Số nguyên dương là gì? Lý thuyết và bài tập minh hoạ

Toán học là môn học bắt buộc trong suốt chương trình giáo dục từ tiểu học đến tủng học phổ thông ở Việt Nam. Các kiến thức về toán học luôn là vô tận và rất phong phú. Ở bài viết lần này, Trang tài liệu sẽ giải đáp các thắc mắc về số nguyên dương là gì, số nguyên âm là gì? Ví dụ và các tính chất của số nguyên.

Số nguyên là gì?

Khái niệm: Trong Toán học, số nguyên gồm tập hợp các số 0, số tự nhiên (số nguyên dương) và số đối của chúng (số nguyên âm).

Tập hợp các số nguyên là vô hạn và đếm được. Ký hiệu của tập số nguyên là Z.

Số nguyên dương là gì?

Số nguyên dương: là những số nguyên lớn hơn 0 và được ký hiệu là Z+.

Các số tự nhiên khác 0 còn được gọi là các số nguyên dương (đôi khi còn viết +1, +2, +3,…nhưng dấu “+” thường được bỏ đi).

Số nguyên âm là gì?

Số nguyên âm: là các số nguyên nhỏ hơn 0 và được ký hiệu là Z-.

Các số -1, -2, -3,…là các số nguyên âm

Bài tập minh hoạ

Đề bài: Hãy tìm số nguyên dương n bé nhất có thể thỏa mãn tính chất không tồn tại bất cứ 1 cấp số cộng nào bao gồm 1999 số hạng và cấp số cộng đó chứa n số nguyên.

Bài giải: Với n=1n=1 ta dễ dàng tìm được cấp số cộng bao gồm 19991999 số hạng và chứa đúng 11 số hạng nguyên. ví dụ như cấp số cộng có số hạng đầu là số nguyên và công sai dd thỏa mãn điều kiện 0<d<119980<d<11998.Vì vậy, từ đây trở xuống ta chỉ có thể xét trường hợp n>1n>1.

Trước hết nhận xét rằng nếu tồn tại cấp số cộng AA có công sai dAdA gồm 1999 số hạng và có đúng nn số hạng nguyên thì nn số hạng đó có thể được xếp thành một cấp số cộng tăng có công sai δδ là số nguyên dương. Khi đó cũng tồn tại cấp số cộng BB tăng có công sai dBdB bao gồm 1999 số hạng có đúng nn số hạng nguyên, cũng là nn số nguyên liên tiếp chỉ cần chọn dB=|dA|δdB=|dA|δ.

Điều đó tương đương với mệnh đề sau, ta tạm gọi là mệnh đề XX.

“Nếu không tồn tại cấp số cộng BB tăng  bao gồm 1999 số hạng có đúng nn số hạng nguyên và là nn số nguyên liên tiếp thì cũng không tồn tại được cấp số cộng AA gồm 1999 số hạng có đúng nn số hạng nguyên”

Bây giơ, chúng ta sẽ xét một cấp số cộng tăng có công sai dd gồm 1999 số hạng và có đúng nn số hạng nguyên bvaf  cũng là nn số nguyên liên tiếp k ; k+1 ; … ; k+n-1

Ta có thể gọi các số hạng của cấp số cộng là u1,u2,…,ua,…,uz,…,u1999u1,u2,…,ua,…,uz,…,u1999 với (ua=kua=k ; uz=k+n−1uz=k+n−1)

Đặt m=[1998n−1]⇒d=1mm=[1998n−1]⇒d=1m

Vì ua−u1<1⇒p=ua−u1d<mua−u1<1⇒p=ua−u1d<m

Tương tự u1999−uz<1⇒q=u1999−uzd<mu1999−uz<1⇒q=u1999−uzd<m

(m∈N∗m∈N∗ và p,q∈Np,q∈N)

Đặt 1998=m(n−1)+r⇒r=p+q1998=m(n−1)+r⇒r=p+q

Vì p<mp<m và q<mq<m suy ra r<2m−1r<2m−1

Như vậy điều kiện cần để thỏa mãn điều kiện không tồn tại cấp số cộng tăng gồm 1999 số hạng có đúng nn số hạng nguyên và là nn số nguyên liên tiếp đó là r⩾2m−1r⩾2m−1

Trong đó,  m=[1998n−1]m=[1998n−1] và rr là số dư của phép chia 1998 cho n-1

r⩾2m−1⇒n⩾64r⩾2m−1⇒n⩾64 (vì nếu n<64n<64 thì r<62r<62 còn m⩾32m⩾32)

Dễ dàng tìm thấy n=70n=70 có giá trị nhỏ nhất để r⩾2m−1r⩾2m−1 (khi đó m=28m=28 ; r=66r=66)

Với n=70n=70 thì không tồn tại cấp số cộng tăng gồm 1999 số hạng có đúng 7070 số hạng nguyên và là 7070 số nguyên liên tiếp và xét theo mệnh đề XX ở trên thì cũng không tồn tại cấp số cộng bao gồm 1999 số hạng có đúng 7070 số hạng nguyên.

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của nn cần tìm chính là 7070.