Phương Pháp Giải Bài Tập Đồ Thị Hàm Số Lớp 9 Chi Tiết Nhất

Bài 3. ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số là một đường thẳng

• Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.

• Song song với đường thẳng nếu ; trùng với đường thẳng nếu .

2. Cách vẽ đồ thị hàm số

• Bước 1: lấy giao điểm với hai trục tọa độ

Giao điểm với trục tung: cho thì , ta được điểm thuộc trục tung.

Giao điểm với trục hoành: cho thì , ta được điểm thuộc trục hoành.

• Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B, ta được đồ thị hàm số .

3. Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

• Nếu thì hàm số đồng biến trên và có đồ thị là một đường thẳng đi từ dưới lên trên từ trái sang phải.

• Nếu thì hàm số nghịch biến trên và có đồ thị là một đường thẳng đi từ trên xuống dưới từ trái sang phải.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số

Nếu ta có đường thẳng đi qua hai điểm . Nếu đường thẳng đi qua hai điểm .

Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) ; b) ; c) .

Ví dụ 2. Vẽ đồ thị các hàm số sau trong cùng một hệ trục tọa độ: ; ; .

Ví dụ 3. a) Vẽ đồ thị của các hàm số và trong cùng một mặt phẳng tọa độ;

b) Gọi . _., lần lượt là giao điểm của đường thẳng . với trục hoành và giao điểm của hai đường thẳng là . Tìm tọa độ giao điểm , , ; ĐS: , , .

c) Tính diện tích tam giác . ĐS: đvdt.

Ví dụ 4. a) Vẽ đồ thị của các hàm số và trong cùng một mặt phẳng tọa độ;

b) Gọi , lần lượt là giao điểm của đường thẳng . với trục tung và giao điểm của hai đường thẳng là . Tìm tọa độ giao điểm , , ; ĐS: , , .

c) Tính diện tích tam giác . ĐS: đvdt.

Dạng 2: Tìm tham số biết hàm số đi qua điểm cho trước

Bước 1: Thay tọa độ điểm thuộc đồ thị vào phương trình đường thẳng. Bước 2: Giải phương trình ẩn .

Ví dụ 5. Cho hàm số .

a) Tìm để đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm ; ĐS: .

b) Tìm để đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm ; ĐS: .

c) Vẽ đồ thị hàm số tìm được ứng với giá trị của tìm được ở câu a) và b).

Ví dụ 6. Cho hàm số

a) Tìm để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng ; ĐS: .

b) Tìm để đồ thị hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng . ĐS: .

Ví dụ 7. Trong mặt phẳng tọa độ , cho các điểm , và .

a) Hãy viết phương trình đường thẳng , , ;

b) Tính chu vi và diện tích tam giác nếu coi độ dài mỗi đơn vị trên các trục , là cm.

ĐS: ; .

Dạng 3: Xác định giao điểm của hai đường thẳng

Giao điểm của hai đường thẳng và , ta làm như sau Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của và : rồi tìm nghiệm . Bước 2: Tính , từ đó suy ra tọa độ giao điểm.

Ví dụ 8. Cho hai đường thẳng và .

a) Vẽ các đường thẳng , trong cùng một hệ trục tọa độ;

b) Dựa vào đồ thị, hãy tìm tọa độ giao điểm của và . ĐS: .

Ví dụ 9. Cho các đường thẳng ; ; ; . Tìm giao điểm của các đường thẳng:

a) và ; ĐS: .

b) và . ĐS: .

Dạng 4: Xét tính đồng quy của ba đường thẳng

Ba đường thẳng đồng quy là ba đường thẳng cùng đi qua một điểm. Để xét tính đồng quy của ba đường thẳng (phân biệt) cho trước, ta làm như sau Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai trong ba đường thẳng đã cho. Bước 2: Kiểm tra tọa độ giao điểm vừa tìm được thuộc đường thẳng thứ ba thì ba đường thẳng đó đồng quy và ngược lại.

Ví dụ 10. Cho ba đường thẳng , và .

a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và ; ĐS: .

b) Chứng minh rằng ba đường thẳng , , đồng quy.

Ví dụ 11. Cho ba đường thẳng , và . Chứng minh rằng , và đồng quy.

Ví dụ 12. Cho ba đường thẳng , và .

a) Tìm giao điểm của hai đường thẳng và ; ĐS: .

b) Tìm giá trị của tham số để đường thẳng đi qua điểm ; ĐS: .

c) Tìm giá trị của tham số để ba đường thẳng đã cho đồng quy. ĐS: .

Ví dụ 13. Cho ba đường thẳng , và . Tìm giá trị của để hai đường thẳng cắt tại một điểm thuộc đường thẳng . ĐS: .

Dạng 5: Tính khoảng cách từ góc tọa độ đến một đường thẳng cho trước không đi qua O

Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng với các trục tọa độ . Bước 2: Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng . Áp dụng hệ thức liên hệ đến đường cao để tìm chính là khoảng cách từ O đến đường thẳng .

Ví dụ 14. Cho đường thẳng . Tính khoảng cách:

a) Từ gốc tọa độ tới đường thẳng ; ĐS: .

b) Từ điểm tới đường thẳng . ĐS: .

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

I. TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Đồ thị của hàm số đi qua điểm nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 2. Điểm thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây?

; ; ; .

A. Chỉ thuộc . B. Chỉ thuộc và .

C. Chỉ thuộc và . D. Thuộc cả bốn đường thẳng trên.

Câu 3. Cho hai đường thẳng và . Đường thẳng nào dưới đây không đi qua giao điểm của và ?

A. . B. .

C. . D. .

II. TỰ LUẬN

Bài 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) ; b) ; c) .

Bài 2. a) Vẽ đồ thị của các hàm số và trong cùng một mặt phẳng tọa độ;

b) Gọi , lần lượt là giao điểm của các đường thẳng , với trục hoành và giao điểm của hai đường thẳng là . Tìm tọa độ giao điểm , , ;

c) Tìm diện tích tam giác .

Bài 3. Cho hàm số với là tham số.

a) Tìm để đồ thị hàm số đi qua điểm ;

b) Tìm để đồ thị hàm số đi qua điểm ;

c) Vẽ đồ thị hàm số tìm được ứng với giá trị của tìm được ở câu a) và b).

Bài 4. Cho hàm số với là tham số.

a) Tìm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng ,

b) Tìm để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ , cho các điểm , và .

a) Hãy viết phương trình các đường thẳng , , ;

b) Tính chu vi và diện tích tam giác nếu coi độ dài mỗi đơn vị trên các trục , là cm.

Bài 6. Cho hai đường thẳng và .

a) Vẽ các đường thẳng , trong cùng một hệ trục tọa độ;

b) Dựa vào đồ thị, hãy tìm tọa độ giao điểm của và . ĐS: ( .

Bài 7. Cho các đường thẳng ; ; ; . Tìm giao điểm của các đường thẳng:

a) và ; ĐS: .

b) và . ĐS: .

Bài 8. Cho ba đường thẳng , và .

a) ìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và ; ĐS: .

b) Chứng minh rằng ba đường thẳng , , đồng quy.

Bài 9. Cho ba đường thẳng , và . Chứng minh rằng , và đồng quy.

Bài 10. Cho ba đường thẳng , và .

a) Tìm giao điểm của hai đường thẳng và ; ĐS: .

b) Tìm giá trị của tham số để đường thẳng đi qua điểm ; ĐS: .

c) Tìm giá trị của tham số để ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Bài 11. Cho ba đường thẳng , và . Tìm giá trị của để hai đường thẳng cắt tại một điểm thuộc đường thẳng . ĐS: .

Bài 12. Cho đường thẳng . Tính khoảng cách:

a) Từ gốc tọa độ tới đường thẳng ; ĐS: .

b) Từ điểm tới đường thẳng . ĐS: .

D. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 13. Cho hàm số .

a) Tìm để đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm ; ĐS: .

b) Tìm để đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm ; ĐS: .

c) Vẽ đồ thị hàm số tìm được ứng với giá trị của tìm được ở câu a) và b).

Bài 14. Cho hàm số

a) Tìm để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng ; ĐS: .

b) Tìm để đồ thị hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng . ĐS: .

Bài 15. Trong mặt phẳng tọa độ , cho các điểm , và .

a) Hãy viết phương trình đường thẳng , , ;

b) Tính chu vi và diện tích tam giác nếu coi độ dài mỗi đơn vị trên các trục , là cm. ĐS: ; .

Bài 16. Cho hai đường thẳng và .

a) Vẽ các đường thẳng , trong cùng một hệ trục tọa độ;

b) Dựa vào đồ thị, hãy tìm tọa độ giao điểm của và . ĐS: .

Bài 17. Cho các đường thẳng ; ; ; . Tìm giao điểm của các đường thẳng:

a) và ; ĐS: .

b) và . ĐS: .

Bài 18. Cho ba đường thẳng , và .

a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và ; ĐS: .

b) Chứng minh rằng ba đường thẳng , , đồng quy.

Bài 19. Cho ba đường thẳng , và . Chứng minh rằng , và đồng quy.

Bài 20. Cho ba đường thẳng , và .

a) Tìm giao điểm của hai đường thẳng và ; ĐS: .

b) Tìm giá trị của tham số để đường thẳng đi qua điểm ; ĐS: .

c) Tìm giá trị của tham số để ba đường thẳng đã cho đồng quy. ĐS: .

Bài 21. Cho ba đường thẳng , và . Tìm giá trị của để hai đường thẳng cắt tại một điểm thuộc đường thẳng . ĐS: .

Bài 22. Cho đường thẳng . Tính khoảng cách:

a) Từ gốc tọa độ tới đường thẳng ; ĐS: .

b) Từ điểm tới đường thẳng . ĐS: .

E. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Cho đường thẳng . Trong các điểm , , , hãy xác định các điểm thuộc và không thuộc đường thẳng .

Câu 2. Điểm thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới dây?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 3. Cho đường thẳng . Tìm để đường thẳng đi qua điểm .

Câu 4. Cho đường thẳng . Tìm để đường thẳng đi qua điểm .

Câu 5. Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của .

Câu 6. Cho hàm số bậc nhất . Xác định nếu

a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng .

b) Đồ thị hàm số đi qua điểm .

Câu 7. Xác định đường thẳng , biết có dạng và đi qua điểm .

Câu 8. Xác định đường thẳng , biết có dạng và đi qua điểm .

Câu 9. Cho hàm số . Xác định , biết

a) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng .

b) Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.

Câu 10. Xác định đường thẳng đi qua hai điểm và .

Lời giải

Gọi phương trình đường thẳng là .

Ta có hay .

hay .

Từ đó suy ra .

Vậy phương trình đường thẳng là .

Câu 11. Cho đường thẳng . Xác định đường thẳng sao cho và cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung.

_{Câu 12.} Cho các hàm số sau .

_a) Vẽ đồ thị các hàm số (1), (2) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Xác định tọa độ giao điểm của (1) và (2).

Câu 13. Cho hàm số .

a) Vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tính khoảng cách từ gốc của hệ trục tọa độ đến đường thẳng .

Câu 14. Cho hàm số . Tìm để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng là lớn nhất.

Câu 15. Cho ba đường thẳng sau

Hãy tìm các giá trị của sao cho ba đường thẳng đồng quy tại một điểm.

Câu 16. Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ:

.

Câu 17. Xác định đường thẳng đi qua hai điểm và .

Câu 18. Cho ; đường thẳng song song với trục và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng . Đường thảng lần lượt cắt , tại và . Khi đó, tính diện tích tam giác .

Câu 19. Với giá trị nào của thì đồ thị của các hàm số và cắt nhau lại một điểm nằm trên trục tung.

Câu 20. Cho hai đường thẳng và ( là tham số).

a) Chứng minh rằng luôn đi qua một điểm cố định khi thay đổi.

b) Tìm để hai dường thẳng , cắt nhau tại mội điểm thuộc trục hoành.

Câu 21. Cho hàm số có đồ thị là đường thẳng .

a) Tìm để đi qua điểm .

b) Xác định để khoảng cách từ điểm đến có giá trị lớn nhất.

Lời giải

.

Khi khoảng cách từ đến là .

Khi , .

Cho .

Vẽ . Ta có với mọi .

Suy ra hay .

Vậy khoảng cách từ điểm đến lớn nhất bằng khi .

--- HẾT ---