7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các dạng toán về a3b3
7 hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình toán học lớp 8. Do đó, đây là công thức mà các em học sinh cần phải nằm lòng để có thể ứng dụng vào các dạng toán khác nhau. Trong đó hằng đẳng thức a3b3 (số 7) cũng vô cùng quan trong. Tranttailieu.com đã có những phân tích giúp các em ghi nhớ nhanh và ứng dụng chính xác hằng đẳng thức dưới đây.
Mục lục
7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Trong chương trình toán lớp 8 các em sẽ được làm quen và thực hành nhiều bài tập vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ dưới đây.
Hằng đẳng thức a3b3 và các dạng toán liên quan
Hiệu của hai số lập phương a3 – b3
Công thức a3 – b3
Hiệu của lập phương hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó.
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Chứng minh hằng đẳng thức
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Xét vế phải của hằng đẳng thức
VP = (A – B)(A2 + AB + B2)
VP = A3 + A2B + AB2 – A2B – AB2 – B3
VP = A3 + (A2B – A2B) +( AB2 – AB2)– B3
VP = A3– B3 = VT => điều phải chứng minh
Dạng toán liên quan đến a3 – b3
Một số dạng toán liên quan đến hằng đẳng thức a3 – b3 kèm hướng dẫn giải
Câu 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích
- a) y3 – 64 b) 8 – a3
Hướng dẫn giải
- a) Ta có:
y3 – 64
= y3 – 43
= (y – 4) (y2 + 4y + 42)
= (y – 4) (y2+ 4y + 16)
- b) Ta có:
8 – a3
= 23 – a3
= (2 – a) (22 + 2a + a2)
= (2 – a) (4 + 2a + a2)
Câu 2: Viết biểu thức dưới dạng hiệu hai lập phương
- (x – 5) (x2 + 10x + 25) b) (y – 12)(y2 + 12y + 14)
Hướng dẫn giải
- a) (x + 5) (x2 + 10x + 25) = x3 – 53 = x3 – 125
- b) (y – 12)(y2 + 12y + 14) = y3 – (12)3 = y3 – 18
Câu 3: Phân tích đa thức nhân tử (x + 1)3 + (x – 2)3
Hướng dẫn giải
(x + 1)3 + (x – 2)3
= (x + 1 + x – 2)[(x + 1)3 – (x + 1)(x – 2) + (x – 2)3]
= (2x – 1)[(x + 1)2 – (x2 + 2x + x – 2_ + x2 – 4x + 4]
= (2x – 1)[[x2 + 2x + 1 – x2 + x + 2 + x2 – 4x + 4]
= (2x – 1)(x2 – x + 7)
Câu 4: Phân tích đa thức thành nhân tử P = x3 + y3 + z
Hướng dẫn giải
P = x3 + y3 + z3 – 3xyz
P = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – 3xyz -3x2y – 3xy2
P = (x + y)3 + z3 – 3xyz -3x2y – 3xy2
P = (x + y + z)[[(x + y)2 – z(x + y) + z2] – 3xy(z + x + y)
P = (x + y + z)[(x + y)2 – z(x + y) + z2 – 3xy]
P = (x + y + z)[x2 + 2xy + y2 – zx – zy + z2 – 3xy]
P = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – zx – zy – xy)
Câu 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3
Hướng dẫn giải
B = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3
B = x3 -3x2y + 3xy2 – y3 + y3 – 3y2z + 3yz2 – z3 + z3 – 3z2z + 3zx2 – x3
B = -3x2y + 3xy2 – 3y2z + 3yz2 – 3z2x + 3zx2
B = 3[-xy(x – y) – z2(x – y) + z(x – y)(x + y)]
B = 3(x – y)(-xy – z2 + zx + zy)
B = 3(x – y)[y(z – x) – z(z – x)]
B = 3(x – y)(z – x)(y – z)
Tổng 2 số lập phương a3+b3
Công thức a3+b3
Tổng của lập phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
Chứng minh hằng đẳng thức
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
Xét vế phải của hằng đẳng thức
VP = (A + B)(A2 – AB + B2)
VP = A3 – A2B + AB2 + A2B – AB2 + B3
VP = A3 + (-A2B + A2B) +( AB2 – AB2) + B3
VP = A3+ B3 = VT => điều phải chứng minh
Một số dạng toán liên quan
Một số dạng toán liên quan đến hằng đẳng thức a3 – b3 kèm hướng dẫn giải giúp các em ghi nhớ lâu hơn:
Câu 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích
- a) x3 + 125 b) b3 + 8a3
Hướng dẫn giải
- a)
x3 + 125
= x3 + 53
= (x + 5) (x2 – 5x + 52)
= (x + 5) (x2 – 5x +25)
b)
b3 + 8a3
= b3 + (2a)3
= (b + 2a)[ b2 – b(2a) + (2a)2]
= (b + 2a)(b2 – 2ab + 4a2)
Câu 2: Tính giá trị của biểu thức a3 + b3 biết a + b = 2 và ab = -1
Hướng dẫn giải
a3 + b3
= (a + b) (a2 – ab + b2)
= (a + b) [ a2 + 2ab + b2 – 2ab – ab]
= (a + b)[(a2 + 2ab + b2) – 3ab]
= (a + b)[(a + b)2 – 3ab] (*)
Thay a + b = 2 và ab = -1 vào (*) ta được:
(a + b)[(a + b)2 – 3ab] = 2 x [22 – 3 x (-1)] = 2 x (4 + 3) = 14
Mong rằng những thông tin mà Trang Tài Liệu vừa cung cấp đã giúp các em học sinh ghi nhớ công thức về a3b3 và các hằng đẳng thức đáng nhớ khác. Từ đó, có thể hoàn thành tốt các dạng toán liên quan và giành được số điểm cao trong kỳ thi sắp tới.