Ôn Thi HSG Toán 6 Chuyên Đề Lũy Thừa Với Số Mũ Tự Nhiên Kèm Giải

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2 - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

CHỦ ĐỀ 1: CÁC TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA

PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

Lũy thừa bậc của là tích của thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng :

( thừa số ) ( )

được gọi là cơ số.

được gọi là số mũ.

2. MỘT VÀI QUY ƯỚC

ví dụ :

ví dụ :

3. NHÂN HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữa nguyên cơ số và cộng các số mũ.

4. CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.

5. LŨY THỪA CỦA LŨY THỪA

Ví dụ :

6. NHÂN HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ, KHÁC SỐ MŨ

ví dụ :

7. LŨY THỪA TẦNG

Ví dụ:

8. CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ KHÁC SỐ MŨ

ví dụ :

9.LŨY THỪA CỦA MỘT THƯƠNG

Ví dụ:

PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI

DẠNG 1: Viết gọn một biểu thức dưới dạng lũy thừa

I. Phương pháp giải: Sử dụng các công thức sau:

( thừa số )

II. Bài toán:

_{Bài 1}: Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa

a) b)

c) d)

e) f)

_g) h)

_{Lời giải}

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:

d) Ta có:

e) Ta có:

f) Ta có:

g) Ta có:

h) Ta có:

Bài 2: Viết kết quả phép chia dưới dạng lũy thừa.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:

d) Ta có:

e) Ta có:

f) Ta có:

g) Ta có:

i) Ta có:

Bài 3: Viết kết quả phép tính sau dưới dạng lũy thừa.

; ;

.

Lời giải

a)

b)

c)

d)

Bài 4: Cho viết dưới dạng lũy thừa của 8.

Lời giải

Ta có:

DẠNG 2: Tính giá trị của một biểu thức lũy thừa.

I. Phương pháp giải:

Áp dụng công thức:

( thừa số )

và làm các phép tính như thông thường.

_{II. Bài toán:}

Bài 1 : Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý.

1. 

2. 

3. 

4. 

Lời giải

1. 

2. 

3. 

4. 

Bài 2. Thực hiện phép tính:

; ;

; .

Lời giải

a)

b)

c)

d)

Bài 3: Thực hiện phép tính

1. b. c.

Lời giải

a. Ta có:

b. Ta có:

c. Ta có:

Bài 4: Thực hiện phép tính

a) b)

Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có:

_Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) b)

c) d)

e) f)

Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:

d) Ta có:

e) Ta có:

f) Ta có:

Bài 6. Thực hiện phép tính:

Lời giải

Bài 7: Tính các tổng sau:

a) b)

c) d)

Lời giải

1. Ta có:

2. Ta có:

3. Ta có:

d)

Bài 8: Tính

Lời giải

Ta có:

Bài 9: Cho biết: .

a) Tính ;

b)Tính .

Lời giải

a) Ta có

b)

Bài 10: Tính tổng sau

a)

Lời giải

Ta có:

_{Đặt ’}

Tính C, ta có:

Đặt

Tính

Tính N

Ta có

Tương tự tính D ta có:

Vậy

DẠNG 3: Xét tính chia hết của một biểu thức lũy thừa.

_{I. Phương pháp giải:}

_{Sử dụng công thức tính lũy thừa và tính chất chia hết, các dấu hiệu chia hết}

_{II. Bài toán:}

Bài 1: Cho . Chứng tỏ rằng chia hết cho 3.

_{Lời giải}

Bài 2: Cho . Chứng minh rằng chia hết cho 6.

_{Lời giải}

Bài 3:

Cho biểu thức .

Chứng minh rằng chia hết cho 7.

_{Lời giải}

(Tổng có 2016 số hạng, chia thành 672 nhóm, mỗi nhóm có 3 số hạng)

_{Bài 4:} Cho . Chứng minh rằng

_{Lời giải}

Ta có:

• 

• 

• 

Bài 5: Cho . Chứng tỏ rằng chia hết cho 21.

_{Lời giải}

có 99 số hạng

có 33 nhóm

chia hết cho 21

Bài 6: Cho . Chứng tỏ chia hết cho 2

_{Lời giải}

Ta có nên đặt luôn có tận cùng là 1.

Ta có nên đặt luôn có tận cùng là 1.

Khi đó: luôn có tận cùng là 0

luôn có thể tận cùng .

Vậy luôn chia hết cho 2

Bài 7: Cho số . Tìm số dư khi chia cho 17.

_{Lời giải}

có 17 số hạng

có 8 cặp nhóm và thừa số hạng 4

Vậy chia cho 17 dư 4.

Bài 8: Cho . Chứng minh

_{Lời giải}

Số là tích của thừa số trong đó có thừa số chẵn.

Đặt tích của các thừa số chẵn trong là (có thừa số chẵn).

Đặt tích của các thừa số chẵn trong là: (có thừa số chẵn).

Đặt tích của các thừa số chẵn trong là: (có thừa số chẵn).

Đặt tích của các thừa số chẵn trong là: (có thừa số chẵn).

Đặt tích của các thừa số chẵn trong là: (có thừa số chẵn).

Đặt tích của các thừa số chẵn trong là: (có thừa số chẵn).

Đặt tích của các thừa số chẵn trong là: (có thừa số chẵn).

Như vậy trong có tích các thừa số:

Vậy chia hết cho .

PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.

Bài 1: Thực hiện phép tính:

Lời giải

Bài 2: Thực hiện phép tính:

Lời giải

Bài 3. Thực hiện phép tính:

Lời giải

Bài 4. Thực hiện phép tính:

Lời giải

Bài 5. Thực hiện phép tính:

Lời giải

Bài 6. Tính:

Lời giải

Bài 7. Tính

Lời giải

Vậy:

Bài 8. Tính

Lời giải

Bài 9. Tính

Lời giải

Ta có

Bài 10: Tính

Lời giải

Ta có:

_Đặt

_{Bài 11:} Tính

_{Lời giải}

Ta có:

Đặt

Tính , ta có:

Tương tự tính ta có

Vậy

_{Bài 12: Chứng minh rằng:}

a. chia hết cho 45 b. chia hết cho 31

_c. chia hết cho 17 d. chia hết cho 7.

_{Lời giải}

a) Ta có: , có tận cùng là 5

chia hết cho 5

Tổng các chữ số của là: chia hết cho 9, mà chia hết cho 45

b) Ta có: chia hết cho 31

c) Ta có: chia hết cho 17

d) Ta có:

Chia hết cho 7 vì mỗi số hạng trong hiệu đều chia hết cho 7.

Bài 13:

a) Viết công thức tổng quát tính

b)Viết công thức tính

c) Chứng minh rằng: chia hết cho 2014.

_{Lời giải}

a)

Ta có

Vậy

b) Ta có

Từ đó ta có công thức:

c) Nhận thấy . Với công thức đã tìm được ở câu 1, hơn nữa ta thấy

có giá trị là số nguyên nên . Do đó để làm câu 2 ta nghĩ ngay đến cách làm sau:

Xét

Do đó

Nên

Mà có giá trị là số tự nhiên

Vậy

Bài 14:

a, Tính tổng :

b, Viết công thức tổng quát tính

c, Viết công thức tính

d, Chứng minh rằng: 9²⁰¹⁸ – 1 chia hết cho 80

_{Lời giải}

a, Tương tự

Ta có:

Do đó:

b, Ta có:

Vậy

c, Từ kết quả câu b: +

Từ đó ta có:

d, Nhận thấy . Với công thức đã tìm được ở câu c.

Hơn nữa ta thấy có giá trị là số nguyên

Nên . Do đó để làm câu d ta nghĩ ngay đến cách làm sau:

Xét

Do đó

Mà có giá trị là số tự nhiên.

Vậy

Bài 15:

a, Tính tổng :

b, Viết công thức tổng quát tính

c, Viết công thức tính

d, Chứng tỏ rằng: chia hết cho 35

_{Lời giải}

a, Tương tự

Ta có:

Do đó

b, Ta có:

c, Từ kết quả câu b:

Từ đó ta có :

d, Nhận thấy . Với công thức đã tìm được ở câu c.

Hơn nữa có giá trị là số nguyên.

Nên . Do đó để làm câu d ta nghĩ ngay đến cách làm:

Xét

Do đó

Mà có giá trị là số tự nhiên. Vậy

Bài 16:

1, Tính

2, Tính

3, Chứng tỏ rằng chia hết cho 2019

_{Lời giải}

1, Tương tự

Ta có

Quan sát về quy luật dấu của các số hạng trong tổng và . Để các lũy thừa bị triệt tiêu hàng loạt ta nghĩ đến tính

_{2, Ta có:}

3, Nhận thấy . Với công thức đã tìm được ở câu 2.

Hơn nữa có giá trị là số nguyên

Nên . Do đó để làm câu d ta nghĩ ngay đến cách làm sau:

_Xét

Mà có giá trị là số nguyên.

Suy ra chia hết cho

………… HẾT ………..