ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 2-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Lũy thừa bậc của số là tích của thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng

n thừa số a

. gọi là cơ số, gọi là số mũ.

Chú ý:

còn được gọi là bình phương (hay bình phương của ).

còn được gọi là lập phương (hay lập phương của ).

Quy ước:

2. Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số

3. Chia hai luỹ thừa cùng cơ số

Quy ước

4. Luỹ thừa của luỹ thừa

5. Luỹ thừa một tích

6. Một số luỹ thừa của :

- Một nghìn:

- Một vạn:

- Một triệu:

- Một tỉ:

Tổng quát: nếu là số tự nhiên khác thì: (có chữ số )

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa

I. Phương pháp giải

- Đưa hai luỹ thừa về cùng cơ số

- Sử dụng tính chất

Nếu thì

II. Bài toán

Bài 1: Tìm số tự nhiên thoả mãn

_a)

_b)

c)

d)

Lời giải:

a)

Vậy

b)

_{Vậy .}

c)

Vậy .

d)

Vậy .

Bài 2: Tìm số tự nhiên thoả mãn

a)

b)

Lời giải:

a)

Vậy .

b)

Vậy

Bài 3: Tìm số tự nhiên thoả mãn

a)

b)

c)

d)

Lời giải:

a)

Vậy

b)

Vậy

c)

Vậy

d)

Vậy

Bài 4: Tìm số tự nhiên thoả mãn

_a)

_b)

_c)

_d)

Lời giải:

a)

Vậy

b)

Vậy

c)

_Vậy

d)

Vì không viết được dưới dạng luỹ thừa của nên không có sô tự nhiên nào thoả mãn

Vậy không có giá trị nào của thoả mãn

Bài 5: Tìm số tự nhiên x, biết

_a)

_b)

Lời giải:

a)

Vậy là giá trị cần tìm.

_b)

_{Vậy .}

_Bài 6: Tìm hai số tự nhiên biết

Lời giải:

Vì và nên

Vậy

_Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn

Lời giải:

Vậy có số tự nhiên thoả mãn là

Bài 8:

_a) Cho Tìm số tự nhiên biết

_{b) Cho . Tìm số tự nhiên n biết}

Lời giải:

a)Ta có

Theo đầu bài ta có:

_Vậy .

b) Ta có :

_Mà

Vậy

Bài 9:

a) Cho . Tìm số tự nhiên biết rằng .

b) Cho . Tìm số tự nhiên biết rằng .

Lời giải

a)

Có

Vậy .

a)

Có

Vậy .

Bài 10: Tìm số tự nhiên biết:

Lời giải:

Vậy

Bài 11: Tìm số tự nhiên biết:

Lời giải:

Vậy

_Bài 12: Tìm hai số tự nhiên thoả mãn

Lời giải:

Vậy

Bài 13: Tìm x biết:

_a)

_b)

Lời giải:

_a)

Vậy .

b)

_{Vậy không tìm được số tự nhiên thoả mãn bài toán}

Bài 14: Tìm biết

Lời giải:

Nếu thì

Nếu thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi ( vô lý)

Vậy

Dạng 2: Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong lũy thừa.

I. Phương pháp giải

- Đưa về hai lũy thừa cùng số mũ

- Sử dụng tính chất

+) Ta có

_{+) Ta có}

II. Bài toán

Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết:

a)

b)

c)

Lời giải:

a)

b)

c)

Nếu thì

Nếu thì .

Bài 2: Tìm số tự nhiên x, biết:

a) b) c)

d) e)

Lời giải:

a) Ta có

b) Ta có

c) Ta có

d) Ta có

e) Ta có

Vậy

Bài 3: Tìm số tự nhiên x, biết:

a)

b)

c)

_d)

Lời giải:

a) Ta có

Vậy

b) Ta có

Vậy

c)Ta có

Vậy

_{d) Ta có}

Vậy

Bài 4: Tìm số tự nhiên x, biết:

_a)

_b)

_c)

Lời giải:

a) Ta có suy ra

Vậy hoặc .

b) Ta có suy ra

Vậy hoặc .

_{c) Ta có} suy ra

Vậy hoặc .

Bài 5: Tìm số tự nhiên x, biết:

a)

b)

_c)

Lời giải:

_a) Ta có

Vậy

b) Ta có:

_Vậy

_{c) Ta có:}

Vậy .

Bài 6: Tìm số tự nhiên x, biết:

_a)

b)

Lời giải:

_{a) Ta có:}

Vậy hoặc .

b) Ta có:

Vậy .

_{Bài 7:} Tìm số tự nhiên x, biết:

Lời giải:

Ta có:

Vậy hoặc .

_{Bài 8:} Tìm số tự nhiên x, biết

Lời giải:

Đặt

Ta có trở thành

Vậy là giá trị cần tìm.

Bài 9: Tìm các số tự nhiên x và y biết rằng:

Lời giải:

Nếu ta có .

Nếu ta có có chữ số tận cùng là 0, do đó có chữ số tận cùng là 8 mà không thể có chữ số tận cùng là 8.

Vậy .

Bài 10: Tìm số tự nhiên x, biết:

a)

b)

Lời giải:

a) Ta có:

`

Vậy .

b) Ta có:

Vậy .

Bài 11: Tìm số tự nhiên x, biết:

a)

b)

Lời giải:

a) Ta có:

Vậy .

b) Ta có:

Vậy .

Bài 12. Tìm , biết:

Lời giải:

Ta có:

.

Vậy .

Bài 13. Tìm , biết:

Lời giải:

Ta có

Vậy

Bài 14. Tìm số tự nhiên và , biết:

Lời giải:

Ta có

Mà

nên

Vậy .

Bài 15. Tìm số tự nhiên a và b, biết:

Lời giải:

Nếu ta có

Nếu ta có

Nếu ta có chia hết cho 9, chia hết cho 9 chia hết cho 9 nhưng 183 không chia hết cho 9. Vô lý.

Vậy .

Bài 16. Tìm số tự nhiên a và b, biết:

Lời giải:

Nếu ta có

Nếu ta có

Nếu ta có chia hết cho 9, chia hết cho 9 chia hết cho 9 nhưng 183 không chia hết cho 9. Vô lý.

Vậy .

Bài 17. Tổng bình phương của ba số tự nhiên là 2596. Biết rằng tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là , giữa số thứ hai và số thứ ba là . Tìm ba số đó.

Lời giải:

Gọi a, b, c là ba số tự nhiên phải tìm, ta có:

Có nên

Hay

_{Vậy ba số cần tìm lần lượt là 20, 30, 36.}

Bài 18. Tìm số tự nhiên và , biết:

Ta có

_Mà

mà là số chẵn nên ta có các trường hợp:

_{Xét trường hợp 1.}

_{Xét trường hợp 2.}

Vậy hoặc .

PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. ( Khoảng 15 bài )

Bài 1: ĐỀ THI HUYỆN HOA LƯ

_{Tìm x biết:}

Lời giải:

Bài 2: ĐỀ THI HUYỆN PHÙ CÁT

Tìm số tự nhiên , biết:

a)

_b)

Lời giải:

a) Ta có

Vậy

Đặt

_{Từ (1):}

_Vậy

Bài 3: ĐỀ THI HUYỆN TP NINH BÌNH

Tìm các số nguyên x biết:

Lời giải:

Bài 4: ĐỀ THI HUYỆN TIÊN DU

Tìm số tự nhiên x biết:

Lời giải:

Vậy

Bài 5: ĐỀ THI HUYỆN CHƯ SÊ

Tìm , biết:

Lời giải:

Ta có:

Bài 6: ĐỀ THI HƯNG HÀ

1. Tìm số tự nhiên x biết: .

Lời giải:

5^{3x + 3} = 10¹⁵ : 2¹⁵

5^{3x + 3} = 5¹⁵

Suy ra: 3x + 3 = 15

3x = 12

x = 4

Vậy x = 4

Bài 7: ĐỀ THI HUYỆN CHƯƠNG MỸ

Tìm số nguyên x thỏa mãn:

Lời giải:

Vậy

Bài 8: ĐỀ THI HUYỆN KIẾN XƯƠNG

Tìm x biết:

_{Lời giải:}

hoặc

hoặc

Vậy hoặc

Bài 9: ĐỀ THI KỲ ANH

_Tìm biết:

Lời giải:

Bài 10: ĐỀ THI HUYỆN THANH TRÌ

Tìm số tự nhiên , biết:

a) .

b) .

Lời giải

a)

Vậy .

b) .

(1)

Đặt

Từ (1)

Vậy .

Bài 11: ĐỀ THI YÊN ĐỊNH

Tìm biết

Lời giải

Ta có:

Bài 12: ĐỀ THI THANH BA

Cho , là các số tự nhiên thỏa mãn các hệ thức ; . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

_{Ta có}

_{Ta có}

Vậy

Bài 13. ĐỀ THI THỊ XÃ HOÀI NHƠN

_Cho . Tìm để

Lời giải

Mà

Vậy thì

Bài 14. ĐỀ THI KIẾN XƯƠNG

Tìm x biết:

Lời giải

Vậy

Bài 14. ĐỀ THI HUYỆN ĐÔNG HƯNG

Tìm x biết:

a) b)

Lời giải

a)

Ta có: hoặc

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Vậy hoặc

b,

Vậy

Bài 15. ĐỀ THI HUYỆN HƯNG HÀ

Tìm số tự nhiên biết: .

Lời giải

Tìm số tự nhiên biết: .

Vậy .