g)

suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC

ĐÁP ÁN ĐỀ 13 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Câu1: (3 điểm)

(mỗi bước đúng 1điểm)

Câu 2: 4 điểm. (Phân tích đúng 1 bước 1điểm)

Câu 3: 4 điểm. Vẽ đồ thị 1điểm

	0	4
	0	5

	0	5
	0	-4

a) (mỗi bảng 0,25điểm)

Đồ thị là đường thẳng qua điểm O(0;0) và điểm A(4;5) (0,25điểm)

Đồ thị là đường thẳng qua điểm O(0;0) và điểm B(5;-4) (0,25điểm)

b) Cần chứng minh

Xét ∆OMA và ∆ONB có:

(1điểm)

(1điểm)

Vậy

Câu 4: 4,5 điểm

1. Chứng minh ∆BME đều

∆ABC cân (gt), (0,25đ)

cân tại C (0,25đ)

(0,25đ)

(1) (0,25đ)

(0,25đ)

Vì (1đ)

cân tại M (2) (0,25đ)

Từ (1) và (2) đều. (0,25đ)

b) (0,25đ)

(0,25đ)

Vì (1,25đ)

5 . a) ∆IKC có MI =MK và NK= NC (gt) (0,5đ)

Nên CM và IN là hai trung tuyến. (0,25đ)

Mà CM cắt IN tại O nên O là trọng tâm. (0,25đ)

b) ∆AMI và ∆CMK có MI = MK (gt) (0,25đ)

(đđ); MA = MC (gt) (0,5đ)

Nên ∆AMI = ∆CMK (c.g.c) (0,25đ)

và AI = KC (1) (0,25đ)

∆ABC có I là trọng tâm (2) (0,25đ)

Mặt khác (3) (0,25đ)

Từ (1), (2) và (3) KN = IE (0,25đ)

∆IBE và ∆KIN có KN = IE (cmt) (0,25đ)

; IB =IK (0,25đ)

Nên ∆IBE = ∆KIN (c.g.c) (0,25đ)

mà (4) (0,25đ)

∆IKC có O là trọng tâm nên (5) (0,25đ)

Từ (4) và (5) (0,25đ)

ĐÁP ÁN ĐỀ 14 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Câu 1:

Mỗi tỉ số đã cho đều bớt đi 1 ta được:

=

+, Nếu a+b+c+d 0 thì a = b = c = d lúc đó M = 1+1+1+1=4

+, Nếu a+b+c+d = 0 thì a+b = - (c+d); b+c = - (d+a); c+d = - (a+b);

d+a = -(b+c), lúc đó M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4.

Câu 2: S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c).

Vì 0 < a+b+c 27 nên a+b+c 37. Mặt khác( 3; 37) =1 nên 3(a+b+c) 37 => S không thể là số chính phương.

Câu 3:

Quãng đường AB dài 540 Km; nửa quảng dường AB dài 270 Km. Gọi quãng đường ô tô và xe máy đã đi là S₁, S₂. Trong cùng 1 thời gian thì quãng đường tỉ lệ thuận với vận tốc do đó (t chính là thời gian cần tìm).

t=

Vậy sau khi khởi hành 3 giờ thì ô tô cách M một khoảng bằng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M.

Câu 4:

a, Tia CO cắt AB tại D.

+, Xét BOD có là góc ngoài nên =

+, Xét ADC có góc D₁ là góc ngoài nên

Vậy = +

b, Nếu thì =

Xét BOC có:

• tia CO là tia phân giác của góc C.

Câu 5:

Lấy điểm O tuỳ ý.Qua O vẽ 9 đường thẳng lần lượt song song với 9 đường thẳng đã cho. 9 đường thẳng qua O tạo thành 18 góc không có điểm trong chung, mỗi góc này tương ứng bằng góc giữa hai đường thẳng trong số 9 đương thẳng đã cho. Tổng số đo của 18 góc đỉnh O là 360⁰ do đó ít nhất có 1 góc không nhỏ hơn 360⁰ : 18 = 20⁰, từ đó suy ra ít nhất cũng có hai đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 20⁰.

Câu 6:

Tổng số điểm ghi ở hai mặt trên của hai con súc sắc có thể là:

2 = 1+1

3 = 1+2 = 2+1

4 = 1+3 =2 +2 = 3+1

5 = 1+4 =2+3=3+2=4+1.

6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1

7=1+6=2+5=3+4= 4+3=5+2=-6+1

8= 2+6=3+5=4+4=5+3=6+2

9=3+6=4+5=5+4=6+3

10=4+6=5+5=6+4

11=5+6=6+5

12=6+6.

Như vậy tổng số 7 điểm có khả năng xảy ra nhất tới 16,7%

ĐÁP ÁN ĐỀ … THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Bài	Cách giải	Tổng
1	A = = = = = = Với a = ; b = -2 ; x = ; y = 1 ta được: A =	2,5
2	Ta có: 0 < a1 < a2 < ….. < a9 nên suy ra: a1 + a2 + a3 < 3a3 (1) a4 + a5 + a6 < 3a6 (2) a7 + a8 + a9 < 3a9 (3) Cộng vế với vế của (1) (2) (3) ta được: a1 + a2 + ….. + a9 < 3(a3 + a6 + a9) Vì a1 + a2 + ….. + a9 > 0 nên ta được:	2
3	Gọi diện tích, chiều dài, chiều rộng của các mảnh đất A, B, C theo thứ tự là SA, dA, rA, SB, dB, rB, SC, dC, rC. Theo bài ra ta có: ; ; dA = dB ; rA + rB = 27(m) ; rB = rC ; dC = 24(m) Hai hình chữ nhật A và B có cùng chiều dài nên các diện tích của chúng tỉ lệ thuận với các chiều rộng. Ta có: rA = 12(m) ; rB = 15(m) = rC Hai hình chữ nhật B và C có cùng chiều rộng nên các diện tích của chúng tỉ lệ thuận với các chiều dài. Ta có: dB = (m) = dA Do đó: SA = dA.rA = 21. 12 = 252 (m2) SB = dB. rB = 21. 15 = 315 (m2) SC = dC. rC = 24. 15 = 360 (m2)	4,5
4	a) Ta có: A = = Với x Z thì x - 2 Z. Để A nguyên thì nguyên. x - 2 là ước của 1 Ta có: x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1. Do đó: x = 3 hoặc x = 1 Vậy để A nguyên thì x = 3 hoặc x = 1 +) B = = Với x Z thì x - 3 Z. Để B nguyên thì nguyên. x - 3 là ước của 2 Ta có: x - 3 = 2 hoặc x - 3 = 1. Do đó x = 5 ; x = 1 ; x = 4 ; x = 2 Vậy để B nguyên thì x = 5 hoặc x = 1 hoặc x = 4 hoặc x = 2 b) Từ câu a) suy ra: Để A và B cùng nguyên thì x = 1	3
5	ABC có AB = AC. GT DB = CE (D tia đối của CB; E tia đối của BC) a) ADE cân b) MB = MC, chứng minh AM KL là tia phân giác góc DAE c) BH AD = H; CK AE = K chứng minh: BH = CK d) AM BH CK tại 1 điểm A H K M D B C E O Chứng minh: a) ABC cân có AB = AC nên: Suy ra: Xét ABD và ACE có: AB = AC (gt) (CM trên) DB = CE (gt) Do đó ABD = ACE (c - g - c) AD = AE (2 cạnh tương ứng). Vậy ADE cân tại A. b) Xét và có: MD = ME (Do DB = CE và MB = MC theo gt) AM: Cạnh chung AD = AE (CM trên) Do đó = (c - c - c) . Vậy AM là tia phân giác của c) Vì ADE cân tại A (CM câu a)). Nên Xét và có: (Do ) DB = CE (gt) = (Cạnh huyền- góc nhọn). Do đó: BH = CK. d) Gọi giao điểm của BH và CK là O. Xét và có: OA: Cạnh chung AH = AK (Do AD = AE; DH = KE (vì = )) = (Cạnh huyền- Cạnh góc vuông) Do đó nên AO là tia phân giác của hay AO là tia phân giác của . Mặt khác theo câu b) AM là tia phân giác của . Do đó AO AM, suy ra 3 đường thẳng AM; BH; CK cắt nhau tại O.	8