Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG Toán 6: Đoạn Thẳng, Độ Dài Đoạn Thẳng, Trung điểm

HH6. CHUYÊN ĐỀ 3 - ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

CHỦ ĐỀ 2: ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG.

1. Đoạn thẳng là hình gồm điểm , điểm và tất cả các điểm nằm giữa và .

2. Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương.

3. và có cùng độ dài.

độ dài đoạn thẳng nhỏ hơn độ dài đoạn thẳng .

độ dài đoạn thẳng lớn hơn độ dài đoạn thẳng .

4. Điểm nằm giữa hai điểm:

Nếu điểm nằm giữa điểm và điểm thì .

Ngược lại, nếu thì điểm nằm giữa hai điểm và .

Nếu thì điểm không nằm giữa và . ..

Nếu điểm nằm giữa hai điểm và ; điểm nằm giữa hai điểm và thì

2. VẼ ĐOẠN THẲNG CHO BIẾT ĐỘ DÀI

1. Trên tia bao giờ cũng vẽ được một và chỉ một điểm sao cho (đơn vị dài).

2. Trên tia , , nếu hay OM < ON thì điểm nằm giữa hai điểm và .

3. Trên tia có điểm , , , ; , nếu hay điểm nằm giữa hai điểm và .

3. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG

1. Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa hai đầu đoạn thẳng và cách đều hai đầu đoạn thẳng đó.

2. Nếu là trung điểm của đoạn thẳng thì:

Điểm nằm giữa hai điểm , và .

3. Nếu nằm giữa hai đầu đoạn thẳng và thì là trung điểm của đoạn .

4. Mỗi đoạn thẳng có trung điểm duy nhất.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng và chứng minh điểm nằm giữa.

I.Phương pháp giải

• Để tính độ dài đoạn thẳng ta thường sử dụng các nhận xét sau:

• Nếu điểm nằm giữa điểm và điểm thì . Ngược lại, nếu thì điểm nằm giữa hai điểm và .

• Nếu điểm nằm giữa hai điểm và ; điểm nằm giữa hai điểm và thì .

• Nếu là trung điểm của đoạn thẳng thì .

• Để chứng minh điểm nằm giữa hai điểm ta thường sử dụng các nhận xét sau:

• Nếu thì điểm nằm giữa hai điểm và .

• Trên tia , , nếu hay thì điểm nằm giữa hai điểm và .

• Nếu tia và tia là hai tia đối nhau thì điểm nằm giữa hai điểm và .

II.Bài toán

Bài 1: Cho đoạn thẳng cm. Gọi là điểm nằm giữa và , cm . là trung điểm của . Tính .

Lời giải:

Vì điểm nằm giữa hai điểm và

Nên

Suy ra (cm)

Vì là trung điểm của đoạn thẳng

Nên (cm).

Bài 2: Cho đoạn thẳng cm. là điểm nằm giữa hai điểm và . Gọi và lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng và . Tính độ dài đoạn thẳng .

Lời giải:

Vì điểm nằm giữa hai điểm và nên

Vì và lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng và nên ta có:

, .

Vì nằm giữa và , nằm giữa và , nằm giữa và , suy ra M nằm giữa và

Do đó (cm).

Bài 3: Trên tia cho điểm , , , biết rằng nằm giữa và ; nằm giữa và ; cm, cm, cm và độ dài đoạn gấp đôi độ dài đoạn . Tính độ dài các đoạn , .

Lời giải:

Vì nằm giữa và nên

Vì nằm giữa và ; nằm giữa và nằm giữa và .

Trên tia , ta có ( )

Nên điểm D nằm giữa hai điểm và .

Suy ra :

(cm).

Vì nằm giữa hai điểm và

Nên

Từ và ta có:

Theo đề ra: thay vào

Ta có

(cm)

(cm)

Vậy (cm), (cm).

Bài 4: Đoạn thẳng cm được chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài không bằng nhau theo thứ tự là các đoạn thẳng . Gọi , , , theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng , , . Biết độ dài của đoạn thẳng cm. Tính độ dài của đoạn thẳng .

Lời giải:

Vì đoạn thẳng được chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài không bằng nhau theo thứ tự là các đoạn thẳng , , , nên suy ra các điểm , , nằm giữa hai điểm , theo thứ tự nằm giữa và , nằm giữa và , nằm giữa và .

Mặt khác : , , , theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng , , , nên điểm nằm giữa hai điểm và , điểm nằm giữa hai điểm và .

Do đó ta có:

Mà , .

Suy ra:

Mà và (do và là trung điểm của và )

Từ và ta có :

(cm).

Vì các điểm , , nằm giữa hai điểm , theo thứ tự nằm giữa và , nằm giữa và , nằm giữa và nên ta có:

Suy ra: .

Mặt khác , lần lượt là trung điểm của , nên ta có: ;

Do đó ta có: (*)

Theo đề bài, thứ tự các điểm chia và thứ tự trung điểm các đoạn thẳng thì là điểm nằm giữa hai điểm , và là điểm nằm giữa hai điểm , .

Do đó ta có: ,

Thay vào (*) ta có: (cm)

_{Vậy độ dài đoạn thẳng} là (cm).

Bài 5: Đoạn thẳng có độ dài cm được chia thành ba đoạn thẳng không bằng nhau theo thứ tự , và . Gọi , là trung điểm của đoạn thẳng , . Biết độ dài đoạn cm.

Tìm độ dài đoạn .

Lời giải:

Đoạn được chia thành ba đoạn theo thứ tự , và .

Vậy hai điểm , nằm giữa hai điểm và .

Vì là trung điểm của nên

là trung điểm của nên

Từ và có :

Vì điểm và điểm nằm giữa hai điểm , và điểm nằm giữa hai điểm ,

Nên:

Suy ra

Suy ra: (cm)

Vậy đoạn (cm)

Bài 6: Cho đoạn thẳng cm. Trên tia đối của tia lấy điểm . Biết là trung điểm của đoạn thẳng , là trung điểm của đoạn thẳng .

a) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn lớn hơn độ dài đoạn .

b) Tìm độ dài đoạn .

Lời giải:

a) Điểm thuộc tia đối của tia nên điểm nằm giữa hai điểm ,

Suy ra

Mà

Suy ra độ dài đoạn lớn hơn độ dài đoạn .

b) Vì là trung điểm của đoạn , nên :

Vì là trung điểm của đoạn , nên :

Mà ( câu a), nên , chứng tỏ điểm nằm giữa hai điểm ,

Suy ra :

Thay và vào , ta có : (cm).

Vậy (cm).

Bài 7: Vẽ tia . Trên tia xác định hai điểm và sao cho nằm giữa , và cm, . Tính độ dài các đoạn .

(Đề thi HSG huyện Hưng Hà 2020-2021)

Lời giải:

Vì điểm nằm giữa hai điểm , nên

Mà , cm

Suy ra:

(cm)

Do đó: (cm).

Vậy (cm), (cm).

Bài 8: Trên tia lấy các điểm sao cho cm, cm. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng , là trung điểm của đoạn thẳng Tính độ dài các đoạn thẳng , .

(Đề thi HSG huyện Nông Cống 2020 - 2021)

Lời giải:

Trên tia , ta có nên điểm nằm giữa hai điểm và .

Do đó:

(cm)

Vì là trung điểm của đoạn thẳng

Nên (cm)

Vì là trung điểm của đoạn thẳng

Nên (cm)

Mà điểm nằm giữa hai điểm và , điểm nằm giữa hai điểm và , nằm giữa hai điểm và nên suy ra nằm giữa hai điểm I và .

Suy ra:

(cm).

Vậy (cm), (cm).

Bài 9: Cho ba điểm , , sao cho cm, cm và cm. Lấy điểm nằm trên đường thẳng sao cho cm. Tính độ dài đoạn thẳng ?

(Đề thi HSG huyện Hoa Lư 2020-2021)

Lời giải:

Vì do nên điểm nằm giữa hai điểm và .

nằm trên đường thẳng và hai tia , đối nhau.

+) Trường hợp 1: nằm trên tia

Ta có: và là hai tia đối nhau nên nằm giữa và

Khi đó: (cm)

+) Trường hợp 2: nằm trên tia

Trên tia , ta có (do ) nên điểm nằm giữa hai điểm và

Khi đó:

(cm)

Vậy (cm), (cm) .

Bài 10: Cho đoạn thẳng biết cm. Lấy 2 điểm , trên đoạn ( , không trùng với , ) sao cho cm.

1. Chứng minh rằng: Điểm nằm giữa hai điểm và .

2. Tính độ dài đoạn thẳng .

(Đề thi HSG huyện Gia Bình 2020-2021)

Lời giải:

1) Vì điểm nằm trên đọan nên điểm nằm giữa hai điểm ,

Suy ra

Theo bài ra ta có:

Từ và suy ra .

Trên tia có nên điểm nằm giữa hai điểm và .

2) Vì điểm nằm giữa và nên

Ta có:

(cm)

Vậy (cm)

_{Dạng 2: Chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng, chứng minh đẳng thức độ dài có liên quan.}

I.Phương pháp giải

Để chứng minh là trung điểm của đoạn thẳng , ta thường làm như sau:

Cách 1. Bước 1: Chứng tỏ điểm nằm giữa và .

Bước 2: Chứng tỏ .

Cách 2. Chứng minh

Cách 3. Bước 1: Chứng tỏ điểm nằm giữa và .

Bước 2: Chứng tỏ hoặc .

II. Bài toán

Bài 1: Gọi và là hai điểm trên tia sao cho cm, cm. Trên tia lấy điểm sao cho cm. Tính độ dài các đoạn thẳng và .

Lời giải:

Trên tia , ta có: nên điểm nằm giữa hai điểm và

Suy ra ;

Mà cm, cm

Nnên (cm)

Trên tia , ta có nên điểm nằm giữa hai điểm và

Suy ra

Mà cm, cm.

Do đó: (cm)

Vậy (cm), (cm).

Bài 2: Trên tia cho điểm , , , . Biết rằng nằm giữa và ; nằm giữa và ; cm, cm, cm và .

a) Tính độ dài .

b) Chứng tỏ rằng: Điểm là trung điểm của đoạn thẳng .

Lời giải:

a) Đặt (cm) (cm)

Trên tia có ( vì ) Nên điểm nằm giữa hai điểm và

Suy ra:

(cm)

Vì điểm nằm giữa hai điểm và , điểm nằm giữa hai điểm và C

Nên điểm nằm giữa hai điểm và .

Suy ra

Vì nằm giữa và nên: hay

Từ và ta có:

(cm)

Vậy (cm)

b) Theo ta có: mà .

Mà .

Mặt khác điểm nằm giữa 2 điểm và .

Suy ra là trung điểm của đoạn thẳng .

Bài 3: Trên tia lấy hai điểm và , sao cho cm và cm.

a) Tính độ dài đoạn thẳng .

b) Lấy điểm trên tia , sao cho cm. Tính độ dài đoạn thẳng .

c) Trong trường hợp nằm giữa và . Chứng tỏ rằng là trung điểm của đoạn thẳng .

Lời giải:

a) Trên tia , ta có: ( ) nên nằm giữa hai điểm và

(cm)

Vậy (cm).

b)TH1: nằm giữa và .

Vì nằm giữa và mà nằm giữa hai điểm và

Nên nằm giữa và

(cm)

TH2: nằm giữa và .

Vì nằm giữa và

Nên

(cm).

c)Vì nằm giữa và nên

(cm)

Trên tia , ta có ( ) nên nằm giữa và

(cm).

Do đó:

Trên tia , ta có: nên nằm giữa và

Từ và suy ra là trung điểm của

Bài 4: Cho các điểm , , nằm trên cùng một đường thẳng. Các điểm , lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng , . Chứng tỏ rằng: . Bài toán có mấy trường hợp, hãy chứng tỏ từng trường hợp đó?

Lời giải:

- Trường hợp 1: Hai điểm , ở cùng phía với , tức là hai tia , trùng nhau.

* Trường hợp này có thể chia làm hai trường hợp nhỏ là : (hai trường hợp chứng minh tương tự).

Giả sử: .

Vì là trung điểm của , nên:

Vì là trung điểm của , nên:

Từ và ta có :

Ta xét , nên điểm nằm giữa hai điểm và .

Suy ra:

nên điểm nằm giữa hai điểm và .

Suy ra:

Thay và vào , ta có: hay

* Trường hợp 2: Hai tia và đối nhau

Mà điểm thuộc tia , điểm thuộc tia

Nên và là hai tia đối nhau

là trung điểm của , nên:

là trung điểm của , nên:

Từ và có:

Vì , là hai tia đối nhau, nên điểm nằm giữa hai điểm , .

Suy ra:

Vì và thuộc hai tia đối nhau , nên điểm nằm giữa hai điểm ,

Suy ra:

Thay và vào , ta có : hay .

Bài 5: Đoạn thẳng có độ dài bằng được chia thành ba đoạn thẳng bởi hai điểm chia , theo thứ tự là đoạn , , sao cho . Tìm khoảng cách giữa:

a) Điểm và điểm với là trung điểm của .

b) Điểm và điểm với là trung điểm của đoạn .

Lời giải:

a) Đoạn được chia thành ba đoạn theo thứ tự , , nên suy ra

.

_Mà

Suy ra:

Vậy

Vì là trung điểm của , nên :

là trung điểm của , mà nằm giữa hai điểm , nên cũng nằm giữa hai điểm , .

Suy ra:

Từ ta có:

Thay vào có:

(cm)

b) Theo ta có: .

Theo ta có: .

Vậy ta suy ra:

Mà là trung điểm của , nên .

mà ,

Vậy : .

Theo đầu bài, đoạn được chia thành ba đoạn thẳng theo thứ tự , ,

Suy ra

Thay , , vào có:

(cm).

Bài tập 6: Trên tia vẽ các điểm , , sao cho , , . Điểm có là trung điểm của đoạn thẳng hay không? Vì sao?

Lời giải:

Trên tia ta có ( ) nên nằm giữa hai điểm và

Suy ra:

(cm)

Trên tia ta có ( ) nên điểm nằm giữa hai điểm và

Suy ra:

(cm)

Từ và suy ra .

Mặt khác Trên tia ta có

suy ra điểm nằm giữa hai điểm và .

Từ và là trung điểm của đoạn thẳng .

Bài tập 7: Cho đoạn thẳng và trung điểm của nó. Chứng tỏ rằng nếu là điểm thuộc đoạn thẳng thì .

Lời giải:

Vì điểm nằm giữa hai điểm và nên:

Vì điểm nằm giữa hai điểm và nên:

Vì là trung điểm của nên

Từ , và ta được:

Suy ra:

Bài tập 8: Trên tia xác định các điểm sao cho (cm), (cm).

a) Tính độ dài đoạn thẳng , biết .

b) Xác định điểm trên tia sao cho .

Lời giải:

a) Trên tia , ta có: nên điểm nằm giữa điểm và điểm .

Suy ra:

Suy ra:

b) Vì nằm trên tia và

 là điểm thuộc đoạn thẳng sao cho .

Bài 9:

1. Trên tia , lấy điểm và sao cho cm, cm. Tính độ dài đoạn thẳng . Điểm có là trung điểm của đoạn thẳng không? Vì sao?

2. Cho đoạn thẳng . Điểm thuộc tia đối của tia . Gọi , theo thứ tự là trung điểm của và . Chứng minh rằng: và .

(Đề thi HSG huyện Ninh Bình 2020-2021)

Lời giải:

1) Chứng minh được nằm giữa và .

Ta có

Điểm có là trung điểm của đoạn thẳng vì : nằm giữa và và

2) Chứng minh rằng: và .

Vì là trung điểm của , điểm thuộc tia đối của tia nên nằm giữa và .

Suy ra:

Lại có nằm giữa và

Từ và

_Vậy

_{Lại có} là trung điểm của

Có , , theo thứ tự là trung điiểm của và

nằm giữa và

Bài 10: Trên tia lấy hai điểm , sao cho cm, cm.

a) Tính độ dài đoạn thẳng .

b) Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho là trung điểm của đoạn thẳng . Lấy điểm thuộc đoạn thẳng sao cho . Hỏi có là trung điểm của đoạn thẳng không? Vì sao?

Lời giải:

a) Trên tia có , nên điểm A nằm giữa hai điểm B và O.

Suy ra

(cm)

Vậy (cm) .

b) Vì điểm là trung điểm của đoạn thẳng nên (cm).

Vì điểm thuộc đoạn thẳng và

Nên điểm là trung điểm của đoạn thẳng .

Suy ra (cm).

Vì hai điểm , nằm trên hai tia đối nhau gốc nên điểm nằm giữa hai điểm , .

Suy ra:

(cm)

Trên tia có nên điểm nằm giữa hai điểm và .

Suy ra:

(cm).

Ta thấy nên điểm không là trung điểm của đoạn thẳng .