Hướng Dẫn Cách Tìm Ước Của 1 Số Nhanh Nhất Toán Lớp 6

ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 7-SỐ NGUYÊN

CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN

PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

A. Các định nghĩa

1. Ước và Bội của một số nguyên

Với và Nếu có số nguyên sao cho thì ta nói chia hết cho . Ta còn nói là bội của và là ước của .

2. Nhận xét

- Nếu thì ta nói chia cho được và viết

- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.

- Các số 1 và là ước của mọi số nguyên.

3. Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết.

Nếu số tự nhiên chia cho số tự nhiên được số dư là thì số

4. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Ước chung của các số được kí hiệu là ƯC .

5. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

Bội chung của các số được kí hiệu là: BC .

6. Ước chung lớn nhất. Bội chung nhỏ nhất

- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

- Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác không trong tập hợp các bội chung của các số đó.

B. Các tính chất

- .

- Nếu .

- Nếu a, b nguyên tố cùng nhau

- ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) và BC(a ,b) = B(BCNN(a, b))

- Nếu Ví dụ: .

- Nếu Ví dụ: .

- .

- Nếu là ước của thì cũng là ước của .

- Nếu là bội của thì cũng là bội của .

PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Tìm ước và bội của một số nguyên. Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết (hoặc thỏa mãn số đã cho là số nguyên). Dạng 3: Phương trình ước

Dạng 1: Tìm ước và bội của một số nguyên.

I.Phương pháp giải

- Từ việc tìm ước và bội của một số tự nhiên suy ra ước và bội của một số nguyên.

- Chú ý: Nếu là ước của thì cũng là ước của . Nếu là bội của thì cũng là bội của .

II.Bài toán

Bài 1: Tìm bội của ; .

Lời giải:

bội của là: .

bội của là: .

Bài 2: Tìm tất cả các ước của ; ; ; .

Lời giải:

Ư . Ư . Ư . Ư .

Bài 3: Cho hai tập hợp số . a) Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng với và ? b) Trong các tổng trên có bao nhiêu tổng chia hết cho ?

Lời giải:

a) Số các nhiêu tổng dạng với và là tổng.

b) Số các tổng chia hết cho là: tổng.

Bài 4: Điền số vào ô trống cho đúng:

Lời giải:

Bài 5: 1) Cho a) Tính b) có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? c) có bao nhiêu ước tự nhiên ? Bao nhiêu ước nguyên ? 2) Thay bằng các chữ số thích hợp sao cho 3) Cho là một số nguyên có dạng Hỏi có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau:

Lời giải:

1a)

1b) không chia hết cho 3

1c) có 6 ước tự nhiên và có 12 ước nguyên.

2)Ta có: mà

Do suy ra

Th1: ta có số

Để thì

Th2: ta có số

Để thì hay

Vậy

3)Số nguyên có dạng hay a là số chia 3 dư 1

Vậy a có thể nhận những giá trị là

Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết (hoặc thỏa mãn số đã cho là số nguyên).

I.Phương pháp giải

Tìm số n ( ) để số chia hết cho số hoặc là số nguyên, trong đó là các số phụ thuộc vào số .

- Viết số dưới dạng

- Lập luận:

+ Vì chia hết cho , nên để chia hết cho thì số phải chia hết cho hay là ước của .

+ Giải điều kiện là ước của số , ta tìm được .

II.Bài toán

Bài 1: Tìm biết:

Lời giải:

Ta có:

Suy ra : khi Ư .

Vậy .

Bài 2: Tìm số nguyên để

Lời giải:

Ta có

Vì nên để thì

Mà nên là ước của 6

Vậy thì

Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên

Lời giải:

Ta có là một số nguyên khi

Ta có do đó khi

là ước của 3

Vậy thì có giá trị là một số nguyên.

Bài 4: Tìm số nguyên n để chia hết cho

Lời giải:

Ta có

Vì nên để thì

phải là ước của 5

Vậy thì chia hết cho

Bài 5: Cho Tìm n nguyên để A là một số nguyên

Lời giải:

Ta có là một số nguyên khi

Ta có do đó khi

phải là ước của 5

Vậy thì là một số nguyên

Bài 6: Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên

Lời giải:

Ta có là một số nguyên khi

Ta có do đó khi

là ước của 7

Vậy thì có giá trị là một số nguyên

Bài 7: Tìm các giá trị nguyên của n để phân số A = có giá trị là số nguyên.

Lời giải:

Ta có

Để có giá trị nguyên thì nguyên.

Mà nguyên khi hay là ước của 5

Do Ư

Ta tìm được .

Bài 8: Cho phân số: ( ) a) Tìm để có giá trị nguyên b) Tìm để là phân số tối giản

Lời giải:

a)

A nhận giá trị nguyên Ư .

	1		2		3		6
	0		1		2		5

b) tối giản <=>

không chia hết cho 2 và không chia hết cho 3 và .

Bài 9: a) Tìm hai số tự nhiên a và b biết b) Tìm để phân số có giá trị nguyên.

Lời giải:

a) Ta có

Giả sử Vì nên với và

Suy ra . Ta có bảng sau:

m	n
1	15	12	180
3	5	36	60

Vậy ta có hai cặp là .

b)

A có giá trị nguyên Ư .

Ta có bảng sau

	1		7
			2

Vậy

Bài 10: Cho . Tìm giá trị của để: a) là một phân số b) là một số nguyên

Lời giải:

a) là phân số khi

b)

là số nguyên khi Ư

Bài 11: a) Tìm giá trị là số tự nhiên để chia hết cho b) Tìm là số chia trong phép chia cho được số dư là

Lời giải:

Ư

.

dư

Bài 12: Tìm biết:

Lời giải:

Ta có:

Suy ra : khi

Tìm được:

Bài 13: a) Cho Chứng minh b) Tìm số nguyên sao cho

Lời giải:

a) Ta có:

Vì

(gt) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

b) Ta có:

Vì và

Để thì .

Bài 14: a) Cho . Chứng minh chia hết cho 11 và 13. b) Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho .

Lời giải:

a)A có 90 số hạng mà nên

có 90 số hạng mà nên:

b)

Từ đó suy ra

Bài 15: Tìm tất cả các số nguyên để: a)Phân số có giá trị là một số nguyên b)Phân số là phân số tối giản

Lời giải:

a) là số nguyên khi

Ta có: , vậy khi

b)Gọi là ƯC của và

mà

Vậy phân số đã cho tối giản

Bài 16: Tìm số nguyên để phân số có giá tri là số nguyên

Lời giải:

Ư

Bài 17: Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị là số nguyên

Lời giải:

Để phân số có giá trị là nguyên thì

Suy ra

Sau khi thử các trường hợp .

Bài 18: Cho , tìm để có giá trị nguyên.

Lời giải:

Ta có

Để Ư .

Lập bảng và xét các giá trị ta có thì nguyên.

Dạng 3: Phương trình ước

I.Phương pháp giải

- Tìm cặp số nguyên thỏa mãn ta đưa về dạng từ đó suy ra là các ước của suy ra giá trị của .

II.Bài toán

Bài 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho

Lời giải:

Từ đó suy ra .

Bài 2: Tìm nguyên biết:

Lời giải:

.

Sau khi lập bảng ta thu được:

Bài 3: Tìm các số nguyên dương thỏa mãn

Lời giải:

Xét (1)

Ta có:

Ta có , mà y chẵn nên

Thay vào (1)

Vậy

Bài 4: Tìm số tự nhiên biết:

Lời giải:

(do lẻ)

Bài 5: Tìm các số nguyên sao cho:

Lời giải:

Vì

Do đó,

Ta có:

	1	-1	3	-3
	3	-3	1	-3
	0	-2	2	-4
	ktm	1	1	0

_{Vậy các cặp} thỏa mãn là:

Bài 6: Tìm các số nguyên biết rằng:

Lời giải:

Do nên

Vì lẻ nên

Vậy

Bài 7: Tìm các số nguyên sao cho

Lời giải:

Ta có:

Sau khi lập bảng, ta có các trường hợp:

.

Bài 8: Tìm các số nguyên thỏa mãn

Lời giải:

Vì mà lẻ nên

Bài 9: Tìm các số nguyên biết rằng:

Lời giải:

Ta có:

Lập bảng và thử các trường hợp ta được:

Bài 10: Tìm các số tự nhiên sao cho:

Lời giải:

Từ :

Vì là số tự nhiên nên là ước số lẻ của 54.

	1	3	9	27
	1	2	5	14
	54	18	6	2

Vậy

Bài 11: Tìm số nguyên và biết:

Lời giải:

Vậy hoặc

Bài 12: Tìm các số tự nhiên sao cho

Lời giải:

Ta có:

Do lẻ

Vậy

Bài 13: Tìm nguyên biết:

Lời giải:

Ta có bảng sau:

	55	1	11	5
	27	0	5	2

Vậy ta có các cặp là , .

Bài 14: Tìm các số nguyên sao cho :

Lời giải:

Ta có bảng sau:

		1		2		4
	4		2		1
	0	2		3		5
	6		4	0	3	1

Vậy ta có các cặp là , , , , , .

Bài 15: Tìm biết

Lời giải:

Vì nên , suy ra là ước nguyên của 10 và lẻ

Lập bảng

	1	1	5	-5
	10	-10	2	-2
	14	-6	6	2
	0	-1	2	-3

_Vậy

Bài 16: Tìm các nguyên tố x, y thỏa mãn : .

Lời giải:

Do nên có các trường hợp sau:

TH1:

hoặc

TH2:

hoặc

Bài 17: Tìm các số biết:

Lời giải:

Mà là số lẻ

Với thì

Ta được

Với thì

Ta được

Kết luận: với hoặc thì .

Bài 18: Tìm số nguyên x, y biết: .

Lời giải:

(4) Ư(30) (1)

Mà Ư(30 (2)

Mặt khác là số lẻ (3)

Từ (1, (2), (3), (4) ta có bảng sau:

Vậy các cặp số nguyên cần tìm là:

Bài 19: Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho

Lời giải:

Ta có ; là ước của 12

Do lẻ hoặc

;

hoặc ;

Vậy

Bài 20: a) Cho số chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cũng chia hết cho 37 b) Tìm số nguyên biết

Lời giải:

a)Ta có:

Mà

Vậy nếu thì

b)Ta có

		-1	1	11
	1	11	-11	-1
		0	2	12
	2	12	-10	0

Vậy

Bài 21: Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng.

Lời giải:

hoặc

Bài 22: a)Tìm số dư trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91. Biết rằng nếu lấy số tự nhiên đó chia cho 7 thì được dư là 5 và chia cho 13 được dư là 4 b)Tìm các cặp số nguyên biết:

Lời giải:

a)Gọi số tự nhiên đó là

Theo bài ra ta có:

Suy ra :

Ta có :

Do đó

Nên chia cho 91 có dư là 82.

b)Ta có:

Thay hết tất cả các trường hợp ta có:

.

 HẾT 