Đề Thi HSG Toán 11 Tỉnh Sở GD&ĐT Quảng Nam (Đề 1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLIMPIC QUẢNG NAM NĂM 2018

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

Môn thi : TOÁN - Lớp: 11

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLIMPIC QUẢNG NAM NĂM 2018

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Môn thi: TOÁN Lớp : 11

Đáp án gồm 05 trang

()

Câu

Nội dung

Điểm

1

a. Tính tổng các nghiệm của phương trình: trên đoạn .

1,5

 ( x )  x =

 ( x )  x = , x =  

0.25

0.25

0.25

0.25

Tổng các nghiệm phương trình trên là  + +  =

0.5

b/ Giải phương trình: 3cosx 1 = 4cos³x  sin3x.

1,5

3cosx 1 = 4cos³x  sin3x  1 = 4cos³x 3cosx  sin3x

 1 = cos3x  sin3x  sin3x  cos3x =1

 sin ( 3x  ) =  sin ( 3x  ) = sin

 3x  = + k2 hoặc 3x  = + k2 ( k  )

0.25

0.25

0.25

0.25 +0,5

2

a. Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy (u_n) biết .

1.5

Ta có: 0 < u_n = ,  n N*

 (u_n) bị chặn.

 (u_n) là dãy tăng.

0,25

+ 0,25

0.25

02.5

0.25

0.25

b. Cho dãy (u_n) biết u₁ = 2 và với nN*.

Tìm số hạng tổng quát của dãy (u_n) . Tính .

2,5

. + Tìm số hạng tổng quát của dãy (u_n)

Ta có: (1)

 Tìm số α : (2)

 (2) viết lại:

Xét dãy (v_n) với v₁=2, v_n+1= 3v_n ( n  1) - ở đây v_n =u_n4ⁿ.

Khi đó v_n = 2. 3^n1  u_n4ⁿ = 2. 3^n1  u_n = 4ⁿ 2. 3^n1

0.5

0.25

0.25

0.5

0.5

+ Tính .

0.5

3

a. Gọi là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số ( không nhất thiết đôi một khác nhau ) được thành lập từ các chữ số Chọn ngẫu nhiên một phần tử từ tập . Tính xác suất để phần tử được chọn là số chia hết cho .

2,0

Gọi số được chọn là

Tính số phần tử của không gian mẫu:

0.5

Gọi A là biến cố: ‘‘ số được chọn là số chia hết cho 3 ’’

chia hết cho 3 khi: chia hết cho 3.

Liệt kê các số gồm: 111,222,888, và hoán vị của các bộ số (2;2;8); (8;8;2); (1;2;0) ;(1;8;0) . (Lưu y, chữ số ) .

Do đó số kết quả thuận lợi để có A là

Vậy xác suất cần tìm:

0.5

0.5

0.5

b. Trên đường thẳng song song và , ta lần lượt gắn vào đó điểm và điểm sao cho ( ). Tìm , để số các tam giác có đỉnh là điểm trong điểm phân biệt đã cho là lớn nhất.

2.0

Mỗi tam giác cần xác lập có 1 đỉnh nằm trên một đường thẳng và 2 đỉnh nằm trên đường thẳng còn lại.

Trường hợp 1: Một trong hai số m hoặc n là bằng 1  chẳng hạn m =1, khi đó n =16 và số các tam giác có được từ 17 điểm này là

Trường hợp 2: m, n đều lớn hơn 1.

Số các tam giác có được từ 17 điểm này là

Dấu bằng xảy ra khi |mn| =1, m,n  N*

 m=9 , n=8 hoặc ngược lại.

Kết luận : Số tam giác là lớn nhất khi m=9, n=8 hoặc ngược lại.

0.5

0.5

0,25

0.25

0.25

0.25

4

Cho hàm số

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm .

2,0

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

Vì nên hàm số không có giới hạn tại x=2 nên không thể liên tục tại x=2.

0.5

5

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn và điểm . Gọi là tâm của đường tròn . là điểm thay đổi trên sao cho 3 điểm không thẳng hàng. Tia phân giác góc cắt đường thẳng tại . Gọi là tập hợp các điểm khi thay đổi trên Viết phương trình đường .

3,0

Hình vẽ:

(C) có tâm I(1,2) và bán kính R =3 . Tính được IA = 5.

Vì IN là tia phân giác của góc nên 

 (*) (do N nằm giữa A và M )

Vậy phép vị tự tâm A, tỉ số biến điểm M thành điểm N.

0.5

0.5

0.25

0.25

Gọi P,Q là 2 giao điểm của đường thẳng IA và (C).

Do đó khi M chạy khắp đường tròn (C) ( M  P, M  Q) thì N chạy khắp (K) với (K) đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A tỉ số ( trừ 2 điểm là ảnh của P,Q qua phép vị tự trên).

Viết phương trình đường tròn (C’).

Gọi I’ là tâm đường tròn (C’), ta có: 

R’ là bán kính đường tròn (C’), ta có: R’ = .

Vậy phương trình đường tròn (C’) :

0.5

0.5

0.25

0.25

6

Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , biết ; cạnh bên vuông góc với mặt phẳng và .

a. Tính góc giữa 2 đường thẳng và .

b. Gọi là mặt phẳng qua song song với và cắt cạnh tại sao cho khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng lần khoảng cách từ đến mặt phẳng . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng và hình chóp .

4.0

Hình vẽ: ( Phục vụ câu a :0.25 điểm và câu b 0.25 điểm)

0.5

a. Tính góc giữa 2 đường thẳng và .

1.5

Tính góc .

D SAB vuông cân tại A Þ SB = a .

Gọi O là tâm hình thoi ABCD. AC = 2 AO = a

SA =a, AC = a  SC = 2a

Ta có: SC² = SB²+BC²-2SB.BC . cos B

4a² = 2a²+ a²  2.a² cos BÞ cosB =

Gọi  là góc giữa SB và BC , ta có: cos =

0.25

0.25

0.25

0.5

0.25

b. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng và hình chóp .

2.0

Ta có: AC = a và SA =a Þ SC =2a.

· d(C, α) = 3 d(S, α) Þ SM =

· Gọi I là giao điểm của SO và AM.

Trong mp (SBD) kẻ đường thẳng song song BD cắt SB, SD tại E và F.

Thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp S.ABCD là tứ giác AEMF.

Ta có BD ^ (SAC) Þ EF ^ (SAC) Þ EF ^ AM (Þ S_AEMF = ½ AM. EF.)

 Tính AM, EF

Xét  SAM , tính AM theo hệ thức cosin ta được AM = a

(có thể kiểm chứng AM  SC  … AM = a )

Xét D SAC – Kẻ ON // AM. O là trung điểm AC Þ N là trung điểm CM.

MN = CM = Þ SN = SI+MN = = SC

ON // AM Þ

Xét D SBD, EF // BD Þ Þ EF =

· S_AEMF = AM. EF= .

0.25

0.5

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25